Calculo diferencial e integral (piskunov) tomo i cap 1 a 7

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Calculo diferencial e integral (piskunov) tomo i cap 1 a 7

  1. 1. y . É _ - . . 1 rí. ,í @m2 $ . a3 1 ¡ul. . . fill¡ 1 . ..IJ _ a _. ai# a” _m_ w( W z A. . s. . e_ _. mu a . ?sk w . ü L p UAI¡ _hoündwuvanm Q »nur ía, w . _ . ,. u _. www: m N? wa g, . n, . $5.11 1.9.9 _.
  2. 2. qu' - . _ ~ - §= $'“": ~'H¡' m. ;u "= .-. a , r ~~ , ~ . : v . ':¡›-. -.a'- L 'T . A ' " * ' t# ' ¡ i_ A 'I F -íí- ¡ ; É7IÉÍÉÍÃÊÍÊÊÍÃÍÊVÉÍTT . T í_ E A
  3. 3. N. PISKUN OV CÁECUíÚ DIFERENCIAL E INTEGRAL 3" cdición TOMO EDITORIAL MIR - MOSCU
  4. 4. Traducldo dal : uso por el tngeníem A K. MEDKOV (as àcnanurau name) Impresa en 1a URSS © Traducción al español. Editorial Mir. 1977
  5. 5. INDICE PREFACIO CAPITULO I. NUMERO. VARIABLE. FUNCION § 1. Números realce. Roprasantación de números realea por medio do puntoe en el eje numérico . § 2. Valor absoluto del número real . . . 53. Magnitutlae variables y constantes . . § 4. Campo de variación de -la magnitud variable . . 5 5. variable ordenada. variables crocientaa y decreclantes. variable acotada . . 56. Función . . . . . . . . § 7. Formas de expreaíón do funcionou . . . 5 8. Funcionou elamentalea fundamentais. Funcionou ele- mentalas 5 9. Funcional algebraicas. . § 10. Sistema de coordenadas polares Ejercicioa para el capítulo l CAPITULO ll. LIMITE. CONTINUIDAD DE LA FUNCION § 1. Limite do Ia magnitud variable. variable infinita- mente grande . . . § 2. Limita do la función . § 3. Fnnción que tienda al inlinito. Iiuncionaa acotadan 54. lniinitesimalea y sua principales propiedades . 5 5. Teorema fundamentais: sobre limites . i 6. Limite da Ia función seu z : I 5 7. Número e . . 98. Logarltmoa naturais: : . cuando z -o O iifl - 51H gx» usa-b» »na N# (B5W »OOQ 838 à 5833228
  6. 6. ii Indice 59. Continuidad de las funciones . . § t0. Algunas propiedndes de las funcionou continuas 5 ii. Comparación de las magnitude: : infiniteeimales E/ 'zrclclos para el capítulo II CAPlTULO Ill. DERIVADA Y DIFERENCIAL 5 1. Velocidad del movimiento . 5 2. Definición de Ia derivada . . . 5 3. lnterprotación geométrica de la derivada 5-1. Derivación de las funciones . . . . 5 5. Derivadas de las funcione: : elementales. Derivada de la función _u _ z". siendo n entoro y positivo . 5 6. Derivadas de las funcione: : y = son» z; y: coa x § 7. Derivadas de una magnitud constante. dcl producto de una magnitud constante por una función. de una suma. producto y cociento . . . . i8. Definida de la función logaritmica § 9. Derivada do la función compuesta § i0. Derivadas de las funcione: y '- tg 1'. y ln | :r I . . . . . . . 5 i1. Función implícita y au derivacíór¡ . . . 5 12. Derivadas de la función potencial con exponente real cualquiera. de la función exponencial y de la fun- ción exponencial campus-sta . . . 513. Función inversa y : su derivación . . . 5 M. Funciona: trigonométricas invernos y su derivución 5 i5. Table de las fórmulas iundamentales para la de- rivación . . . . . 5 16. Represontación paramétrica de función . § i7. Ecuacionea paramétricas de algunas curvas . 518. Derivada de la función dada paramétricamente 5 i9. Funcionou híperbólicaa 5 20. Diferencial . . . . 1. Significado geométrico de la diierencinl 2. Derivadas do diversos órdenos 3. Díierencialee de diversos órdenes . . 1a. Derivadas de diverso: : órdenew de iunciones impli- itas y de iunciones representadas paramétricamcnte 525. interpretación mecânica de la : egunda derivada 5 26. Ecuacionce de la linea tangente y de la normal. Lon- gitude: : do la linea subtangente y de la subnormal § 27. lnterpretación geométrica de la derivada del radio vector respecto nl ângulo polar Ejrrticio: para r¡ capítulo III y = cotg z. hâlülúté 5 § § 5 c 59 62 70 72 74 76 78 92 94 98 103 106 109 111 il-'n 118 119 122 123 126 127 130
  7. 7. Indice CAPITULO IV. TEOREMAS SOBRE LAS FUNClONES DERIVABLES 51. Teorema sobre las raices de la derivada (Teorema de Rolla) . . . . . . . 52. Teorema sobre los incrementos finitos (Teorema de Lagrange) . . . . . . . . 53. Teorema sobre la razón de los incrementos do dos funciona (Teorema de Caucby) . . . . . 5 4. Limite de la razón de dos infinitesimales (cCálcnlo do limites indeterminadoe del tipo -g-n) 5 5. Limite de la razón de dos magnitude: : infinitamente grandes (dCálculo de limites indeterminados de n. forma É. ) 5 6. Fórmula do Taylor . . . . . . 5 7. Desarrollo de las funciones 0*. sen : r y cos . r por la fórmula de Taylor . . . . . . . Bjcrcicto: para el capitulo l CAPITULO V. ANALISIS DE LA VABIACION DE LAS FUNCIONES 5 1. Generalidades . . . . . . 52. Crecimiento y dccrecimiento de una función. 53. Máximo y minimo do lus funciones . . . 5 4. Análisis del anónimo y minimo de una función deri- vable mediante la primera derivada . . . 5 5. Análisis del máximo y minimo de una función me- diante la segunda derivada . . . . . 56. Valores máximo y mínimo de una función en un segmento . . . . . . . . 5 7. Aplicación de la teoria de máximos y minimos de las funciones a la solucíón de problemas . . . . 58. Análisis de los valores máximo y mínimo de una función mediante la fórmula de Taylor . . 59. Convexidad y concavidad de la curva. Puntos do inflexión . 5 10. Asintotas . . . . . . 5 11. Esquema general del análisis de funciones y de la construcción de gráficas . . . . . . 5 i2. Análisis da las curvas dadas en forma paramátrica Eiercictos para el capítulo V 141 143 145 1416 149 155 159 166 167 169 175 178 182 183 185 188 194 199 iii
  8. 8. iv Indice CAPITULO VI. CURVATURA DE UNA CURVA 5 1. Longltud dal arco y su derivada 5 2. Curvntura . . 5 3. Cálculo de la curvatura . . . . 5 4. Cálculo do ln curvatura do una curva duda en forma parnmétrlcn . . . . . . . . í 5. Cálculo de la curvatura do una curva dudu en coor- denadas polares . . . . . . . í 6. Radio y círculo do curvatura. Centro de curvatura. Evoluta y ovolvante . . . . í 7. Propledadaa de la bvnlutn. . . . . à 8. Cálculo aproximado da las talco: : renles do una ecunción. . . . Ejcrclclos para cl capítulo VI CAPITULO Vll. NÚMEROS COMPLEJOS. POLINOMIOS § i. Números complejoa. Generalidades . . . 52. Opemclanoo fundamentules con números oomplojoa 5 3. Elevaclón a potencia y axtrnocíón de la raíz del nú- mero complojo . . . . . . . 5 4. Funcíón exponencial con expenento complejo y sua propledada . . . . . . . . 55. Fórmula da Euler. Forma exponencial del número compleio . . . . . . 56. Desarrollo del polínomlo en factores. 57. Baloes múltiplos del polínomio . . _ . 5 8. Fnctorización de un pollnomio con ralcea compleiaa 5 9. lntorpolaclón. Fórmula de ln interpolación de Lagrange 510. Fómmla de ln interpolnción de Newton 5 ll. Derivacíón numérica . . . . . 5 12. Optlma aproxlmoción de las luncíonw por medio da pollnomjos. Teoria de Chébishcv . . Eicrclclos para a! capítulo V! l CAPITULO Vlll. VABIABLBS PUNCIONES DB VARIAS 5 l. Delinlclón de les funclones do varia: : variables . §2. Representación geométrica de una función de dos variables 214 2lB 218 221 222 224 229 24| %3 246 M9 252 257 262 264 265 268 271
  9. 9. Indíce 5 3. incremento parcial y total de le función . 54. Contínuldad de la función de varias variables . 5 5. Derivadas parcialee de ln función de varias variables 5 6. lnterpretución geométrica de las derivadas parcieles de une función de dos variables . . . § 7. incremento letal y diferencial total . . . 5 8. Aplicaeión do le dífrencial total para cálculos aproximados . . . . . . . . 5 9. Utilizacián do la diferencial para evaluar el error de cálculo . . . . . . . 5 i0. Derivede de una función¡ compuesto. Derivada total 51|. Derivade do una función definida ¡mplfcitamento 5 t2. Derivadas parciais: : de diferentes ordene: : 5 i3. Superfícies de nivel. . . 514. Derlvada aiguiendo una dirección 5 i5. Gradiente . . . . . . . 5 i6. Fórmula do Taylor para una función de dos variables 5 17. Máximo-y minimo do una función do varias variables § i8. Máximo y mínimo de la función de varias variables relacionadas mediante ecuacienea dades (máximos y min¡- mos condicionados). . . . . . 5 t9. Obtención de una función a base de datos experimen- 'teles según el método do coach-adm minimos 5 20. Puntoe singulares de una curva Eloi-ciclos para ef capítulo VIII CAPITULO IX. APLICACIONES DEL CALCULO DIFERENCIAL A LA GEOMETRIA DEL ESPACIO 51. Ecuaciones de la curva en el espacio . . § 2. Limite y derivada do una función vectorial do un argumento escalar. Ecuuclón de la tangente n una curva. Ecuaeíón del plano normal . . ' 5 3. Re las de derívnción do lee vectores (funcionou vectorín es) - . 5 6. Derivadas primera y segunda de un vector response n la longitud del arco. curvatura de lo curva. Normal principal. Velocided y nceleración del punto durante el movimiento curvllinen . . 5 5. Plano osculador. Binorlnal. Tomión . 56. Plano tangente y normal a una superficie . Ejercicior para cl capitulo IX 212 211 279 286 290 296 301 307 318 323 337 340 347 350 365
  10. 10. vi Indl: : CAPITULO X. INTEGRAL INDBFINIDA § i. Funcíón primitiva e integral indefinida . . 372 52. Table de integrales . . . . . . . 375 53. Alguma propiedades de la integral indefinida . 377 § 4. Integración por cambio de variable o por sustitución 379 §5. lntegrales de cíerlas funcione: : que . contienen un trínomio cuadrado . . . . . . . 381 §6. lntegracíón por partes . . . . . 385 57. Fraccíones racionales. Fraccionea racionales ele- menwles y su íntegración . . . . . 388 § 8. Deacompmdción da la fracción racionnl en Íracciones simples . . . . . . . . . 392 §9. Integración de las fracciones racionales . . 397 § S0. Método de Ostrogradskí . . . . . 400 § H. Integrales de las funcione: : irrncionalos . . 403 s 12. lnlegrales del tipo SR (x. VuiT a: : + c) d: . 405 § t3. Integración de los hínomios diferenciam . . 408 § 14. Integración do ciertas clases do Íunciones trigo- nométrícas . . . . . . . . 4M 515. Integracíón de ciertns funciones írracionales con ayuda de sustítuciones trigonométrics. . . . 416 516. Funciona: : cuyas integrales no pueden axpresarse mediante las funcione: : elementales . . . . 418 Ejercicios para c! capítulo X CAPITULO Xl. INTEGRAL DEFINIDA § l. Plnmco dal problema. Sumas integrales inferior y superior . . . . . . . . 428 § 2. Integral deííníd' . . . . . . 430 53. Propíedndcs Íundamentales de la integral definida 437 54. Cálculo do 1a integral delinida. Fórmula do New- ton-Leibniz . . . . . . . . 41d §5. Sustltución de variable en una integral definida 445 § 6. ! ntegración por partes . . . . . 447 § 7. Integrales ímpropias . . . . . . 650 58. Cálculo aproximado de las integrales delinidas . 458 5 9. Fórmula de Chébishov . . . . ' 484 ' § i0. lntegrales dependientes de un parâmetro , . 469 § 11. ! ntegrnción de una función compleja de una varia- ble real. ' . . . . . . . 473 Eierctclo: para e¡ capítulo X l
  11. 11. Indice CAPITULO Xll. APLICACIONES GEOMETRICAS Y ? MECANICAS DE LA INTEGRAL DEFINIDA § t. Cálculos de áreas en coordenadas rectangularcs . § 2. Area de un sector curvilíneo en coordenadas polares § 3. Longitud de un arco de curva . . § 4. Cálculo del volumen do un cuerpo on función de las ¡íreas de seccionos paralelas . . . § 5. Volumen de un cuerpo do revolucíón . à 6. Area do un cuerpo de revolución . . . § 7. Cálculo del trabajo con ayuda de la integral definido § 8. Coordenadas del centro de gravedad . . . § 9._ Cálculo del momento de ínercía do una línea. deux¡ círculoyde un cilindro Inc-diante la integral definida Ejerclcios para el capítulo XII. lndlcc al/ abêtícu d( nzatcríns Indice 478 481 483 439 491 492 494 49o 500 503 509 513 vii
