Números; conjuntos numéricos

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Conjuntos numéricos

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Números; conjuntos numéricos

  1. 1. ,. ..4.v”h. v4.r¡v|1J“ . J. , . . ... ..«›m. .»a. ... ;2 Lis§rx. .LEãaxzhíráb. »Êta. Lártx. uíaeàrnsvrsfí. :32í›.3.â, x¡iizàtxíésÊxàaxisãçuíe; ííâ. íéz. ... c.í. au. ._. s.4,, ›.. Éz, f.. $§2w, . . s4:. ÊJ. s.. .›3.. .ã. ÍAL2.xa. ..?144.. ... _w4.s1›(. ..z? tzz:3ww)›. .lzíãax. i:¡a§.1.43_ _55 50 N] HU 511 ! ID 13H lñü 7 na ¡zniguzs _ un m¡ ¡Sà “cl un m) m¡ nn lzs________
  2. 2. capitulo ¡g/ w O lado desconhecido Vamos recordar como se calcula a área do quadrado: lado ; ado ¡ado área = lado >< lado = (ladoY lado Observe a figura abaixo (ampliada): um quadrado cujos lados medem l cm. T raçamos uma diagonal, dividindo o quadrado em duas partes. 1cm Responda: 1 Cm 1 Cm - Qual é a área do quadrado? 1 cm' - E a área de cada uma das partes? 0,5 cms, 1cm Agora, juntamos quatro quadradinhos de 1 cm de lado, formando um quadrado maior com 2 cm de lado. Traçamos uma diagonal em cada um dos quadradinhos, formando um novo quadrado, que você vê pintado em verde na figura abaixo. 1 cm 1 cm Em relação ao quadrado verde, responda: 1 cm 1 Cm , , - Qual e a area dele? 2 cm (0,5 + 0.5 - 0,5 + 0,5) - Quanto medem os seus lados? - A medida dos lados é um número inteiro? 1 Cm 1 Cm - É um número racional (fracionário)? 1 cm 1 cm Por enquanto, você tem condição de responder somente à primeira perguntaAs outras, nós responderemos no decorrer desta unidade, dedicada a revisar e ampliar o campo numéri- co que conhecemos até agora. Antes vamos rever alguns números que já, estudamos. 1o* unidade l
  3. 3. Éilúmeros naturais Os números naturais surgiram de nossa necessidade de fazer contagens. São os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, n fixaram-aiii: Responda às perguntas: a) 15 e XV são números diferentes? não b) 15 e XV são numerais diferentes? sim Responda: . , . , . . , . 7 São eles: O, 2, 4, 6, S, 10, '12, etc. . a) Quais sao e como sao chamados os naturais muitiplos de 2. chamados números pares_ b) Quais são os dez primeiros naturais ímpares? 1_ 3, 5, 7. 9, 11. 13. 15_ 17, 19 Responda: a) O que é um número natural primo? É um número natural maior do que 1, divisível apenas por? e por ele mesmo. b) Quais são os dez primeiros naturais primos? 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23. 29 Decomponha em fatores primos: a)150 150:2›3›5›' c) 500 500:2Iu5* b) 1502 150? z 2? - 3:' - 5* d) 5002 5001 z 2* . 5D Responda se é verdadeiro ou falso: Sendo p um número natural maior que 1, na decomposição de p? os expoentes de todos os fatores primos são números pares. v h* i íimeros inteiros Da subtração de dois números naturais pode resultar um número positivo, ou zero, ou um número negativo. Por exemplo: 5-1=4 5-6=~l s-2=3 5-7=-2 5-5=2 5-s= -3 5-4=1 5-9=-4 5-5=0 5-10=-5 Os números resultantes da subtração de dois números naturais são os números inteiros. Os inteiros são: . .., -6, -5, -4, -3, -2, -1, O, 1, 2, 'j', 4, 5,6, 7, capítulo 1
