Probabilidad de ruina en el modelo binomial compuesto para reclamaciones no convencionales

PROBABILIDAD DE RUINA EN EL MODELO BINOMIAL
COMPUESTO PARA RECLAMACIONES NO CONVENCIONALES.
EDWIN JAVIER CASTILLO CARRE ÑO
20062167010
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C.
2013

PROBABILIDAD DE RUINA EN EL MODELO BINOMIAL
COMPUESTO PARA RECLAMACIONES NO CONVENCIONALES
EDWIN JAVIER CASTILLO CARRE ÑO
20062167010
Trabajo de grado para optar al t´ıtulo de matemático
Director: M.Sc. Luis Alejandro Masmela Caita
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
PROYECTO CURRICULAR DE MATEMÁTICAS
BOGOTÁ D.C.
2013

Nota de aceptaci´on:
Firma del Director
Firma del Jurado
Firma del Jurado
Bogot´a D.C., 2013

Tabla de Contenidos
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Planteamiento del Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1. Marco Teórico 8
1.1. Funciones Generadoras de Probabilidad (fgp) . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2. Distribuciones Compuestas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. proceso de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Modelo de Riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1. Modelo de Riesgo Individual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4.2. Modelo de Riesgo Colectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Modelo Binomial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1

1.6. Teor´ıa de la Ruina a Tiempo Discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.1. Proceso de Riesgo a Tiempo Discreto . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6.2. Ruina y Probabilidad de Ruina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2. El Modelo 26
2.1. Modelo Binomial Compuesto sin Sobre-reclamaciones. . . . . . . . . . . 27
2.2. El Modelo Binomial Compuesto con Reclamaciones Relacionadas en el
Tiempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3. Fórmulas Recursivas Para el Cálculo de la Probabilidad de Ruina en
Tiempo Finito 40
Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4. Anexos 58
4.1. La Ruina del Jugador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.1. Solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2

INTRODUCCIÓN
El presente trabajo se basa en el estudio del art´ıculo Ruin Probabilities for the
Time Correlated in the Compound Binomial Model, (Guo, 2001) en donde
se propone el cálculo de fórmulas recursivas para la probabilidad de ruina en tiempo
finito de dos reclamaciones relacionadas en el tiempo, bajo el supuesto de un modelo
binomial compuesto; el tipo de relación que presentan estas reclamaciones lo hacen
de gran utilidad en las empresas aseguradoras. Se supone que existe una reclamación
principal en cualquier periodo de tiempo y que de esta reclamación principal puede
existir una sobre-reclamación o reclamación subsecuente en el mismo periodo de tiempo
o puede ser retrasada al siguiente periodo de tiempo, estas sobre reclamaciones en el
contexto práctico se presenta cuando existen agravantes sobre reclamaciones ya pagadas
o cuando se retrasa la liquidación de una porción de la reclamación principal.
Para poder realizar un análisis y una reconstrucción de los argumentos utilizados por
el autor, es necesario presentar y estudiar conceptos que se recibieron en el transcurso
del pregrado de matemáticas, como algunos conceptos directamente relacionados con
la teor´ıa de riesgo actuarial los cuales no son comúnmente presentados en el transcurso
de la carrera.
El primer cap´ıtulo trata los conceptos y propiedades principales de los fundamentos
del trabajo y de la teor´ıa de riesgo actuarial como lo son: las funciones generadoras de
probabilidad, las distribuciones compuestas, el modelo de riesgo individual, el modelo
de riesgo colectivo, el modelo binomial compuesto y la definición de teor´ıa de la ruina
a tiempo finito.
El segundo cap´ıtulo trata el modelo binomial compuesto para reclamaciones convencio-
nales presentado en (Gerber, 1988) en el que se prueba resultados encontrados en las
referencias del art´ıculo de estudio, dichos resultados son presentados por (Shiu , 1989),
(Dickson, 1994), (Alfredo, 2000) y se relacionan directamente con el cálculo de fórmu-
las recursivas para encontrar la probabilidad de ruina en un modelo de riesgo a tiempo
discreto y espec´ıficamente en un modelo binomial compuesto, además se mencionan
los supuestos bajo los cuales está sustentado el modelo de interés para reclamaciones
relacionadas en el tiempo.
El tercer cap´ıtulo trata el procedimiento para la obtención de fórmulas recursivas, que
3

permiten calcular la probabilidad de ruina para dos reclamaciones relacionadas en el
tiempo bajo el supuesto del modelo binomial compuesto. A partir de la serie geométrica,
las funciones de distribución, funciones generadoras de probabilidad y la manipulación
se encuentran las fórmulas (3.13) y (3.14) encontradas en (Guo, 2001), las cuales dan
el algoritmo recursivo para encontrar probabilidades de ruina en tiempo finito, para el
contexto de dos reclamaciones relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivos.
4

PLANTEAMINENTO DEL PROBLEMA
La teor´ıa de la ruina ha venido evolucionando para evitar problemas que se presentan
cada d´ıa en las compañ´ıas aseguradoras, muchos de los inconvenientes ocurren puesto
que para el estudio de esta teor´ıa es necesario determinar la forma en que se distribuyen
los montos de reclamación, la cantidad de siniestros, la cantidad de primas y el costo
de las mismas; además de esto existen situaciones inesperadas que no entran en las
consideraciones de los modelos matemáticos, lo cual puede desencadenar en un evento
desfavorable para la compañ´ıa.
(Guo, 2001), estudia una situación en la que intervienen reclamaciones relacionadas
en el tiempo, para facilitar el trabajo el autor hace uso del supuesto de un modelo
binomial compuesto propuesto por (Gerber, 1988) y sustentado en dicho él se presenta
de manera recursiva el cálculo de la probabilidad de ruina en tiempo finito para este
tipo de reclamaciones. Teniendo en cuenta que es necesario evitar el evento de ruina en
caso que se tengan reclamaciones relacionadas en el tiempo, se plantea el interrogante:
¿Cuáles son los procedimientos de tipo matemático, estad´ıstico y probabil´ıstico que uti-
liza el autor J.Y. Guo en el art´ıculo “Ruin probabilities for time-correlated claims in
the compound binomial model” para la obtención de las fórmulas 3.13 y 3.14 las cua-
les permiten calcular la probabilidad de ruina en tiempo finito para dos reclamaciones
relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivos?.
5

JUSTIFICACIÓN
En el amplio campo que cubren las matemáticas aplicadas, existen disciplinas poco
exploradas a lo largo del pregrado en matemáticas, una de estas es la teor´ıa de riesgo
actuarial, dicha disciplina está orientada a la gestión de negocios con participación
directa en procesos de desarrollo, gerencia, planificación y control en el sector de los
seguros, tal como plantea H.U Gerber quien afirma que “El objeto de la teor´ıa de riesgo
es proporcionar un análisis matemático de las fluctuaciones aleatorias en los seguros y
discutir los medios de protección contra sus efectos desfavorables.” (Gerber, 1988)
La teor´ıa de riesgo actuarial está sustentada en distintas ramas de la matemática como
lo son: la probabilidad, el análisis numérico y la estad´ıstica. Es la teor´ıa de la ruina
una de las temáticas de estudio donde más se evidencia la interacción de las ramas
mencionadas, esta se presenta como base fundamental para la gestión, planificación y
toma de decisiones en el sector asegurador permitiendo evitar problemas económicos,
consolidar empresas y planes de aseguramiento. Por lo tanto esta teor´ıa es de suma
importancia en el estudio de la teor´ıa del riesgo actuarial. Abordar la teor´ıa de ruina
implica tener conocimiento de la probabilidad con que ocurra el evento de ruina. Varios
teóricos han propuesto distintos modelos matemáticos los cuales se ajustan a diversas
situaciones que se presentan en dichas compañ´ıas. El modelo binomial compuesto se
destaca por su simplicidad y versatilidad, esto lo convierte en uno de los modelos con
mayor aplicación dentro del sector asegurador.
El presente estudio se basa en el art´ıculo “Ruin probabilities for time-correlated claims
in the compound binomial model” (Guo, 2001), en el cual se estudia la probabilidad
de ruina bajo el supuesto de un modelo binomial compuesto en situaciones en las
que se pueden presentar dos reclamaciones relacionadas en dos periodos de tiempo
consecutivos.
El cálculo mediante métodos recursivos es de gran importancia en la teor´ıa de riesgo
actuarial, ya que algunos de los problemas presentan soluciones anal´ıticas dispendiosas,
por esta razón se desea estudiar la forma en que se pueden obtener fórmulas recursivas
para el cálculo de la probabilidad de ruina para reclamaciones relacionadas en el tiempo
bajo el modelo binomial compuesto.
6

OBJETIVOS
Objetivo General
Reproducir en detalle los procedimientos algebraicos, probabil´ısticos y las herramientas
actuariales, utilizados en (Guo, 2001) para la obtención de las fórmulas recursivas, utili-
zadas para el cálculo de la probabilidad de ruina de horizonte finito para reclamaciones
relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivos.
Objetivos Espec´ıficos
Describir el planteamiento del modelo binomial compuesto para reclamaciones
relacionadas en dos periodos de tiempo consecutivo tratado en la sección 2 del
art´ıculo “Ruin probabilities for time-correlated claims in the compound binomial
model”. (Guo, 2001)
Explicar en detalle los procedimientos algebraicos y probabil´ısticos utilizados para
la obtención de fórmulas recursivas presentadas en la sección 3 del art´ıculo “Ruin
probabilities for time-correlated claims in the compound binomial model”. (Guo,
2001)
Presentar el procedimiento anal´ıtico empleado por (Guo, 2001) para la obtención
de las fórmulas (3.13) y (3.14) expuestas en el art´ıculo “Ruin probabilities for
time-correlated claims in the compound binomial model”.
7

CAPÍTULO 1
Marco Teórico
Las temáticas tratadas a continuación son la base teórica para comprender los procedi-
mientos y las herramientas que utiliza (Guo, 2001) para encontrar fórmulas recursivas
empleadas en el cálculo de la probabilidad de ruina, en este cap´ıtulo se presentan los
conceptos clave para contextualizar el ambiente donde se desenvuelve la teor´ıa de inte-
rés, para ello se presentan definiciones necesarias y propiedades que cumplen los objetos
que se manipulan durante el desarrollo de la monograf´ıa.
Los resultados que se presentan a continuación han sido encontrados en fuentes biblio-
gráficas que tratan ramas matemáticas tales como: la probabilidad, la estad´ıstica, los
procesos estocásticos y la teor´ıa de riesgo actuarial, entre otros.
1.1. Funciones Generadoras de Probabilidad (fgp)
El trabajo presentado se fundamenta en la manipulación de las funciones generadoras
de probabilidad. Este tipo de funciones se asocian a las distribuciones con las cuales se
modelan las reclamaciones a tratar en los siguientes cap´ıtulos; por lo tanto es necesario
introducir la definición y principales propiedades de dichas funciones.
8