  12. 12. PREFACIO La presente obra es la primera versión al idioma español y le sírve do base la séptima edición en ruso. En esta versión el autor introdujo. una serie do suplementos y modiiicaciones que contríbuyen a la mejor asimílacíón del curso. Todo el curso está dividido en dos tomos: el primero incluye los capítulos I-XII; el segundo, XIII-XIX. . Los dos primer-os capitulos _del tomo I, «Númei-o, variable, Función» y cLímite. Continuidad de la función», están escritos en la forma más breve posible. Algunos problemas que habitualmente se analizan en relación con estas nociones. en el curso dado, sin perjudicar su comprensíón. se examinan en capitulos posteriores. Esto da la oportunidad de pasar, cuanto antes posible, al estudio de la noción principal de cálculo diferencial, la derivada, lo que requieren otras asignaturas de la, enseñanza superior (la experiencia pedagógica del autor dicta esta distribución del material). Con 'el fin de facilitar a los estudiantes la obtencíón de los cono- cimicntqs matemáticos necesarlos para el estudio de las disciplinas relacionadas con las máquinas calculadoras y sistemas automáticos (que se estudian actualmente en los centros de enseñanza técnica superior). en el segundo* tomo están detalladamente expuestos los si ientes temas: «Integración numérica de las ecuaciones dife- rencia es y de los sistemas de ecuaciones diferencialcs», aintegración de'ios sistemas de ecuacjones diierenciales lineales», «Noción de la teoria de la estabilidad de Liapunov», «Operador 'de Hamilton», «Integral de Fourier», etc. , En particular, se ha aumentado el número de problemas que se dan junto con sus soluciones; también se introdujeron varios problemas de elevada diiicultad cuya solución requiere el conocí- micnto más profundo sobre la materia. .Los problemas y ejemplos, como también sus soluciones, están elegidos para cada tema de tal forma que contribuyan a ia mejor comprensión del curso. circuns- tancia que además hace el libro mas cômodo para aquellas per- sonas que quieren estudiar las matemáticas individualmente y, en particular, para los estudiantes por correspondencia. ' En conclusión, expresso-mi profunda gratitud a la Editorial Mir por la traduccíón y poblícación de esta mi obra. N. PISKUNOV
  13. 13. CAPITULO I NIJMERO. VARIABLE. FUNCION § í. NÚMEROS REALES. REPRESENTACION DE NÚMEROS BEALES POR MEDIO DE PUNTOS EN EL EJB NUMERICO Uno de los conceptos fundementales de las matemáticas os el número. El concepto de número eurgíó en la aniígüedad, amplián- dose y generelízándoee con ei tiempo. Los números entems y ireccionerioe, tento positivos como nega- tivos. así como el número coro. ee llaman números ractonales. El número racional puede expresarse como la razón â de doe números enteros p y q. Por ejemploi 5 5 7 1,25=-ã-- En particular, el número entero p ee puede considerar como 1a razón de dos números autoras-ig . por ejemplo: 8_ _O GÉT, 0--1-. Los números racíoneles pueden representarem por Iraccíones periódicas íínitas o por indeünidae. Los números en forma de frac- ciones decímnles indeñnídeí_ no periódicae, se denominam números irracionales; por ejemplo, V2, V3, 5-1/2, etc. _La reuníón de los números racíoneles e írracionnlee se denomina conjunto de números realce. -Eetoe se ordenan según su magniiud, es decir, que para cualquier par de números males : c e y existe una correlación, y sólo une, do les aígniontee: z<y. $= =Ih I>llw Los números reales se pueden expresar por medio de puntos en el eje numérico. Se llama eje numérico a una recta infinita en 1a cual están determinados:
  14. 14. 8 Número. Varlable. función - un punto 0 que se denomina origen; - una dirección positiva que ee indice con una flecha; -- una escala para medir iongitndee. En general dispondremoe ei eje numérico eu posicíón horizontal, considerando positiva la dirección hacia le derecha del punto O (Origen). ' Si el número z, ea positivo, se represente por el unto M. . Este se aituará a 1a derecha del punto 0 a una distancia. M, = z. ; si el número z¡ ee negativo, estará representado por el punto M, Este estará situado a la izquierda del punto O. a una distancia 0M, == -1:, (ííg. 1). El punto 0 representa el número cero. Es evidente que cada N: 0 o M --f 128 Fig. t. X número real está representado por nn punto en el eje numérico. Doe números realce diferentes están representados en el eje por dos puntoe distintos. Ee decir, cada punto del eje numérico representa un solo número real, ya sea racional o irracional. Así pues, entre todos loe números realce y puntoe del eje numérico existe una correspondencia biunívoca: a cada número le corresponde un solo punto que lo representa en el eje numérico, y recíprocamente¡ a cada punto corresponde un eólo número. Entoncea, «número : n y «punto : no son sinónimos y así los utilizaremos en este manual. Aceptemoe, sin demoetración, esta importante propiedad del conjunto de números realee: entre dos números realce arbitrado: riem- pre ae pueden bailar números. tanto racionales como irractonales. En lenguaje geométrico esta propiedad ee anunciará así: entre dos puntos arbitrartos del eje numlrtco siempre podrán situam: pautas, tanto racionales como irraclonales. - Corno conclusíón, ennncíaremoe el siguiente teorema que nos servirá, en algun sentido, de cpuente entre la teoria y la prácticau Teorema. Todo número irracional a se puede ezpreaar con cual- quiet' grado de precislón por medio de números racionales. En efecto. siendo el número irracional a > O, calculamos a con un error no mayor de 71¡- ( por ejemplo, de : ñ , Tá¡ , etc. ) . Cualquiere que sea el número a, está comprendido entre dos números enteros consecutivos N y N + i. Dividamoe el segmento comprendído entre N y N + i en n partes, entonces el número a resultará comprendido entre los números racionalee N + É y
  15. 15. Valor absoluto dci número real 9 N +m+ 1 . Dado que la diferencia entre estos números es 1 , cada n n uno de ellos expresa a con un grado de precísión predeterminado: el primero por deiecto, y el eegtmdo por erceso. n] Ejemplo: El número irracional 'l/ Íi-ee expresa por medio de números racio n es: 1,4 y 1,5: con un error no mayor de à; 1,41, y 1,42: con error no mayor de É); 1,414 y 1,415: con un error no mayor de à. etc. 8 2. VALOR ABSOLUTO DEL NUMERO REAL Introduzcamos el concepto de valor absoluto del número real. Este concepto es imprescindible para continuar adelante. Deiinición. Un número real no negativo, que satisface las condi- cíones: lzl= z, ei z>0; | zI= -z, ei z<0. se Ilan? valor absoluto (o módulo) de un número real : c (su notación es lz . Ejernploa: |2I=2; [-5|= .5: |0|= =0. De la deiinición se deduce que para cualquier número z ee verifica la correlación z< Iz l. Examinemos algunas propiedades de los valores absolutos. l. E! valor absoluto de 1a. suma algebraíca de' varios números realce no es mayor que la suma de los valores absolutos de los armados: | z+y| <Íz| + lvl- Demostracióu. Sea z + y > O. Entonces: lz-i-yl~= =x+y<lzl+ lyliya quo z< lzley< lvl). Supongamos ahora que z+ y <0. Entonces: lz+rl= =~-(x+y)= (-x)+(-y)<Izl+lvl» como se trataba de demostrar. Este demostración se puede generalizar facilmente para cual- quier número de sumandos. Ejemplos: . | -2+3i<I~_2¡+|3|=2+3=5 ó 1.45; | -3-5¡›= ›l-3I+l-5|=8+5=8 u 84.8.
  16. 16. i0 Número. Variablc. Funciõn 2. El valor 'lbsoluto de la diferencia de dos números no cs menor' que la diferencia de los valores absolutos : lel minucndo y sustraeudo: |x-y| >|z| -lyi- Demoatracíõn. Supongamoe que z - y = z. Entonces : e = y + z, y según lo demostrado anteriormente, se tiene: lx| =|y+z| <|yI-i-lzI= =lyl+lx›yl. dedonde: - lxl-Iylélz-yl. como se tretaha de demostrar. 3. El valor absoluto del producto 'es iguçl al producto de los valores absolutos de los factores: . lxyzl= lzl Iyl Izl. 4. El valor absoluto del cociente es igual al contente de dividir cl valor absoluto del díuidendo por el del divisor: ___ : txt y m Las dos últimas propiedados provienen directamente de le defi- nición. de valor absoluto. ' x 5 3. MAGNITUDE VARIABLES Y CONSTANTES Al medir magnitudes físicas: tiempo, longitud, área, volumen. masa, velocidad, presión. temperatura, etc. . se obtienen sua valores numéricos. Las matemáticas tratan del estudio de las magnitudes. haciendo abstracción de su contenido concreto. Es por ello que, al hablar de' mngnitudee. tondnemos en cuenta. en lo sucesívo. sus valores numéricos. Hay fenómenos en que algunas magnitude: : van eambiando, cs decir, alterem su valor numérico y otras lo mantienen constante. Por ejemplo, en el movimiento uniforme de un punto varían el tiempo y la distancia, mientras 'que la velocídad permanece constante. Magnum! variable, o simplemente xrariable. es la que puede adquirir distintos valores numéricos. La megnltud. cuyo valor numérico no se altera, se denomina constante. En adelante, las variables se designarán con las letras, x, y. z, u . . . . etc. , y las mngnítudes constantes con las letras a. b» 0 - - 's 95°- Observación. En “matemáticas, la constante se considera con fre- cuencia como un caso particular de una magnítud variable cuyos valores numéricos son todos Iguales.
  17. 17. Campo de varlaciõn de la magntlud variable tl Conviene tener en cuenta que, en condiciones físicas concretas, una rnisma magnitud puede ser constante en un fenómeno y variable en otro. Por ejemplo, la velocidad en el movimiento unilorme es una magnitud constante y en el movimiento uniformemente acelerado, una magnitud variable. Las magnitude: : cuyo valor numérico permanece invariahle en cualquier fenómeno se denominan constantes absolutas. Por ejemplo, la razón dela longitud de la circunferencia y su diâmetro es una magnítud constante, llamada n s: : 3,141553. lilás edelante veremos que el concepto de variable es fundamental en 'el cálculodiferencial e integral. Federico Engels escriba en «Dia- léctica de la naturalezam «El punto de vlraje de las matemáticas fue la magnltud variable de Descartes. Esto introdujo en las matemá- ticas el movimiento y. con 61, la dialéctica ytambién, por tanto, y necesariamente. el cálculo diferencial e integral». § 4. CAMPO DE VARIACIQN DE LA MAGNITUD VABIABLE Una magnitud variable puede tomar diversos valores numéricos. según el problema que se considere, el conjunto de estos valores puede ser también diferente. Por ejemplo, la temperatura del agua, .al celentarla en condiciones normales, variará desde l5-18° C hasta Fig. 2. el punto dc ebullición; es decir, hasta í00° C. La variable z = = cos o puedo tomar todos los valores comprendidos entre-i y+1. Los valores de una magnitud variable se representou geométrica- mente por medio de puntos en el eje numérico. Por ejemplo; los valores de la variable z = cos o son representados por un _conjunto de puntos del segmento en el eje numérico, desde -1 hasta +1, íncluyendo estos puntos, para todos los valores de a (fig. 2). Definición. El conjunto de todos los valores numéricos de la. . magnítud variable' se denomina campo de turtactón de la variable. Determinemos los siguientes campos de variación de 1a variable que con irecuencimaparecerán más adelante.
