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  1. 1. 1 Tema I: Relaciones y Funciones 1. Relaciones 1.1. Par Ordenado Una pareja ordenada se compone de dos elementos “X” y “Y”; escribiéndose (X, Y) donde “X” es el primer elemento y “Y” el segundo elemento. Si (a, b) = (c, d) entonces: a=c y b= d Ojo: (a;b) ≠ (b;a) 1.2. Producto Cartesiano Se llama producto cartesiano AxB, al conjunto formado por todos los pares ordenados (a; b) tales que a ϵ A y b ϵ B. E1) Si A= {3; 5; 7} y B= {1; 2}. Halla i) A x B ii) B x A E2) Halla H x F sabiendo que: H= {X ϵ Z / -2 < X ≤ 2} F= {X + 1 / -3 < X < 1; X ϵ Z} 2 1.3. Relaciones binarias Dado dos conjuntos A y B, decimos que R es una relación de A en B si es un subconjunto del producto cartesiano A x B, o también R es una relación de B en A si es un subconjunto del producto cartesiano B x A. Se denota: R: A  B  R  A x B Dónde: R: A  B, se lee: “R es una relación de A en B” R  A x B, se lee: “R está incluido en A x B” o “R es un subconjunto de A x B”
  2. 2. 2 Dominio y Rango de una relación Dominio: Son todas las primeras componentes de los pares ordenados de la relación. Rango: Son todas las segundas componentes de los pares ordenados de la relación. En una relación hay: a) Un conjunto de partida b) Un conjunto de llegada c) Una regla de correspondencia E1) A= {5; 8; 11}, B= {4; 7; 10} R1= {(x; y) ϵ A x B / x < y} Conjunto de partida es A= Conjunto de llegada es B= Regla de correspondencia: Diagrama de Flecha Diagrama Cartesiano R1= Dominio de R1= { } Rango de R1= { } E2) A= {x2 – 1 / -2 ≤ x < 3; x ϵ Z}. R2= {(x; y) ϵ A x N /y= x2 + 3} 1.4. Relación Inversa E1) R= {(x; y) ϵ A x B / x tiene y} Diagrama de Flechas Dominio (R)= Rango (R)= R=
  3. 3. 3 Determinando la relación inversa 1.5. Relaciones definidas en un conjunto A= {cuaderno, mesa, televisor, bar, regla} R= {(x; y) / x “termina con la misma letra que” y} El conjunto R expresado por extensión y utilizando solo las letras iniciales para indicar a sus elementos es el siguiente: R= Si a R b sale una flecha de a hacia b Si a R a sale una flecha de a y vuelve a a 1.6. Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto A. Reflexiva: Es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado está relacionado consigo mismo. E1) A= {543; 27; 108} y R1: A  A definido por R1= {(x; y) / x tiene tantas cifras como y} Dominio (R-1) = Rango (R-1) = R-1=
  4. 4. 4 Luego, el conjunto R1 expresado por extensión sería: R1= Diagrama de flechas Notar que: 543 Ɛ A y 543 R1 543 108 Ɛ A y 108 R1 108 27 Ɛ A y 27 R1 27 B. Simétrica: Se da cuando cada vez que “a” está relacionado con “b”, entonces “b” está relacionado con “a”. Ejemplo: A={4; 7; 9} y la relación R: A  A / R= {(X; Y) / X + Y es par} Entonces R= Graficamos: En este diagrama vemos que de 7 sale una flecha hacia 9 y otra flecha vuelve de 9 hacia 7. Esto indica que R es simétrica.
  5. 5. 5 C. Transitiva: Es transitiva si cada vez que “a” está relacionado con “b” y “b” está relacionado con “c”, entonces “a” está relacionado con “c”. Ejemplo: A= {6; 13; 17; 25} se define la relación: R= {(X; Y) / X tiene igual número de cifras que Y} R= { Graficamos: 1.7. Relación de equivalencia Una relación es de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo: A= {Ángel, Beto, Luis, Juan} y la relación: R= {(X; Y) / X tiene tantas letras como Y} Expresando por extensión esta relación, se obtiene: R= Graficamos:
  6. 6. 6 2. Funciones 2.1. Definición: Una relación de F de A en B denotada por F: AB es una función si y solo si a cada elemento X Ɛ A, le corresponde un único elemento Y Ɛ B a través de F. Simbólicamente: F= {(X; Y) Ɛ A x B / Y=F(X)} Donde: A: Es el conjunto de partida B: Es el conjunto de llegada Y= F(X): es la regla de correspondencia Dom(f): es el dominio de F Ran(f): es el rango de F. E1) Dado A= {2; 4; 6; 8} B= {1; 3; 4; 5; 6; 7} Halla f= {(x; y) Ɛ A x B / y= x + 1}; Dom(f); Ran(f); Elabora el diagrama sagital E2) Dado A= {2; 3; 4; 5} B= {3; 8; 15; 24; 26} Halla f= {(x; y) Ɛ A x B / y= x2 - 1}; Dom(f); Ran(f); Diagrama sagital 2.2. Cómo reconocer si una relación es una función Una relación es una función cuando de cada punto del dominio sale sólo una flecha.
  7. 7. 7 2.3. Funciones reales de variable real (f: R  R) 3. sdf

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