Sistemas de numeração na antiguidade e sistems de posição decim

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Material para ajudar as turminhas do 7º ano_1ºbimestre-2015

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Sistemas de numeração na antiguidade e sistems de posição decim

  1. 1. Números naturais O que levou o ser humano a criar os números? Não é difícil de imaginar que em algum momento da História o ser humano sentiu a necessidade de contar animais, objetos, pessoas e de inventar uma forma de representar essa contagem. Mas nem sempre os números foram representados da mesma maneira como os escrevemos hoje. Desde o inicio da humanidade diferentes povos deram sua contribuição, modificando a escrita dos números através do tempo. Neste capítulo você vai conhecer um pouco da evolução da escrita dos números através do tempo e de várias civilizações. Além disso vai trabalhar com inúmeras situações nas quais lidamos com números naturais. Veja estas informações referentes ao descobrimento do Brasil: Pedro Álvares Cabral partiu da praia do Restelo, em Lisboa, Portugal, às 12 horas do dia 9 de março de 1500? a esquadra de Cabral era composta de 10 naus e 2 'l ' Caravelas, que traziam 1 500 pessoas, e de uma nave- J; ta com mantimentos? no dia 22 de abril de 1500, Cabral ancorou em frente ç ao monte Pascoal, que tem 536 metros de altura? y 4 Pedro Álvares Cabral (1467(? )-1520(? )), navegador português. Em seu regresso a ' Portugal, Cabral recebeu muitas honras pelo descobrimento de novas terras, mas morreu pobre e esquecido em Santarém. Grandes Personagens da Nossa Hisloria. vol i, São Paulo, Abril Cultural, p P9, Você sabia que. .. quando o Brasil foi descoberto, os historiadores / calculam que existiam aqui entre 'I milhão e 3 mi- v lhões de indígenas, divididos em 'l 400 tribos? atualmente, existem em torno de 280 mil indi- genas no Brasil, divididos em 225 grupos identifi- cados? i Índios Yanomami em Roraima. Na década de 1970 acreditava-se no desaparecimento _ dos indígenas brasileiros, mas desde os anos de 1980 essa população tem crescido de forma constante, indicando retomada demográfica. André ? armar/ Abra Imagens Todos os números que aparecem nessas informações são números naturais. Os números naturais são números de contagem.
  2. 2. Discuta com seus colegas cada uma dessas informações e troquem idéias sobre os números naturais que aparecem. Por que esses números são números de con- êwo, tagem? O que se está contando em cada informação? id Neste capítulo, você va¡ retomar e ampliar o estudo dos números naturais. Vivemos hoje no mundo dos números. Mas desde seu aparecimento foram necessários séculos e séculos de descobertas e aperfeiçoamentos para chegarmos a sua atual forma de escrita. Examine os quadros que mostram os registros e símbolos de alguns povos antigos e viaje no tempo com a história dos números, imaginando cada uma das épocas, como os povos viviam, o que faziam, quais eram suas necessidades e por que precisaram registrar, com simbolos, as quantidades. Povos primitivos &híbâ É marcas em osso nós em cordas marcas em madeira sg/ rà v V ¡ ¡_ 5g lascas de pedra gavetas pedrinhas A necessidade de contar surgiu com o desenvolvimento das atividades humanas. Como saber se uma ovelha fugiu, se perdeu ou foi roubada? As marcações das quantidades eram feitas com desenhos nas cavernas, nós em cordas, talhos em ossos e outros tipos de registro. PÊRIO H Egipcios . _ _ Mar Mediterrâneo | n e â N _ _ r 1 1o 10o 1 ooo say. _ J bastão calcanhar rolo flor de UÊLTNÚÁ 17g Ma, MMO de corda lótus Cmeiwggkka . ' *É* , _ Í3 en MÉDIO sonora; , x “m” di; E v 1 m Cada símbolo árabe "a do sistema de ^'~T° 55"” “fm” ? asi 10 000 100 000 1 000 000 numeração °>%~ dedo a ontando eixe homem egí cio tinha A 7° P p umpsignificado. Ab" Smbel/ K E-"ÓHA Antigo Egito