  18. 18. i2 Número. variable. F unción Reciba el nombre de intervalo el conjunto deptodos los valores numéricos de : z comprendidos entre dos números dados a y b (a < b), a excepción de los extremos, es decir, a y b no entran en el conjunto analizado de números. La notación del intervalo es: (a, b) o, median- te las desigualdades, a < : c < b. El conjunto de todos los valores numéricos do x comprendidos entre los, números dados a y b, incluidos estos, es decir, a y b que e entran en el conjunto analizado se llama segmento. La notacíón del segmento es: la. bl, o, mediante las desigualdades, a ç z . g b. A veces el segmento recibe el nombre de intervalo cerrado. En el caso de que uno de los números, a o b (a. por ejemplo), se una al intervalo, y el otro no, se obtiena un intervalo semicerrado, que puede ser expresado por las desigualdades a 4;; x < b y cuya notación cela, b). Si-'se une al intervalo elnúmero b, excluyéndose a, se obtiene el intervalo semicerrado (a, bl, que puede expresarse por medio de las desigualdades A a<x<b. Si la variable : c adquicre todos los valores posibles. mayores que a, el intervalo se representa por (a, +oo) y se determina por las desigualdades convencionales . a<z<+°°- De esta misma manera se determínan los intervalos iniinitos y los infinitos aemicerrados, que son dados por las desigualdades convencionales: a<x<+oo; -oo<z<c; -oo<a: ~< c; -oo<x< +00. Ejemplo: El campo de varíeción dela variable x = aos a, ara cualesquiera valores de a, es un segmento [-1, i] que ao determina por as desigualdades -1 ç: g1. Las deiínioiones arriba citadas , pueden formularse también uti- lizando el concepto «punto» en lugar del concepto «númerom Por ejemplo: El conjunto de todos los puntos : c comprendidoa entre los pontos dados a y b (extremos del segmento). cuando estos pertenecen al conjunto considerado. se ! lama segmento. X0? X0 xo *6 s c Fig. 3. El intervalo arbitral-io (a, b) que contiene un punto dado xo, 88 decir. el intervalo (a, b) cuyos extremos satísfacen la condicióa a <xo < b. se denomina vectndad de este punto. Con irecuencia
  19. 19. Varloble ordenada. Varlable: crecicnte: y dccrecicntes. Kai-table atolado i3 ocurre que el intervalo (a, b) es considerado como vecindad (a, b) del punto x. en que : :o es el centro. En este caso, el punto t. , recibe el nombre de centro de la Lecindad; la magnitud bza so denomina radio de Ia Lrctndaã. La fig. 3 representa la vecindad (m, - e. :c + e) »del punto xo, cuyo radio es e. § 5. YARIABLE ORDENADA. VARIAB LES CRECÍENTES Y DECRECIENTES. VARIABLE ACOTADA Por convención, una variable x es ordenada, si se conoco su campo de variación y se puede precisar para cada par de sus valores, cual de ellos es anterior y cuál posterior. Aqui, los conceptos «anterior» y «posterior» no so hallnn relacionados con el tiempo, sírviendo sólo como el método de ordenación de los valores de Ia variable, es decir, el esteblecímiento de un cicrto orden para los valores correspon- dientes de esta variable. . La sucesiôn numérica as. . 2:2, x3, . . . , az¡ . . . . puede conside- rarse como caso particular de una variable ordenada, donde, eíendo k' < k, el valor : n.- es anterior y el valor x¡ posterior, sin dar impor- tancia cuál de estos dos valores sea mayor. . Deiiniclón i. La variable eedenomina creciente, s¡ cada su valor posterior es mayor que ol anterior. Por el contrario, sí cada valor posterior ea menor que e¡ anterior, la variable se denomina decre- ciente. Las variables crecientes y decrecíentes recíben el nombre de monótonas. Ejemplo'. Al duplicar el número de lados do un polígono re ar inscrito on un circulo, ol área . s de este polígono ea una variable creciente. i duplicamos el número do lados de un polígono regular circunscrito alrededor do un circulo. au área es una variable decreciente. Obsárvese que no toda variable ha do ser iorzosamente creciente o decreciente. Por ojomplo. la variable z: = sen c: no ea monótona, siendo a una magniiud creclente en el segmento [0.2n]. Esta crece, al principio. de O a i y disminuye después de i a -i. para luego crecer de nuevo de -i a O. " Deiinición 2. La variable : c se denomina magnitud acotada. , si existe un número constante M > 0 tal que, a partir 'de cíerto valor, todos los posteríows eatisfagan la condición. -Mgzçlm es decir, l: : I . QM. Es decir, una variable *se llama acotada, si se puede indicar un- segãmento í-M, M] tal que, a partir de cierto valor de la mísma, to os sus valores posteriores pertenezcan al segmento indicado. Sin embargo, no bay que pensar que la variable tome , necesariamente todos los valores del segmento Í-M, M). Por ejemplo. una variable
  20. 20. 14 Número. Vnriable. Funclón que toma diferentes valores racionales en el segmento [-2, 2], ea acotada. Sin embargo, esta no toma en este segmento valores irracionales. _ ' § 6. FUNCION Al estudiar diversos fenómenos de la naturaleza y resolver pro- blemas técnicos, y, por consiguiente, matemáticos, surge la necesidad de examinar la variación de una magnitud en dependencia de la veriación de otra. Por eiemplo, al estudiar el movimiento. el espacio recorrido se considera como una variable que cambia en dependencia de la variaciôn del tiempo. De este modo el espacio recorrido es íunciótíuiel tiempo. Veamos otro ciemplo. Es sabido que el área de un círculo se express por: Q = nR'. S¡ el radio R toma diversos valores numéri- cos. el área Q tomará también valores diferentes. Como vemos, la vsriacíón de una magnítud causa la variación de la otra. En el ejemplo citado. el área. Q es función del radio R. Establezcamos el concepto ciuncióm. Deiinición l. Si a cada valor de la variable x, perteneciente a cierto campo, le corresponde un 361o valor determinado de otra variable y. entonces ésta será función de x, y podemos escribir simbolicamente: ° v = f (t). v = o (x). etc- La variable a: se denomina variable independienle o argumento. La dependencia que existe entre las variables a: e y se llama jun- cional. La letra «j» que entra en la notación simbólica de una depen- dencia funcional y v: f (x) significa que han de realizarse ciertas operaciones con el valor : r para obtener el de y. En lugar de y = = f (x), u = tp(: r), etc. , a veces se emplea y = y (x). u = :: (2), etc. . es decir, las letras y. u, etc. . representou tanto variable dependiente. como simbolo del conjunto de operaciones que habrán de realizarse con x. La notación y = C, donde C es una constante, significa una función, cuvo valor es constante e igual a C, cualesquiera que sean los valores de x. Delinición 2. El conjunto de los valores de a: para los cuales se determinam los valores de la función y, en virtud de 1a ley f (z), se llama dominio de definition de la función. ' Ejemplo i. Ls función p = sen a: está definida para todos ! os valores do 2. Por lo tento. su dominio de delinición será el intervalo lnllnito: *0°«= <+oo. Observación i. Si existe una dependencia funcional entre dos variables s: e y = = f (x) y si esta: se consideran como variables orde-
  21. 21. Forma: de axa-presión de junclone: E 15 nadas. de los dosvnloms de 1a función y* = j (. z:*) e y** = I (xW). correspondientes a doa valores del argumento z* y 2'”, será_ poste- rior el valor de la función que corresponda al valor posterior del argumento. De aqui se deduce la siguiente defínicíón. Deliniciôn 3. La iunción y = j (z) se ! lama creciente, cuando a un mayor valor del argumento 2: corresponde nn mayor valor de la función. De modo -análogo se define la función decreciente. Ejemplo 2. Lu función' Q = all* ee creclente cuando 'O < R < + eo, puesto que a un valor mayor de R le corresponde un valor mayor de Q. Observación 2. A veces eu la delinícíón del concepto «función» se admite que a cada valor de x, perteneciente a un determinado cam- po, le corresponde no un sólo valor de y, sino varios valores, e, inclu- so un número infinito de valores. En este caso la función se denomina multííormc, a diferencia de la función definida anteriormente, y que lleva el nombre de función uniforme. En lo sucesivo tendremos en cuenta sólo las funciones uniformes. Si nos encontramos con una función multiforme haremos una indicación especial. 5 7. FORMAS EXPRESION DE FUNCIONES I. Forma tahular En este caso la anotacíón de los valores del argumento se efectúa en cierto orden: :cu x2, . . . 2,. . De la misma manera se escriben los valores correspondzentes de la función y, , yz, . . ., y". De este tipo son las tables de las ínnciones trigonométrícas, las do logaritmos, etc. Las tables que aeñelan la dependencia funcional_ que existe entre magnítudes medidas pueden aparecer también, .como 'resultado del estudio experimental de fenómenos. Por eiemplo, en una estación meteorológica, mídiendo en un día determinado ln temperatura del aire, se obtíene la siguiente table:
  22. 22. 15 Número. Variablc. función Valor de la temperatura T (cn grades) en función del tiempo t (en horas) Esta tabla determina T como función de t. II. Forma gráfica Dado en el plano del sistema de coordenadas rectangulares o car- tesianas un conjunto de los puntos M (x, y) tal ue ningún par da puntos se halla sobre una recta paralela al eje gy, podemos decir U y-tYx) X Fig. 4. que el conjunto mencionado determina una función uniforme y __= f (x). Las abscisas de los puntos constituyen los valores del argumento y las ordenadas correspondientes, los de la función (fig. 4). El conjunto de puntos del plano ($011). cuyas abscísas representar: valores de la variable independiente y las ordenadas, los valores correspondientes de la función, se [lama gráfica de la función dada. III. Forma analítica Primero expliquemos el concepto de «expression analítica». Se da el nombre de cxpresiõn analítica a la representaciõn simbólica de un conjunto de eiertas operaciones matemáticas que se realizan en una sucesión determinada con cifras y letras que designan mag- nitude: : constantes y variables. Se entiende por conjunto de opera- ciones matemáticas no sólo las operaciones elementales (adición, sustracciôn, extracción de raiz. etc. ), sino también las que iremos determinando a medida que avancemos en el curso. Ejemplos de expresión analítica son: loga: - sen : r 5334-1 ; Zx-VÀS-l-Sx, etc. xi-2;
  23. 23. Funciona: elcmcnlalcs lundamentrzlcs. Funciona-s elemcnlulcs i7 Si la dependencia funcional y = f (x) es tal que f designa una expresión analítica, se dice que la función y de z está expresada analíticamente. Ejemplos de funciones expresadas analítícamente son: l) y= :r'*-2;2)y= I+1;3)y= ]/1- 'Az 4) y= sen : t: . zâ--i 5) Q = - 11H”. etc. Aquí. las funcíones están expressadas analíticamente por medio dé una fórmula (se entiende por fórmula la ígualdad de dos expre- síones analíticas). En estos casos podemos hablar de dominio natural de deiínición de la función. g y-x* El dominio natural de dejiniciórz de una fun- ción expresada analíticamente se compone del conjunto de valores de a: para los cuales la ex- presión analítica, o segundo miembro de la igual- dad, adquiere nn valor determinado. Así, por ejemplo, como dominio natural de deiinicíón de la función y = at* «- 2 tendremos el inter- vale infinito -oo < : z: < +00, ya que la función está definida para todos los valores de . r. La fnn- o X ción y = está definida para todos los valo- res de z. menos para 2: = si, pues, este valor reduce el denominador a cero. Para la función y = V 1 - x5. el domínio natural de definíción está constituido por el segmento -1 ; gx g1, etc. Observaclón. A veces surge la necesidad de examinar no todo el dominio natural de definición de la función, sino parte de él. Así, la dependencia del área Q de un círculo de radio R se determina por la función Q = alii. .Al considerar esta fórmula geométrica aparece en calidad de dominio de definición el intervalo infinito O < R < +00, mientras que el domínio natural de definiclón de la función dada es el intervalo infinito -oo < R < +00. Si la función y = j (z) viene expresada analiticamente, puede representarse de manera gráfica en el plano de coordenadas xOy. Así. por ejemplo, la gráfica de la función y = 2:* es la parábola repre- sentada en la figura 5. - Fig. 5. § 8. QFUNCIONES ELEMENTALES FUNDAMENTALBS. FUNCIONES ELEMENTALES Las Iu-nciones elementales fundamentam expresadas analítica- mente son las síguíentes: 1. Función potencial: y = x4. donde a es un número real* *) siendo a un número irracional. esta función se calcula, tomando Ioga- ritmos y antilogaritmos: log y s: a log z, suponíendo : r > 0. 2 -534
  24. 24. 1a ' . Num. Vurlablc. Functôn II. Función exponencial: y = 11-', en la que a as un número positivo, diferente de la unidad. ' III. Functón logartunica: y = log. , : z: en la cual 1a base a es un numero positivo diierente do la nnidad. IV. Funciona: trigonoméüicas: y= aen 3. y= coaz. y= tgL _ y = cotg x, y = sec z, y = a cosec x. V. F unctones üígonomátricas inversa: y = arcsanxv y": &IOCOS-T. y a: RfCtgZ, ll = 000m8 I. !I = = 870580 I. y = arccosec 2:. Examinemos los dominios de definición y las gráficas de las íunciones elementales fundamentales. “melão potencial¡ y = :: ñ 1. o: ea un. número entero positivo. La función está definida en el intervalo iníinito -oo < x < +00. En este caso, para ciertos ! J gq. ; g1 x3 0-"7 Fig. 6. Fig. 1. valores de a las gráficas de la función toman las íon-mas que se expo- nenlen las figuras 6 y 7. 2. a es un número entero negativo. En este caso, 1a función está definida para todos los valores de 1:. excepto para : c r: O. Las gráficas dela función para cíertos valores de a se exponen en las figuras 8 y9. En las figuras 10, 11, 12 tenemoa las gráücas de le función poten- cial cuyos valores de o. son números racionales fraccíonaríos. Funciõn exponencial, y = ax. , a > O, a : ye i. Está función está definida para todos los valores de x. Su grá- fica está representada en las figuras 13 y 14. Función logarítmica, y = log, z, a > O, a : f: 1.
  25. 25. Fig. 8. Fig. 9.
