Programación lineal: máxima inversión con rendimiento óptimo

Investigación Operativa I Marlon Villa Villa
PROGRAMACIÓN LINEAL.
Es una parte de la investigación operativa que la podremos aplicar cuando el problema que
tratamos se puede traducir a expresiones matemáticas de tipo lineal y que las limitaciones o
restricciones que tenga el sistema productivo se pueda también traducir en expresiones
matemáticas de tipo lineal. Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía,
la estrategia militar, etc. Un problema de programación lineal tendrá la siguiente forma:
Función Objetivo: Es una expresión matemática lineal que representa el objetivo del problema.
Es la expresión que tendremos que maximizar o minimizar.
Función Objetivo:
(Max. ó Min.) Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn
Ecuaciones o Inecuaciones de Restricción: Expresiones matemáticas, ecuaciones o
inecuaciones de tipo lineal que representan las limitaciones del problema.
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn >= b2
a31x1 + a32x2 + … + a3nxn ≤ b3
………………………………
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Aunque el problema no lo diga llevara las restricciones:
x1; x2; xn >= 0
Las variables no tomaran valores negativos.
Conceptos propios de la programación Lineal:
Solución Posible : Es cualquier conjunto de valores de la variable que satisface el sistema de
ecuaciones de la restricción.
Solución Posible Básica: Es aquella solución posible en la que ninguna variable toma valores
negativos.
Solución Básica Posible Degenerada: Solución básica posible en la que al menos una variable
toma el valor cero.
Solución Óptima: Es aquella solución básica posible que optimiza a la función objetivo.
ESTRUCTURA DE UN MODELO DE PL
1. FUNCION OBJETIVO Consiste en optimizar el objetivo que persigue una situación la
cual es una función lineal de las diferentes actividades del problema, la función objetivo
se maximiza o se minimiza
2. VARIABLES DE DECISION. Son las incógnitas del problema, La definición de las
variables es el punto clave y básicamente consiste en l0s niveles de todas las actividades
que pueden llevarse a cabo en el problema a formular.
3. RESTRICCIONES ESTRUCUTURALES. Diferentes requisitos que deben cumplir
cualquier solución para que pueda llevarse a cabo, dichas restricciones pueden ser de
capacidad, mercado, materia prima, calidad, balance de materiales, ect.
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4. CONDICION TECNICA. Todas las variables deben tomar valores positivos, o en
algunos casos puede ser que algunas variables tomen valores negativos
MODELO GENERAL DE PL
OPTIMIZAR Z =
SUJETO A:
n

j j c x
1
a x  b i 
1,2,......,
m
ij j i x j n j  0 1,2,.......,
GRÁFICA DE DESIGUALDADES Y CONTORNOS
j
n

j
1
Para graficar desigualdades realice los siguientes pasos
1. Gráfica de la igualdad. Convierta la desigualdad en igualdad y grafique l recta
2. Escoja un punto de ensayo
3. Evalúe el primer miembro de la expresión
4. Determine si el punto de ensayo satisface la desigualdad.
5.
Existen varios métodos de solución entre los cuales tenemos el gráfico, el simplex, el algebraico,
el dual, etc.
EJEMPLO POR EL MÉTODO GRÁFICO:
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas
pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar
mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo d irecto y 320
horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas
de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8
horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de
liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.
VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).
Cantidad de liquidaciones (X2).
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RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo
Tiempo disponible de revisión
Número máximo de liquidaciones.
Maximizar
Sujeto a:
La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones
factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor
valor de la función objetivo será la solución óptima.
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CONTADOR DE COSTOS
Las funciones del contador de costos siempre estarán dadas de acuerdo a las operaciones de la
empresa y las necesidades que tenga la administración de la misma con relación al control de sus
operaciones.