  4. 4. «+11 Exercícios ó. Responda: a) Quanto é a soma de dois números opostos? 0 c) Qua| é o oposto de -4? +4 b) Qua| é o oposto de +3? C3 d) Qua| é o oposto de O? o . Indica-se o valor absoluto de n por | n) (lê-se: módulo de n ou valor absoluto de n). Dê o valor de: a) | +8|s c) )-5| 5 e) | O| 0 b) | -8| s d) |5| 5 f) i- (-1)| 1 . Calcule: a)2-| -5|-| +3|7 b)| -ó| +|2-(9-3)+1|9 Números racionais Os números racionais são os que resultam da divisão de dois números inteiros. Um número racional pode ser representado por meio de uma fração, ou seja, pode ser escrito na forma B, em que p e q são números inteiros e q não é zero. q Observe os exemplos: IÀO O (é o mesmo que -5 (é o mesmo que É 1 (é o mesmo que -5 (é o mesmo . que à; -iíló (é o mesmo que -g (é o mesmo que Um número racional também pode ser representado na forma decimal. Aproveitando os exemplos anteriores temos: _5_ _ l _ _É _ _ 10 -03 3 _ 2333.. . 8 _ 1,875 g = 0,8 Í-f = 5,090909.. . _g = -1,222 1_3 _ e ' _ZL _ _ _ÀÊ _ _ 25 _0,52 100 _ 0,71 6 _ 4,1666
  5. 5. Transformando fração em decimal Para passar um número racional da forma fracionária para a forma decimal, basta dividir o numerador pelo denominador. Exemplos: g_ . _ E_ . _ 25 _ 13 .25 _ 0,52 11 _ 56.11 _ 5,090909.. . Quando transformamos uma fração em numeral decimal, podemos obter: - um decimal exato - um numeral que tem número finito de algarismos (diferentes de zero). i _ í _ A _ E _ 10 - 0,3 5 - 0,8 -100 - -0,71 - 8 _ -1,875 - uma dízima periódica - um numeral formado por infmitos algarismos que se repetem periodicamente. g = 2333.. . = 23 (período s) -1-91 = -1,222.. . = -12 (período 2) Í-Ê- = 5,090909.. . = ímã (período 09) --2-6: = -4,1666.. . = -4,16 (período 6) Quando uma fração é equivalente a uma dízima periódica, dizemos que a fração é a geratriz da dízima. Por exemplo: l = 3 2,33%. .. Então, a fração â é a geratriz da dízima 2333.. . -1-1 = _1,2 9 Então, a fração -Ã é a geratriz da dízima -LÊ 9 ~ “Êziçiiiài-fflf-ir 4x 9. Coloque na forma decimal: a)% 0,7 10. Coloque na forma decimal: a) % 3,5 b) _i1_ 4.64 el 4,1666.. . 25 ó capitulo 1
  6. 6. Decimal exato ou dízima? É rossivizi SABER SE A FKAÇÃO EQUIVALE A UM DECIMAL agAro ou A UMA DÍZIMA PEKIODICA ANTES DE DIVIDIR o NUMER/ DOR PELO DENOMINADOK? Frações de denominador 10, 100, 1 O00, etc. equivalem a decimais exatos. Por exemplo: 7 _ _2_2 _ 55 ___ É - 0,7 100 _ 0,22 1 00 0,035 Todo decimal exato equivale a uma fração em que o numerador é o numeral decimal sem vírgula e o denominador é o algarismo 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do numeral dado. Por exemplo: _ 21 _ 1 729 _ -6 045 021 _ 100 1729 _ 1 000 6945 _ 1 000 l i l i l i 2 casas 2 zeros 3 casas 3 zeros 3 casas 3 zeros : decimais, decimais decimais V Os denominadores 10, 100, 1 000 apresentam como fatores primos apenas 2 e 5: 10:2-5 100=22-52 1000=25-55 Com isso, podemos saber se uma fração equivale a um decimal exato ou gera dízima perió- dica antes de efetuar a divisão do numerador pelo denominador. Tendo uma fração irredutível (numerador e denominador primos entre si), com denomina- dor maior que 1, decompomos o denominador em fatores pi irnos. Se: 1? caso: o denominador contiver apenas os fatores 2 ou 5, a fração equivale a outra com denominador 10, 100, 1 000, etc. e, portanto, equivale a um decimal exato. Veja os exemplos a seguir. - A fração àg- tem denominador 25, e 25 = 52; só tem o fator primo 5. ~ Q - - .1_5 _ 15 - 4 _ í _ Entao,25 equivale a um decimal exato. Temos. 