  26. 26. 20 l Número. Von-table. función Esta función está definida para los valores de x > 0. Su gráfica ee : nuestra en la figura 15. Funciones trigonométricae. En ! as fórmulas = = sen z. etc. , la variable independíente z ee expresa en radianos. odas las funcione: : trigonométricas indicadas son periódicas: u Su definlción general es como signo: Deiínlción t. La función y = = j (z) se denomina periódica, si existe un nú- mero constante C' tal que, al sumarlo (o matado) al argumento z, el valor de la función no ee altere, f (x-i- C) , = f (z). El valor mínimo de este número cone- tante so denomina periodo de la hm- ción; en lo sncesivo io designaremos por 21. según la defínícíón, la función y = n8- *5- = sen : r ea periódica, cuyo 'período ea igual a 2a: sen z= sen (z-i-Zn). El período de cos z ea también igual a 2a. Del mismo modo, el período de lae funcionou y = tg: : e y = cotgx ea igual a n. Las funcione: y = = een x o y = cos a: están definidas para todos los valores de z. Las funcionea y = tg : c e y s: sec : c están definida¡ Fig. i7. en todos los pontos. excepto z = = (21: + 1) g- (k = 0, i. 2 . . . ): las funcionou y = cotg : e e y = cosec a: están definidas para todos ! os valores de . z, excepto para : c = kn (k = 0, 1, 2 . v. .). Las gráficas de las funciones trigonométricas se muestran en leo figuras 15-19. Más adelante examinar-emos detalhadamente las funcione: : trigonométricu lnvereas. e
  27. 27. Funciona: clzmcntalcs [undanu-nlulcs. Funciona. : elemento! " 21 Introduzcemos ahora el concepto de función de función. Si y es una función de u y u depende, a su vez, de una variable x, entonces, y también depende de x. ã o-q--a-c_ _ o-çg-_g na. . nuca- : :cc--ç- Fig. i8. Fig. 19. Si y = F (u) y u. :: - cp (x), 1a función y de x será: y = F [t9 (IM. Esta función se denomina función de función o / unción conzpltesta'. Ejemplo f. Seal y= sen u, u : z x'. La función y = sen (xi) es una fun- ción compuesta de z. Observación. El dominio de definíción de la función y = = F [tp (x)] está constituido por todo el dominio de la función u = q) (x), o bien por la parte do éste en que se deíinen los valores de u que no salgan fuera del domínio de la función F (u). Ejemplo 2. El dominio dela función y = Vi - x” (y - '1/ u, u = 'l -- x3) es e] segmento l-i, ll, ya que u <0 y fz] > f y, por lo tanto, la función 'Vu no está definida para estos valores de x (aunque ln función u a í - x¡ está definida para todos los valores de x). La gráfica de esta función se repre- senta como la mítad superior de la circunforencía cuyo centro coincide con el origen de copndenadas. siendo el radio de la mismo igual a la unidad. La operación «función de función» puede efectuarse no sólo una vez, sino cualquier número de veces. Por ejemplo, la función y '- ln (sen (x2 . + 1)l eo obtiene. efectunndo las siguientes operacio- nes (es decir, determinando las síguientes funcioues): vzf-i-i, u--senzn y= lnu. Definamos ahora el concepto de función elementai. (Definiciún 2. La función que puede ser dada por la fórmula de ia forma y = f(x), - donde el segundo miembro de la igualdad está compuesto de Iuncíones elementeles fundamentales y constantes, mediante un número finito de operaciones de adicíón, sustracción,
  28. 28. 22 N rf mero. Var-table. Pundón multiplicación, division y función de función, se llama función clcmcntal. De está definicián se dednce que las funciones expressadas anali- ticamente son funciones elementales. Ejemploe de las funcionais elemcntales son: 4 "' 2 Ejemplo de función no elemontal: yr: -2-3-. . u: : [y= [m] es una función no elemento! , dado que el numero do operaciones que deben efectuarse para calcular y ve aumentando n medida que erece n, ea decir, el número de operaciones cs infinito. ! li -i--t-à--p 0x2 x Fig. 20. Observaclón'. La función expuesta en la figura 20 es elemento) aunque viene expresada por dos fórmulas: f($)= $. 8í0<3<1;Í(I)=2$-1. Sí1<3<3- Es posible demostrar que esta función puede expresarse con une sola fórmula y = j (x), incluida entre las indicadas en la defini- ción 2. (tgéanse los eiemplos 139 al 144 de los eiercicios para el capitulo o § 9. PUNCIONES ALGEBRAICAS Son funciones algebraicas las funciones' elementeles siguíentes: l. Función racional cntera o polinomlo- yzagx" +a, x""+ . .. +a, ,, donde an, a. , . . . , a, son números constantes que llamamos coefi- cientes; n es un entero no negativo, llamado grado del polinomio. Evidentemente, la función indicada está definida para todos los valores de x, es decir, en un intervalo infinito. Eiemplos: Lya: ax+ b es une función 'lineaL Si b = 0. ls función' line-al r- a. : express ' dependencia proporcional de y respecto a x. Si a = 0, = = la función es constante. V y b 2: y = = ax* + bx + c, es una función cuadrática.
  29. 29. Funciona¡ algebrclco: ' 23 La gráfica de la función cuedrátlca una sardbola (fig. 21). Estas luncionee han sido estudladas detalla amante en el curso de geo- metria analítica. 9 a›0 9 a<0 ' ' o x (a) (b) Fig. 21 _ ll. Función racional fracclonaria. Esta función se expresa como la razón de dos polinomios: aor"+a. :c"'*+ +4:: _ botm+bgí -l+ . .. -I-bm Como ejemplo de una función racional fraccioneria puede servir g: : (b) Fig. 22 la función y u: É, que expresa una dependencia inversamente pro- porcional. Su gráfica se ! nuestra en la figura 22. Ee evidente que la función racional fraccíonaria está definida para todos los valores de x, excepto para aquellos que reducen el denominador a cero. Ill. Función irracional. Si en el segundo miembro de la igualdad y = j (z) se efectúan operaciones de adicíón, sustraccíón. multi- plicacíón, division y elevación a potencia, siendo los exponentes números racionalee, no enteros, la función de y eo dependencia de x se llama irracional. Son lrracionales las tncziones sigulentes: 2.z“+VÉ. V g y É Vê¡ etc- ví
  30. 30. 24 Número. Portable. Función Obsérvación i. No todas las funciones algebraicas están compran- didas en tres tipos de funciones mencionadas. Se denomina función algebraica cualquier función y = j (x) que satisfaga una ecuación de la forma Powy" + P. (r)y""+ -i-Puiz): 0. (1) donde, Po (x). P¡ (x), . . ., P, (x) son cíertos polinomios do x. Se puede dcmostrar que cada una de las funcíones que pertenece a los tres tipos mencionados satisface cierta ecuación de la iorma (i); pero no toda función que satisiega esta ecnación pertenecerá a alguna de los tres tipos denominados. Obscrvación 2. La función' que no es algebraica se llama transcendente. Son iunciones transcendentes: y-r-cosz; yr: 10", etc. § 10. SISTEMA DE COORDENÀDAS POLARES La posición de un punto en el plano se puede determinar por medio del sistema de coordenadas polares. Eiijamos en el plano un muito O. que llamaremos polo y uno recta o eje polar, que tiene su origen en e! punto 0. La posicíótrde H f' #v0 Fig. 23 un punto M en el plano se determina por dos números: p y qr. El primero indica la distancia del punto M al polo y el segundo. el valor del ângulo formado por el segmento OM con 'el eje polar. Para 'calcular el ângulo tp se considera positiva la dirección contraria ãiílaÉ' 'de las manecillas del reloj. Los números p y q) se denominan @ordenadas polares del punto M (fig. 23). ' l El radio vector p se considera siempre no negativo. Si el ângulo polar tp varia en los limites 0 é tp < 2:1, a cada punto del plano, 'a excepción del polo, le corresponde un par determinado de números pa» tp. En el polo, = 0 y q: puede tener cualquier valor. ' Determínemoe a . relación que _existe entre las coordenadas pola- iesvy las rectangulares o cnrtesianas. Supongnmos que el origen de coordenadas rectangulares coincide con el polo y lo dirección positiva del-eje 0x, con el eje polar. Venmos . ahora ja relación que existe entre las coordenadas cartesianas y las polares de un mismo punto.
  31. 31. Sisicmav de coordenadas polares 25 En 1a figura 24 ee ve: x= ~ pcoetp, y= psenoeinversamentep: Vea-py? tgp: : Observación. Determinando tp hay que tener en cuenta e] cuadran- te eu que se halla el punto y tomar el valor correspondiente de q). En el sistema de coordenadas polares la ecuación p = F (tp) determina una línea. Ejemplo i. En coordenadas polares¡ Ia ecuación p = a, donde a = = conat, determina una círcunierencia de radio o y centro en el polo. La ecuación xv-¡ooosç Fig. 24 Fig. 25 do la mismo circuniorencia (fig. 25) en ol sistema de coordenadas rcctangulares. trazado en la forma expuosta en la figura 24, será: 'l/ 'rhi-yüza ó 13+ 93-42. Ejemplo 2. pump. donde c= const. Veamos la table de valores de p para algunos valores de (p: 2nÃSnI4n p 0 w038i: ~i.57o¡a~. -2.36n zSJ/ ia anima w628i: &(2.561; a: 9,4?, a Fig. 26 Fig. 27
  32. 32. 26 Número. Vac-table. función La curva correspondlente se nuestra en la llgura 28 y se ! lama espiral de Arquímedea_ Ejemplo 3. p» - 2o cos cp. Esta es la ecuación de una circuníerencia de radio a y centro en el punto Pg=0 y tp=0. (fig. 27). Escribamos ln ecuación de esta círcuníerencia en coordenadas rectangularos. Poniondo eu esta ecuaclón p= 'V. -:5 -q-y? , costpa-s z : c ›T-----= , bl d : - *m2 e , 9 *-2a= =0. Vltky: o cn temos 'Itá-y avgñç? ,oaa : +9 Ejerciclos para el capítulo I l. ; Dada ln función ; (2) = z* + 6x - 4. Comprobar que [(1) 3, i (3) -^' 23. 2. flar). - rz-i-i. Calcular los valores: -'. R : T.b . :8. 1.3.1 : à 4¡- ÊÍÍ-c- 2g. : pã)e$¡t'a(a)1-7[- 1.) cfsmtazltgprsé? e) 1:19'. (zãpuzrstazezzufêjtç. | I) ll (QP. Rcspucsta: a* + 2a? + 1. g) [(20). Rcspucsta: 1m -r 1 3- m(x)=3': ;15. Escrlbir las expresionos: y (pa) - 3651004510; qwi): 'l-z _ i =8z+5 . c 34-52' q›(x) i-z ' ã. ú(: )=: ]:: a2+4_ Escçibaum [as exprcsígnes vp (222) y @(0). Respuuto: ~H2I)-=2V: a+1; tp(0)=2. m0) 5. [(0)-= tg B. Comprobar la lgunldad [(2B)= . 1-2 _ , a-ê-b 6. tp(. z)= |og.1+1_. Comprobar la ¡gualdad Ç(a)+q›(b)= t;> o 7. [(2) -= log z; cp (17 = ' x3. Escrxbir las expreswnes: a) flqv (2)). Rc: - puesla: 3 lo 2. b); (q) (a) . Respuutc: 3 log a. c) cp li (an. Rçspzccsta: N02 a1 › 8. Hal ar ol omínío natural de defínícióx¡ de la Eunuón y '-' 2124-1- Rcspuesta: - eo < z < -f- co. 9. I-lallar los dominios nulurálca de detínlcíón de lns Iuncioncs: ü) VI-zl Respucsla: -^| ~<x<+1. b) VB-I-. r-i-Vá 7-1. Rc-? PU-Í-âtd¡ -3<x~§7. c) 1' : +a-§. "z-b. Rcspucsla: -oo<z<+oa d) : _“_: . Rzspuula: a: :j: a. e) arcsen? x. Rcspuesta: -ígzçt f) y-. logz. Rapaz-sta: z > 0. g) y = a== (a > O). Respucsla: -co (x (+00. Construir las. gráficas do las iuncíonca: 1o. y= -3x, +5. u. 952794-1. 12. y=3-2I2. 13. yuz3+2z--i. a m. ynxq. 15. y-zscnlz. i6. y= cos3z.17.y7r-I°'*4=-$-6. 13. prá¡ . 1 1 19. y : sen (z-f-É) . 20. y= cos (ar-Jg) . 21. uv tg-íz. 22. y= colgín 23. y=3=. 24. y -zm. 25. g-: Iogg-g. 2a. y= z3+1. 27. uma-N.
  33. 33. .. l 2 l l 1 . 33. y= :§. 28. y= -¡, _-, -. 29. pus-rd. 3o. 11:34. 31. H3. a2. p: : 34. 3:14. 35. yalogzld. so. y= logg(1-z). 37. y=3sen(2z+g. ). 38. vymácoatz-f-là) . 39. La función l (z) está definida en el segmento (-1: t] del modo siguiente: /(: )=i+z para -i-çzçO; f(x)--í--2: para 042-(1. 40. La función / (z) está definida en el segmento (O: 2] del modo siguiente: I(z)= :z3 para Ogzái; [(1) : :z para igxáz. Construir las qurvas dadas por ecuacíonee polares: 41. p= n -â- (espiral híperhólica). 42. p= =a° (espiral logarítmicn). 43. p": : - a' Vcos Zqz (lemnlscata). 44. p= a (i -cos (p) (cardloide). 45. p: a sen 3m. Efe-rateio: para e¡ capítulo I 27
  34. 34. CAPITULO II LIMITE. CONTINUTDAD DE LA FUNCION 5 l. LIMITE 'DE LA MAG NITUD- VARÍABLE. VARIABLE A] NF] NITAME NTE GRANDE En este párraio trataremos de las magnitudes ordenadas que varían de un modo especial, determinado por la expresión «la arie- ble tíende a nn limite». A continueción el concepto de limite de la variable desempeñará un papel iundamental ya que con él están relacionados los conceptos iundamentaies del análisis matemático¡ derivada, integral, etc. Deiinición i. El número constante a se denomina limite de la variable . r, sí para cualquier número iniinítcsimal positivo e pre- iijado. se puede indicar tal valor de la variable x, a partir dei cual todos los valores posteriores de la misma satisiacen la desigualdad | :z: -a| <e. S¡ el número a es el limite de la variable . r. se dice que : r tiende a¡ limite a; su notación es: z-›-aólímx: a. En términos geométricos la dciinición de limite puede enunciar-se así: el número constante a es el limite de la variable x, si para cual¡ quiere vecindad iniinitesimai preiíjada de radio e y centro an el punto a. existo un valor de a: tal que todos los puntos correspondiam- tes a los valores posteriores de la xvariable se encuentren dentro de la mismo vecindad (fig. 28). Examínemos algunos ejemplos de variables que tienden al limite. Ejemiplo i. Le riariable z toma sucesivamente los valores x¡= 'i+i'. 1 1'2=l+-2-ÇI3tn1+-3-í . ..:1'n-'= '= +7:: .. . Comprobemos que esta variable tiene por limite la unided. Tencmos: | z,¡-il-= ¡(1-¡--Íl-)-1|m-à- .