Las funciones generadoras de probabilidad son transformaciones de las distribuciones
de probabilidad y constituyen una herramienta útil en la teor´ıa moderna de la probabi-
lidad. Las definiciones y resultados presentados en esta sección son tomadas de (Baley,
1964).
Definición 1. Si se tiene una Sucesión de números reales a0, a1, a2, ..., y si definimos
la función
G(t) = a0 + a1t + a2t2
+ . . . + antn
. . . =
∞
j=0
ajtj
entonces, si la serie converge en algún intervalo −t < t < t0, la función G(t) es llamada
la función generadora de la sucesión {aj}.
Ya que el interés del trabajo se centra en el estudio de las funciones generadoras de
probabilidad, se asume que la sucesión tiene las siguientes restricciones
aj ≥ 0 y
∞
j=0
aj = 1
bajo el supuesto anterior, la función G(t) es una función generadora de probabilidad.
Espec´ıficamente se considerará la distribución de probabilidad dada por
Pr(X = j) = pj
donde X es una variable aleatoria con soporte en Z+
, además, si se designa
Pr(X > j) = qj
se obtiene que la función de distribución vendra dada por
Pr(X ≤ j) = 1 − qj.
Con esto se puede definir la función generadora de probabilidad G(t) as´ı
G(t) =
∞
j=0
pjtj
9

De donde se deduce que G(t) = E(tX
).
Una de las principales razones por las cuales se estudian las fgp, es que desde su mani-
pulación como serie de potencias facilita la obtención de media, varianza y momentos
factoriales de las distribuciones, como se puede ver a continuación.
Esperanza.
E(X) =
∞
j=0
jpj = 0P0 + 1P1 + . . . + nPn + . . . =
∞
j=1
jPj = G′
(1)
Varianza.
Para esto es necesario tener en cuenta que:
E(X(X − 1)) =
∞
j=0
j(j − 1)pj = G′′
(1)
por lo tanto, se tiene desde la definición de varianza σ2
= E(X2
) − [E(X)]2
. Y as´ı
σ2
= G′′
(1) + G′
(1) − [G′
(1)]2
K-ésimo Momento Factorial.
Para calcular el k-ésimo momento factorial se procederá como en el caso anterior de la
varianza y as´ı se obtiene el siguiente resultado:
E(X(X − 1) . . . (X − (k + 1))) =
∞
j=0
j(j − 1) . . . (j − (k + 1))pj = G(k)
(1)
es decir el k-ésimo momento factorial se obtiene al derivar k veces la fgp y haciendo
t = 1.
En este caso si se deseara obtener los valores de probabilidad pj desde la fgp se puede
efectuar el siguiente algoritmo. Si G(t) es una función generadora de probabilidad fgp.
10

dada por
G(T) =
∞
j=0
pjtj
Entonces para obtener cada valor pj.
pj =
1
j!
dj
dtt
G(t)|t=0
=
P(j)
(0)
j!
1.2. Distribuciones Compuestas.
En el desarrollo de este trabajo será de vital importancia el estudio de las distribuciones
compuestas, ya que con estas se expone el modelo de riesgo colectivo. Una distribución
compuesta se presenta como la suma de variables aleatorias idénticamente distribuidas,
donde el número de términos de la suma está distribuido aleatoriamente. En (Kass,
2005) se encuentra el siguiente tratamiento sobre este tema.
Suponga que la variable aleatoria Sn se define como:
SN = X1 + X2 + X3 + . . . + XN
donde Xi, i = 1, . . . , n son variables aleatorias no negativas e independientes donde
P(Xi = p) = fp
P(N = n) = gn
P(SN = l) = hl
11

con sus correspondientes funciones generadoras de probabilidad (fgp)
F(x) =
∞
p=0
fpxp
G(x) =
∞
g=0
gnxn
H(x) =
∞
l=0
hlxl
.
Luego se puede escribir la fdp de la variable Sn como sigue
hl = P(SN = l)
=
∞
n=0
P(N = n)P(Sn = l|N = n)
=
∞
n=0
gnP(Sn = l|N = n)
Para un n fijo la fgp de Sn se puede escribir al calcular la n-ésima convolución de fp
con ella misma, es decir. (fp)n∗
, entonces
∞
l=0
P(Sn = l|N = n)xl
= (F(x))n
.
Y as´ı la función generadora H(x) puede ser expresada como
H(x) = hlxl
=
∞
l=0
xl
∞
n=0
gnP(Sn = l|N = n)
=
∞
n=0
gn
∞
l=0
P(Sn = l|N = n)xl
=
∞
n=0
gn(F(x))n
= G(F(x)).
12

En la teor´ıa de la probabilidad y estad´ıstica es necesario conocer caracter´ısticas princi-
pales de las distribuciones que se estudian, entre estas caracter´ısticas no pueden faltar
los momentos de cada distribución, por lo tanto para el caso de las distribuciones com-
puestas se presenta la obtención de dichos momentos.
Media y Varianza
Para calcular la esperanza de Sn. se utilizará la fórmula de la esperanza condicional de
S en N = n
E(S) = E(E(s|n)) =
∞
n=0
E(X1 + X2 + . . . + XN |N = n)P(N = n)
=
∞
n=0
E(X1 + X2 + . . . + Xn|N = n)P(N = n)
=
∞
n=0
E(X1 + X2 + . . . + Xn)P(N = n)
=
∞
n=0
nµP(N = n) = µE(N).
Para el cálculo de la varianza se presenta otro método diferente para la obtención de
E(S2
), esto para ilustrar una alternativa para el cálculo de la esperanza
E(S2
) = E


N
k=1
Xk
2

 = E


∞
n=1
χ(N = n)
n
k=1
Xk
2


=
∞
n=1
P(N = n)E(
n
k=1
Xk)2
=
∞
n=1
P(N = n)[var(
n
k=1
Xk)(E
n
k=1
Xk)2
]
=
∞
n=1
P(N = n)[nV ar(X) + n2
E(X)2
]
= E(N)V ar(X) + E(N2
)E(X)2
.
13

Con lo anterior se puede calcular la varianza de SN as´ı
V ar(S) = E(S2
) − [E(S)]2
= (E(N)V ar(X) + E(N2
)E(X)2
) − (E(N)E(X))2
= E(N)V ar(X) + V ar(N)E(X)2
.
Función Generadora de Momentos
Para la función generadora de momentos se utilizarán los mismos argumentos que en
el cálculo de la esperanza
MS(t) = E[E(etS
|N)]
=
∞
n=0
E[et(X1+...+XN )
|N = n]P(N = n)
=
∞
n=0
E[et(X1+...+Xn)
]P(N = n)
=
∞
n=0
MX(t)n
P(N = n)
= E[(elnMX (t)
)N
]
= MN (lnMX(t))
1.3. proceso de Poisson
Ya que se menciona la aproximación de un modelo binomial compuesto a un modelo
de poisson se hace necesario definir y enunciar las propiedades de este último, dicho
proceso es estudiado en cursos de procesos estocásticos y desde el año de 1903 en
que Filip Lundberg en su tesis doctoral lo propuso como solución al problema de la
probabilidad de ruina en una compañ´ıa aseguradora, desenvuelve un papel importante
en la disciplina actuarial.
Definición 2. Proceso estocástico
Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias {Xt|t ∈ T}, parametri-
zada por un conjunto T llamado espacio parametral. Dicho espacio por lo general se
14

interpreta como un conjunto de tiempos.
Definición 3. Proceso de Poisson
Un proceso estocástico de tiempo continuo {Nt|t ≥ 0} y con espacio de estados en los
naturales es un proceso de poisson de parámetro λ si cumple
N0 = 0.
tiene incrementos independientes.
Nt+s − Ns tiene una distribución de poisson de parámetro (λt) para cualquier
s ≥ 0 y t > 0.
Definición 4. Proceso de Poisson Compuesto
Sea un proceso de poisson {Nt|t ≥ 0} y una sucesión de variables aleatorias idéntica-
mente distribuidas e independientes {Xi}∞
i también independientes de N(t), {St|t ≥ 0}
es un proceso de poisson compuesto cuando
S(t) =
N(t)
i=0
Xi
1.4. Modelo de Riesgo
Cuando se habla de teor´ıa del riesgo encontramos en la literatura actuarial dos tipos de
esta: teor´ıa del riesgo individual y teor´ıa del riesgo colectivo, dichas teor´ıas tienen su
principal diferencia en la manera que se suman los montos por reclamaciones, en una el
número de montos es fijo mientras que en el otro se toma el número de montos como una
variable aleatoria, es en el riesgo colectivo donde el modelo necesita la introducción de
distribuciones compuestas. Para aclarar está idea se presentan las siguientes definiciones
y propiedades de cada tipo de riesgo. La temática trabajada en esta sección se encuentra
en (Kass, 2005) y (Rincón, 2012).
15

1.4.1. Modelo de Riesgo Individual
Aunque en el estudio que se desea realizar no interviene el modelo de riesgo individual,
es necesario tener conocimiento de él para establecer una comparación y comprender
el funcionamiento del modelo de riesgo colectivo.
Caracter´ısticas del Modelo.
El portafolio consta de n pólizas individuales, válidas en un periodo de tiempo
T.
El valor pi denota la probabilidad de que el i-ésimo asegurado no efectué ninguna
reclamación en T.
El valor qi = 1 − pi, esto es, que el i-ésimo asegurado efectué una reclamación en
T.
Con esto se tiene que ningún asegurado puede realizar más de una reclamación en el
periodo T. Ahora se define la variable aleatoria Dj como sigue:
Dj =



1 Si hay reclamación en la póliza j.
0 Si no se efectúa reclamación en la póliza j.
Con esto el número total de reclamaciones vendrá dada por la variable aleatoria
N =
n
i=1
Di
Si se desea dar una variable aleatoria para el costo de una reclamación, sea Ci > 0 el
monto de la i-ésima reclamación. Es claro que Ci no es una constante ya que el costo
de cada póliza es diferente; entonces la reclamación en la poliza i se define como
DiCi =



Ci Di = 1
0 Di = 0
16

además de esto se supone que Ci y Di son independientes y a su vez, las parejas (Di, Ci)
son también independientes para cada i = 1, . . . , n
Función de Riesgo Individual
Definición 5. El monto de reclamaciones agregadas o función de riesgo, en el modelo
individual, está caracterizado por la variable aleatoria
S =
n
i=1
CiDi.
En este caso recibe el calificativo de individual ya que se supone el conocimiento de la
probabilidad de ocurrencia de cada siniestro, as´ı como su posible monto. Además de
ello se supone que el número de pólizas se mantiene durante todo el periodo de tiempo
T.
Para el trabajo próximo se usará como supuesto que la función de distribución de la va-
riable CiDi será denotada como Fi(x), y por tanto bajo los supuestos de independencia
obtenemos que la Función de distribución de S es:
F(x) = (F1 ∗ . . . ∗ Fn)(x)
Donde el signo ∗ indica una convolución.
Para las propiedades que se enuncian a continuación la función de distribución de Ci
se nota como Ki(x)
Propiedad 1. La función de riesgo individual presenta las siguientes propiedades.
E(S) =
n
i=1
qiE(Ci)
V ar(s) =
n
i=1
[qiV ar(Ci) + qipiE2
(Ci)]
Fi(X) =