25 _ _#25 _ 4 _ 100 _ 0,52, - A fração % tem denominador 500, e 500 = 22 - 53; só tem os fatores primos 2 e 5. 61_7_ 617k _ 1234_ 500 ' 500-2 ' 100o “ 1254' Então, glíã equivale a um decimal exato. Temos:
  7. 7. 2? caso: o denominador contiver fatores primos diferentes de 2 e de S, a fração equivale a uma dízima periódica. Veja o exemplo a seguir. - A fração % tem denominador 180, e 180 = 22 - 32- 5; tem o fator primo 3, diferente de 2 e de S. s _1_7_ . , . ., . _ i _ Entao, 180 equivale a uma dizima periodica. Temos. 180 _ 0,094444" 11 . Passe para a forma de fração: a) 0,57 15770 b) 1,28 E c) 3,13m: d) -3125 -m 100 1000 100 . Sem efetuar a divisão, responda: quais das seguintes frações equivalem a um numeral decimal exato? a. c. d 7 M17 __ _ _3_7 _102 a) 20 1 Cl 100 d) 5 . Copie as frações do cartão para uma tabela, separando-as em duas colunas. Na coluna DE, escreva as frações que podem ser convertidas em decimais exatos; na coluna DP, as que equivalem a uma dízima periódica. DE DP DE DE E 51 _ü 4_2 10 7 2 14 1; à 2_1 _L5_ 3 7 ó 7 3 DP DP DE DP DE . a) Decomponha 320 em fatores primos. 2h- 5 b) A fração % equivale a um decimal exato ou a uma dízima periódica? Por qué? Decimal exato, porque o denominador só tem os fatores primos 2 e 5. No cartão abaixo há i2 números. 0,5 _m 3,6 58 _4 g 4,33 0 0,001 -17 1 _l_ 9 a) Quantos deles são números naturais? Quais? três: 0, 58 61 b) Quantos deles são números inteiros? Quais? 8331411 0- 53«-4--17 el c) Quantos deles são números racionais? Quais? doze (todos) d) Qua| deles tem o maior valor absoluto? _m -0,5:111;-3,6:-58:4;rí;1.33;v0.001:l;17:r1 . a) Desenhe um cartão com os números opostos dos números dados no exercício anterior. b) Quais desses números são naturais? 11104 e 17 3 g c) Quais desses números são inteiros? Ti1.0.-58.4- t7 9-1 d) Quais desses números são racionais? todos e) Qual deles tem o maior valor absoluto? m capítulo l 'lá'
  8. 8. Calculando a geratriz Sabemos que 0,4 = fã; 0,44 = 44 ' 0,444 = 444 'etc. m» 1 000* como TRAN5FOKMAR oA44-EM FKAÇÃO? 0,444.. . é uma dízima periódica de período 4. Nesse caso, devemos procurar a geratriz. Para isso, chamamos a dízima periódica de x: X = 0,444.. . (1) O período é 4. Multiplicamos ambos os membros da equação (1) por 10, de modo que a vírgula se deslo- que uma casa decimal para a direita e 4 fique à esquerda: 10x = 4,444_ (2) Subtraímos, membro a membro, a equação (1) da equação (2): 10X = 4,444.. . (2) - X = 0,444.. . (l) 9X = 4 (3) Resolvendo a equação (5), obtemos x: Concluímos que 0,444.. . = a vâãuart-ãie-iiii: 17. Escreva o periodo dos decimais periódicos: a) 0342342342.. . 342 b) 27,577777.. . 7 c) l 036398989.. . 89 18. Ache a fração geratriz da dízima 0,6666.. . à 19. Escreva na forma de fração 3,222.. . 293 1.'. unidade i