Primer plano
1. Diseñar sistemas de control de costo
2. Planificar la organización de las estructuras para implementación de costo
3. Mantener actualizado el registro de los bienes de uso.
4. Controlar y contabilizar los movimientos de los almacenes.
5. Dirigir la toma de inventarios.
6. Proceder a la liquidación de los jornales.
7. Registrar la Producción.
8. Determinar los costos de producción.
9. Orientar la política de precios.
10. Controlar los resultados de la actividad fabril y comercial.
11. Confeccionar estadísticas.
12. Preparar presupuestos.
Segundo plano (una vez organizada la empresa con nueva estructura de costos)
1. Estructurar y mantener actualizado el plan de cuentas de la contabilidad de costos.
2. Orientar los movimientos de ingresos y egresos de las fichas de existencias de materia prima,
artículos generales y productos terminados.
3. Controlar mensualmente el relevamiento del inventario de las existencias en proceso de
fabricación.
4. Establecer las variaciones entre los costos reales y los costos standard de las secciones fabriles e
investigarlas, cooperando con la supervisión para subsanar las anormalidades causantes de las
respectivas diferencias.
5. Efectuar reuniones con los jefes de fábrica para analizar y discutir resultados.
6. Promover trabajos generales de organización y estudio de sistemas que afecten a las áreas fabril,
de servicio y comercial, hacerlos publicar y vigilar su aplicación.
7. Asesorar a la dirección, gerencias, y jefes de planta en cuestiones de costos relacionadas con
ampliación o cierre de sectores de fábrica, artículos nuevos, modificación de horarios de trabajo,
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instalación de nueva maquinaria, cambios de métodos o especificaciones, niveles óptimos de
producción, etc.
8. Coordinar mensualmente el programa de las fechas de entregas de todos los trabajos
administrativos que afecten a su departamento, para que el resultado de la operación se conozca
antes del sexto día hábil del mes siguiente al que se registra.
9. Determinar precios orientativos de venta de los artículos producidos y mantener informada a la
gerencia comercial sobre cualquier variación actual o futura de costos, que pueda repercutir en
sus planes.
10. Asesorar a la misma gerencia en materia de política de precios; alternativas de mezcla, volumen
y condiciones de venta, etc.
11. Calcular el monto invertido en cada línea de producto para poder relacionar las ganancias con el
capital que las produce.
12. Vigilar la continua rotación de las existencias ejerciendo controles sobre los artículos sin
movimiento y exigiendo a los responsables definición sobre su futuro destino.
13. Controlar y administrar el sistema de control presupuestario.
14. Fomentar, dentro y fuera del sector a su cargo, un espíritu afín con la atmósfera de costos, sea
promoviendo reuniones con los jefes de fábrica, inspirando entre el personal una capacitación
más eficiente y, en general, tratando de aprovechar todos los contactos con la supervisión para
inculcarles ideas de beneficio común.
15. Lograr su vinculación a asociaciones que profundicen el estudio de las técnicas del costo de
producción, analizar libros y publicaciones, asistir a conferencias y ponerse al corriente de las
mejores prácticas modernas con miras a su posible aplicación en la empresa.
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PROBLEMAS DE PROGRAMACIÓN LINEAL METODO GRAFICO
Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones.
Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un
máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además
queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál
tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?
Solución
Es un problema de programación lineal.
Llamamos x a la cantidad que invertimos en acciones de tipo A
Llamamos y a la cantidad que invertimos en acciones de tipo B
inversión rendimiento
Tipo A x 0,1x
Tipo B y 0,08y
210000 0,1x+0,08y
Condiciones que deben cumplirse (restricciones):
R1
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R2
R3
R4
Dibujamos las rectas auxiliares asociadas a las restricciones para conseguir la región factible
(conjunto de puntos que cumplen esas condiciones)
r1 r2 (paralela a OY) r3(paralela a OX) r4
x y x y x y x y
0 210000 130000 0 0 60000 0 0
210000 0 130000 65000
La región factible es la pintada de amarillo, de vértices A, B, C, D y E
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A(0, 60000), B(120000, 60000), C(130000, 65000), D(130000, 80000) y E(0, 210000)
La función objetivo es;
F(x, y)= 0,1x+0,08y
Si dibujamos la curva F(x, y) =0 (en rojo) y la desplazamos se puede comprobar gráficamente
que el vértice mas alejado es el D, y por tanto es la solución óptima.