1 + qi(Gi(x) − 1) x ≥ 0
0 x < 0
.
17

Es de notar que la reclamación única, puede considerarse como el monto total confor-
mado por la suma de varias posibles reclamaciones efectuadas por una póliza a lo largo
del periodo de vigencia del seguro. De este modo el modelo individual puede también
aplicarse al caso de reclamaciones múltiples.(Rincón, 2012)
1.4.2. Modelo de Riesgo Colectivo
Para establecer los supuestos necesarios se presenta el modelo de riesgo colectivo, ya
que bajo este modelo se realiza el trabajo presentado por (Guo, 2001) con dos reclama-
ciones relacionadas en el tiempo, dicho modelo es usado principalmente para estudiar el
comportamiento y hacer predicciones sobre los seguros de no vida, por lo tanto es el de
mayor interés para las compañ´ıas aseguradoras ya que bajo este modelo se estructura
la mayor cantidad de pólizas que recibe una compañ´ıa de seguros, además de esto se
debe resaltar que este modelo presenta mayor aplicación matemática, lo cual lo hace
de mayor interés para este trabajo.
En este caso se supone que el número de contratos no es conocido, y tienen una vigencia
en un periodo de tiempo [0, T]. Si se define nuevamente como N la variable aleatoria
que denota el número de reclamaciones ocurridas en este intervalo. Y sean Y1, Y2 . . . , YN
el monto de dichas reclamaciones. Una interpretación gráfica de tal esquema es como
se muestra en la (figura 1.1).
Figura 1.1: Montos por Reclamación
18

Se supone además que el número de reclamaciones y el monto son variables aleatorias
independientes, es decir, se trabaja con el supuesto de que las reclamaciones entre si
son independientes y que comparten la misma distribución de probabilidad.
Función de Riesgo Colectivo
Definición 6. El monto de reclamaciones agregadas o función de riesgo en el modelo
colectivo está caracterizado por la variable aleatoria
S =
N
i=1
Yi.
Es de notar que, tanto el número de sumandos como cada sumando son variables
aleatorias. Esta suma se define S = 0 si N = 0, de acá nace la necesidad de estudiar las
distribuciones compuestas ya que se puede definir una v.a mixta, donde los montos son
distribuidos de forma continua y el número de reclamaciones se distribuye de manera
discreta.
Suponga que la función de distribución de cada Yi, se denotara por Gi, dónde Gi(0) = 0,
es decir la v.a Yi es positiva, además se notará µn = E(Y n
). Nuevamente si se desea
encontrar la función de distribución de S, notada como F, se utilizará el algoritmo de
convolución, para esto se debe recordar que la 0-convolución se define como.
G∗0
(x) =



1 x ≥ 0
0 x < 0
Un resultado importante para el riesgo colectivo es el siguiente.
Proposición 1. Función de Distribución.
La función de distribución, en el modelo de riesgo colectivo de la variable aleatoria S,
está dada por
F(x) =
∞
n=0
G∗n
(x)P(N = n).
La demostración de este hecho es trivial al interpretar la función de riesgo colectivo
como una distribución compuesta.
19

Figura 1.2: Modelo de Riesgo Colectivo en Relación con el Tiempo
A continuación se presentan propiedades importantes del riesgo colectivo S.
Proposición 2. Momentos
E(S) = E(N)E(Y )
E(S2
) = E(N)E(Y 2
) + E(N(N − 1))E2
(Y )
V ar(S) = V ar(N)E2
(Y ) + V ar(Y )E(N)
Ms(t) = MN (ln(MY (t)))
1.5. Modelo Binomial.
En la literatura que trata sobre riesgo actuarial los autores presentan el modelo de
Poisson compuesto, el cual también es común encontrarlo en libros que tratan sobre
la teor´ıa de los procesos estocásticos, dicho modelo es bastante práctico ya que la
20

distribución de Poisson depende de un único parámetro λ, as´ı mismo es común que los
montos de reclamaciones se supongan distribuidos de manera exponencial, esto para
facilitar la estimación de parámetros de una muestra; en este caso se presenta el modelo
binomial compuesto que aunque evidencia mayor dificultad en modelos prácticos, es
mucho más sencillo para la manipulación teórica y además desde este se puede encontrar
una relación con el proceso clásico de Poisson. Es por ello que se presenta este modelo
que es introducido por (Gerber, 1988) y mencionado en extensión por (Rincón, 2012)
y (Alfredo, 2000).
Se dice que si en la función de riesgo colectivo
S =
N
i=1
Yi
donde N es la v.a del número de siniestros y/o reclamaciones en un intervalo de tiempo
[0, T] y Yi es el monto de la i-ésima reclamación.
Si la v.a N se distribuye de manera binomial es decir N ∼ bin(n, p) se dice que
la función de riesgo S, sigue una distribución binomial compuesta que se nota S ∼
bincomp(n, p, G); en donde G es la función de distribución de cada monto.
Algunas de las propiedades más importantes para este modelo de riesgo se siguen
directamente de las ya mencionadas para la función de riesgo colectivo general.
Proposición 3. Si S se distribuye de manera binomial compuesta se tiene que:
E(S) = npµ
V ar(S) = np(µ2
− pµ2
)
Ms(t) = (1 − p + pMY (t))n
Las propiedades anteriormente mencionadas se pueden demostrar si se tiene en cuenta
las siguientes caracter´ısticas de la distribución binomial.
21

Proposición 4. Si la variable aleatoria N ∼ bin(n, p) se tiene que
E(N) = np
V ar(N) = np(1 − p)
MN (t) = (1 − p + pet
)n
Proposición 5. Sean S1 y S2 dos procesos de riesgo independientes, con S1 ∼ bincomp(n1, p; G)
y S2 ∼ bincomp(n2, p; G); además de ello supongase que los montos de cada uno de es-
tas funciones de riesgo Y
(1)
i y Y
(2)
i , tiene idéntica función de distribución G. Entonces
la función de riesgo S = S1 + S2 cumple que S ∼ bincomp(n1 + n2, p; G)
Demostración. Se sabe que, si MY1 (t) = MY2 (t) para toda |t| < b y para algún b > 0
entonces, las variables aleatorias Y1 y Y2. tienen la misma función de distribución,
además su reciproco también se cumple.
Ahora argumentando desde la independencia entre S1 y S2 se tiene que
MS1+S2 (t) = MS1 (t)MS2 (t)
= (1 − p + pMY 1 (t))n1
)(1 − p + pMY 2 (t))n2
)
= (1 − p + pMY (t))n1+n2
y (1 − p + pMY (t))n1+n2
es la función generadora para una variable aleatoria S ∼
bincomp(n1 + n2, p; G).
1.6. Teor´ıa de la Ruina a Tiempo Discreto.
En este caso interésa mostrar la teor´ıa de la ruina en un modelo a tiempo discreto,
ya que resultados indican que un modelo en tiempo discreto es una aproximación al
22

modelo en tiempo continuo donde las ecuaciones presentan mayor dificultad en su
manejo y presenta una estructura más compleja, por lo tanto, se presentan los siguientes
supuestos que dan partida al proceso de riesgo en tiempo discreto y a partir de él la
definición de probabilidad de ruina; dicho modelo fue introducido en (Gerber, 1988).
1.6.1. Proceso de Riesgo a Tiempo Discreto
Se considera un modelo de riesgo con las siguientes condiciones.
Xi denota el monto de reclamaciones en el i-ésimo intervalo de tiempo.
{Xi}∞
i=0 es una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticamente
distribuidas de enteros no negativos.
u ∈ {0, 1, 2 . . .} es el capital inicial de la aseguradora.
En cada unidad de tiempo la compañia recibe una unidad monetaria por concepto
de primas.
E(X1) < 1 esta es la condición de ganancia neta.
Bajo estos supuestos se tiene que el proceso de riesgo a tiempo discreto es la siguiente
variable aleatoria St.
Definición 7. El proceso de riesgo a tiempo discreto St : t ≥ 0 está dado por:
St = u + t − [X1 + X2 + . . . XN(t)]
Esta definición también puede ser encontrada en (Rincón, 2012)
1.6.2. Ruina y Probabilidad de Ruina
En (Kass, 2005) se dice que el evento ruina es uno de los eventos menos probables pero
aun as´ı es muy estudiado en las compañ´ıas aseguradoras, ya que de la no existencia de
la ruina depende la continuidad de la compañ´ıa, el evento de ruina ocurre cuando los
23

montos reclamados en un periodo de tiempo exceden el monto recaudado por reservas
o superávit más los montos recaudados por conceptos de primas, as´ı, dicho evento se
puede definir como sigue.
Definición 8. Se dice que una compañia aseguradora se encuentra en ruina al tiempo
t ≥ 1 si
St ≤ 0
y se define el tiempo de ruina τ como el primer momento en que la ruina se presenta.
Es decir,
τ = min {t ≥ 1|St ≤ 0} .
Es de aclarar que si el conjunto indicado es {∅} entonces τ = ∞.
En la figura siguiente se muestra un proceso de riesgo a tiempo discreto donde se aprecia
el evento de ruina en un tiempo τ
Figura 1.3: Proceso de Superávit a Tiempo Discreto con Ruina
El interés principal de la teor´ıa de la ruina es calcular la probabilidad de que este
evento suceda dado un súperavit inicial mayor que 0. se presentan dos casos: el proceso
de ruina a horizonte infinito y el proceso de ruina a horizonte finito (Rincón, 2012).
Definición 9. Probabilidad de Ruina en Horizonte Infinito
la probabilidad de ruina en horizonte infinito que se nota como ψ(u) y se define como
24

sigue
ψ(u) = P(τ < ∞|S0 = u)
= P(τ ∈ {1, 2, . . .} |S0 = u)
Definición 10. Probabilidad de Ruina en Horizonte Finito
La probabilidad de ruina con horizonte finito con n ≥ 1 se define como
ψ(u, n) = P(τ ≤ n|S0 = u)
= P(τ ∈ {1, 2, . . . , n} |S0 = u).
Bajo esta definición y la contenencia de los eventos correspondientes se puede notar
que
ψ(u, 1) ≤ ψ(u, 2) ≤ ψ(u, 3) ≤ . . . ≤ ψ(u, n) ≤ ψ(u).
Es para este tipo de modelo a tiempo finito que se plantean las fórmulas recursivas
que se desean encontrar durante el desarrollo del trabajo, no sobra aclarar que desde la
probabilidad de ruina a horizonte finito se puede obtener una aproximación mediante
l´ımites a la probabilidad de ruina de tiempo infinito, la cual ha sido tratada con temá-
ticas de mayor envergadura conceptual y teórica, es de esta manera que el cálculo de
la probabilidad de ruina a tiempo finito se convierte en una herramienta bastante útil
para la obtención de la probabilidad de ruina a tiempo infinito.
25

CAPÍTULO 2
El Modelo
En este cap´ıtulo, antes de tratar a fondo la presentación y propiedades del modelo para
reclamaciones relacionadas en el tiempo, se presentará el modelo binomial compuesto
para una reclamación y algunas de sus propiedades.
El modelo binomial compuesto es una herramienta introducida por (Gerber, 1988) en
el art´ıculo“Mathematical Fun with the Compound Binomial Process”y desde aquel mo-
mento varios trabajos han tratado sobre sus propiedades y su especial particularidad
de funcionar como una aproximación a tiempo discreto del modelo de Poisson clásico,
además de esto el modelo ha sido estudiado por autores reconocidos en el área actuarial
tales como (Shiu , 1989) o (Dickson, 1994), quienes han presentado resultados directa-
mente relacionados con el cálculo de la probabilidad de ruina para un proceso de riesgo
enmarcado en dicho modelo. El trabajo matemático realizado en base a este modelo
garantiza una manipulación práctica y menos engorrosa que en el caso del modelo de
Poisson compuesto, por lo tanto transcurrida más de una década de ser presentados los
resultados por Gerber, autores como (Alfredo, 2000) siguen exponiendo trabajos donde
se explora el modelo binomial.
El modelo presentado por (Gerber, 1988) es el siguiente.
26