  35. 35. Limite de la- magnum! raariable. IVrrlabla infinitamente grande 29 Para cualquier e todos los valores posteriores de la variable, a partir de n. donde -É-(c ó n >-Ê-, satlsiacen la desigualdad [za-il (e. que ea lo que se trataba de demostrar. Observamos que. en este caso, la variable tiende al Ilmite dccreciendo nl mismo tiempo. Ejemplo 2. La variable a: toma sucessivamente los valores l. “l Í. 3¡=4--§-3 I2=Í+Q7F 3a= '¡"§5-¡ : nei-hà: .. .; run= =l+(-1)"--' El limite de esta variable ea ln unidad. En efecto, i i | =n-1|›= , (1+(-1›~-_, ¡)-4]=57,- Para cualquier e. a partir de n, que satisface la correlación -2-1,¡-< e, y de la cual se deduee que i log ¡- í 1 2n>? , ó n>T6-g-2-, todos loà valores posteriores de a: satlslarán Ia correlaclón lzrr-'Í | < 3- En el ouço considerado la variable tiende al limite @oscilando alrededor derób, es decir, tomando va ares unas veces mayor-es y otras. menores que éste. 2a o' a c x-al J Fig. 28 Observación i. En el capítulo i, §3, se ha indicado que la magnitud constante c se considera irecuentemente como una variable cuyos valores son siempre iguales: a: = c. Ea evidente que el limite de la constante será igual a la mlsma constante, dado que siempre se cumple la desiçualdad lx -- cl = = lc - c 1 = = 0 < e, lndependientemente del valor que tanga e. Observación 2. De la deiinición de limita se deduce que una magnitud variable no puede tener dos limites. En efecto, si lim a: r = = a y lim z = b (a < b). entonces z debe satisfacer las dos desí- gualdades almultáneamente: fa: - [a < e y lx - b l< 3 SÍGDÕO 8 5:** (fig. 29). arbitrariamente poqueño, pero esta es imposíble, si e <
  36. 36. 30 Limite. Contlnuldad de ! a función Observaciõn 3. No toda variable tiene limite. Supongamos 'que la variable a: toma sucesivamente los siguiente: valores: l 1 1 . l $¡= í; 1': _›'%í-Z'; I3=-8-; ... ; Í2k%i-I---' 1 I2a+a= = É (iig. 30). Siendo k lmsuiicicntemente grande, el valor : ru y todos los valores posteriores, de subindices pares, se diferenciar-á: : de la unidad en una cantidad tan pequeña como se quiere. mientras que Ix-al 4': , x3 X2 *i a a a Í 2 _ 2 5 c( b a 5 Fig. 29 Fig. 30 el valor siguiente xgH, y todos los valores posteriores de x, de subin- dices ímpares. irán diforenciándose de cero en una cantidad tan pequeñn como se desce. Por tanto, la variable : c no tiende al limite. En la definición de limite se indica que si una variable tíende al limite a, éste debe ser un número constante. Pero el concepto «tiende» se usa también para caracterizar otro tipo de variación de la variable, como veremos en la deiinición que sigue. Deiinicíõn 2. La variable a: tíendc al infinito, si para. cualquier numero positivo M preiijado se puede elegir un valor de x tal que, a partir de é¡ todos los valores posteriores de la variable satisiagan la desigualdad | .z: |> M. La variable : r: que ticnde al inliníto, se denomina infinitamente grande y esta tendencia sc express asi: az-›- oo. Ejcmplo 3. La variable x que toma los valores: I' seu; ooo es infinitamente grande, a que ara cualquier valor de M' >O todos los valores de la variable. a partir e uno o ellos. sonmayores en valor absoluto que M. La variable a: «tiende al infinito con signo emás», x~+ +00, si ¡l! es un número positivo cualquier: : de tal manera que. a partir de cierto valor, todos los valores posteriores de la variable . sastifagan la desi- gualdnd M< z. Como cjemplo de una variable que tionda al infinito con signo imãs» puede servir ln variable x que toma los valores z¡ = i, z¡ = 2, . . . , r. . = n.
  37. 37. uma; da 1a función 3¡ Le variable: tiende al lnífinlto con signo menos¡ 3-» . .. ao, sl M ea un número Qoaltlvo cualquier: de ul manera ue todos¡ los valores eueeelvoe : le la variable. e unir de alguno de ellos. eu' ngm la deaignaldad a < - M. Por ejemplo, varlgble s. que toma los valores c¡ a _ 1, g¡ = . -z, , , _ . .,z. -=-n. ... ,tIendea-oo. . l 2. LIMITE DB LA PUNCION Examínemoe algunos casos de variación de una función cuando el argumento x tiende a un limite a o al infinito. Deilniclón l. Supongamos que la función y = f (x) está definida en determinada vecindad del unto a o en ciertos pontos de la mismo. La función y = f (x) tic al limite b (y -› b) cuando a: ttendo a a (x -›- a), ai para cada número positivo e, por pequeño que éste sea. es posible indicar un número positivo õ ta] que para todos los valores de z, diferentes de a, que satíefacen la desigualdad' l x - a l < ó, se g verificará la deaigualdad: M lf(x›1bl<e- . ' b Si b es el limite de la función b-e I (x), cuando : c -›- a, su notaclón es: lim Hz): : '50 o bien f (c) -›- b, cuando a: -› a. Si f(z)-›b. cuando z-›a. a a', a a' entonces en la gráfica de la función p¡'_ 3¡ y = f(.1;) esto se interpreta eai (fig. 31): puesto que de la desígualdad ¡z-a l<ô se deduce l/ (z) - b l< e. entonces. todos los puntos M en 1a gráfica de la función y = = f (x), correspondíentes a los punto: : : c que se encuentran a una distancia no mayor que õ del punto a, se localizar? dentro de una banda de ancho 2a, limitada por laa rectas y= › -e ey= b+e. Observaclón t. El limite de la función 10:), cuando z-Hz, se puede definir también del modo siguiente. ' °) Aqui se tienen en considerncíón aquollos valores de . t que. satlsfeclondo la deal aldnd | z - a | < õ. perteneccn al dominio de definición de la lun- clón. n adelante. consideraciones de este tipo les encontraremos con frecuen- cia. Así. al examinar la variación do una función. cuando z -o- oo, puedo ocurrlr que la función está definida sólo para valores enteroa y positivos de z. Por consl lente, cn este caso z : lenda al lnlinlto. tomando sólo valores cnteros posit vos. En lo sucesivo prescindiremoa de explicacionee de este tipo.
  38. 38. lt! Limite. Conllnuldud dc la función Supongamos que la variable z está ordenada de tal manera que si lx* -a| > lx** -a | , entonces. z** es valor posterior. y 1*, el anterior. Pero ai |5:'-a| =|. -r" -aly E' < 3'", entonces z** será el valor posterior y 1*, cl anterior. En otras palabras, de los dos puntos en el eje numérico. será posterior el que este más cerca del punto a; si son equidístantes será posterior el que se encuentro a la derecho del punto a. Supongamos que la variable r. ordenada del modo indicado, tiende al limite a [z -›- o b lim . z = a). Examinemos ahora 1a variable y 2- [(2). En este caso y eo lo sucesivo consideraremos que de dos valores de la función, posterior será el que corresponda al valor posterior del argumento. 'Si la variable g¡ deiinida del modo indicado, tiende a un limite b, cuando z tlende u a, escribíremos: lím = '. b. 8*! ! En este caso diremos que la función y c; f (z) tionde al limite b. cuando z-›~ a. Es fácil demostrar que las dos dcliniciones de limite de la iunción son equivalentes. Observación 2. S¡ l (z) tiende al limite b” cuando z tieude a clerto número a de modo que z toma sólo valores inferiores a éste, su notación es lim] (z) = b. , siendo g . r-m-O b, el limite. - de lajururiõn/ (z) en elpunlo a «por la izquierda». En caso de que z tome sólo valores mayor-es que a. la notación será lim I (z) = bz, siendo r-«H-n b; el limite de la función en el punto a «por la derecha» (fig. 32). Se puede dez-mostrar que. si ! os li- mites «por la izquierda» y «por la derecho» exísten y son iguales, es decir. F18- 32 _ si b, = 3 = b, entonces b será el limite de esta función en el punto o en el sentido que acabamos de exponer. Y reciprocamente. si existe el limite b de la función eu el punto a, existen también limites de la función en el punto a «por la derecho» y «por la izqoierda» que son igualar. X
  39. 39. Limite dr la función 33 Elemplo 1. Domostrumoa quo lim_ (3: + l) = 7. En GÍUCIO. :eupongumos I-o. . que está dado snrbitrlsriomcnle t: ', :- 0; para¡ que : w cumplu lu dosígunldnd | (31 --l- Í) -7 l < 6, es necesario que seun cumplldaaa luz. clvsigtnuldndes siguienles: Hn4H<L u-2¡<§, __§<: _2<â_ De este Inodo. cunlquiern que sea e. para todos los 'calou-a' de z quu satisfa- gun lu desiguulnlud | .r _ 2 | 4-; -g- 4 ó. El valor de la Íuncíón 3: + l se dilerenclnrá de 7 eu um¡ magnílud menor que a. lista» significa que 7 os el líml- te dv lu función cuundu . r -› 2. Observncíón 3. Para que exista el limite de la función¡ cuando : r -› a, no es necesario que la función está definida en el punto x -« a. Cuando se busca el limite. se examinan los valores de la función. diferentes de a. en Ia vecindnd del punto a. Exnminemos el ejemplo siguiente. :1--4 Ejcmpln 2. Deunuslremm que lím I í: â. .r~v'. ! _ . .. :'-'-4'n . . , Aqua lu luucnos¡ - , ,- nu esta dvllundzu vn r¡ ¡mnlu r . l. x» . . Es IIBCGSÍIÍÍO ¡lt-umñlranr que, siendo e un nfmwru» cualquier: : : arhilrarim se c-tnromrnrz¡ tal ô que . w cumplu lu dc-siglnnldud ¡Í: ; s<h (n a condicíón de que | x - 2 | - ñ. l'n~rocu. mdu› z 4': 2. lu cll-sigtnnldxxd (l) os equi- vnlc-nlt' u: __ 'í 'J i ('_§)-_'-: J_“ímz u: L 2)-'a| <r. (I IJ-lll-: L (2) Aa¡ puxou. &ÍNIÚU e' arbitrarlu. I. : dl-. sigcnululucl (l) . w vl-riíicarai, .si . w. cumplu ln deslgunldnd (2) (aqui. h r). _ Esto : ugnnhcu que lu luna-um (Lulu ! iu-m- pur lmuu- ul : numero 4. cuando . t -~ ". Exnmíuemos algunos vasos de variación dc la función. cuando . r ~› co. Definicíón 2. La / unción f (I) ticnde al limite b cuando . z -› oo. sí para cualquier número positivo e urhitrarianlente pequeño existe un número positivo A" ml que para todos lu: : valores do . z que satis- Íacen In desigualdad | .r l Í* se vumpln ln designaldad IlU)-b| <e- lâjemplo 3. l)vllu›. «lrt'lnuá que lim (Ii 1) l. o ! nen lim (l 1. x -1. 4' t-oaa
  40. 40. 34 Limite. Contlruddad dc la [unclõn Para ello os necesario demonstrar que siendo e un número nrbjtrario sc cum- plírn la desígualdad | (1-l--: -)-| |<e. (3) siempre que | z| >N, depondiendo N de la elección de a. La doeigueldad (3) es equivalente a otra: -1- (e, que se cumplírá , . a condíción da que ~ tn>%= M em significa que lim (1+i)-_-um ? Jim (fig. 33). x-eo 5' : neo 3 V! - - * Z 1 i * P r-vxznu- Fig. 38 Conociendo el sentido de los símbolos z-›- -I-oo y z-›- -oo, es evidente el significado de las expresiones: e¡ (z) tiende a b cuando : :z-i- +00» y «f (x) tíende a b cuando : t-D- -oo», lee cuales simbólícamente se escriben así: Hm mf (z) = = b, lim ! (1) = b. x-›+ z-h-m § 3. FUNCION QUE TIENDE AL INFINITO. FUNCIONES ACOTADAS Hemos examinado los casos en los que la función ! (32) tiende a cierto limite b, cuando x-›- a 6 : c -› oo. Examinemos ahora el caso cuando la función y = = I (x) tiende a1 inlinito. para una determinada forma de variación del argumento. Dellnlclón í, La función f (z) tiende al infinito cuando z: -» a. es decir, es una magnitud infinitamente grande cuando : n-›-a. si' para cualquier número positivo M. por grande que sea, existe un valor ô > 0 tal que para todos los valores de a: diíerentes de a y que satiaiacen la condiciõn lx- a | <ô. se cumpla la desígualdad li (I) | > M
  41. 41. Funclón que Mende nl Infinito. Funciona ocotadar. 35 Si j (z) tiende a] infinito cuando . r-ó- a. se escriba lim f (z) = = oo 2*! ) 6 f (m) -› oo cuando z-w a. Si f (z) tíande al infinito, cuando : ze-i- a. tomando sólo valores positivos, o bien sólo negativos, se escriba, respectivamente: mf(z)= +oo ó limf(: r)= -oo. I'M¡ S-PO i . Ejemplo 1. Demostremoe que E): at? ? En efecto, para cualquier M >0 tenemos: 4 (i-z)5 >M' É' "Fac siempre que: (t-z›= <¡¡', -. | t-: =I<-'--= o. VM La función (112): toma sólo valores positivos (fig. 34). !l ! IA M ó' 0 x Fig. S# Fig. 35 Ejcrnplo 2. Demostremos que un: aco. En efecto¡ pan cual- 9+ quiet M >0 tentamos: 1 l *í l N" siempre que: I=1=Iz-0 1<-¡f-, -~= o. Aqui >O, para : :(0 y <0. para x>0 (fig. 35).