Comprobarlo analíticamente (es decir comprobar que el valor máximo de la función
objetivo, F, se alcanza en el vértice D)
2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un
cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una
tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de
beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de
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relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo.
¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el
beneficio?
Solución
En primer lugar hacemos una tabla para organizar los datos:
Tipo Nº Bizcocho Relleno Beneficio
T. Vienesa x 1.x 0,250x 250x
T. Real y 1.y 0,500y 400y
150 50
Función objetivo (hay que obtener su máximo): f(x, y)=250x+ 400y
Sujeta a las siguientes condiciones (restricciones del problema):
Consideramos las rectas auxiliares a las restricciones y dibujamos la región factible:
Para 0.25x+0.50y=50, ó x + 2y=200
x Y
0 100
200 0
Para x + y =150
x Y
0 150
150 0
La otras dos son paralelas a los ejes
Al eje OY x=125
Al eje Ox y =125
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Y las otras restricciones (x e y mayor o igual a cero) nos indican que las soluciones deben estar
en el primer cuadrante
La región factible la hemos coloreado de amarillo:
Encontremos los vértices:
El O(0,0), el A(125, 0) y el D(0, 100) se encuentran directamente (son las intersecciones con
los ejes coordenados)
Se observa que la restricción y es redundante (es decir “sobra”)
Resolviendo el sistema:
, por reducción obtenemos y=50, x=100
Otro vértice es el punto C(100, 50)
Y el último vértice que nos falta se obtiene resolviendo el sistema:
X+y=150
X=125
Cuya solución es: X=125, Y=25 B(125, 25)
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Los vértices de la región son O(0,0), A(125,0), B(125,25) y C(100,50) y D(0,100),
Si dibujamos el vector de dirección de la función objetivo f(x, y)=250x+ 400y
Haciendo 250x+ 400y =0, y=-(250/400)x=-125x/200
x Y
0 0
200 -125
Se ve gráficamente que la solución es el punto (100, 50), ya que es el vértice mas alejado (el
último que nos encontramos al desplazar la rectas 250x+400y=0 )
Lo comprobamos con el método analítico, es decir usando el teorema que dice que si existe
solución única debe hallarse en uno de los vértices
La unción objetivo era: f(x, y)=250x+400y, sustituyendo en los vértices obtenemos
f(125,0)=31.250
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f(125,25)=31.250+10.000=41.250
f(100,50)=25.000+20.000=45.000
f(0,100)=40.000
El máximo beneficio es 45.000 y se obtiene en el punto (100, 50)
Conclusión: se tienen que vender 100 tartas vienesas y 50 tartas reales.
3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8
autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El
alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuantos de
cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.
Solución
Es un problema de programación lineal, en este caso lo que queremos es hacer mínima la función
objetivo.
Llamamos x al nº de autocares de 40 plazas e y al nº de autocares de 50 plazas que alquila la
escuela.
Entonces se tiene x , y
Como sólo hay 9 conductores se verifica que: x +y
Como tienen que caber 400 alumnos se debe de verificar:
40x +50y , que simplificada quedaría 4 x +5y
Por lo tanto las restricciones que nos van a permitir calcular la región factible (conjunto de
puntos solución donde se cumplen todas las condiciones) son
La función objetivo es F(x, y)= 60x+ 80y
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Dibujamos las rectas auxiliares,
r1 r2 r3 r4
x y x y x y x y
8 0 0 10 0 9 0 8
0 9 10 0
Así como la de que corresponde a F(x, y)=0 que se dibuja en rojo.