  3. 3. Povos da Mesopotâmia r -- ~ ~ ~ -. A numeração desenvolvida na ' 143 Mesopotâmia data de ' _ aproximadamente 4 000 anos e Y Y í tinha a base de contagem 60. o t O vestígio dessa numeração 2'Ó0 + ? '10 + 3 = apresenta-se hoje na contagem do . . _. -. , . tempo (60 segundos, 60 minutos). Chineses A 'là . _a . . , .,. _ . _. . ..- . v, t' j¡ d; ; _' -- _ I E j; t¡ j-l. Estessimbolos “x M_ ; ig o 7 8 9 : :°c: ;:a: ::°*°5 p M i i v 7 ' i Japão. Para l i _l_ É : F 75 cálculos, eles OCEANO . ¡. . 19m_ V_ M_ _ 1000_ _V 10 ¡lgâlozigãkíàsfema ai A o PAE/ Fico Romanos Osistema de 'ãfp t r : unem numeraçao romano *- S e r _z _. _-_. -.______-_. .. -_ . . . _.. ._. a_ espalhou-se por M ¡QÊÉÍJL _ 51 V X L c D M 3*°d°°°°“ÉÉ"*? jr 'tem g ¡ em consequencia _já jd* j 1 5 1o 5o 10o 50o 100o da expansão do tr' = « _ M M d, ... , 4 4 ____ ___» ___r______ d_ _ H _ _ __ Império Romano_ ÁFRKA a" e “erram” % I Maias OCEANO Os maias ocupavam o território que ATLÂNHC; r e ~ e -› r - vw › - -r -~ -s corresponde hoje ao sul do México, à «': "5t¡§§““¡ xr Í WW/ Ízsf? a o 3 Guatemala e ao norte de Belize. ;l l” rxfí ' Desenvolveram a aritmética de tal maneira i r'- ¡ízvs nã; ' que permitiram cálculos de astronomia i? ” L1 19W( ' 1 5 0 l com grande exatidão. A numeração era Ç; Eua¡ sã' ' . , . . . . - . .. - . ' símbolizada por pontos etraços. ,lx a” PAC/ FICO Sé l Vl II! Sé l IX l SéculoX (árabe oriental) Hindus e árabes Século Xlll (árabe oriental) Século XIV (árabe ocidental) Século XV (árabe oriental) Século XV (euro - eu) Os árabes difundiram para todo o mundo o sistema de numeração hindu. Com esse sistema, os cálculos tornaram-se mais simples e rápidos. Esse sistema de numeração surgiu no vale do rio Indo, onde hoje se encontra o Paquistão.
  4. 4. ° _ Debata com um colega sobre esses registros e simbolos antigos. De qual vocês mais gostaram? _na_ à. , _p_ Sylvarn Grandadam/ Tony Stone Reproduçad Antigo calendário _ egípcio. Nosso ' É* " ' calendário de 365 dias “ - ' “ é provavelmente baseado no sistema Pirâmides egípcio de dividir o j do Egito ano em doze meses : em Giza. de trinta dias cada um. ' . _ , Os povos do Antigo Egito foram os primeiros a representar a quantidade de pessoas, objetos e animais por meio de desenhos (símbolos), passo fundamental para o desenvolvimento da Matemática. j. . Os simbolos você já conhece. Tente agora descobrir as regras pelos exemplos. 3Z-›RH 104-»63 l j j' 1353-» Com base no que você acabou de Ver, escreva no caderno usando a numeração egípcia: a) o número de dias de uma semana. c) o número de dias do ano bissexto. b) o número de dias do mês de janeiro. d) o dia, o mês e o ano de seu nascimento. Das pirâmides egípcias, a de Quéops é a mais importante. Para conhecer algumas de suas dimen- sões, traduza para a nossa numeração a medida, em metros: a) do lado da base: b) da altura: mn¡ @nnnn O rio Nilo, um dos maiores do mundo, corta o Egito de norte a sul. Ele mede 6 741 km de exten- são. Como os egípcios representavam esse número?