  42. 42. 36 Limite. Continuidad de la función Si Ia función ! (35) tienda al infinito cuando z»- oo. se escriba: lím = =- oo, ; chá y, en particular, puede suceder: lim f(. z:)s= oo, lím f(. r=oo, lim f(: c)= =:-co. g-o--f-eo . ;non-oo : -O-+& Por ejemplo, lím 12:4- co, lím a? =_oo, etc. x-roo g-o-eo Observaclón i. No ea forzoso . que la función y = j (z) tienda a un limite finito o al infinito, cuando x-› a o : r-›- oo. Ejemplo à. La función y = sen z. deiinida en el intervalo ilimitado - oo <z < + co, cuando a: -›. co. no tiende a un limite finito, n¡ nl infinito (fig. 36). 9 g-senx Flg. 36 Ejemplo 6. La función y= sen é, definida para todos los valores da . t. “cepa, 3 2.' Q, _no tiende a un _limite finito. n¡ tam _ co ol inlinito, cuando x »0. La grafica de esta funcion se expono on la 1g. 37. Fig. 37 Deiiniciõn 2. La función y = j (x) sc denomina acotada en el dominio dado de variación del argumento x, si existe un número positivo M tal que para todos los valores de : r pertonecientes al domínio considerado se cumpia la desígnaldad | i (x)_| < M. Si el número M . no existe, se dice que la función f (x) no _testa anotada cn el domínio dado.
  43. 43. Funclón que Mende a! Infinito. Funciona: ocotodas. 37 Eicmplo .5. La función y = sen z, definida en cl intervalo 'infinito - oo < z < -l- oo, ea luna función acotada, dado que para todos los valores de z se verifica: | senzl<lrzñh Deiinición 3. La función j (z) se. denomina acotada, cuando : c-›- a, si existe una vecindad con centro en el punto a. en la cual dicha función está acotada. Deiinición 4. La función y = j (z) se denomina acoiada, cuando 3-» eo, s¡ existe un número N > 0 tal que para todos los valores de z que satisfacen 1a desígualdad Ia: |> N, 1a función f(z) está acotada. El problema del acotamiento de la función que tlende a un limite se resuelve por medio del siguiente teorema. Teorema i. Si lim f(: r) = = b, siendo b un número finito, la I-üll función f (x) está anotada cuando x -» a. Demostraciõn. De la igualdad lim f (x) = = b se deduce que para 8-00 cualquier e > 0 se encontrará un número ô tal que eu la vecindad a - ô < a: < a -I- ô se cumpla la desigualdad ÍÍ(3)-bl<e lf(x)l<lbi+e. Esto significa que la función j (x) está acotada, cuando . z-›- a. Observación 2. De 1a definíción de función acotada ! (2) ea deduce que s¡ o sea, lim i(: z)= oo ó lim j(2:). =›oo, ##0 X""” L--- . iq-n- c-sn___ . .-: qu:
  44. 44. 38 Limite. Continuidad de la lunciõn ea decir, si j (x) ea iníinitamente grande, esta iunciôn no está racotada. La notación recíproca no es cícrta: es decir, que una función no acotada puede no ser iniinitamente grande. . Por ejemplo, la función y . - z sen z, cuando z-›-_oo no está anotada, ya que para cualquier M > 0 se pueden encontrar valores do z tales que | z een z I> M. Pero la función y = a: sen z no es infinitamente grande, pues se reduce a cero. cuando x = - 0, . n. 2:1: . . La gráfica de la función y = z sen z está expuesta en 1a fig. 38. 1. Teorema 2. Si 13.13/ (z) - b ai: O, Ia función y - 7-67) está acotada, cuando z --» a. Demostración. De la hipótesis del teorema se deduce que para cualquier g> O arbitrario, en cierta vecinded de] punto a: = a tendremos: |](x)-b | <e, ó | I/(x)l-IbII<c, ó -e< <| f(r)-l- | bl<e 6 Ibi-8<i/ (I) I<| bi-i-e. De las últimas desigualdades se deduce: 1 1 í IbI-e> ma¡ >IbI+a' Al tomar, por ejemplo, e = ;õ l b I, tenemos 10 i 10 -- > >--- . 9|b| lf(x>i íílbl lo que significa que la función está acotada. í (I) § 4. INFINITESIMÀLES Y SUS PRINCÍPALES PROPÍEDADES Examinemos en este párraio las iunciones que tienden a cero. para cierto modo de variación del argumento. Deiínición. La función a : - a(z) se denomina infinitamente pequeña (injinízesimal), cuando : r-»a o cuando z-›- oo, si lím a (z) -- 0 ó lim a(z)= .0. DWG S-Oco De 1a deíinición de limite se deduce que si, por ejemplo, lim a (z) 2 0, esto significa que. para cualquier número positivo : Wal e preiijado y arbitrariamente pequeño. se encontrará õ >0 tal que para todos los z que satísiacen la' condícíón | z -- a i< õ, se veriiiquo la condícíón l u (z) | < e. E'emplo 1. Lu lunción aaa-u¡ es infinitamente pequeña, cuando z-*à dado que lima: lím(z- lF= =0 (iig. 39). x-bl. r-vl
  45. 45. In/ iniiesimalcr y tua principales propiedaden 39 Ejernplo 2. La función cre-â- es infinitamente pequeña. cuando z-»co (ííg. 40) (véase el ejemplo 3 en el § 2). e did Fig. 39 Fig. 40 Tendrá mucha importancia en adelante la correlación siguiente: Teorema t. Si la función y = I (z) puede _ser representada como suma del número conalante b y la magnitud infinitamente pequeña a. : v= =b+a. (1) limy: : b (cuando z-ra 6 : z-›. oo). Recíprocamente, si lím y = › b, se puede escribir y e: b + a, donde a es ana nzagnitud infinitamente pegueíía. Demoatrnclón. De 1a igualdad (1) se deduce que I y - b | = z: l a il. Pero cuando e ea arbítrarío todos los valores de a, a partir de' uno de ellos. satísiacen 1a desigualdad | a* l < e; entonces, para todos los valores de y, a partir de alguna de ellos. se cumplírá 1a deaigualdad l y - b I < e, lo que significa que lím y = =' b. Recíprocamente: e¡ lim y = b. entonces. para a arbítrario para todos los valores de y, a partir de uno de ellos, ae verificará la desí- gualdad ly - b l < e. Pero, sí desígnamos y - b = a, entonces, para todos los valores de a, a partir de alguno- de ellos, tendremos la J< e, lo que significa que a es una magnitud iníinítamente pequeña. Ejomplo 3. Dada la Íunclón y=1+l (fig. 41), es evidente que Z . XM-W Reclprocamente. s¡ lim«y. -=i, la variable y puede ser representada como #040 se tiene que suma de¡ limite i y la inlinitosirnal aa-â. es decir. yc= i+a. . Teorema 2. Si a = a. (x) tiende a cero, _cuando : it-e- a (o cuando x -›- oo), sin reducirse a cero. se tendrâ que y = = -â- tlende ai infinito.
  46. 46. 40 Limite. Continuidad de ia función Demostraclón. Por grande que sea M > O. se cumplirá 1a desi- gualdad í-É-l >M. siempre que se cumpla ! a I<âu La última desigualdad se cumplirá para todos los valores de a, a partir do alguna do ellos, puesto quo a (z) -›- O. Teorema 3. La suma algcbraica de dos. tres o un número determi- nado de infinitestmales es una función infinitamente pequena. Fig. 41 Demostracíón. Nos limitaremos a dos sumandos. ya que Ia demostraciôn es análoga para cualquier número de ellos. Supongamos que u (.12) = a (x) + B (x), donde lím a (x) = O X-VU y lím p (x) = O. Dcmostrennos que para cualquier e > O tan pequeño 2-56 como se quiere, se encontrará 6 > 0 ta! que, a1 satisiacer 1a desigual- dad Ia: - a | < ô, se verifique I u I< e. Puesto que a (x) es. una magnitud iniitamente pequeña se encontrará ô ta] que en la vecíndad de radio ô¡ y centro ubicado en el punto a, se verificará, también, I a (x) I < Puesto que B (a) es una magnítud infinitamente pequena, en la vecindad del punto a de radio ôz tendremos l fi (a) | < -ân Tomamos ô igual a 1a menor de las magnitudes ô. y ôg. Eutonces, en . la vecindad del punto a de radio ô se cumplírán las desigualdades Ia| <-§; !BI<3 2 . Por tanto. en esta vecindad tendremos: rua= ¡a(x›+n<z›: <¡a<x›¡ +m<x›1<-§+§= e. os decir, lu l< e. lo que se trataba de demostrar.