  9. 9. Dízima com período de duas casas ou mais Vamos obter a fração geratriz da dízima 5,121212.. . Chamamos a dízima periódica de x: X = 5,121212.. . (1) O período é 12. Multiplicamos, então, ambos os membros de (1) por 100, de modo que a vírgula se deslo- que duas casas decimais para a direita e 12 fique à esquerda da vírgula: 100X = 5121212.. . (2) Subtraímos, membro a membro, a equação (1) da equação (2): 100X = 512,1212.. . (2) - X= 5,1212.. . (1) 99x= 507 X = M = m 99 35 Concluímos que 5,1212.. . = FV* l . « 20. Determine a geratriz de 5,474747.. . É? .21. Calcule a geratriz de 0312312312.. . % separando a parte não periódica Vamos escrever 1 ,27888888.. . na forma fracionária. Fazemos x = 1,27888888.. . (1) Nesse caso, o decimal apresenta uma parte não periódica: l, 27 888888.. . parte não periódica J L parte periódica O primeiro passo é transformar essa parte não periódica em parte inteira, ou seja, devemos deslocar a vírgula duas casas para a direita. 'Vamos, então, multiplicar ambos os membros de (1) por 100: 100X = 127,888888.. . (2) Agora, à direita da vírgula existem apenas os períodos. Procedemos, então, como nos exem- plos anteriores. capítulo 1
  10. 10. Multiplicamos (2), membro a membro, por 10: 1 OOOX = 1 278,88888.. . (3) Daí, calculamos (S) - (2): 1000x = 1 27838888.. . (3) - 100X = 12738888.. . (2) 900x= 1151 _ 1151 X' 90o Conclusão: _ 1 151 1,2788888.. . - 900 E se a dízima for negativa? Vamos escrever -1,2788888.. . em forma fracionária. Começamos achando a geratriz de 12788888.. ., que é 1910501 (veja exemplo anterior). Conclusão: _ = _115l 1,2788888.. . 900 *V ' - 31213-“51913151 '22. Obtenha a fração geratriz da dízima 5,833213.. .? _ 679 23. Calcule a geratriz de -12,3454545.. . 55 988311311331115” 4:1: »aí-CÍAÍT-Í" 24. Coloque na forma decimal: 26. Passe para a forma de fração: 3 a 9 2o a) 0,7 i a) - b) ~ C) -- d) -- 10 359 8 3 20 9 7 0,375 2553-- _(3,45 2,2222.. b) 0718 500 c) 1,3147 133,33 d) 4,718365 333333 25. Copie as frações do cartão para uma tabe- Ia, separando-as em duas colunas: DE para as frações que podem ser convertidas em decimais exatos e DP para as que equiva- 27. Obtenha as geratrizes das seguintes dízi- lem a uma dízima periódica: mas Pe"¡Óq¡C355 30 DE 48 DP 7 DE 9 amiwnfê T w '56 z DE b) 3,888.. . $302 21 55 31 1 1 9,151515.. . _ @DE ZDE UDP 7 DE 2)ó,1777.. . às 'lã' unidade 1
  11. 11. 28. Escreva uma fração equivalente a cada um 29. Dado o número p = 160, responda quantas dos seguintes numerais: vezes aparece o fator primo 2 na decom- a) 0,7 % posição em fatores primos: b) 0,33 % a) de p cinco C) 1.333 l-ÊÊÊ b) de pz dez d) 5:21 % C) de 2 ' D2 onze e) 2,333.. . g- 6341?? 85 30. Sendo p um inteiro maior que 1, na 9) 4I7ZZ2~W1OS decomposição em fatores primos do nú- h) 1121212---33 mero pz o expoente do fator primo 2 é Í) 05272727.- *ÊÊ par ou ímpar? E na decomposição do nú- 1¡8999__ _lê mero 2p? ? Par e ímpar, respectivamente (em 2p? o fator primo 2 aparece uma vez a mais do que em pi). › »ZX T l No--u ~ Palíndromos Chamam-se palíndromos os números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo, 385, 4224, 74 847). Qual é o número total de palíndromos de cinco algarismos? E de seis algarismos? 