Genel Bir Ulaştırma Probleminin AMPL İle Çözümü

1. AMPL İle Ulaştırma
Porblemi Çözümü
Erol Selitektay

2. Amaç
 Genel bir «Ulaştırma Probleminin» AMPL kullanılarak
çözümünün sağlanması.

3. Problem
 Araba yedek parçaları üreten bir şirketin 4 ayrı bölgede
üretim fabrikaları bulunmaktadır. Bu fabrikalarda çelik
rulolar üretilmektedir. Fabrika başına üretilen çelik ruloların
miktarı aşağıdaki tabloda gösterildiği gibidir.
Bölge Rulo(ton)
Bursa (Br) 1400
Kocaeli (Kc) 2600
Sakarya (Sk) 2900
Tekirdağ (Tk) 2000

4. Problem
 Toplam 8900 ton olan çelik ruloların aşağıdaki tabloda
gösterilen otomobil fabrikalarına ihtiyaçları
doğrultusunda gönderilmesi gerekmektedir.
Fabrika Rulo(ton)
İstanbul Otofab. 900
Konya Otofab. 1200
Aksaray Otofab. 600
İzmir Otofab. 400
Antalya Otofab. 1700
G. Antep Otofab. 1100
Manisa Otofab. 1000
Edirne Otofab. 2000

5. Problem
 Çelik rulo üreten fabrikalardan otomobil fabrikalarına ton
başına çelik rulonun ulaşım maliyeti(dolar olarak) Şekil C
de gösterildiği gibidir.
Bursa
(Br)
Kocaeli
(Kc)
Sakarya
(Sk)
Tekirdağ
(Tk)
İstanbul
Otofab.(İst)
39 27 24 22
Konya
Otofab.(Kon)
14 9 14 33
Aksaray
Otofab.(Aks)
11 12 17 35
İzmir Otofab.(İzm) 14 9 13 25
Antalya
Otofab.(Ant)
16 26 28 32
G.Antep
Otofab.(Gan)
82 95 99 100
Manisa
Otofab.(Man)
8 17 20 24
Edirne
Otofab.(Edi)
5 15 10 20

6. Problem
 Verilen değerler göz önüne alınarak, ulaşım maliyetinin en az olması
koşuluyla çelik rulo fabrikalarından otomobil fabrikalarına çelik rulo taşıma
planı nasıl olmalıdır?

7. Çözüm
 Ulaşım maliyetinin en az olması istenildiği için, problemi minimum amaç
fonksiyonu olacak şekilde çözmeliyiz.
 𝑚𝑖𝑛 𝑋𝑖𝑗𝐶𝑖𝑗𝑛
𝑗=1
𝑚
𝑖=1

8. Çözüm
 min: Z(x*) = 39*İst:Br + 27*İst:Kc + 24*İst:Sk + 22*İst:Tk +
14*Kon:Br + 9*Kon:Kc + 14*Kon:Sk + 33*Kon:Tk +
 11*Aks:Br + 12*Aks:Kc + 17*Aks:Sk + 35*Aks:Tk +
 14*İzm:Br + 9*İzm:Kc + 13*İzm:Sk + 25*İzm:Tk +
 16*Ant:Br + 26*Ant:Kc + 28*Ant:Sk + 32*Ant:Tk +
 82*Gan:Br + 95*Gan:Kc + 99*Gan:Sk + 100*Gan:Tk +
 8*Man:Br + 17*Man:Kc + 20*Man:Sk + 24*Man:Tk +
 18*Edi:Br + 10*Edi:Kc + 9*Edi:Sk + 5*Edi:Tk

 Not: İst:Br kısaltması, Bursa fabrikasından İstanbul da ki otomobil
üreticisine taşınması gereken ton miktarını temsil ediyor.

9. Çözüm
 Amaç fonksiyonumuz toplamda 32 tane değişenden oluşuyor.
 Amaç fonksiyonundan sonra kısıtlarımızı belirlememiz gerekiyor. Bursa
daki çelik rulo üreticisi fabrikanın gönderebileceği rulo miktarı 1400 ton.
Bursa daki çelik rulo üreticisi için kısıt yazacak olursak;
 Br:İst + Br:Kon + Br:Aks + Br:İzm + Br:Ant + Br:Gan + Br:Man + Br:Edi <= 1400
 𝑋𝑖𝑗 ≤ 𝑆𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑚.𝑛
𝑗=1

10. Çözüm
 Aynı şekilde diğer çelik rulo üreticileri içinde kısıtları yazacak olursak;
 Kc:İst +Kc:Kon + Kc:Aks + Kc:İzm + Kc:Ant + Kc:Gan + Kc:Man + Kc:Edi <= 2600
 Sk:İst +Sk:Kon + Sk:Aks + Sk:İzm + Sk:Ant + Sk:Gan + Sk:Man + Sk:Edi <= 2900
 Tk:İst +Tk:Kon + Tk:Aks + Tk:İzm + Tk:Ant + Tk:Gan + Tk:Man + Tk:Edi <= 2000