  5. 5. Há milhares de anos, alguns povos, dentre eles os babilônios, habitaram a região da Mesopotâmia, região que atualmente inclui o Iraque. Para representar as quantidades, eles desenha- vam cunhas em argila ainda mole, que depois eram secadas ao sol ou cozidas no fogo. Veja os simbolos que usavam: _kl para indicar 1 ou 60, dependendo da posição. < para indicar 10. gi _ - Gianni Dagli eai/ cem _ . g , _< Relevo do trono de Shalmaneser Ill, rei dos assírios, um dos povos mesopotãmicos, representando carregadores e transportadores de oferendas. Na parte superior da imagem, datada do século IX a. C., em escrita cuneiforme, alguns números são representados. Examine alguns exemplos e procure descobrir as regras. Fique atento à posição dos símbolos. a) Números de 'l a 9. ; l n! ;l k4k' V i e» v V V lv *v “v 4 ^ ¡ v V V Como voce '21 V V¡ Vl V¡ representaria o 7? l 'r N r 5 v i v 9 b) Números de 10 a 59. , u ¡p! u l 4 1 1 4 - * k _ -y si-, :lv 1,' 1' l/ t¡ l <* f( , :-« j' Como voce 23 a' u' 3-¡ escreveria o 59? 2.10 3 3- 'IO +1 + 15 1o + 5 c) Números maiores do que 59. Hum ; l ll i li VH( , ,yâylv V_ 'íhlhl lv ! N “ Como você 11 i 747111 l 7:1' : Ill escreveriaos 2-óoJ231o+3 60+10+2 1¡ “Úmems 84° 1317 ' 120 + 20 + 3 67 60 + O + 7 Você já deve ter percebido que esse sistema de numeração apresentava algumas dificuldades. Cuidados especiais deviam ser tomados em relação aos espaços a serem deixados entre os simbo- los. Observe: v4vv . . 3 V W à 62 Y “v1 Y V i i 5'” V . .121 vv v
  6. 6. Outra dúvida! Como representar o número sessenta? Assim V ou assim i i2( Â ll¡ A A lll l »v Os historiadores suspeitam que os povos mesopotâmicos usavam o símbolo ç quer para repre- sentar o um, quer para representar o sessenta. O contexto da situação é que distinguia se se trata- va do número um ou do número sessenta. n a escrita dos mesopotâmicos era chamada de cuneiforme porque seus símbo- los se assemelhavam a cunhas? Você sabia que. .. ainda hoje contamos algumas coisas de 60 em 60, como, por exemplo, a medi- da de tempo: 1 h = 60 min; 'l min = 60 s? Quais os inconvenientes de desenhar símbolos em argila ainda mole e depois deixá-la secar? Traduza para o nosso sistema de numeração. a) C) »(4,54 i V ”*i V i b) , e ' 4 d) V V V l' «mix . . Escreva em seu caderno usando a escrita cuneiforme. a) 3 b) 12 c) 100 d) 72 e) _xr É¡ 1.4 V i i ”*i i li f) V V 4V? ” ii*~**ii e) 185 f) 257 Você se lembra de como eram escritos os números no sistema de numeração romano? Ao contrário dos egípcios, eles não inventaram novos simbolos; usavam as letras de seu alfabeto: l, V, X, L, C, D e M. E como combinavam essas letras para representar os números? Relógio da igreja de São Bento, em São Paulo (SP). Em alguns relógios, o quatro Examine alguns exemplos para recordar as regras. 30 _. )0O( ó _. VI 9 _. |X l l 5+1 10-1 se escreve llll e não lV. _ 46 _. XLVI T 40+ó 7059 _. WLix l 7000+50+9 Cileie Silvério/ abril Imagens
  7. 7. Nuinergs 'LiÍUfdli a Escreva os números na numeraçãovromana: a) capítulo quatorze. c) ano de 1500. b) D. João 69. d) dia de hoje (dia/ mês/ ano) nd eilangsantalt. raz Numeração maia à( u u Observe estes símbolos: i im. . : Dm: 1 5 0 Com esses três símbolos os maias representavam os números. Analisando os exemplos a seguir, você consegue descobrir quais são as re ras? g Página do Códice de Dresden, manuscrito de origem maia, na qual calendário divinatório é ilustrado. 10 ó_'. _ 11 ll' «a O | . o o o o o o a o n ou ou¡ à Ó. 2 " 7 " 12 é 17 * 2o 21 22 23 24 25 Í 3 ooo 8 '“ 13 à_ 18 . ..t o o o o o 4 . ... 9 22 14 19 g _O_ _eo_ ooo coco í à_ 26 27 28 29 30 5:10: JSÊ Você deve ter percebido que o importante nesta escrita é a posição dos símbolos e o espaça- mento entre eles, na vertical. Veja: ° 1x20 1x20 ou 3x20 '1 5x20 =39 + óó + =20 . u, + + =100 . Q O ,9 - 6 c. ; o a Escreva na numeração maia: - a) três dezenas e meia. c) cento e quarenta e seis. b) meia centena. d) setenta e três. a Que quantidades representam estes números? a) ° b) -- c) -° d) A - Q