Teniendo en cuenta las restricciones ( la de R4 es la parte de arriba y que la R3 es la parte de
abajo), se encuentra la región factible. En el dibujo es la parte amarilla.
Los vértices son (0, 8), (0, 9) y el (5, 4), este último es el punto de intersección de las rectas r3 y
r4
por reducción
restando ambas ecuaciones se tiene x =5 y sustituyendo en la 1ª ecuación, y =4
Resolviendo gráficamente se llega a que el punto (5, 4) es la solución del problema. La solución
óptima .
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Comprobarlo sustituyendo en F(x, y) todos los vértices y que este es el que da menor valor
(método analítico).
4. Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta
calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2
toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de
mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja ca lidad. Sabiendo que el
coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada
mina para que el coste sea mínimo?.
Solución
Organizamos los datos en una tabla:
días Alta calidad Calidad media Baja calidad Coste diario
Mina A x 1x 3x 5x 2000x
Mina B y 2y 2y 2y 2000y
80 160 200
La función objetivo C(x, y)=2000x + 2000y
Las restricciones son:
La región factible la obtenemos dibujando las rectas auxiliares: r1 x + 2y=80, r2 3x + 2y=
160 y r3 5x + 2y=200 en el primer cuadrante y considerando la región no acotada que
determina el sistema de restricciones:
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Los vértices son los puntos A(0, 100), B(20, 50), C(40, 20), D(80, 0), que se encuentran al
resolver el sistema que determinan dos a dos las rectas auxiliares y (y que estén dentro de la
región factible).
r1 r2 que nos da el punto (40, 20) (comprobarlo)
r2 r3 que nos da el punto (20, 50)
r1 r3 no hace falta calcularlo pues queda fuera de la región factible.
En la gráfica se aprecia que el primer punto que se alcanza al desplazar la recta C(x, y)=0 es el
(40, 20). Luego la solución es trabajar 40 días en la mina A y 20 en la B. (método gráfico)
Lo comprobamos aplicando el método analítico:
C(0, 100)=2000.100=200000
C(20, 50)=2000.20+2000.50=40000 + 100000= 140000
C(40, 20)= 2000. 40+2000.20=80000 + 40000= 120000 coste mínimo
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C(80, 0)= 2000.80 =160000
5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar e lectricistas y
mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de
mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de
electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa
por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de
cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?
Sea x = nº electricistas
y = nº mecánicos
La función objetivo
f (x, y)=250x+ 200y , las restricciones
La región factible sería para estas restricciones:
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Se aprecia gráficamente (línea en rojo) que la solución óptima está en el punto (20, 20).
Por tanto:
20 electricistas y 20 mecánicos dan el máximo beneficio, y este es 9000 euros, ya que f(x, y)
=250.20+200.20=9000
6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000
plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T
es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.
El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la
tercera parte de las del tipo T que se oferten.
Calcular cuántas tienen que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.
Solución
Sea x el nº que se ofertan de tipo T, y el nº que se ofertan de tipo P.
nº Ganancia
Turista x 30x
Primera y 40y
Total 5000 30x +40y
La función objetivo es:
f(x, y)=30x +40y
Las restricciones:
La región factible:
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Los vértices, A(0, 5000), B(3750, 1250), C(4500, 500) y D(4500, 0) (comprueba el punto B
resolviendo el sistema correspondiente)
El método gráfico nos da que el punto solución es el B (3750, 1250)
Comprueba los resultados usando el método analítico (sustituyendo los puntos vértices en f y
viendo q el máximo valor se obtiene en B)
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EJEMPLO 1:
Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas
pequeñas. Tienen interés en saber cuantas auditorías y liquidaciones pueden realizar
mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320
horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas
de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8
horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de
liquidaciones mensuales disponibles es de 60.
OBJETIVO : Maximizar el ingreso total.
VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1).
Cantidad de liquidaciones (X2).