11. Çözüm
 Ayrıca otomobil üreticisi fabrikalarında alacağım rulo miktarları içinde kısıt
yazmamız gerekiyor. İstanbul da ki otomobil fabrikasının alabileceği çelik
rulo kısıtını yazacak olursak;
 İst:Br + İst:Kc + İst:Sk + İst:Tk <= 900
 𝑋𝑖𝑗 ≥ 𝐷𝑖 𝑗 = 1, … , 𝑚.𝑚
𝑖=1

12. Çözüm
 Aynı şekilde diğer otomobil üreticileri içinde kısıtları yazacak olursak;
 Kon:Br + Kon:Kc + Kon:Sk + Kon:Tk <= 1200
 Aks:Br + Aks:Kc + Aks:Sk + Aks:Tk <= 600
 İzm:Br + İzm:Kc + İzm:Sk + İzm:Tk <= 400
 Ant:Br + Ant:Kc + Ant:Sk + Ant:Tk <= 1700
 Gan:Br + Gan:Kc + Gan:Sk + Gan:Tk <= 1100
 Man:Br + Man:Kc + Man:Sk + Man:Tk <= 1000
 Edi:Br + Edi:Kc + Edi:Sk + Edi:Tk <= 2000

13. Çözüm
 Elimizde her çelik rulo üreticisi ve otomobil fabrikası için toplamda 10 tane
kısıt oldu. Eğer kısıtlara her bir değişken için negatif olmama koşulunu da
eklersek, elimizde ulaştırma problemi için lineer bir problem olmuş olur.

14. AMPL Çözüm Modeli
 Ulaştırma problemimiz için bir çözüm modeli bulmamız gerekiyor.
Bunun için şu yolu izleyebiliriz. Elimizde iki tane ana nesne var. Birisi
kaynak yani çelik rulo üreten fabrikalar, diğeri ise ulaştırılması gereken
yerler yani çelik ruloları kullanacak otomobil üreticileri. Bunları iki ayrı
dizi olarak düşünebiliriz. Rulo üretici fabrikalara TEDARIK, bu ürünleri
kullanacak fabrikalara da TALEP dizisi olarak düşünebiliriz.

15. AMPL ile Çözüm Modeli
 Bu durumda iki ana parametremizi şu şekilde gösterebiliriz;
 param supply {TEDARIK} >= 0;
 param demand {TALEP} >= 0;
 Tedarik ve talep durumları için şöyle bir denklem yazabiliriz;
 check: sum {i in TEDARIK} supply[i] = sum {j in TALEP} demand[j];

16. AMPL ile Çözüm Modeli
 Bu denklemde belirtilen tedariklerin toplamı taleplerin toplamına eşit
olmak zorundadır. Bu koşul sağlanmadığı sürece olası bir çözüm mümkün
değildir.
 Her talep ve arz kombinasyonu için bir ulaşım maliyeti ve ulaşım miktarını
sembolize eden bir değişkene ihtiyacımız var. Bu koşulu da şu şekilde
gösterebiliriz.
 param maliyet {TEDARIK, TALEP} >= 0;
 var Trans {TEDARIK, TALEP} >= 0;
 Her belirli TEDARIK i ve TALEP j için toplam maliyeti şu şekilde
gösterebiliriz.
 Maliyet[i,j] * Trans[i,j]

17. AMPL ile Çözüm Modeli
 Tüm bu denklem kümelerini bir şekilde gösterirsek amaç fonksiyonumuzu
şu şekilde gösterebiliriz:
 minimize Toplam_Maliyet:
 sum {i in TEDARIK, j in TALEP} maliyet[i,j] * Trans [i,j];
 Aynı şekilde kısıtlarımızı gösterecek olursak;
 Subject to Supply {i in TEDARIK } :
 sum {j in TALEP} Trans[i,j] = supply[i];
 Subject to Demand {j in TALEP}:
 sum {i in TEDARIK} Trans[i,j] = demand[j];

18. AMPL Çözüm
 Hazırladığımız bu modeli ampl ile çözdüğümüzde sonuç aşağıdaki gibidir.
 Min: Z(x*) = 218800 dolar olarak bulduk.

19. AMPL DATA dosyası

20. AMPL Mod Dosyası

21. Teşekkürler
 AMPL bu adresten indirebilirsiniz:http://www.ampl.com/
 AMPL kullanımı ile ilgili genel bilgi için:
http://www.slideshare.net/ErolSelitektay/ampl-nonlinear