2.1. Modelo Binomial Compuesto sin Sobre-reclamaciones.
Se considera un modelo a tiempo discreto donde la función de superávit S(t) es de la
siguiente manera.
S(t) = u + t −
Nt
i=1
Xi
Donde Nt denota el número de reclamaciones en los primeros t periodos de tiempo.
S0 = u es el superávit inicial. Además se asume que dicha función es un proceso
binomial, es decir que en cualquier periodo de tiempo se tiene una reclamación con
probabilidad p o no se presenta reclamación con probabilidad q = 1 − p y que las
reclamaciones en cada periodo de tiempo son eventos independientes.
Los montos de estas reclamaciones están notadas por X1, X2, X3, . . .. Estas variables
aleatorias son idénticamente distribuidas e independientes entre s´ı, as´ı como del proceso
de número de reclamaciones; además los montos por reclamación son valores enteros
positivos.
Sea
f(x) = Pr(Xi = x) y F(x) = Pr(Xi ≤ x) x = 1, 2, 3, . . .
la función de probabilidad y función de distribución, respectivamente. Finalmente se
supone que las primas contienen un recargo 1
, es decir si µ = E(Xi) se tiene que pµ ≤ 1.
Sea ψ(u) la probabilidad de ruina tal como se definió y sea φ(u) = 1 − ψ(u) la proba-
bilidad de supervivencia para este modelo, con
τ = inf {t ≥ 0|S(t) ≤ 0} .
Tanto para el modelo discreto como para el modelo binomial compuesto un gran número
de expertos en el tema han aportado resultados importantes para el cálculo de la proba-
bilidad de ruina mediante el uso de recursiones, esto se debe a la propiedad de Markov
1
Recargo se denomina a los gravámenes cobrados sobre la prima, en muchos casos para cubrir
riesgos excedentes, este recargo es conocido comúnmente como el recargo de seguridad.
27

2
de la cual está dotado el modelo de riesgo (colectivo e individual); (Dickson, 1994)
presenta dos resultados importantes para un modelo de tiempo discreto planteando las
condiciones iniciales para una fórmula recursiva sobre la probabilidad de superviven-
cia o probabilidad de no ruina. Dichos resultados se presentan en las siguientes dos
proposiciones.
Proposición 6.
Para u = 1, 2, 3, . . .
φ(u) = φ(0) +
u
k=1
φ(k)[1 − F(u − k)]
Demostración. Sobre el primer periodo de tiempo se tiene que
φ(0) = φ(1)f(0)
Ahora para u = 2, 3, 4 . . ., utilizando el principio de inducción débil
φ(u − 1) = f(0)φ(u) +
u−1
j=1
φ(j)f(u − j) (2.1)
donde para U = 2, 3, 4 . . .
u−1
k=0
φ(k) = f(0)
u
k=1
φ(k) +
u
k=2
u−1
j=1
φ(j)f(k − j)
= f(0)
u
k=1
φ(k) +
u−1
k=1
φ(k)[F(u − k) − f(0)]
= f(0)φ(u) +
u−1
k=1
φ(k)[F(u − k)]
2
Para cualquier n ≥ 0 y cualquier estado x1, x2, . . . , xn se satisface la identidad.
P(Xn+1 = xn+1|Xn = xn, . . . , X2 = x2, X1 = x1, X0 = x0) = P(Xn+1 = xn+1|Xn = xn)
28

despejando el término b(0)φ(u) y teniendo en cuenta las propiedades de la función de
probabilidad se tiene que
b(0)φ(u) =
u−1
k=0
φ(k) −
u−1
k=1
φ(k)F(u − k)
= φ(0) +
u−1
k=1
φ(k) − [φ(k)F(u − k)]
= φ(0) +
u−1
k=1
φ(k)[1 − F(u − k)]
= φ(u − 1) −
u−1
k=1
φ(k)f(u − k)
esto de la ecuación (2.1). Ahora igualando y despejando el término φ(u − 1)
φ(u − 1) = φ(0) +
u−1
k=1
φ(k)[1 − F(u − k)] +
u−1
k=1
φ(k)b(u − k)
= φ(0) +
u−1
k=1
φ(k)[1 − F(u − k) + f(u − k)]
= φ(0) +
u−1
k=1
φ(k)Pr(X ≥ u − k)
= φ(0) +
u−1
k=1
φ(k)[1 − Pr(X ≤ u − k − 1)]
= φ(0) +
u−1
k=1
φ(k)[1 − F(u − k − 1)]
ó equivaléntemente
φ(u) = φ(0) +
u
k=1
φ(k)[1 − F(u − k)] (2.2)
Proposición 7. La probabilidad de ruina en un modelo de riesgo a tiempo discreto con
superávit inicial u = 0 es
ψ(0) = E(X1)
29

Para este resultado el (Dickson, 1994) define la función de severidad de ruina G(u, y)
para u = 0, 1, 2, . . . y y = 1, 2, 3, . . . como
G(u, y) = Pr(τ < ∞;
y
; S(t) < −y)
G(u, y) representa la probabilidad de que la ruina ocurra y que en el primer instante
de tiempo de ruina τ el déficit de capital sea a lo sumo y − 1. bajo estas condiciones y
la ecuación (2,2) se puede probar el resultado.
La demostración de este hecho se basa en la presentación de otras fórmulas recursivas
para el cálculo de probabilidades de ruina en un modelo de tiempo discreto, las cuales
son presentadas por (Alfredo, 2000), dicha construcción se basa en la probabilidad de
ruina y desde ellas se puede obtener una transformación para visualizarlas como las
presentadas en la proposición (6); las fórmulas recursivas mencionadas se presentan en
la siguiente proposición.
Proposición 8. Para un proceso de riesgo a tiempo discreto S(t) con superávit inicial
u ≥ 0 se tiene que
1.
ψ(u) = ψ(0) +
u−1
k=0
ψ(u − k)[1 − F(k)] −
u−1
k=0
(1 − F(k)) u ≥ 1
2.
ψ(0) = E(Xi)
Demostración. Para un superávit inicial w ≥ 0 y condicionando para el valor de X1 se
30

tiene que
ψ(w) =
∞
k=0
Pr(τ < ∞|X1 = x)Pr(X1 = x)
=
w
k=0
Pr(τ < ∞|X1 = x)f(x) +
∞
k=w+1
Pr(τ < ∞|X1 = x)f(x)
=
w
k=0
φ(w + 1 − x)f(x) +
∞
k=w+1
f(x)
=
w
k=0
φ(w + 1 − x)f(x) + [1 − F(x)]
=
w+1
k=1
φ(x)f(w + 1 − x) + [1 − F(x)]. (2.3)
La segunda ecuación se ha separado para cuando el monto Y1 no produce el evento
ruina y para cuando la ruina ocurre, en este caso la probabilidad condicional es 1.
Ahora depejando el último término de la ecuación (2,3) y escribiendo w = u además
si se tiene en cuenta que si S0 = u + 1 por la definición de probabilidad de ruina
Pr(τ < ∞|u = 0) = φ(u + 1)f(0), entonces
φ(u + 1)f(0) = φ(u) −
u+1
k=1
φ(x)f(u + 1 − x) − [1 − F(x)] (2.4)
ahora sumando los términos de la ecuación (2.3) de 0 a cualquier u ≥ 0.
u
w=0
φ(w) =
u
w=0
w+1
x=1
φ(x)[1 − F(w + 1 − x)] −
u
k=0
[1 − F(x)]
=
u+1
x=1
φ(x) +
u
w=y−1
f(w + 1 − x) +
u
w=0
[1 − f(w)]
=
u+1
x=1
φ(x) + F(u + 1 − x) +
u
w=0
[1 − f(w)]
=
u
x=1
φ(x) + F(u + 1 − x) + φ(u + 1)f(0) +
u
w=0
[1 − f(w)]
31

por lo tanto.
φ(u + 1)f(0) = φ(0) +
u
x=1
φ(x)[1 − F(u + 1 − x)] −
u
w=0
[1 − F(x)] (2.5)
igualando las ecuaciones (3,4) y (3,5) y despejando φ(u)
φ(u) = φ(0) +
u
x=1
φ(x)[1 − F(u + 1 − x) + f(u + 1 − x)] −
u−1
x=0
[1 − F(x)]
= φ(0) +
u
x=1
φ(x)[Pr(X > (u + 1 − x)) + Pr(X = (u + 1 − x))] −
u−1
x=0
[1 − F(x)]
= φ(0) +
u
x=1
φ(x)[1 − F(u − x)] −
u−1
x=0
[1 − F(x)]
= φ(0) +
u−1
x=0
φ(u − x)[1 − F(x)] −
u−1
x=0
[1 − F(x)] (2.6)
Esto prueba la primera parte de la proposición. Para probar que φ(0) = E(Xi) se
necesita hacer un limite sobre u → ∞ en la ecuación (2,6).
0 = l´ım
u→∞
φ(u) = φ(0) + l´ım
u→∞
u−1
x=0
φ(u − x)[1 − F(x)] − l´ım
u→∞
∞
x=0
[1 − F(x)].
De este resultado se tiene que la segunda suma es la esperanza de X y la primera suma
tiende a cero por definición de probabilidad de ruina, con esto el resultado ha sido
demostrado.
Es de notar que existe una relación entre las proposiciones presentadas por (Dickson,
1994) y Por (Alfredo, 2000), basta reorganizar términos y usar la definición de proba-
bilidad de supervivencia para deducir una de la otra.
Este trabajo presentado para un modelo de riesgo a tiempo discreto es expuesto en
(Gerber, 1988) poniéndolo en contexto de un modelo binomial compuesto, es decir,
asume que el proceso de número de reclamaciones Nt es un proceso binomial con pará-
metro p , en este art´ıculo el autor propone la siguiente recursión para el cálculo de la
probabilidad de ruina.
32

Proposición 9. En un modelo de riesgo S(t) binomial compuesto con superávit inicial
S(0) = u > 0 se tiene que
φ(0) = qφ(1) + p (2.7)
φ(u) = qφ(u + 1) +
u
x=1
φ(u + 1 − x)p(x) + p
∞
x=u+1
p(x) (2.8)
además las fórmulas (2,7) y (2,8) proporcionan un algoritmo recursivo para el cálculo
de la probabilidad de ruina.
Demostración. La ecuación (2,7) se deduce del hecho de la probabilidad de que exista
reclamación en el primer periodo de tiempo y la ruina no ocurra en el periodo siguiente
y del uso del teorema de la probabilidad total.
Mientras la ecuación (2.8) es un ajuste a las proposiciones (2,1) o (2,3), el cual añade
la probabilidad de la ocurrencia o no ocurrencia de los siniestros.
Al evaluar (2,8) en u = 0 se obtiene para u = 1, 2, 3 . . .
φ(0) = pµ
Para ilustrar la proposición anterior se expondrá que ocurre para reclamaciones de
monto 1 y reclamaciones de monto 2.
Si todas las reclamaciones son de monto 1 se tiene que
Pr(Xi = 1) = P(1) = 1
y para x = 2, 3, 4, . . .
p(x) = 0.
Con esto se concluye que la ruina ocurre únicamente si S(0) = u = 0 y si además
existe una reclamación en el primer periodo de tiempo, de esto se deduce que
para este caso particular.
φ(0) = p = pµ
33

