República De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Instituto Politécnico Universitario “Santiago Mariño”
Faculta De Arquitectura
Barcelona- Anzoátegui
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
Profesor: Estudiante:
Pedro Beltrán Elixandro Hernández
CI:28670596
Noviembre 2019

El uso de ecuaciones paramétricas para representar una trayectoria te
permite ver la naturaleza dinámica del movimiento y te permite ajustar
la rapidez de la ruta al cambiar el paso . En la presente investigación
podremos indagar sobre algunos de los aspecto sobre la ecuación
parametrica, entre ellas el usar de manera eficiente una graficadora
ya que su importan ia radica en desarrollar la destreza de representar
una gráfica mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas de
igual manera analizaremos sobre la representación paramétrica de
una curva en un espacio dimensional cuya consiste en n funciones de
una variable t que en un caso seria la variable independiente de las
formas.
Introducción

En el mundo se rigen diversos tipos de magnitudes
físicas que tienen intensidad y una dirección , tenemos
como ejemplo la fuerza y la velocidad , los vectores no
ayudan a representarla de manera grafica todo estos
tipos de magnitudes, y el algebra vectorial nos ayuda a
manejarla y hacer calculo
Generalidades del algebra vectorial

Fundamentos
El álgebra vectorial se originó del estudio de los
cuaterniones (extensión de los números reales) 1, i, j, y k,
así como también de la geometría cartesiana promovida
por Gibbs y Heaviside, quienes se dieron cuenta de que
los vectores servirían de instrumento para representar
varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres
fundamentos: Geométricamente, Analíticamente y
Axiomáticamente

Según convenga para el propósito particular, se
usan vectores de distintos tipos:
Vector deslizante. Puede considerarse en cualquier
posición dentro de una recta ("recta de acción"). Dos
vectores de igual módulo y sentido sobre la misma recta,
son el mismo vector deslizante.
Vector ligado. Está asociado a un determinado punto
del espacio (punto de aplicación).
Vector libre. no se considera asociado a ningún punto ni
recta particular.

MOMENTO DE UN VECTOR DESLIZANTE
Siempre se presupone el estado de equilibrio del sólido
analizado, y por tanto de cualquiera de sus partes. Como es
sabido, a efectos del equilibrio, es indiferente que las
fuerzas se apliquen en uno u otro punto, con tal de que se
mantengan en la misma línea de acción. Por ello, el álgebra
de vectores deslizantes es especialmente interesante en
todos los problemas que involucren equilibrio de fuerzas. A
continuación se reseñan algunos de sus conceptos básicos.

Es un vector Mo que puede considerarse
ligado al punto O, aunque suele
considerarse como libre. Véase la nota al
final de esta página. Siendo A un punto
cualquiera de la recta de acción, su valor
se obtiene del producto vectorial OAxv. El
resultado es independiente del punto que
se elija sobre la recta de acción.
Momento de un vector
deslizante v respecto de un punto O.

Es un vector deslizante sobre la recta. Se
obtiene proyectando sobre ella el momento
respecto a uno de sus puntos O, siendo
indiferente el punto O que se elija sobre la
recta. Si es e un vector unitario sobre la
recta, el valor del momento respecto de la
recta viene dado por ( Mo · e ) e.
Momento de un vector deslizante
respecto de una recta (r).

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
Un sistema de vectores deslizantes es cualquier conjunto de
vectores deslizantes, digamos vi, con i=1...n, actuando en sus
respectivas rectas de acción (ri). Llamaremos Ai a un punto
genérico en la recta de acción (ri) del vector vi.
Resultante de un sistema de vectores deslizantes.
Es un vector libre R que se obtiene como adición de los vectores
libres asociados a los vectores del sistema:
R = v1 + v2 +...+ vn = S vi
Se le conoce también como primer invariante del sistema de
vectores.