  47. 47. Infintteatmalcs y su: principales propicdadca 41 De un modo análogo se demuestra ol caso: lim a(: z:)=0, lím B(: c)=0. : ppm : nof Observaclõn. En lo aucesivo tendremos que examinar las sumaa de magnitudes infinitamente pequenas en las que. al ir disminuyendo cada sumando. Vaya crecíendo el número de estos. En este caso el teorema puede no ser válido. 1 1 1 Examinemos, por ejemplo, ua-E--i-É--i- . . . +7; , donde . z í-Iínuw zanmandos toma sólo valores enteros positivos (z = 1, 2, 3, . . . . n . . . ). Es evidente que cada sumando, cuando : z-›- oo, es una magnitud infinitamente pequeña, sin que lo sea la suma u = 1. Teorema 4. El producto de una función infinitamente pequena a = a (x) por unafunción acotadaz = = z (a), cuando: -›- a (ó : c -›- oo). cs una magnitud (función) infinitamente pequena. Demostración. Demostremos el teorema para el caso en que : c-› a. Dado un número M >0, se encontrará tal vecíndad del punto z' = a en la que se verificará la desigualdad Iz l < M. Para cualquier e > O se encontrará una vecindad en la que se cumplirá la desígualdad l u | < 387-. En la menor de estas dos vccindades se cumplirá la desigualdad ¡az¡<¡$¡n¡. -_~. e. Esto quiere decir que az es una magnítud infinitamente pequena. Para el caso de 35-9-00, . la demostracíón se efectúa de modo análogo. Del teorema demostrado se deducen dos corolarios. Corolarlo i. Si lím a = 0 y lim ti = O, entonces lím ap = 0, puesto que B_(z) es una magnitud acotada. Esto se cumple para cualquier número finito de factores. Corolario 2. Si lim a = = 0 y c = const. entonces lim ca 4 O. @(21) z(x) infinitamente pequcfia a (x) por una función, cuyo limite es diferente de cero, cs una magnitud infinitamente pequena. Demostracióan. Supongamos que' lím a (z) r: 0 y lim z (x) = = Teorema 5. El cociente de la división de una magnitud = b se 0. Basándose en el teorema 2, § 3 se deduce que cs una z (a)
  48. 48. 42 Limite. Continuidad de la función magnitud acotada. Por consiguiente, la fracción já? ? = a (z) ; ía es el producto de una magnitud infinitamente pequeña por otra acotada, os decir, una infinitesimal. § 5. TEOREMAS FUNDAMENTALES SOBRE LIMITES En este apartado, como en el anterior, vamos a examinar conjun- tos de funciones que dependen de un mismo argumento z, cuando x-»aocuandoz-rw. . Por ser *análogas las demostracíones para amboa casos nos limi- taremos a uno sólo, omitiendo, incluso, las notaciones a: -›- o o z -›~ oo, que consider-arames aobroontendidas. Teorema l. E l limite de la suma algebratca de dos, tres y, en general, de un número finito de variables es igual a. la suma algcbraicade los limites de estas variables: lim(u¡+ug-i-. ..+u, ,)= limu. ¡+límug-l- . ..â-limiar Demostracíón. Puesto que la demostración es análoga para cualquier número do sumandos. tomamos sólo dos. Supongamos que lim u, = a1, lím u¡ = az. Baaándonos en el teorema i § 4, podemos escribir: ui= ai+atau2=a2+a21 donde o, y o, son magnitudes infinitesimales. Por tanto, ug+üz= (as+_tlz)+(at+uz)- . Puesto que (a, + an) ea una magmtud constante y (a, + a2) es una infinitesimel, entonces, de acuerdo con el teorema 1 §4, resultará que lim(u¡+IIz. ¡)›= a,+a, =-lim u¡+ lím uz. Ejemplo i. :Lia: 2 __ _g_ 2_ __ lím z, nã? , (Hzyiírgxq-Ltaxoxmwim ¡-l+o_1. Teorema 2. El limite del producto de dos, tres y, en general, de un número finito de variables ea igual al producto de los limites de estas variables: lím U¡°Ug' . . . -u, ,-_- lím upllmuz- . . . › limuk. Demoatraclón. Con el iln de abreviar, realicomos la demostra- ción para dos factores. Supongamoe que lím u. = o¡ y lim u. ; = ag. Por tanto, U4=01+l1n U2=0a+0lp “sua = (M 't' ai) (02 'I' a2) = 0:02 'l' “tar + 0241+ “tab
  49. 49. ' Teorema: fundamental: : sobre limita 43 El producto 4.a, es una constante. según los teonemas del 5 4, la magnitud qu¡ + qu¡ + ma, ea infinitamente pequeñe. Por consiguiente, lim mu, = ma, = lim uplirn U3. Corolarlo. Un factor constante se puede sacar fuera de! signo de limite. En efecto, si lim u, == Cg, e = const y, por tanto, lim c 2 = = c, se tiene: lip¡ (eu. ) = = lim c-lim u, == c lím u” que es lo que se trataba de demostrar. Ejemplo 2. lím 5:3=5 lím 6:53:40. z-o2 »+2 r Teorema 3. El limite del coctente de dos variables es igual al cadente de los limites de esta: variables, siempre que el limite del deno- minador sea distinto de cero: mui: “m” , siempre que lím' vai: O. v lim v Demostrnclón. Snpongamoe que lim u = = a, lim v = - b $ 0. Entonces u u: a + a, v a b + B, donde a y B son magnitudea infinitamente pequeñas. Escrilgamos las identidades u a+_a. __a+(a+a a) a rnb-pa 'ãgí-Íq-T"? 5+5 _É : T b(b+p›' o sea. u 'a (tb-Ba . ... =.. .+ , v b b(b+B) La fracción % es un número constante y “E2163 (según ! os teoremas 4 y 5, § 4) es una variable infinitamente pequeña, pnesto que ab - @a es también una infinitesimal y el denominador b (b + B) tiene por limite b' : ab O. Por consiguíente. lim -É- = -Ê- e: um u límv' Eiemplo 3. 1¡ 3 5 31¡ 5 lim 332 g¡ “n” 2+ )_i§: -3"*5=í=4. 2414312 linux-z¡ 4limiz~2 54-' '2 2 S* 8'. ? En este ejem lo hemoe eprovecbado el teorema. ya demostrado. acerca del limite de une fraccfón. punto que cl limltedel denominador, cuando . e -› i, ea distinto de cero. Pero, ai el limite del denominador c: cero. no se puede aplicar el teorema citado. En este último caso bacon falta conaidcracionca oapecínlea. Ejemplo 4. Heller lim *u* : a2 3'"2 .
  50. 50. 44 Límuc. Conunulclad de ? à función Aquí el denominador y ol numerador tíendcn a cero, cuando . r -›- 2, SJC! tanto, el teorema 3 no os válido para el caso. Reallcemos la siguiente tran or- maciõn idêntica: 13-4 a (x-2) (: +2) : :v2 z-2 : :+2. La transformación es válida para todos los valores de : c diferentes de 2. Por tanto, teníendo en cuenta la deluncíón do limite, podemos escríbír: um “°"4= llm ; lím (z-| -2)~_-=4. Z-yz x42 3-'2 x-›2 3*¡ 2 Ejemplo 5. Halls: lím a: 1 Cuando : -->1, el denominador tiondo m_ _ a, cero. mientras que el numerador tiende a la unldad. Por consígulento, el lnmite de la mngnitud inversa os cero, es decir, lí -i 1¡m“"*~-°“n: (x )--9-~»o 3,¡ : r _ lim: : g1._" : :wi De aqui se doduce, según el teorema 2 del pára-alo precedente, que: lím z x9] t: 11m¡ Teorema 4. Si entre los valores' correspondientes de las tres fun» ctones u = u (22). , z = z (z). v = v (x), se cumplen las desigualdades ug z ç v, y, adcnuís, u (x) y- v (x) tienden a un mismo limite b, cuando x-›- a (o cuando : c-›- oo), entonces podemos afirmar que la función z = z (x) también tlende o este mismo limite, cuando : :q- a (o cuando a: -›- oo). Demostraciõn. Para precisar las ideas, examínemos la variación de las íunclones, cuando z-›- a. De las desigualdades ugzg v se íntíera que: u-bgz-bgv--In según las condiciones del teorema, tenemos: límu= b, límv= b. S-bd x-oo Por tanto, para cualquier e > 0, se encontrará alguna vecíndad con centro en el punto a, en 1a que se' 'verificará la desigualdad l u - b | < c; do] mismo modo se encontrará también alguna vacin- dad con centro on el punto a, en 1a que se verificará la desigualdad Iv -- b | < a. En la vecíndad menor de las mencionadas se cum- plirán las desigualdades: -z<u-b<ey-c<v-b<e
  51. 51. Teorema. : / undomcntalcs cobre limita: .i5 y, por tanto, también, se cumplirán las desigualdades -e < z - b < c, es decir. lím z= =b. :'50 Teorema 5. Si, cuando : cw-a (o cuando : r-›-oo), la función. y, tomando valores no negativos (y à 0), tiende al limite b, ésle último verá un número no negativo, o sea b ; Q Demostreción. Supongamos que b < O, entonces l y -- b | à z ] b l, es decir, el módulo de la diferencia ly - b | es mayor que el número positivo | b¡ y, por tanto, no tiende a cero, cuando z -›- a. Pero, en este caso y no tlende a b, cuando : c -›- o, lo que con- tradícc a la condícíón delnteorema. Esto quiere decir que la hipótesis de que b < 0 no es cierta y, por tanto, b>,0. De la mismo manera ee demuestra que lím y g O, si y g O. Teorema 6. Si entre los valores correspondíentes de dos funcione-s, u : :e u (x) y v = v (x), que tienden a sus limites respectivos, cuando : c -› a (o cuando a: -› oo), se cumple la desigualdad v à, u. también se verificará que lím v à lím u. Demostración. Dada 1a condícíón v - u ? z O. y, de acuerdo con el teorema 5, lím (v - u) à O o 11m v -- lím u à O, es decir, lim v >, lim u. Ejemplo 6. Demostremos que lim sen : c s: 0. según la iig. 42, si 0.4 = i : os 0 y x > O, tendremos AC' = sen : ÉAB = z, sen z < z. Es evidente que, siendo . A 0 C B Fig. 42 z < O, tenemoa _l sen z | < f: : . Según los teoremas 5 y 6, podemos deducir de estes dos desigualdades que ímosen z = o, . x-c Ejcrnplo 7. Demosl-rcmos que lfm sen -ã-: :Q x-»O z z sen-g-I( lsenxl. Por tanto, lim sen-remo. En electo , a x-*O
  52. 52. 40 Límllc. Conunuidad de ln función Ejemplo 8. Demostremos que lim coax= i. : two siendo cos z= i-2sen2 í. tenemos. lim cos_z= lim (1-2 senti'- -- z 2 A x40 : H0 2 @1-2 lim senñ-ã-: i-O: l. :AO En algunas investigacionee respecto al limite de las variables ee necesario resolver dos problemas independientes: i) demostrar que una variable tiene su» limite y determinar los coniines dentro de los cuales se encuentra este limite. 2) calcular el limite dado con e] grado de -precísión necessaria. A veces el primer problema se resuelve mediante el siguiente importante teorema. Teorema 7. Si la magnitud variable v es creciente, ea decir, cada valor posterior de la mísma' es mayor que el anterior. y st ásia es ocorrida, o sea v< M, entonccs clicha variable tiene como limite lim v = a. donde a ç M. En el caso de que la magnitud variable sea decreciente y aco- tada. el teorema correspondiente se anuncia de un modo eemejante. No damos aqui. la demostracíón -del teorema porque se baaa en_ la teoria de los números reales, que no se considera en el presente curso. En los dos, párraios eiguientes vamos' a calcular los limites de dos funciones que tienen gran aplicación en . las matemáticas. g e. LIMITE m: LA FUNCION E5333 , CUANDO a: -9- 0 sen x La función no estás definida para . z = O, pueeto que tanto el numerador. como el denominador de la iracciôn se redueen a cero. Veamos el limite de esta función, cuando : +0. o e A Fig. 43 Consideramos una circunferencia de radio i (fig. 43); designemos por z. el ângulo central MOB, siendo O < a: < 35- . En la fig. 43 ao
  53. 53. sen I Llmllc de la [canción . cuando : r -›- 0 47 puede observar que'. área A MOA < área del sector MOA < área A 00.4. (1) A 1 1 ' 1 rea A MOA = -2- OA -MB= -ã--i-senz: -z-sen zr. Area del sector MOA = 120.4 -Aíii a 1 «z = 12x. Area ACOÁ = .21- 0A-AC= -â--1-tgz= -â~tgz. Suprimiendo el factor i/ Z, la desigualdad (i) se escribírá así: seu : c < : r < tg 2:. Dívidamos por sen : c todos los miembros y tendrcmos: z <_1_ senz cosa: o sea, sen z a: Hemos obtenido esta desigualdad, suponiendo que z>0. o 'íx Temendo en cuenta que. -r-Lg--z = &mil-z; y cos (-. r) = cos z, (-1) 2: i > >cosx. Fig. 44 concluímos que la desigualdad también es válida para z < O. Pero, lim cosa: =- i. lim i = 1. Por tanto, la variable sem: si_ baila : a0 x40 $ comprendída entre dos magnitude: : que tienen i por limite. De este modo, de acuerdo con el teorema 4 del párraio precedente fonemas: senz lim 1'* 0 z =1. La gráfica de la función g -= ?ff se expone en la fig. 44.
  54. 54. 48 Umíic. Conltnnidad : lc la función Ejcmplos: 1) lím m; r-limãsgí- 1 : elím5°nz-lim--1-›=1.ia1. : ao v¡ z-»o I 0033 : +0 3 “n°033 1 2) lim 59-153 = =lim rÊiL-kirm °°“””l= =k. !ak (k= c0nst). : ao 3 : ao k¡ : ao (kx) (Rx-W) ' Zaenl-í sen-í- i-cosz 2 2 : r 3) z »vil-let _f_ sen-ã-. .i-O-O. - 2 sena. : lím seu” nnmsenazznmí_ a: : = _e_r. _=*° 9" rotulagem_ , No sen E: ,No Ç gen br 5 “m sen É: 'B- l ñ $J : a0 3¡ (a= const, B= const) 5 7. NUMERO c Examinemos la magnitud variable l h (1 + n) . feriados: : es una variable creciente que va tomando los valores: 1 9 I - - o ^ n Teorema l. La_ variable (1 -l- tiene su limite comprendido entre los números 2 y 3, cuando n-›- oo. Demostracíón. Según el binomio de Newton, podemos escríbir: 1 '* n i n(n-1.) 1 i li+í)= *+r'›r+ 4.2 °(í)+ + (1.)°+__ 1-2-3 n in-iH-D-ul -(-1)l 1 “ "ln "L2. n (75) ' m
  55. 55. Número e 49 Después de transformaciones algebraicas evidentes (1), obtene- mos: 1 1 A2 n--l -+ratfz(*'ir)(i'z)~°(*' , . m _ fl De la última igualdad se deduce que la variable (1 + es creciente, cuando crece n. En efecto. cada uno de los sumandos crece al pasar del valor n a¡ n + 1, es decir: 1 i 1 1 B0 _ 7t-)<'1-_2-(1 _n4- í)' em' yseaúgrega un término más. Todos los términos del desarrollo son positivos. fl Demostremos que 1a variable (1 + está acotada. Teniendo en cuenta que (i --â-)<i; (1- (1 - < 1. etc. , de la exppç. sión (2) obtenemos Ia deaígualdad 1)" . .L -. i i (HW: <1+1+1.2+1-2›3+ +1-2-3. m' Considerando que › 1 1 1 1 1 i Í37ã<§7; 1-2-3-4<í; °1-2- j. . ~n<§'T: ;' podemos escríhir 1 1 n i 1 í í í +7¡ < + +3+E; +-~+°§: ;- Loa términos subrayados en el segundo miembro de esta desigual- dad íorman una progresión geométrica que tiene por razón q = 534
  56. 56. 50 Limite. (Jontlnuidad de la / urtciõn 1 . . : :z-y por primer término. a = i; por esto: í " 1 1 l (Í-l-n <1+[1+'2'+:27+«_--+§7;3]= 1435)" 1'? Por tanto. para todos n. tenemos: .l n (1 + < 3. De la iguaidad (2) se deduce que (4 + >z. y por tanto obtenemos las desigualdades 2<(1+§¡) <3. (3) Así pires, queda establecido que la variable (1 + 717)" está acotada. l n Como la variable 1 + 7¡- es creciente 'y acotada, tiene (según eI teorema 7. §' 5) pues, eu limite. Este limite se designa con la letra e. Deiinición. Se denomina número e ai limite*) de la. variable (1 + -â-yl , cuando n -›- oo: 1 7¡ = lím 1+ - . n o» ® n Conforme a1 teorema 6, § 5, de la des¡ aidnd (3) podemos dedu- cir que el número e satisface la desigual ad 2 é e g 3; E1 teorema queda. pues, demostrado. El número e es irracional. Más adelante exponemos el método para su cálculo con cualquier grado de precisión. Su valor. con diez cifras decimales es: e = 2, 7182818284.. . . *) So puedo demostmr que (14 -›- e. cuando n -›- + oo, si n no es una variable crcciente. 'h 1 w" . 1_q '-1+“-"“""'“"1 ]<3.