RESTRICCIONES : Tiempo disponible de trabajo directo
Tiempo disponible de revisión
Número máximo de liquidaciones.
Maximizar
Sujeto a:
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La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones
factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor
valor de la función objetivo será la solución óptima.
EJEMPLO 2.
UNACH 2.013

Un departamento de publicidad tiene que planear para el próximo mes una estrategia de
publicidad para el lanzamiento de una línea de T.V. a color tiene a consideración 2 medios de
difusión: La televisión y el periódico.
Los estudios de mercado han mostrado que:
1. La publicidad por T.V. Llega al 2 % de las familias de ingresos altos y al 3 % de las familias
de ingresos medios por comercial.
2. La publicidad en el periódico llega al 3 % de las familias de ingresos altos y al 6 % de las
familias de ingresos medios por anuncio.
La publicidad en periódico tiene un costo de 500 dls. por anuncio y la publicidad por T.V. tiene
un costo de 2000 dls. por comercial. La meta es obtener al menos una presentación como
mínimo al 36 % de las familias de ingresos altos y al 60 % de las familias de ingresos medios
minimizando los costos de publicidad.
OBJETIVO : Minimizar los costos de publicidad.
VARIABLE DE DECISION: Anuncios para las familias de ingreso alto (X1).
Anuncios para las familias de ingreso medio (X2).
RESTRICCIONES : Porcentaje de presentación.
Minimizar
Sujeto a:
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SOLUCION OPTIMA:
EJEMPLO 3.
UNACH 2.013

Un expendio de carnes acostumbra preparar carne para hamburguesa con una combinación de
carne molida de res y carne molida de cerdo. La carne de res contiene 80 % de carne y 20 % de
grasa y le cuesta a la tienda 80 centavos por libra. La carne de cerdo contiene 68 % de carne y 32
% de grasa y cuesta 60 centavos por libra. ¿Qué cantidad de cada tipo de carne debe emplear la
tienda por cada libra de carne para hamburguesa si desea minimizar el costo y mantener el
contenido de grasa no mayor de 25 %?
Minimizar
Sujeto a:
SOLUCION OPTIMA:
NOTA: Una desigualdad define un medio plano y una igualdad define una línea.
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Holgura Es todo recurso no utilizado, o capacidad no utilizada producto de una restricción de
tipo ≤
Excedente Es todo exceso o supera a un producto de una restricción de tipo ≥
Cuando una de las variables de holgura o excedente tiene un valor mayor a cero (0.0) indica que
la restricción a la cual está asociada es una restricción inactiva. Y cuando ese valor de la variable
de holgura o excedente es cero (0.0), es porque la restricción a la cual están asociadas es una
restricción activa. Dicho en otra forma, Una restricción será
Activa, si al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en dicha restricción, el
valor resultante en su miembro izquierdo es igual al valor del miembro derecho (RHS). Un caso
especial es el de la restricción de igualdad, donde este tipo de
restricción siempre es activa. Si una restricción no es activa, se dice que es inactiva. Esto es
cuando al sustituir los valores de las variables de la solución óptima en la restricción en cuestión,
el valor resultante del lado izquierdo (de la restricción) no coincide con el valor del lado derecho
de la restricción.
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EL PROBLEMA DUAL
En un modelo de programación lineal cada problema lineal t iene otro problema denominado problema dual
(PD), que posee importantes propiedades y relaciones notables con respecto al
Problema lineal original, llamado problema primal (PP)
.
Las relaciones las podemos enumerar como siguen:
a) El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el programa primal.
b) El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el programa primal
c) Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos independientes de las
restricciones o RHS del programa primal
d) Los términos independientes de las restricciones o RHS del dual son los coeficientes de la función objetivo
del problema primal.
e) La matriz de coeficientes técnicos del problema duales la traspuesta de la matriz técnica del problema
primal.
f) El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el signo de las variables del mismo
problema, dependen de la forma de que tenga el signo de las variables del problema
Primal y del sentido de las restricciones del mismo problema. ( Ver tabla de TUCKER)
g) Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual es un problema de
Minimización
h) El problema dual de un problema dual es el programa primal original.