IGUALDAD Y EQUIVALENCIA DE SISTEMAS DE VECTORES
DESLIZANTES
Dos sistemas de vectores deslizantes son iguales si contienen
exactamente los mismos vectores.
Dos sistemas de vectores deslizantes son equivalentes si tienen
el mismo campo de momentos.
Por ejemplo: Una condición necesaria y suficiente para que dos
sistemas sean equivalentes es que tengan la misma resultante y
el mismo momento respecto de un punto dado. Otra condición
necesaria y suficiente es que tengan el mismo momento respecto
de tres puntos dados

REDUCCIÓN DE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
Definición: Una reducción de un sistema de vectores es otro
sistema de vectores que sea equivalente y resulte más sencillo de
manejar.
Reducciones más típicas. El esquema siguiente muestra algunas de
las reducciones más típicas según sean o no nulas la resultante y el
momento mínimo.
R # 0 (resultante no nula)
R.Mo # 0 (momento mínimo no nulo)
R.Mo = 0 (momento mínimo nulo)
R = 0 (resultante nula) El campo de momentos será uniforme.
M # 0 (momento mínimo no nulo)

Algunos casos particulares de reducción.
Un sistema de vectores paralelos siempre tendrá momento
mínimo nulo. Puede entenderse razonando que R tendrá la
dirección de los vectores, mientras que el momento de cada
vector respecto de un punto dado será perpendicular a esa
dirección (por ser un producto vectorial en que unos de los
factores es el vector). La suma de todos los momentos será
también perpendicular a esa dirección, evidenciando que el
momento mínimo será nulo. por tanto, la reducción más
sencilla será la resultante aplicada en el eje central.

Un sistema de vectores coplanarios también tendrá siempre
momento mínimo nulo. Puede verse razonando que R estará en el
plano, mientras que el momento de cada vector respecto de un
punto del plano será perpendicular al plano, y la suma de todos los
momentos también lo será, evidenciando que el momento mínimo
será nulo.
Por tanto, la reducción más sencilla
será la resultante aplicada en el eje
central. Esto es aplicable a cualquier
problema "bidimensional", entendiendo
por ello que todas las rectas de acción
de los vectores estén en el mismo
plano, como representa el caso de la
figura siguiente

Son un sistema de ecuaciones paramétricas que
permiten representar una curva o superficie en el
plano o en el espacio, mediante valores que
recorren un intervalo de números reales, mediante
una variable , llamada parámetro, considerando
cada coordenada de un punto como una función
dependiente del parámetro.
Ecuaciones para métricas.

En el caso de una función real de una
variable real, y =f(x), en algunos casos
es preferible, tratándose del par
ordenado (x,y) , expresar cada una de
las coordenadas como una función;
esto es x= g(t) , y = h(t). De tal manera
que a t se le denomina parámetro' y
al sistema formado por x= g(t) , y = h(t)
se denomina ecuaciones
paramétricas.de la función.
Extendiendo este concepto para el caso de curvas se puede
hablar que las ecuaciones x= g(t) , y = h(t) definen una curva
recorriendo algún intervalo de números reales.
Ejemplos:
Un ejemplo de esta, es cuando se
usa un parámetro de tiempo (t)
para determinar la posición y la
velocidad de un móvil.

.Las ecuaciones paramétricas x = 2t-5, y = 4t - 7, que
corresponden a la recta de ecuación y=2x+3.
.Las de la cicloide son x = a(t-sent), y = a( 1-cost);
siendo a el radio de la circunferencia rodante sin
resbalamiento por una recta horizontal; t el ángulo
central de la circunferencia , cuyo uno de los lados
pasa por un punto de la cicloide y el otro, por el punto
de contacto de la circunferencia con la recta donde
rueda.

En el espacio
En el espacio R3 cada punto de una curva se puede definir por un
sistema de tres ecuaciones x= x(t), y = y(t), z= z(t).
Como ejemplo , la hélice circular tiene l estas ecuaciones paramétricas x
= a cos t, y = a sen t, z = bt
Para describir una superficie en el espacio R3 se emplean dos parámetros.:
s, t. y el correspondiente sistema de tres ecuaciones paramétricas es x =
x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t), resolviendo para s y t el sistema formado por las
dos primeras ecuaciones y reemplazando en la ecuación z= z(s,t) se puede
obtener z= f(x,y) o bien F(x,y,z) = 0

Por ejemplo para la esfera, el sistema de ecuaciones
paramétricas es x = a cos s sent, y = asen s sen t , z = a cos t.
Se aplica en el estudio de la curvatura, radio de curvatura de
una curva plana, la curvatura y la torsión de una curva en el
espacio; plano tangente de una superficie., etc. y da motiva a
la llamada derivación de ecuaciones paramétricas con
resultados peculiares.