  57. 57. Número e 5¡ x Teorema 2. La función (i + tiende a¡ limite e cuando . t tien- de al infinito: < *r lim Í + ; - = e. x'°°° 8 Demostración. Hemos establecido que (i + -›-e, cuando n-› ao, si n toma valores enter-os y positivos. Supongarnoa ahora que . z tlende al infinito, tomando valores tanto fraccíonariqa como negativos. i) Supongamos que x -› + oo. Cada valor de x se baila compran- dido entre dos números enteros positivos n . ç a: < n + i. En este caso se cumplen las digualdades: i 1 i í>í>n+c 1+§-›1+§>1+n+i. (es-rm›(~~: ›=›(«+, .:i›“. Si x» oo, es evidente que también n-›- eo. Hallemos los limites de las variables entre los cuales se encuentra la variable (i + 1): : . t n-H a ngTw(i+'â-) = ,.. '32'. .'(*+Ê: ) («+: -)= _= lim (i-i-; Í-y- lim (a+i)= e-i= e, n-›+w n-›+ce n 1. 75+! l " (Í-i-n-l-i) lím (u. )-_- lím -_-___= n-o-FN n-f-i n-ó-FO 1+ 1 : :+1 1 n+l lim (i-f- ) : nú-FN n+í = _e_____e lim (i-p- 1 ) 1 11-04** 8+1
  58. 58. 52 Limite. Contlnuldcd de la función Por tanto, según el teorema 4, § 5, se tiene: lím (a + i)'= e, (4) 34+” 3 2) Supongamos que x -› -- oo. lntroduzcamos una nueva variable t: : -(z + l) o sea x = = - (t + t). Cuando t» +00. tendremos que : It-e- -oo. Entonces l x -t-l "t-l lím (14.1) : :lím (i -_3_) = lím = É z--eo i-›+or› t-l-l l->+D 2+1 H- t-H = lím l= lim = c-o-Irm t t-rov t _ t = lim (ii-ê) (1-i-1T)= e-1=c. !non El teorema queda demostrado. La gráfica de la función y = (l. 4- se expone en la fig. 45. F ig. 45 Si en la igualdad (4) introducimos -i- = a. entonoes tentamos a -›- 0 (pero. a aé- 0), cuando x -v 0°. y obtenemoe: lím (l + afã-l: e. 6-00
  59. 59. Logaritmos natural: : 53 Ejemplos: n : se: *+%)”°= .:s. (*+: i-)“(*+-*. r)°= “~ (*+i)"›< 11-03 x lim (t-ç--if-r-oar. .. R-OQ 2) lim i-ç-à-YÍ-: Lig(1+-Ê-)“(i+%)“(i+à. )'= 34% = i1g(1+-. :_)“. lim(1+-â-r-li4zn° i-i--i-rcsc-c-er-el #-900 3 3) (uni-rala: (i+%)2"= cs. l : +3 1+3: z-i-l-á 3+3:: 4 3+3.: é) : :nele 3""1 : uma 3-'1 (14.3 _ i 4 (-'*"”Í)-I-¡  9+5 : :lí 1 = ll -- : = : :ea van; »um (1+¡í)'-J_t: (1+f-)'= e-. i=et 5 8. LOGARITMOS NATURALES En el párrafo 8 del 'capitulo primero se lia definido la función logaritmica y a log. x. Como se sabe, el número a es la base de logaritmos. Si a = 10, entonces y se denomina logaritmo decimal del número x e y se escriba y = log x. En , la escuela secundaria se estudian las tablas de logaritmos decimales, llamados también de Briggs, nombre del sabio inglés que los inventó (1556-1630). Los logaritmos que tienen por base el número e = = 2.71828 . . . . se llaman natural: : o neperianas, en honor del matemático Neper (1550-1617), uno de los primeros inventores de las tables de logarit- mos. Por consiguiente, si e" = = x, entonces y se denomina logaritmo natural del número x, y se escriba asi: y = = ln x, 'en lugar de y = == log, x. (Véase las gráficas de les . funciones y '= = lnx e y = lg x en la fig. 46). Determinemos ahora la correlacion que existe entre logaritmos decimales y los naturales de un mismo número x. Supon- gamos quey = = logx, o sea x = 10". Tomamos los logaritmos naturales de los dos miembros de la última ecnacíón, eacogiendo c como base, y tendremos: lnx = = = y ln 10, de donde y = Éí-i-õ ln x. Suatituyendo el valor de y ten-
  60. 60. 5?¡ Linnite. Conünuidad de ia Iuntlón (iremos: 1 ln 10 in x. loga. :- Lo que quiere decir que, cuando se conoce el logaritmo natural de un número z, se puede hallar su logaritmo dec¡mal, - multipli- 1 cándolo por el factor M = Em z 0,434294, valor que no depende Fig. 16 de . z. A este factor M' se le denomina módulo o factor de transición de los logaritmos naturales a los decimaies: log a: = M ln x. Al introducír en esta identitud : z: = e, hallaremos la expresión del número M por medio de logaritmos decimales: logo = 11'¡ (ln e = 1). Los logaritmos naturales se cxpmsan eu logaritmos decimales de la manera siguiente: i lnzzülogx. donde É¡ 2302535. Observación. Existen tablas especiales para el cálculo de logaritmos naturales. 5 9. CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES Supongamos que la función y : z i (z) está definida para cierto valor . to y en cierta vecindad de centro en el mismo punto. S93¡ 9o 7°" Í (1o)- Si a: recibo cierto incremento Az (positivo o negativo), y toma el valor x : s : o + Az. la iuncion y también resultará incrementada
  61. 61. Conlinuldad de las funcione: 55 en Ay. El nuevo valor íncrementado de 1a función será y. , + Ay = = f (z. + As) (ííg. 47). El incremento de la función Ay se expresa mediante la fórmula Aya = f (3o -i- AI) - f (ro)- Fig. 47 Definiciõn i. La función y c f (x) se considera continua, para el valor de: : = :to (o en ol punto za). si está definida en cierta vecin- dad . del punto xo. (incluido el punto xo) y si: lím Ay . .-, - 0 (i) o, Io que es lo mismo', M. " lím [l(wo+ Az) - Í(3'o)], = 0- (2) ôx°¡"0 La condícíón (2) ee puede. escribír asi: 15m Í(-7~'o+ ó-r)= f(Io) Ax'*0 lím Í(9=)= /(Io). .. (2) X'*X° En lenguaje geométrico la continuidad de la función cn el punto dado significa que la diferencia de las ordenadas de la gráfica y = f (z) en los puntos xo + Az y : co será, en valor absoluto, arbi- trariamente pequcña a condícíón de que i A: : l sea lo suiicientemente pequeño. Ejgcmplo 1'. Domostremos quo la función y na z' ea contínua on el punto xo. ar itrariamente eiegido. Ea efecto, -« var-Ú- llo+Â! I-= (3o+ô3)°- óu= (lo+dz)°-zã= üoúz+ót'. lim Ay: : lim (2xoaz+az2)=2: lím 62+ lim A2- lím A: ==0, «dx-w amo dar-vo A: -›0 6x40 indopendíento del modo en quo A: tiende a caro (fig. 48o y b).
  62. 62. 56 Limite. Continuidad de la función Ejomplo 2. Comprobemos que la función y = sen x ea continua en cual- quier punto arbítrano xo. En afecto. vo= 30'¡ 3o. VH* A9 = seu (Io-i- AI). Aymaen (zo-l-Az)-senzo=2sen-ê; ,í-cos (xo . e- g 4.00, A590 Fig. 48 Y a A: ' y A: a hemos visto quoblirlà sen -õ--v 0 (ejemplo 7, §5). La función cos (mk-í) w A¡ está acotadn. Por consiguiente, ; Ay 2 0. Ax-O Del mismo modo se puede demostrar que cualquier función elemental hmdamental es continua cn cada punto en el que la fun- ción está definida. Demostremos el siguiente teorema. Teorema i. Siendo las funcione: : j, (x) y Ig (x) continuas en el punto 2:0. su. suma xp (x) s: f, (z) + j: (x). también será función can- tinua. en ei mismo punto xo. Demostración. siendo continuas j, (x) y 120:), de acuerdo con la igualdad (2'), podemos escribir: iÍEx°Íi(x)7-°Í1(›To). 1¡ m f: (m) = Í: (to). x"°So según el teorema 1 sobre limites, tenemos: lim 1p(x)= lím[j, (x) +/ g(. r)]= : lím Í¡(x) -l- lím f_«_(: ç). .-= x~xo x-buro x-t-xo x-*xo = f: (ro) 1'- fz (xo) = tl* (Io). es 'decitx la suma tb (x) = = j, (x) + f; (x) es una función continua. como se trataha de demostrar. Como corolario, observamos que el teorema citado es válido para cualquier número de sumandos.
  63. 63. Cordínuídad d( ! as funcione: 57 Basándose en las propíedades de los limites, se puede demostrar también los teorema síguientes: a) EI producto de dos funcíones continuas es una función con- tinua. b) EI cocíanto de dos funciones continuas es una función contí- nua. s¡ el denominador no se reduce a cero en el punto considerado. c) S¡ u = @(1) es una _función contínua para z = = : co y s¡ _I (u) también es continua en el punto u. , = -- tp (xo). la función compuesta Í [tp (2)) será contínua en el punto . to. Basándose en estos teoremas se puede formular el siguiente teo- tema. Teorema 2. cualquier función elenwntal es continua en cada. punto en el cual Ia función está definida. Obscrvaciõn. Dado que en 1a igualdad (2') lím N? ) = fm). K'°*I° . Toi I¡ podemos escríbírla así: x : o ' lím f(ar)= f(l_ím x). (3) x °* X0 x "' xo' es decir, que para Ahallar el limite de 'la función coixtínua cuando : c-r xo, basta sustítuirn el argumento : c por su valor x. en la expre- síón »de la función. Ejemplo 3. La función y= -.z'-' es continua en cualquier punto xo, y por tanto: lím . rg = x3, 3-?30 lím x? =33 = 9. : H3 Bjcznplo La función yasen z es continua ou cualquier punto. de donde lím senzzsen . X4” - a Ejemplo 5. La función pac* os contínua' en cualquier punto y por tanto: lím é°= e“. 3h11' Ejemplo 6. _ l ln (1›+a: )_ 1. "' 1% S -g%; -!n(1+z)= ;% 1n[u+x)*¡. t 'x', Ya que lím (1 +1) = _e y 1a función ln z es continua para : >O y. por lo tanto, X40
  64. 64. 58 Limite. Continuldad d: Ia función para 2 so. eu Ucno s . E. lim ln [(1 +x)"]= ln| lím (1 += )°°]=1Ilc=1- x-o-o x-»o Deiinición 2. Se dice que la función y -L f (x) es continua sobre el intervalo dado (a, b), donde a < b, siempre que éste sea continua en cada uno de sus puntos. " Si 1a función está definida también en el punto : c = = a siendo lim] (x) a: f (a), se dice que en el punto 2: = a la íunción f(x) es : r-ca 1›-0 continua por la. derecho. Siendo iíínñg (x) : :rf (b). se dice que en" el punto : z: -= b la función Hx) es continua por la izquierda. Si ln función f (x) es continua en cada punto del interveio (a, b), y lo es al mismo tiempo en los extremos de éste (por la derccha y por la izquierda, respectivamente) se dice que 1a función f (x) es continua en el intervalo o segmento cerrado la. , bl. Ejem lo 7. Lu función grazi os continua en cualquier segmento [n, b), como se duce del qemplo i. Si en algún punto : z- z: .z. para 1a función y -= f (x) no se cumple por lo menos una de les condiciones de continuidad. es decir, si para 2: = z. ie función no está definida o no existe el limite limf (x) X0510 o bien lim f (xo) ; ei (xo) cuando x -›- : ao de una manera arbitra- : +3. ria, a pesar de que existen las expresiones a la derecho y a la izquier- da, entonces la función y --= j' (z) es discontinua, cuando a: = xo). El punto z °- : co se denomina, en este caso, punto de discontinuidad de la función. Ejemplo 8. Lu función yum; - ee diecontinun cuando 2:0. En efecto, cuando 2:0, ln función no está definida: 1 . 1 _ xlíolgoç= +00. Llãtoy_ -oo. d E; iàicil demoatrar que esta función es continua para cualquier valor o . r _ i EjempIO 9. Le función yzz¡ es discontinua en z=0. En Olecw. i lim 2?: co, um e¡ o. Le función no está delinida on : :o (ng. 49). x-. o-to x-. o-o

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