Pesquisa operacional 1

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Trabalho de Pesquisa Operacional 1

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Pesquisa operacional 1

  1. 1. Universidade de Brasília IE - Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Pesquisa Operacional 1 Professora: Maria Amélia Alunos: Erique Pereira Neto - 11/0011058 Geiziane Silva de Oliveira – 11/0012160 Trabalho de P.O.1 1.1.Um fazendeiro tem 500 hectares de terra e deseja determinar a área de plantio alocada para as seguintes três culturas: trigo, milho e soja. Man-days (mão-de-obra), custo de preparação e o lucro por hectare de cada cultura estão resumidos na tabela abaixo. Cultura Man-days Custo de preparação $ Lucro $ Trigo 6 100 60 Milho 8 150 100 Soja 10 120 80 Sabe-se que o número máximo de man-days disponíveis são 5000 e que o fazendeiro tem $60 000 para preparação. Modelando o Problema de Programação Linear:  Variáveis de Decisão: Xi = quantidade de hectares alocados para o plantio da cultura i, com i=1,2,3, onde 1 = trigo, 2 = milho, 3 = soja.  Função Objetivo: O fazendeiro deseja alocar uma quantidade de hectares para o plantio de cada cultura de maneira a maximizar o seu lucro. Logo o objetivo do fazendeiro é maximizar o lucro.  Restrições: O fazendeiro tem recursos limitados, ele tem à sua disposição 500 hectares de terra, $60 000 para a preparação do plantio e possui 5000 man-days disponíveis. Essas são as restrições de recursos do P.L.
  2. 2. Logo, o P.L. associado a este problema é: P.L : Max Z = 60X1+100X2+80X3 S.a 6X1 + 8X2 +10X3 ≤ 5000 (man-days) 100X1+150X2+120X3 ≤ 60.000 (preparação) X1 + X2 + X3 ≤ 500 (terra) X1, X2, X3 ≥ 0 Agora, olhando do ponto de vista de uma pessoa que queira comprar a fazenda, o objetivo dela seria minimizar o valor pago pelos recursos do fazendeiro. Então temos que o problema Dual será: D: Min ɸ = 5000λ1+60000λ2+500λ3 S.a 6λ1 + 100λ2 + λ3 ≥ 60 ( I ) 8λ1 + 150λ2 + λ3 ≥ 100 ( II ) 10λ1 + 120λ2 + λ3 ≥ 80 ( III ) λ1, λ2, λ3 ≥ 0 Em que λi = valor pago por cada unidade do recurso i, i = 1,2,3, onde 1 = man-days, 2 = dinheiro para a preparação e 3 = hectares de terra. A interpretação da restrição ( I ) seria que o valor pago pelos recursos usados na plantação de trigo tem que ser pelo menos o lucro que o fazendeiro obtém com a plantação dessa cultura, senão a venda não seria vantajoso para o mesmo. A interpretação para as restrições ( II ) e ( III ) é a mesma só que para as culturas de milho e soja, respectivamente.
  3. 3. 1.2. Colocando o P.L na forma padrão: Max Z = 60X1+100X2+80X3 S.a 6X1 + 8X2 +10X3 +X4+0X5+0X6 ≤ 5000 (man-days) 100X1+150X2+120X3+0X4+X5+0X6 ≤ 60.000 (preparação) X1 + X2 + X3+0X4+0X5+X6 ≤ 500 (terra) X1, X2, X3, X4, X5, X6 ≥ 0 O tablô inicial é: X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS Z 60 100 80 0 0 0 X4 6 8 10 1 0 0 5000 X5 100 150 120 0 1 0 60000 X6 1 1 1 0 0 1 500 O tablô ótimo é: X1 X2 X3 X4 X5 X6 RHS Z 6,667 0 0 0 0,667 0 40000 X4 0,667 0 3,6 1 -0,053 0 1800 X5 0,667 1 0,8 0 0,0067 0 400 X6 0,333 0 0,2 0 -0,007 1 100 Análise de sensibilidade para o parâmetro “b”. Escolhe-se b3=500, somando se ∆ temos b3’=500+∆. Temos de determinar o valor de ∆ pra o qual a solução continua na otimalidade. XB = (X4, X2, X6) XN = (X1, X5, X3) = (0, 0, 0) b3 =
  4. 4. Para garantir a otimalidade devemos ter Logo, = ═> Assim, para qualquer a solução permanece ótima, ou seja, se diminuirmos a quantidade de hectares de terra para a plantação de soja, a solução continua ótima. Só para efeito de constatação, fazendo , temos b3’= 420 = Análise de sensibilidade para o parâmetro “c”. Pegando uma variável não-básica no tablô ótimo, encontrar um valor de e verificar até que ponto a solução permanece ótima. Começando por ═> . Logo devemos ter ═> . Como é variável não-básica, a solução permanece ótima para qualquer . Supondo ═>
  5. 5. , o que não altera a solução ótima, o valor de continua 40 000. Analisando o parâmetro “C” para variáveis básicas, alteram-se todos os custos relativos e o valor de Z. XB = (X2, X4, X6) CB = (C2, C4, C6) = (100,0,0) Tomando C2 = 100 e fazendo , então o novo valor de = ═> ═> ═> =CB ═> =CB ═> . Para satisfazer as três desigualdades e garantir a otimalidade pegamos , min . O novo valor de e o valor de passa a ser . A solução continua ótima e aumenta.
  6. 6. Mudando um coeficiente de uma variável não-básica, por exemplo Portanto, se a quantidade de man-days for aumentada de 6 para 9 na cultivação do trigo, a solução ainda continuaria ótima.

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