Curvas definidas en forma paramétrica
En el plano Para representar una curva en el plano definida en
forma paramétrica por la función 1 2 f ( )t f = = [ (t), f (t)] (x, y) , con
t definido en el intervalo [ ] se sustituye en lugar de la expresión de
min max t t, f , la lista [ min max ( )t y, ]. El hecho de que la lista
(vector) conste de tres elementos y el tercero de ellos sea un
rango, hace que el programa reconozca una representación
geométrica en el plano en lugar de un gráfico múltiple. Tanto el
rango de x como el de y son opcionales.

Ejemplo: Represente la curva definida paramétricamente
por:

Curvas definidas en forma paramétrica en el espacio Para representar curvas
en forma paramétrica en el espacio se usa la orden spacecurve contenida en
la librería plots, cuya
sintaxis viene dada por: spacecurve
([x(t),y(t),z(t)],t=a..b,) ; Ejemplo:
Represente la curva definidita
paramétricamente por:

Hasta ahora conocemos la representación de una grafica
mediante una ecuación con dos variables. En este tema
estudiaremos las situaciones en las que se emplean tres
variables para representar una curva en el plano.
Grafica de ecuaciones paramétricas.

curva dada por las ecuaciones parametricas: x=t2 -4Y y t/2 en:

Transformación de las ecuaciones
paramétricas a las cartesianas.
Es un sistema de coordendas bidimensional en el cual
cada punto del plano se determina por un ángulo y una distancia.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se
le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL)
que pasa por O, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema
cartesiano), como sistema de referencia.

Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica
(para poder asignar distancias entre cada par de puntos del
plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r,
θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado
entre el eje polar y la recta dirigida OP que va de O a P.
El valor θ crece en sentido antihorario y decrece en sentido
horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada
radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la
«coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen , O, el valor de r es cero, pero el valor de θ
es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de
representar el origen por (0,0º).

Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo 0 sobre el
eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

Longitud de arco en ecuaciones
paramétricas.
En matemática, longitud de arco, también llamada rectificación
de una curva, es la medida de la distancia o camino recorrido a
lo largo de una curva o dimensión lineal. Históricamente, ha
sido difícil determinar esta longitud en segmentos irregulares;
aunque fueron usados varios métodos para curvas específicas.
La llegada del calculo trajo consigo la fórmula general para
obtener soluciones cerradas para algunos casos.

La longitud de una curva parametrizada
Considera la curva parametrizada por las siguientes
ecuaciones:

Aplicación de ecuaciones vectoriales
paramétricas para la determinación
de las características cinemáticas de
una partícula en movimiento.
Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a otro
cuando existe un cambio continuo de su posición relativa a lo largo
del tiempo. La rama de la Física que se dedica al estudio del
movimiento de los cuerpos es la Mecánica, y ésta se subdivide en
las siguientes disciplinas: Cinemática, Dinámica, Estática

Podemos deducir que hasta ahora hemos visto las curvas,
como gráficas de ecuaciones rectangulares. Una función de la
forma y = f (x) o de la forma x = g (y) determina una curva, donde
una de las variables está dada explícitamente como función de la
otra. Las curvas parametricas y funciones vectoriales de
un parametro con frecuencia se considera como una curva en
el plano como una línea trazada sobre un papel, tal como puede ser
una línea recta, una curva parabólica o una circunferencia. Siendo
esto evidente que debemos indicar de alguna manera los puntos
por donde pasa, los puntos que forman la curva.
Conclusión

Anexos
Grafica De Curvas Planas

ECUACIONES PARAMETRICAS-
LONGITUD DE ARCO

Pasar una ecuación paramétrica a cartesiana

•ECURED/Ecuaciones Paramétricas
https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
•EII.UVA.ES/Álgebra vectorial
https://www.eii.uva.es/reic/RMgrado/algebra_vectorial.htm
•. PEARSONENESPANOl/Ecuaciones paramétricas y
coordenadas polares
http://www.pearsonenespanol.com/docs/librariesprovider5/files_recursos
mcc/thomas_una_variable_13e_cap11.pdf?sfvrsn=4
•TESCICALCULO/Curvas planas, ecuaciones
parametricas
https://tescicalculo3.files.wordpress.com/2010/10/unidad-ii-matematicas-
iii.pdf
Bibliografía