Ahora un caso más discutido es cuando se tienen reclamaciones de monto 2, para
este caso se tiene que el modelo de riesgo que lo representa es.
S(t) = u + t − 2Nt
= u + (t − Nt) − Nt.
Este proceso se ha discutido por varios autores en el contexto del problema de la
ruina del jugador, (Ver Anexo 1), donde se tiene que
φ(0) = 2p
y para u = 1, 2, 3 . . .
φ(u) =
p
q
u
la cual es la solución de (2,7) y (2,8).
Además de estos resultados presentados bajo fórmulas recursivas tanto (Gerber, 1988)
y (Shiu , 1989) dedican su trabajo para calcular fórmulas explicitas con las que se pueda
calcular la probabilidad de ruina y la probabilidad de supervivencia respectivamente
(Dickson, 1994) deduce desde la proposición (8) la probabilidad de ruina para un mo-
delo donde el número de siniestros presenta una distribución binomial y los montos de
reclamaciones presentan una distribución geométrica, este modelo es una aproximación
a tiempo discreto al proceso de riesgo de Cramér-Lundberg el cual se presenta en deta-
lle en (Rincón, 2012) o (Kass, 2005), este modelo es el más comúnmente estudiado en
el marco de la teor´ıa de riesgo actuarial y se basa en asumir que el número de reclama-
ciones presenta una distribución de Poisson mientras que el monto por reclamaciones
se distribuye de manera exponencial.
La fórmula explicita para el cálculo de la probabilidad de ruina presentada por (Gerber,
1988) es la siguiente.
Proposición 10. Para un modelo de riesgo binomial compuesto se tiene que.
φ(0) =
pµ
1 − pµ
[1 − φ(0)]
34

φ(u) =
1
1 − pµ
− q−u
De la misma manera las fórmulas presentadas para el cálculo de la probabilidad de
supervivencia presentadas en (Shiu , 1989) vienen dadas por.
Proposición 11. Para un modelo de riesgo binomial compuesto se tiene que la proba-
bilidad de supervivencia viene dada como sigue.
1.
ψ(0) =
1 − qµ
1 − q
2.
ψ(u) = 1 − ψ(0)
∞
n=1
[φ(0)]n
[1 − F∗n
(u)]
La demostración de las dos proposiciones anteriores son realizadas en los trabajos ya
descritos y no se presentan ya que su extensión y complejidad son trabajo para una
investigación individual de cada art´ıculo.
Ya con estas proposiciones y definiciones previas se ha estudiado en gran parte el
modelo binomial compuesto sin reclamaciones relacionadas, no sobra recordar que el
interés de este trabajo está en las reclamaciones relacionadas en el tiempo para ello
en la siguiente parte se presentaran los supuestos necesarios para establecer un modelo
binomial compuesto con reclamaciones relacionadas en el tiempo.
2.2. El Modelo Binomial Compuesto con Reclama-
ciones Relacionadas en el Tiempo.
Se considera un modelo a tiempo discreto que involucra dos tipos de reclamaciones de
seguros, las cuales son la reclamación principal y la sobre-reclamación o reclamación
subsecuente sobre las unidades de tiempo t = 1, 2, 3 . . ., se supone que cada reclamación
principal induce una reclamación subsecuente.
35

En cualquier periodo de tiempo la probabilidad de tener una reclamación principal
será p, 0 < p < 1 y de no tenerla es q = 1 − p, la ocurrencia de las reclamaciones
principales en diferentes periodos de tiempo son independientes, es decir la ocurrencia
de una reclamación en el periodo k no depende de la ocurrencia en los periodos de
tiempo anteriores a k y as´ı mismo está reclamación no influirá en la ocurrencia de
una reclamación en los periodo de tiempo siguientes a k. La sobre-reclamación que
está asociada a una reclamación principal ocurre en el mismo periodo de tiempo con
probabilidad θ o puede ser retrasada al siguiente periodo de tiempo con probabilidad
δ = 1 − θ; es acá donde se presenta el tipo de relación que existe entre la reclamación
principal y la sobre-reclamación. Los montos de reclamación son independientes entre
si y son enteros positivos, los montos de reclamaciones principales X1, X2, X3 . . . son
independientes e idénticamente distribuidos con función de probabilidad común
f(m) = fm = Pr(X = m)
para m = 1, 2, 3 . . ., con su correspondiente función generadora de probabilidad dada
por
¯f(z) =
∞
m=1
fmzm
y con media
µX =
∞
m=1
mfm.
Sean Y1, Y2, Y3 . . . variables idénticamente distribuidas e independientes que representa
los montos para las sobre-reclamaciones, con función de probabilidad común
g(n) = gn = Pr(Y = n)
Para n = 1, 2, 3 . . ., con su correspondiente función generadora de probabilidad dada
por
¯g(z) =
∞
n=1
gnzn
Y con media
µY =
∞
n=1
nfn.
Asúmase que la prima por periodo de tiempo es de valor 1, que el superávit inicial es
36

u ∈ Z+
y su proceso de superávit es
S(t) = u + t − UX − UY (2.9)
donde UX
t y UY
t son la suma de montos de las reclamaciones principales y sobre-
reclamaciones en los primeros t periodos de tiempo respectivamente, es decir
UX
k =
n
i=1
Xi y UY
k =
n
j=1
Yj.
La probabilidad de supervivencia en tiempo finito es
ψ(u, k) = Pr(S(t) ≥ 0; t = 1, 2, 3 . . . , k) (2.10)
Y con esto la probabilidad de ruina será
φ(u, k) = 1 − ψ(u, k)
Al supoiner que una reclamación subsecuente ocurre en un periodo de tiempo k y esta
a su vez es el resultado de una reclamación principal en un periodo de tiempo k − 1.
Un punto práctico para considerar es si la aseguradora ha establecido una reserva
presumiblemente E(Y ) además de una carga para las reclamaciones subsecuentes al
final del periodo k − 1; este caso dar´ıa lugar para un concepto de ruina para lo cual la
ruina en el instante k − 1 significar´ıa que la aseguradora ten´ıa dinero insuficiente para
este momento o ten´ıa dinero insuficiente para las reservas requeridas en este momento.
Este escenario ser´ıa apropiado, por ejemplo, si los pagos de reclamaciones se retrasaron
y las reservas de las reclamaciones pendientes se establecieron al final de cada periodo
de tiempo. Nuestro modelo supone el caso más sencillo donde la ruina ocurre ya que
los fondos de la aseguradora son negativos.
Sea Uk la suma de UX
k y UY
k , entonces para el periodo de tiempo t = 1 se tiene que
E(U1) = E(UX
1 + UY
1 )
= E(UX
1 ) + E(UY
1 )
37

Y utilizando el teorema de la probabilidad total y el hecho de independencia entre los
montos de los dos tipos de reclamaciones se obtiene
= pµX + pθµY
Pueden existir tres escenarios en los cuales se presenten las reclamaciones relacionadas
en cualquier periodo de tiempo, estos tres escenarios deben tenerse en cuenta en el
momento de querer planificar sobre ellos y estos se enumeran a continuación.
1. La reclamación principal.
2. La reclamación inicial y la reclamación subsecuente inducida por la reclamación
inicial.
3. La reclamación subsecuente inducida por la reclamación inicial ocurrida previa-
mente.
Bajo los posibles tipos de reclamación ya mencionados la esperanza matemática de la
suma de los montos de reclamaciones para un periodo cualquiera viene dada por
E(Un+1) = E(Un) + pµX + pθµY + p(1 − θ)µY
= E(Un) + pµX + pθµY + pδµY
= E(Un−1) + pµX + pθµY + pδµY + E(U1)
= E(Un−1) + 2(pµX + pθµY + pδµY )
donde por inducción
= (n + 1)p0oµX + pθµY + npδµY
= np(µX + µY ) + pµX + pθµY
Por último en el planteamiento del modelo nos aseguramos de que la tasa de la prima
excede la tasa de reclamaciones netas y por lo tanto la carga de aseguramiento es
positiva, en términos de la esperanza de la suma de montos reclamados.
38

p(µX + µY ) < 1 (2.11)
Es bajo este tipo de proceso donde se presentarán las fórmulas recursivas para el cálculo
de la probabilidad de ruina en tiempo finito.
Ya que para algunos lectores puede parecer extraño plantear este modelo a un escenario
real se ponen en consideración las siguientes situaciones donde se puede presentar este
tipo de reclamaciones relacionadas en el tiempo; si se considera que para una catástrofe
como un terremoto o una tormenta puede ser muy probable que ocurran reclamaciones
de seguros después de los inmediatos o también se puede considerar el caso en que un
seguro de accidente tenga después de cobrada la reclamación el agravante posterior del
suceso muerte.
Otra posible interpretación de nuestro modelo puede ser que la reclamación subsecuente
puede ser tomada como una porción aleatoria del total de reclamaciones tomando
algunas unidades de tiempo para ser resuelto.
39

CAPÍTULO 3
Fórmulas Recursivas Para el Cálculo de la Probabilidad de Ruina
en Tiempo Finito
En la matemática se ha utilizado la recursión como un método elegante para la solución
de problemas ya que desde algunas condiciones se puede encontrar una solución general
y el planteamiento de dichas soluciones se hace de manera más rápida, además las
recursiones permiten crear sistemas que solucionen o den aproximaciones a la solución
de un problema; la teor´ıa de riego actuarial también usa la recursión, esto se muestra en
la producción de conocimientos basados en recursiones para evitar complicados cálculos
y además optimizar el procedimiento por ejemplo los algoritmos de Prill y Panjer son
muestra de como funcionan las recursiones en esta disciplina, también se puede notar
que en muchos casos la solución mediante recursiones proporciona una herramienta útil
para encontrar las soluciones anal´ıticas, este hecho se puede presenciar en el cap´ıtulo 2
donde se discuten cálculos recursivos para encontrar la probabilidad de ruina.
Para evaluar la probabilidad de ruina en tiempo finito, es necesario estudiar la ocu-
rrencia de las reclamaciones en dos escenarios. El primero es que si una reclamación
principal ocurre en un periodo de tiempo determinado la reclamación subsecuente tam-
40

bién ocurra en el mismo periodo, por lo tanto no existirán reclamaciones para el próximo
periodo de tiempo y de esta manera el proceso de superávit se renueva.
El segundo escenario es el evento complementario al que se mencionó anteriormente
es decir si existe una reclamación principal su sobre reclamación se producirá en el
siguiente periodo de tiempo. Ahora si la reclamación principal se produce en el periodo
anterior y su reclamación subsecuente asociada se produce al final del periodo de tiempo
actual se tiene el siguiente proceso de superávit condicionado al segundo escenario
S1(t) = u + t − UX
t − UY
t − Y (3.1)
para t = 1, 2, 3 . . . y con S1(0) = u se nota además la probabilidad de supervivencia al
proceso condicional en el periodo k como φ1(u, k) y con esto se obtiene por medio del
teorema de la probabilidad total que
φ(u − 1, k) = qφ(u, k − 1) + pθ
m+n≤u
φ(u − m − n, k − 1)fmgn
+ p(1 − θ)
m≤u
φ1(u − m, k − 1)fm
= qφ(u, k − 1) + pθ
u
m+n=1
φ(u − m − n, k − 1)fmgn+
pδ
u
m=1
φ1(u − m, k − 1)fm (3.2)
donde cada una de los sumandos de la ecuación anterior representa cada posibilidad en
las que se pueden presentar las reclamaciones en el periodo t = k, es decir
1. el primer sumando representa la probabilidad de que no exista reclamación princi-
pal en el periodo t = k por la probabilidad de supervivencia del periodo anterior.
2. El segundo sumando representa la probabilidad de que exista reclamación princi-
pal y reclamación subsecuente en el periodo t = k por la probabilidad de super-
vivencia del periodo anterior.
3. El tercer sumando representa la probabilidad de que exista reclamación principal
en el periodo t = k y que la reclamación principal sea retrasada al periodo k + 1
41