Tabla de TUCKER
MAXIMIZACION
RESTRICCIONES
≤
≥
=
VARIABLES
≥
≤
> <
MINIMIZACIÓN
VARIABLES
≥
≥
> <
RESTRICCIONES
≥
≤
=
Los problemas duales simétricos son los que se obtienen de un problema primal en forma canónica y
‘normalizada’, es decir, cuando llevan asociadas desigualdades de la forma mayor o igual en los problemas de
minimización, y desigualdades menores o igual para los problemas de maximización.
CONCLUSIÓN
1.- Si una restricción del primal es no saturada, entonces la variable de dual asociada debe ser nula.
2.- Si una variable de primal es positiva, entonces la correspondiente restricción del dual es una restricción
saturada, es decir, se verifica como una igualdad.
UNACH 2.013

EL MÉTODO SIMPLEX
El Método Simplex es un procedimiento de cálculo algebráico, iterativo, para resolver Modelos Lineales
de cualquier tamaño. El algoritmo Simplex requiere que el Modelo Lineal, para ser solucionado, cumpla
las condiciones de Forma Estándar y Sistema Canónico.
La Forma Estándar incluye:
a) una Función Objetivo a optimizar
b) lado derecho de las restricciones con valor positivo
c) variables de decisión no negativas
d) las restricciones deben ser expresadas como igualdades.
Para transformar las restricciones en igualdades se deben incorporar las llamadas variables de holgura.
Una variable de holgura tiene coeficiente cero en la Función Objetivo. Se suman en restricciones del Tipo
≤ y se restan en restricciones del Tipo ≥
En términos matemáticos, expresan la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de las
restricciones. Al igual que las variables de decisión deben ser mayores o iguales a cero.
En términos del modelo representan la cantidad de recurso no utilizado con relación a un máximo
disponible (Parte ociosa de los recursos). Cuando la restricción es de una condición o requerimiento,
representan la cantidad de esa condición o requerimiento que se obtiene por encima de un mínimo o que
se deja de tener con relación a un máximo.
El Sistema Canónico en un Modelo Lineal significa que debe existir una variable básica en cada
restricción. Esto permite obtener una primera solución posible que satisface todas las restricciones.
Una variable básica tiene coeficiente 1 positivo en una restricción y no existe en las demás.
Las variables de decisión (estructurales) del modelo y las variables de holgura pueden ser
variables básicas. Cuando ninguna de ellas cumple con la condición de ser básica, se incorpora una
variable como artificio matemático, para cumplir con el sistema canónico y a esa variable se le llama
variable artificial. Una variable artificial debe tener incorporado un coeficiente muy alto en la Función
Objetivo, con signo negativo en maximización y con signo positivo en minimización. Con esto se logra
que el procedimiento Simplex las elimine de la solución en las primeras iteraciones. Estas variables deben
valer cero en la solución óptima del modelo.
Una Tabla Simplex es un resumen detallado de toda la información del modelo para trabajar más
fácilmente con él. La siguiente tabla expresa cómo deben ser recogidos los datos para resolver el
problema de programación líneal por el Método Simplex.
Modelo de Tabla Simplex
Itereración
V.B. Ec. # Coeficientes L.D. Razón
PROCEDIMIENTO PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE POR EL
MÉTODO SIMPLEX.
FASE I: Preparar el modelo inicial para construir la tabla:
1) Transformar los términos independientes en positivos (multiplicando por -1).
2) Si en alguna restricción, hay un solo proceso que está contenida en ella sola, lo convertiremos en
unitario (dividiendo por su coeficiente) y si no lo hago meteré una variable de holgura.