  8. 8. Numeração indo-arábica O nosso sistema de numeração originou-se na Índia, por volta do século V, e foi difundido pelos árabes. Vamos recordar suas características principais: o usamos apenas 10 símbolos para representar qualquer quantidade: 0,1, 2, 3, 4, 5, ó, 7, 8, 9; Archivo leonogválico, SVCORBIS o agrupamos de 10 em 10 para facilitar a contagem: Astrolábio de origem árabe que remonta ao século XVII. DU 1 5 1 grupo de 10 mais 5; l_ 5 unidades 1 dezena e 5 unidades; 1 dezena 15 o a posição dos simbolos em um número é muito importante. Por exemplo, 325 é diferente de 235, que é diferente de 523: C D U formausual-›3 2 5 2 3 5 5 2 3 l l l I 5 unidades I 1- 1¡ ordem = 3 unidades 300 20 5 25 ordem = 20 unidades 3 dezenas ou 30 unidades 325 = 300 + 20 + 5 2 centenas ou 200 unidades 3¡ ordem = LDO unidades =3-100+2-10+5 235=200+30+5 523 =3-1o2+2-1o+5 =2-1o2+3-1o+5 s23=5-1o2+2-1o+3 (forma decomposta) . a Escreva na forma usual e na forma decomposta os números: a) um mil, novecentos e noventa e oito. b) dois mil e dois. Converse com um colega sobre o nosso sistema de numeração e tentem respon- “d c? . ~ , . - . A? der as questoes: por que ele e chamado de sistema de numeraçao decimal? No que ele é parecido ou diferente dos outros sistemas de numeração antigos? - 9 , A , . , . ¡aêça Quantos simbolos ele tem? Voces acham que ele e mais ou menos pratico? o Comparando os vários sistemas de numeração Dentre os vários sistemas de numeração que estudamos, examine as características de cada um e responda em seu caderno: ' a) Em quais sistemas de numeração existia o zero? b) Quais sistemas de numeração repetem símbolos para representar quantidades maiores? c) Quais sistemas usavam o valor posicional de um símbolo? Explique com exemplos. d) Em quais sistemas de numeração o espaçamento entre os símbolos era importante? e) Em quais sistemas de numeração se contava de 10 em 10? E de 20 em 20? E de 60 em 60?
  9. 9. A área do Brasil é de aproximadamente 8 547 403 qui- lômetros quadrados (km2). No número 8 547 403 a ordem do algarismo 7 é a unidade de milhar e seu valor posicional é 7 000. Ainda em relação a esse número, responda em seu caderno: ¡ L) í íí classe dos classe dos classe das a) Qual é a ordem do algarismo 8? Qual é o valor posi- milhões milhares unidades cional do algarismo 8? b) Qual é a ordem do algarismo 5? Qual é seu valor posicional? c) Quantas classes tem esse número? Representações de um número Um número natural pode ser representado de diferentes maneiras: Forma usual (com algarismos): 8 547 403. Forma decomposta: 8000000 + 500000 + 40000 + 7000 + 400 + 0 + 3 8-1000000+5-100000+4-10000+7-1000+4-100+0-10+3 8-10ó+5-105+4-104+7-103+4-102+0-10+3 Com palavras: oito milhões, quinhentos e quarenta e sete mil, quatrocentos e três. Com palavras e algarismos, de modo simplificado: 8 milhões, 547 mil e 403. OCEANO 1;” n. as K ATLÂNTICO V/ ç T/ _r q L g “nf x < #w l «-› EQUADOR _ * i' 5px? l AMAZONAS ' Ã l” l . . e . ^ "f A' o maior estado brasileiro em exten- x sd-f *f* RQQ¡ líJlra" Ã . _/ são é o Amazonas, com aproxima- » V°°ê Sabia “We” damente 1 557 32o km2? a) Represente em seu caderno, de todas as maneiras possíveis, o número 1 557 820. b) Qual é o valor posicional do algarismo 7 nesse número? E do algarismo 1? Qual é o maior número com 7 algarismos cuja unidade de milhão é 2? Represente-o de todas as formas possíveis.