por la probabilidad de supervivencia del periodo anterior; es de notar que en
esta oportunidad se usa el proceso de superávit definido para esta situación en la
ecuación (3.1).
Además
φ1(u − 1, k) = q
n≤u
φ(u − n, k − 1)gn + pθ
m+n+l≤u
φ(u − m − n − l, k − 1)fmgngl
+ p(1 − θ)
m+n≤u
φ1(u − m − n, k − 1)fmgn
φ1(u − 1, k) = q
u
n=1
φ(u − n, k − 1)gn + pθ
u
m+n+l=1
φ(u − (m + n + l), k − 1)fmgngl
+ pδ
u
m+n=1
φ1(u − (m + n), k − 1)fmgn (3.3)
para u ≥ 1 y k ≥ 1. Es claro que φ(u, 0) = φ1(u, 0) = 1 para todo u ≥ 0. Se define la
función generadora as´ı
¯φ(z, k) =
∞
u=0
φ(u, k)zu
y ¯φ1(z, k) =
∞
u=0
φ1(u, k)zu
Para manipular las ecuaciones (3.2) y (3.3) mediante las funciones generadoras de
probabilidad es necesario hacer un trabajo previo; para empezar se multiplicará la
ecuación (3.2) por zu
de donde se tiene
zzu−1
φ(u − 1, k) = zu
qφ(u, k − 1) + zu
pθ
u
m+n=1
φ(u − m − n, k − 1)fmgn
+ zu
pδ
u
m=1
φ1(u − m, k − 1)fm
42

zzu−1
φ(u−1, k) = q(zu
φ(u, k −1))+pθ(
u
m+n=1
zu−(m+n)
φ(u−m−n, k −1)zm
fmzn
gn)
+ pδ(
u
m=1
zu−m
φ1(u − m, k − 1)zm
fm)
ahora, si a esta última ecuación la sumamos a cada lado de 1 a infinito sobre u
z
∞
u=1
zu−1
φ(u − 1, k) = q(
∞
u=1
zu
φ(u, k − 1))
+ pθ(
∞
u=1
u
m+n=1
zu−(m+n)
φ(u − m − n, k − 1)zm
fmzn
gn)
+ pδ(
∞
u=1
u
m=1
zu−m
φ1(u − m, k − 1)zm
fm)
esto es por definición de las funciones generadoras de probabilidad
z ¯φ(z, k) = q(¯φ(z, k−1)−φ(0, k−1))+pθ ¯φ(z, k−1) ¯f(z)¯g(z)+pδ ¯φ1(z, k−1) ¯f(z) (3.4)
utilizando los mismos argumentos sobre (3.3) se obtiene
z ¯φ1(z, k) = q ¯φ(z, k − 1)¯g(z) + pθ ¯φ(z, k − 1) ¯fz¯g2
(z) + pδ ¯φ1(z, k − 1) ¯f(z)¯g(z) (3.5)
Ahora teniendo en cuenta las funciones generadoras bivariadas
¯φ(z, t) =
∞
k=0
¯φ(z, k)tk
, ¯φ1(z, t) =
∞
k=0
¯φ1(z, k)tk
, y ¯φ0(t) =
∞
k=0
¯φ(0, k)tk
43

y aplicando el mismo método que se utilizó para conseguir (3.4) y (3.5) se tiene
z
∞
k=1
¯φ(z, k)tk
= qt(
∞
k=1
tk−1 ¯φ(z, k − 1) − φ(0, k − 1)) + ptθ
∞
k=1
¯φ(z, k − 1) ¯f(z)tk−1
¯g(z)
+ ptδ
∞
k=1
¯φ1(z, k − 1) ¯f(z)tk−1
z(¯φ(z, t) − ¯φ(z, 0)) = qt(
∞
k=0
tk ¯φ(z, k) − φ(0, k)) + ptθ
∞
k=0
¯φ(z, k) ¯f(z)tk
¯g(z)
+ ptδ
∞
k=0
¯φ1(z, k) ¯f(z)tk
z(¯φ(z, t) − ¯φ(z, 0)) = qt(¯φ(z, t) − ¯φ0(t)) + pθt ¯f(z)¯g(z)¯φ(z, t) + pδt ¯f(z) ¯φ1(z, t) (3.6)
z( ¯φ1(z, t) − ¯φ1(z, 0)) = qt¯g(z)¯φ(z, t) + pθt ¯f(z)¯g2
(z)¯φ(z, t) + pδt ¯f(z)¯g(z) ¯φ1(z, t)
= ¯g(z)(qt¯φ(z, t) + pθt ¯f(z)¯g(z)¯φ(z, t) + p(1 − θ)t ¯f(z) ¯φ1(z, t)).
(3.7)
Es de notar que ¯φ1(z, 0) = ¯φ(z, 0), donde por definición y por propiedades de la serie
geométrica se obtiene
¯φ1(z, 0) = ¯φ(z, 0) =
∞
u=0
φ(u, 0)zu
=
∞
u=0
zu
=
1
1 − z
y con esto (3.6) y (3.7) pueden escribirse como
44

z ¯φ(z, t) −
z
1 − z
= (qt + pθt ¯f(z)¯g(z))(¯φ(z, t)) + p(1 − θ)t ¯f(z)( ¯φ1(z, t) − qt( ¯φ0(t))
z ¯φ1(z, t) −
z
1 − z
= ¯g(z)(z ¯φ(z, t) −
z
1 − z
+ qt( ¯φ0(t)).
Para combinar las dos ecuaciones anteriores, primero se tiene despejando de la segunda
ecuación ¯φ1(z, t)
¯φ1(z, t) =
1
1 − z
+ ¯g(z)¯φ(z, t) −
¯g(z)
1 − z
+
qtφ0(t)¯g(z)
z
y por lo tanto
¯φ1(z, t)t ¯f(z)p(1 − θ) =
t ¯f(z)p(1 − θ)
1 − z
+ ¯g(z)t ¯f(z)p(1 − θ)¯φ(z, t) −
t ¯f(z)p(1 − θ)¯g(z)
1 − z
+
t ¯f(z)p(1 − θ)qtφ0(t)¯g(z)
z
y al reemplazar este valor en la primera ecuación
z ¯φ(z, t)−
z
1 − z
= (qt+pθt ¯f(z)¯g(z))¯φ(z, t)+
t ¯f(z)p(1 − θ)
1 − z
+ ¯g(z)t ¯f(z)p(1−θ)¯φ(z, t)
−
t ¯f(z)p(1 − θ)¯g(z)
1 − z
+
t ¯f(z)p(1 − θ)qtφ0(t)¯g(z)
z
− qt( ¯φ0(t))
donde agrupando términos semejantes la ecuación queda escrita como
¯φ(z, t)[z − t(q + p ¯f(z)¯g(z))] =
z
1 − z
+ t(1 − ¯g(z))
p(1 − θ) ¯f(z)
1 − z
− qt ¯φ0(t) 1 − p(1 − θ)t
¯f(z)¯g(z)
z
. (3.8)
45

Sea UW
k el monto total de reclamaciones en los primeros k periodos en el modelo
binomial compuesto, con monto individual de reclamaciones W = X + Y . Entonces
para encontrar la función generadora de probabilidad de UW
k notada como ¯h(z, k) se
procede de la siguiente manera:
Para un periodo de tiempo cualquiera se tiene desde el teorema de la probabilidad total
aplicado al modelo binomial compuesto que
Pr(X + Y = k) = pθPr(X + Y = k) + p(1 − θ)Pr(X + Y = k)
si se desea expresar lo anterior mediante la función generadora de probabilidad entonces
se tiene
¯h(z) =
∞
k=0
Pr(X + Y = k)tk
= qt0
+
∞
k=1
[pθPr(X + Y = k) + p(1 − θ)Pr(X + Y = k)] tk
= q +
∞
k=1
[pPr(X + Y = k)(θ + 1 − θ)] tk
= q +
∞
k=1
[pPr(X = m)Pr(Y = n)] tm+n
= q +
∞
m+n=1
pfmtm
gntn
= q + p
∞
m=1
fmtm
∞
m=1
gntn
= q + p ¯f(z)¯g(z)
Usando la hipótesis de independencia de los montos de reclamaciones para cada pe-
riodo se tiene que para los primeros k periodos la función generadora de probabilidad
¯h(z, k) = [q+p ¯f(z)¯g(z)]k
. Es claro que ¯h(z, 1) = q+p ¯f(z)¯g(z), y además se notarán las
funciones de densidad y de distribución de UW
k como h(i, k) y H(i, k) respectivamente.
Con esto, si se divide a ambos lados de (3.8) por z − t¯h(z, 1) es decir se multiplica por
(z − t¯h(z, 1))−1
cuya expresión se puede ver como serie de potencias de la variable t de
46

la siguiente manera
(z − t¯h(z, 1))−1
=
1
z − t¯h(z, 1)
=
1
z
1
1 − t¯h(z,1)
z
=
z−1
1 − t¯h(z,1)
z
Y por propiedades de las series geométricas es
=
1
z
∞
k=0
t(¯h(z, 1))
z
k
=
∞
k=0
tk
(¯h(z, 1))k
zk+1
.
Se multiplicará cada término de (3.8) por el resultado anterior, esto para obtener una
nueva expresión, as´ı para
El lado izquierdo de la ecuación (3.8) queda escrito como
¯φ(z, t)[z − t(q + p ¯f(z)¯g(z))]
z − t(q + p ¯f(z)¯g(z))
= ¯φ(z, t)
=
∞
k=0
¯φ(z, k)tk
Al multiplicar el primer término del lado derecho de (3.8) por la expresión ∞
k=0
tk(¯h(z,1))k
zk+1
se tiene
z
1 − z
∞
k=0
tk
(¯h(z, 1))k
zk+1
=
1
1 − z
∞
k=0
tk
(¯h(z, 1))k
zk
=
∞
k=0
¯h(z, k)
zk(1 − z)
tk
47