3) En las inecuaciones en las que encontramos ≤ introducimos una variable de holgura sumando.
4) En las inecuaciones en las que encontramos ≥ introducimos una variable de holgura restando y además
una variable artificial sumando para que en dicha restricción haya un proceso unitario positivo.
5) En las igualdades se introduce una variable artificial sumando si en la misma no existe una variable
unitaria positiva.
6) En toda restricción debe haber una variable unitaria positiva.
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7) Las variables de holgura, a la hora de introducirlas en la función objetivo lo haremos siempre con
coeficiente cero, y las variables artificiales se introducen con el coeficiente –m si estamos
maximizando 0 m si estamos minimizando.
8) Igualar a cero la función objetivo
FASE II: Construir la tabla y resolver el algoritmo.
Paso 1: Construir la tabla del método Simplex y rellenamos la tabla con los coeficientes. Comprobamos
que las variables básicas tienen un coeficiente de 1 en la intersección de su renglón y columna
correspondiente y cero en los demás renglones incluido la función objetivo. Si no es así (como en el caso
de la existencia de variables artificiales, eliminamos el coeficiente m del renglón 0 utilizando como pivote
la ecuación que incorpora la variable artificial)
Paso 2: La S.B.F. es óptima, si y sólo si todos los coeficientes del renglón (0) son no negativos. De lo
contrario se debe iterar. En
Paso 3: Si comprobamos que hay coeficientes negativos en el renglón (0), marcamos el mayor en valor
absoluto y esta será la variable no básica que entra a la base. Para determinar la variable básica que sale
de la base, marcamos la columna debajo del coeficiente de la variable
que entra y se le da el nombre columna pivote.
Aplicamos la prueba del cociente mínimo para determinar cuál es la variable básica que sale.
a) Elegimos los coeficientes de la columna pivote positivos
b) Se divide cada coeficiente del lado derecho entre los coeficientes de la columna pivote
c) Se identifica el renglón con la menor razón
La variable básica para este renglón es la que sale y se le da el nombre de renglón pivote. La intersección
entre la columna pivote y el renglón pivote lo denominamos número pivote. El patrón de coeficientes en
la columna de la variable que entra en la base, debe quedar como actualmente está el patrón de
coeficientes de la variable que sale.
Paso 4: Calculamos los nuevos coeficientes de la matriz:
a) Coeficientes del renglón de la variable que entra: Dividimos el renglón pivote entre el número
pivote y el resultado serán los coeficientes del nuevo renglón de la variable que entra.
b) Coeficientes de los demás renglones : Dividimos el nuevo renglón de la variable que entra por
menos el coeficiente del de la variable que entra en el renglón que estamos calculando y al
resultado, le sumamos el renglón que teníamos inicialmente
Paso 5: Construimos la tabla con los resultados.
Paso 6: En la nueva matriz, comprobamos los coeficientes del renglón cero, si todavía existen coeficientes
negativos, se sigue iterando, de lo contrario hemos terminado y hallamos la solución óptima.
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Ejercicio Minimizacion
Minimizar Z = 4X1 + 12X2 + 18X3
SA:
X1 + 3X3 > 3
2X2 + 2X3 > 5
CNN:
X1, X2, X3 > 0
PARA RESOLVER PROBLEMAS DE MINIMIZACION, multiplique toda la expresión por (-1)
para cambiar el signo "MAYOR QUE" a "MENOR QUE".
Maximizar Z = -4X1 - 12X2 - 18X3
SA:
-X1 - 3X3 < -3
-2X2 - 2X3 < -5
SE PROCEDE A RESOLVERLO DE LA SIGUIENTE FORMA
1. HACER CERO LA FUNCION "Z"
2. SELECCIONAR LA FILA "SOL" MAS NEGATIVA
3. DIVIDIR LA FILA"Z" ENTRE LA FILA MAS NEGATIVA PARA DETERMINAR
LA COLUMNA MAS NEGATIVA
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