  10. 10. rá* ' d d d «É °§E~^^i7°co ' , A LAN A partir esses a os. _gb/ R Hiram/ g a) escreva o nome de cada estado e a sua área, em ¡ k M WWW? ” Swen** quilômetros quadrados, usando algarismos. r 2*» . Th b) relacione os números, dois a dois, com os símbolos de J L-. . maior do que (>), menor do que (<) ou igual a (= ). c) escreva os nomes dos três estados de acordo com a *fwxí J. x a P ». _, , w / * J u Z 1 a _ IRPEIgQEÂQÊRÊÉEN-lq - ' ' ' ' 'E77' ' 'É ' ~ - ~ - . . . _ _ _ _ _ _ _ A N ; Ltfc / :sum fx 7 a 70s msm "°“ A tabela abaixo informa a preferência do público por programas de televisão. ordem decrescente de suas áreas. Examine-a e responda em seu caderno: a) Que tipo de programa foi o mais votado? E o me- Preferência por programas de TV l nos votado? Tipo de programa Número de votantes Dados fictícios. ' b) Quais são os programas que apresentaram votação menor do que 13 milhões? c) Que tipo de programa tem maior aceitação: notí- cias ou esporte? d) Se você fosse lançar um novo produto pela TV, no horário de qual programa lançaría? Por quê? su) Alexandre disse: - "Estou pensando em dois números de dois algarismos. Eles são formados pelos mesmos algarismos. A soma _dos algarismos de cada um é 15 e a diferença entre os números #fera VEN UE UIANA ! NAME COLOMBIA w** ! ANA , L «FRYQÊNCESA é 9. Em quais números estou pensando? ” EQUADOR rgg, rlyp l Para facilitar e simplificar a leitura de algumas infor- “m” mações numéricas, é comum usar o arredondamento dos números. Veja um exemplo: _ ' ' ' ' "gyçc-'Qâcfã/ QCOQN . . , eo O Brasil tem 15 179 km de fronteiras com dez paises. ^' 356* . . , , . l* Ele só não faz fronteira com d01S paises da America do o? e Sul: Chile e Equador. (557 ESCALA O 890 |730lun
  11. 11. a) Vamos arredondar o número 15 179 para a centena mais próxima: Lembre-se de que: arredondamos "para cima" se o algarismo 15 000 15179 15500 16000 15 179 15 179 -› 15 200 da direita for 5, 6, algarismo a seríl ;7 > 5 número 7 8 ou 9 arredondado arredondado ' ' 15 000 15179 15500 16000 O algarismo a ser arredondado permanece o mesmo se 15179 15 179-› 15 000 . . . algarismo a serJ '-1 < 5 número O algansnw da dlrelm arredondado arredondado foi" 0, 1, 2, 3 ou 4. Agora é com você. Arredonde o número 15 179 para a dezena de milhar mais próxima. 8,12.' A costa leste brasileira mede 7408 km e faz fronteira, em toda a sua extensão, com o oceano Atlântico. Arredonde esse número para: a) a dezena mais próxima. c) a unidade de milhar mais próxima. b) a centena mais próxima. . tézi. Arredonde cada número para a ordem mais próxima da ordem destacada. a) 707 295 C) 125 826 e) 6 299 888 b) 5Q453 d) 2_2_ 399 878 f) 144 739 O número 149 é o maior número de três algarismos que pode ser arredondado para 100. Qual é o maior número de quatro algarismos que pode ser arredondado para 1 O00? RF. A tabela abaixo apresenta algumas cidades brasileiras e sua população, conforme o Censo Demográfico 2000 realizado pelo IBGE. Copie-a em seu caderno e acabe de preenché-la. (Censo 2000) unidade de milhar dezena de milhar L 31-3 O número que indica a população de uma cidade foi arredondado para a unidade de milhar mais próxima e resultou em 56 000. Quais são o menor e o maior número possíveis para indicar essa população?

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