Al multiplicar el segundo término del lado derecho de (3.8) por la expresión
∞
k=0
tk(¯h(z,1))k
zk+1 se tiene
t(1−¯g(z))
p(1 − θ) ¯f(z)
1 − z
∞
k=0
tk
(¯h(z, 1))k
zk+1
= ¯f(z)(1−¯g(z))
p(1 − θ)
1 − z
t
∞
k=0
tk
(¯h(z, 1))k
zk+1
= ¯f(z)(1 − ¯g(z))
p(1 − θ)
1 − z
∞
k=0
¯h(z, k)
zk+1
tk+1
= ¯f(z)(1 − ¯g(z))
p(1 − θ)
1 − z
∞
k=1
¯h(z, k − 1)
zk
tk
=
∞
k=0
¯f(z)(1 − ¯g(z))
p(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k − 1)
zk
tk
Al expandir el producto del tercer término de (3.8) se tiene dos resultados que al
multiplicarlos por la expresión ∞
k=0
tk(¯h(z,1))k
zk+1 se tiene el siguiente par de resulta-
dos
1.
qt ¯φ0(t)
∞
j=0
(¯h(z, 1))k
tj
zj+1
= q ¯φ0(t)
∞
j=0
(¯h(z, 1))j
tj+1
zj+1
= q
∞
k=0
¯φ(0, k)tk
∞
j=0
(¯h(z, 1))j
tj+1
zj+1
= q
∞
k=0
∞
j=0
¯φ(0, k)
(¯h(z, 1))j
tk+j+1
zj+1
= q
∞
k=j+1
∞
j=0
¯φ(0, k − j − 1)¯h(z, j)z−j−1
tk
=
∞
k=0
q
k−1
j=0
¯φ(0, k − j − 1)¯h(z, j)zk−j−1
zk
tk
.
El último resultado se obtiene al ordenar los ´ındices de las sumatorias, eli-
minar los sumandos donde la probabilidad de supervivencia se tomaba para
un periodo de tiempo negativo y dividiendo la expresión obtenida en zk
.
2. Operando de la misma manera la expresión
48

qt ¯φ0(t)p ¯f(z)¯g(z)(1 − θ)
∞
j=0
(¯h(z, 1))j
tj+1
zj+1
se obtiene
∞
k=0
qp ¯f(z)¯g(z)(1 − θ)
k−2
j=0
¯φ(0, k − j − 2)¯h(z, j)zk−j−2
zk
tk
Ahora si se toma la suma ∞
k=0 para todos los sumandos, se toma factor común tk
y se
multiplica a ambos lados de la ecuación la expresión zk
se obtiene que para k = 1, 2, 3 . . .
zk ¯φ(z, k) =
¯h(z, k)
1 − z
+ ¯f(z)(1−¯g(z))¯h(z, k−1)
p(1 − θ)
1 − z
−q
k−1
j=0
φ(0, k−1−j)¯h(z, j)zk−1−j
+ pq(1 − θ) ¯f(z)¯g(z)
k−2
j=0
φ(0, k − 2 − j)¯h(z, j)zk−2−j
. (3.9)
Bajo este contexto para generar una relación recurrente entre las funciones generadoras
de probabilidad, para el proceso conjunto de montos en periodos de tiempo consecutivos
es necesario aclarar que
¯h(z, k + 1) − q¯h(z, k) = (q + p ¯f(z)¯g(z))k+1
− q(q + p ¯f(z)¯g(z))k
= (q + p ¯f(z)¯g(z))k
q + p ¯f(z)¯g(z) − q
= p ¯f(z)¯g(z)(q + p ¯f(z)¯g(z))k
= p ¯f(z)¯g(z)¯h(z, k).
Además la función generadora de probabilidad ¯h puede ser escrita en términos de la
función de densidad h, y la función de distribución H, por lo tanto la ecuación (3.9) se
puede reescribir teniendo en cuenta los siguientes resultados que se derivan de analizar
cada sumando de la ecuación (3.9) por separado.
49

Para el primer sumando del lado derecho de la ecuación (3.9) se tiene que rees-
cribiendo la función generadora de probabilidad como serie de potencias y por el
v´ınculo entre la función de densidad y la función de probabilidad.
¯h(z, k)
1 − z
=
∞
i=0
H(i, k)zi
Para el segundo sumando expandiendo los términos y usando el hecho que ¯h(z, k+
1) − q¯h(z, k) = p ¯f(z)¯g(z)¯h(z, k)
¯f(z)[1 − ¯g(z)]¯h(z, k − 1)
p(1 − θ)
1 − z
= [ ¯f(z)¯h(z, k) − ¯f(z)¯g(z)¯h(z, k)]
p(1 − θ)
1 − z
=
p(1 − θ)
1 − z
[ ¯f(z)¯h(z, k − 1)] − [p ¯f(z)¯g(z)¯h(z, k)]
(1 − θ)
1 − z
=
p(1 − θ)
1 − z
[ ¯f(z)¯h(z, k − 1)] − [¯h(z, k) − q¯h(z, k − 1)]
(1 − θ)
1 − z
Para el tercer sumando solo basta expresar la fgp como serie de potencias.
q
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)¯h(z, j)zk−1−j
= q
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=0
h(i, j)zk−1−j
zi
= q
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=0
h(i, j)zi+k−1−j
Para el cuarto sumando se procede igual que el segundo ´ıtem.
pq(1 − θ) ¯f(z)¯g(z)
k−2
j=0
φ(0, k − 2 − j)¯h(z, j)zk−2−j
=
q(1 − θ)
k−2
j=0
φ(0, k − 2 − j)[p ¯f(z)¯g(z)¯h(z, j)zk−2−j
] =
q(1 − θ)
k−2
j=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)[¯h(z, j + 1) − q¯h(z, j)].
50

De esta manera la ecuación (3.9) es equivalente a
zk ¯φ(z, k) =
∞
i=0
H(i, k)zi
− q
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=0
h(i, j)zi+k−1−j
+
p(1 − θ)
1 − z
[ ¯f(z)¯h(z, k − 1)] − [¯h(z, k) − q¯h(z, k − 1)]
(1 − θ)
1 − z
+ q(1 − θ)
k−2
j=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)[¯h(z, j + 1) − q¯h(z, j)]. (3.10)
Si se define ¯h1(z, k) = ¯h(z, k − 1)(p + q ¯f(z)) con H1(i, k) su correspondiente función de
distribución. Y si como en la ecuación (3.9) se reordena por secciones el lado derecho
de la ecuación (3.10) entonces
Del segundo sumando de la ecuación (3.10) se tiene
q
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=0
h(i, j)zi+k−1−j
= q
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=1+j−k
zi
h(i + 1 + j − k, j)
= q
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=k−1−j
zi
h(i + 1 + j − k, j)
= q
∞
i=0
zi
k−1
j=k−1−j
φ(0, k − 1 − j)h(i + 1 + j − k, j)
= q
k−1
i=0
zi
k−1
j=k−1−j
φ(0, k − 1 − j)h(i + 1 + j − k, j)
+ q
∞
i=k
zi
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)h(i + 1 + j − k, j)
51

Operando sobre el tercer y cuarto sumando de (3.10) se obtiene
p(1 − θ)
1 − z
[ ¯f(z)¯h(z, k − 1)] − [¯h(z, k) − q¯h(z, k − 1)]
(1 − θ)
1 − z
=
p(1 − θ)
1 − z
[ ¯f(z)¯h(z, k − 1)] −
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k) − q
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k − 1)
=
(1 − θ)
1 − z
[ ¯f(z)¯h(z, k − 1) − q¯h(z, k − 1)] −
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k)
=
(1 − θ)
1 − z
[( ¯f(z) − q)¯h(z, k − 1)] −
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k)
=
(1 − θ)
1 − z
¯h1(z, k) −
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k)
Ahora del quinto sumando de (3.10) se obtiene
q(1 − θ)
k−2
j=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)[¯h(z, j + 1) − q¯h(z, j)]
= q(1 − θ)
k−2
j=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)¯h(z, j + 1)
− q2
(1 − θ)
k−2
j=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)¯h(z, j)
= q(1 − θ)
k−1
j=1
zk−1−j
φ(0, k − 1 − j)¯h(z, j)
− q2
(1 − θ)
k−2
j=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)¯h(z, j)
con estos resultados hasta este momento la ecuaci´on (3.10) se puede reescribir como
52

zk ¯φ(z, k) =
∞
i=0
H(i, k)zi
− q
k−1
i=0
zi
k−1
j=k−1−j
φ(0, k − 1 − j)h(i + 1 + j − k, j)
− q
∞
i=k
zi
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)h(i + 1 + j − k, j) +
(1 − θ)
1 − z
¯h1(z, k)
−
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k) + q(1 − θ)
k−1
j=1
zk−1−j
φ(0, k − 1 − j)¯h(z, j)
− q2
(1 − θ)
k−2
j=0
zk−2−j
φ(0, k − 2 − j)¯h(z, j)
Para terminar de reescribir la f´ormula (3.10) se tienen en cuenta los siguientes tres
resultados
1.
(1 − θ)
1 − z
¯h1(z, k) −
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k) = (1 − θ)
∞
i=0
z
i
H1(i, k) −
(1 − θ)
1 − z
¯h(z, k)
= (1 − θ)
∞
i=0
H1(i, k)z
i
−
∞
i=0
H(i, k)z
i
+ θ
∞
i=0
H(i, k)z
i
2.
k−1
j=1
z
k−1−j
φ(0, k − 1 − j)¯h(z, j) =
k−1
j=1
z
k−1−j
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=0
z
i
h(i, j)
=
k−1
j=1
z
k−1−j
φ(0, k − 1 − j)
k−1
i=0
z
i
h(i, j) +
k−1
j=1
z
k−1−j
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=k
z
i
h(i, j)
=
k−1
j=1
φ(0, k − 1 − j)
k−1
i=0
z
i+k−1−j
h(i, j) +
k−1
j=1
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=k
z
i+k−1−j
h(i, j)
=
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)
k−1
i=0
z
i+k−1−j
h(i, j) − φ(0, k − 1)h(0, 0)z
k−1
+
k−1
j=1
φ(0, k − 1 − j)
∞
i=k
z
i+k−1−j
h(i, j)
=
k−1
i=0
z
i
k−1
j=k−1−i
φ(0, k − 1 − j)h(i + j + 1 − k, j) − φ(0, k − 1)h(0, 0)z
k−1
+
∞
i=k
z
i
k−1
j=i
φ(0, k − 1 − j)h(i + j + 1 − k, j)
53

3.
k−2
j=1
z
k−2−j
φ(0, k − 2 − j)¯h(z, j)
=
k−2
i=0
z
k−2−j
φ(0, k − 2 − j)
∞
i=0
z
i
h(z, j)
=
k−2
j=1
φ(0, k − 2 − j)
∞
i=0
z
i+k−2−j
h(i, j)
=
k−2
j=1
φ(0, k − 2 − j)
∞
i=k−2−j
z
i
h(i, j)
=
∞
i=0
z
i
k−2
j=k−2−i
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j)
=
k−2
i=0
z
i
k−2
j=k−2−i
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j)
+
∞
i=k−1
z
i
k−2
j=0
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j)
Esto muestra que la ecuaci´on (3.10) puede ser escrita como
zk ¯φ(z, k) = θ
∞
i=0
H(i, k)zi
− q
k−1
i=0
zi
k−1
j=k−1−j
φ(0, k − 1 − j)h(i + 1 + j − k, j)
− q
∞
i=k
zi
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)h(i + 1 + j − k, j) + (1 − θ)
∞
i=0
H1(i, k)zi
+ q(1 − θ)
k−1
i=0
zi
k−1
j=k−1−i
φ(0, k − 1 − j)h(i + j + 1 − k, j) − φ(0, k − 1)h(0, 0)zk−1
+
∞
i=k
zi
k−1
j=1
φ(0, k − 1 − j)h(i + j + 1 − k, j)
+ q2
(1 − θ)
k−2
i=0
zi
k−2
j=k−2−i
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j)
+
∞
i=k−1
zi
k−2
j=0
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j) (3.11)
Si se tiene en cuenta que
54

zk ¯φ(z, k) = zk
∞
i=0
φ(i, k)zi
=
∞
i=0
zi+k
φ(i, k)
=
∞
i=k
zi
φ(i − k, k) (3.12)
y si se comparan los coeficientes de zi
de (3.12) con los terminos al lado derecho de
(3.11) se tienen las siguientes fórmulas recursivas:
φ(0, k) = θH(k, k) + (1 − θ)H1(k, k) − qθ
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)h(j + 1, j)
− q2
(1 − θ)
k−2
j=0
φ(0, k − 2 − j)h(j + 2, j) (3.13)
φ(i − k, k) = θH(i, k) + (1 − θ)H1(i, k) − qθ
k−1
j=0
φ(0, k − 1 − j)h(i + j + 1 − k, j)
− q2
(1 − θ)
k−2
j=0
φ(0, k − 2 − j)h(i + j + 2 − k, j). (3.14)
las cuales permiten encontrar la probabilidad de ruina en tiempo finito para 2 recla-
maciones relacionadas en el tiempo en el modelo binomial compuesto.
55

Conclusiones
En el sector asegurador se presenta un gran número de variantes que pueden complicar
las predicciones y modelos del actuario a cargo de la compañ´ıa; en este trabajo se
evidencia un problema sobre retrasos en las liquidaciones de una reclamación o el
caso donde una reclamación cobre agravantes sobre la misma. Esta clase de problemas
necesitan una solución y es por ello que en (Guo, 2001) se presentan tanto el modelo,
como una solución para el problema espec´ıfico del cálculo de la probabilidad de ruina.
Del estudio de las tres primeras secciones de dicho art´ıculo y la reconstrucción teórica
a partir de herramientas matemáticas y probabil´ısticas de acuerdo a los objetivos del
trabajo se puede concluir que:
Utilizar el supuesto de un modelo discreto y en este caso espec´ıficamente el supues-
to del modelo binomial compuesto, facilita la manipulación de distintos recursos
que se plantean para solucionar problemas en el marco de la teor´ıa de riesgo
actuarial, este modelo en muchos casos permite obtener resultados de manera
óptima y además permite llevar estas soluciones al modelo continuo con menor
dificultad.
La utilización de fórmulas recursivas para el cálculo de probabilidades de ruina en
el contexto de la teor´ıa de riesgo actuarial es una herramienta precisa y muy útil
para plantear sistemas de soluciones desde el simple conocimiento del comporta-
miento inicial del modelo. Además la recursividad hace para el actuario mucho
más fácil la programación de las fórmulas necesarias para abordar cualquier pro-
blema; también es de resaltar que desde el conocimiento de fórmulas recursivas se
puede plantear una solución bajo fórmulas expl´ıcitas como se muestra en (Dick-
son, 1994), (Shiu , 1989) y (Alfredo, 2000).
Las funciones generadoras de probabilidad además de ofrecer alternativas para
la obtención de los momentos de las distribuciones,además como se muestra en
este trabajo, desde las mismas pueden obtenerse relaciones directas entre objetos
matemáticos tratados en la teor´ıa de riesgo actuarial. La manipulación de las
funciones generadoras de probabilidad en este caso aunque aparezcan expresiones
complicadas y dispendiosas, permiten un manejo matemático y computacional
práctico, es por esto que se pretende en trabajos futuros hacer utilización de las
56

mismas para la obtención de probabilidades de ruina en el caso de reclamaciones
relacionadas en más periodos de tiempo y la introducción del modelo binomial
negativo compuesto para solucionar problemas en un espacio discreto en donde
el modelo binomial compuesto no ofrece alternativas de solución.
57

CAPÍTULO 4
Anexos
4.1. La Ruina del Jugador
Este problema clásico es uno de los más estudiados en los cursos de probabilidad a nivel
mundial y como era de esperarse su interpretación presenta una aplicación importante
en el contexto de la teor´ıa de riesgo actuarial.
Este problema es el último propuesto por Huygens a los lectores en el año de 1657 en
su tratado De Ratiocinüs in Ludo Aleae, “El Razonamiento en el Juego de Dados”. El
tratado que consist´ıa de 5 problemas, tres de ellos con solución tendr´ıa en su interior
uno de los problemas más famosos entre los estudios de la probabilidad.
El problema se trata de un juego entre dos jugadores a un número indeterminado de
partidas, donde en cada partida se juegan una moneda 1
y que sólo concluye cuando
uno de los dos jugadores ha perdido todo su dinero. Tenemos un juego que podr´ıa tener
duración infinita. El problema plantea el cálculo de la probabilidad de que un jugador
1
Quién la pierde le paga al otro una moneda
58

arruine al contrario sabiendo la cantidad de monedas con las que parte cada uno 2
y
conociendo las probabilidades de ganar en cada partida de cada uno de los jugadores,
probabilidades que no tienen por qué ser iguales aunque si constantes a lo largo de todo
el juego. Se supone, además que las partidas son sucesos independientes entre s´ı, o sea,
el resultado de una partida no influye en los resultados posteriores, cosa que ocurre en
un juego de puro azar, donde el jugador no va aprendiendo a medida que se desarrolla
el juego, El problema mencionado es el problema de nuestro interés, el problema de la
ruina del jugador.
Es de tener en cuenta que aunque Huygens fue quien introdujo el problema formalmente
este problema ya hab´ıa sido propuesto por Pascal a Fermat mediante correo, también se
sabe que el problema fue estudiado por James Bernoulli; estos tres famosos matemáticos
lo catalogaron entre los problemas más dif´ıciles de resolver, y fue hasta 1865 cuando se
conoció la divulgación previa a Huygens y según Todhunter es el primer ejemplo sobre
la duración del juego, un asunto que posteriormente sirvió para mostrar la elevada
capacidad de De Moivre, Lagrange y Laplace.
A continuación se presenta la solución al problema.
4.1.1. Solución al Problema del Jugador
Suponga que un juego entre un jugador y un casino, el contexto de ruina se dará cuando
cualquiera de los dos jugadores quede sin fichas. Si el jugador tiene n fichas y la mesa
del casino cuenta con m fichas, hay en juego el total de m + n = K fichas. Sea p la
probabilidad de ganar el jugador en cada partida y sea q la probabilidad que gane el
casino, por comodidad p + q = 1, es decir en cada partida hay un ganador.
Sea wi la probabilidad de que el jugador arruine la mesa cuando él dispone de i monedas.
Por tanto, 1−wi es la probabilidad de que la banca arruine al jugador cuando éste tiene
i monedas. Se puede escribir: w0 = 0, pues el jugador ya ha perdido todas sus monedas,
no puede seguir jugando y, por tanto, no tiene ninguna posibilidad de arruinar a la mesa
del casino.
w1 = pw2, pues si al jugador le queda una moneda, la única posibilidad de seguir
en el juego es ganando la siguiente partida. Por tanto, la probabilidad de arruinar la
2
En un principio Huygens establec´ıa el mismo número de monedas para ambos
59

mesa disponiendo de una sola moneda es igual a la probabilidad de ganar la siguiente
partida (juntando entonces 2 monedas) por la probabilidad de arruinar la mesa cuando
se dispone de 2 monedas.
w2 = pw3 +qw1, pues, la probabilidad de que arruine la mesa con dos monedas es igual
a la probabilidad de que gane la siguiente partida (juntando entonces 3 monedas) por
la probabilidad de que arruine la mesa con 3 monedas más la probabilidad de perder
la siguiente partida (quedando entonces con una sola moneda) por la probabilidad de
arruinar la mesa con una moneda. Es de nota, que el conocido teorema de la proba-
bilidad total sirve perfectamente para ir construyendo las igualdades que definen una
recurrencia en función del número de monedas que tiene el jugador. wk = 1, pues el
jugador ya tiene todas las monedas, y el juego a terminado.
Se puede generalizar y resumir escribiendo:
w0 = 0 wk = 1 wi = pwi+1 + qwi−1 i = 1, 2, . . . , K − 1
Ahora solo basta resolver la siguiente ecuación en diferencias.
wi = (p + q)wi = pwi + qwi
Igualando las dos ecuaciones anteriores.
pwi+1 + qwi−1 = pwi + qwi
p(wi+1 − wi) = q(wi − wi−1)
wi+1 − wi =
q
p
(wi − wi−1)
Para disttintos valores de i se tiene lo siguiente.
60

para i = 1
w2 − w1 =
q
p
w1
para i = 2
w3 − w2 =
q
p
(w2 − w1) =
q
p
2
w1
para i = 3
w4 − w3 =
q
p
(w3 − w2) =
q
p
3
w1
para i = k − 1
wk − wk−1 =
q
p
(wk−1 − wk−2) =
q
p
k−1
w1
Al sumar miembro a miembro las igualdades anteriores se tiene que.
1 − wi = wi
q
p
+
q
p
2
+
q
p
3
. . .
q
p
k−1
Por tanto.
1 = wi 1 +
q
p
+
q
p
2
+
q
p
3
. . .
q
p
k−1
Y con esto obtenemos el valor.
wi =
1
wi
q
p
+ q
p
2
+ q
p
3
. . . q
p
k−1
Ahora si supone que se trunca en la i-´esima suma y sustituyendo el valor de w1 se tiene
que.
61

wi =
1 + q
p
+ q
p
2
+ q
p
3
. . . q
p
i−1
1 + q
p
+ q
p
2
+ q
p
3
. . . q
p
k−1
De donde.
wi =
1 − q
p
i
1 − q
p
k
.
Esta es la solución general del problema de la ruina del jugador, donde para ciertas
restricciones se tiene lo siguiente.
Para p = q, es decir para eventos equiprobables.
wi =
i
k
Si se tiene que q > p y para i suficientemente grande es decir q
p
i
>> 1 se tiene
que.
wi =
p
q
k−i
Para p < q y si se tiene k suficientemente grande como para decir que q
p
k
∼ 0
entonces.
wi = 1 −
q
p
i
Esta solución y el problema puede ser encontrada en (Baley, 1964) y (Basulto, 2008)
62

Bibliograf´ıa
Guo Y., Yuen C., 2001. Ruin Probabilities for Time-Correlated Claims in the Com-
pound Binomial Model.Insurance: Mathematics and Economics 29, 47-57.
Kaas R.,Goovaerts M.,Denuit M.,2005. Actuarial Theory for Dependent Risks. Wiley
and Sons, Chichester.
Rincon L.,2012. Introducci´on a la Teor´ıa de Riesgo.ciudad universitaria UNAM, Mexico
DF.
Baley J., Norman T., 1964. The Elements of Stochastics Processes. Wiley and Sons,
New York.
Shiu, E., 1989. The probability of eventual ruin in a compound binomial model. ASTIN
Bulletin 19, 179-190.
Dickson, D.C.M., 1994. Some comments on the compound binomial model. ASTIN
Bulletin 24, 33-45.
Gerber, H.U., 1988. Mathematical fun with the compound Poisson process. ASTIN
Bulletin 18, 161-168.
Alfredo, D.E., 2000. The compound binomial model revisited. Universidad T´ecnica de
Lisboa, Lisboa.
63

Asmussen, S., 1989. Risk theory in a Markovian environment. Scandinavian Actuarial
Journal, 69-100.
Basulto J., Camúñez J., Pérez D., 2008. El problema de la ruina del jugador. SUMA
59, 23-30.
64

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