900: 90o EM POKTUGUÊS TAMBÉM .1 EU CONHEÇO EXISTEM PALIÀNDKOMOS: e outrao: “sua NO ONIBUS". , “ROMA E AMOR". Um decimal exato pode ser considerado periódico, com período formado por 0 (por l exemplo: 1,5 = 150000.. . = 1,56). .Ii Decimais exatos e dízimas periódicas surgem da divisão de dois inteiros quando que- remos transformar uma fração em numeral decimal. Por que existe periodicidade nessa divisão? Porque há uma quantidade finita de possibilidades para o resto da divisão. Continuando a divisão, chega um momento em que o resto se repete e surge o período. capítulo 1 4', -
  12. 12. capítulo Já vimos como representar alguns números na reta. Vamos recordar. ñúmeros inteiros Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta. Na figura estão representados os números inteiros de -4 a +4. r +1 | _| I-I i-I-I › 41-3 -2 -10 1 2 34 Números racionais não inteiros Os números racionais não inteiros também podem ser representados por pontos dessa reta. Por exemplo, para representar o número tomamos o ponto da reta situado a meia uni- dade de distância do ponto O e à sua direita: «-: ~___4_+ -1 0 :4- -› il 2 Para representar o número - i, tomamos o ponto situado à esquerda de O, a meia unidade 2 de distância: < l -r I _iio 2 a M_ _ Veja, na figura, a representação de outros números racionais não inteiros por pontos da reta: q, unidade 1
  13. 13. É importante observar que: - Entre dois números inteiros e consecutivos - por exemplo, 0 e 1 - não existe nenhum número inteiro. Isso significa que os pontos da reta situados entre a marca O e a marca 1 não representam números inteiros. . ¡ _q_ . O 1 - Entre os números racionais O e 1 é possível encontrar muitos números racionais. Por exem- plo, o número l: 2 Oil 2 Entre os números racionais 0 e à é possível encontrar muitos outros racionais. Por exemplo, 1 o número -4-z _. gp. . [gli __ V Entre os números racionais O e _1- é possível encontrar outros números racionais: 4 1 _l a4 / - HH-o-í-»a Oil ° 2 Entre dois números racionais a e b, com a ? í b, sempre é possível encontrar outros números racionais distintos de a e b como, por exemplo, a 42' b. ___. . Números irracionais Cada número racional é representado por um ponto da reta. No entanto, mesmo que fosse possível marcar na reta cada um dos pontos que representam números racionais, ainda assim não marcaríamos todos os pontos da reta. Existem pontos na reta que não correspondem a números racionais. Vamos usar o mesmo quadrado do início do capítulo 1.
  14. 14. O ponto P deve corresponder à medida x dos lados do quadrado pintado de verde. Note que x é um número compreendido entre 1 e 2. A área do quadrado Verde é 2; logo, x2 = 2. Esse número x não pode ser um racional B (p e q inteiros), porque, calculando-se a expres- q são (gr, substituindo-se p e q por inteiros, não há possibilidade de encontrar resultado igual a 2. Professor: veja o manual. Assim, no ponto P não está representado um número racional. O número aí representado é um exemplo de número irracional (irracional = não racional). Para formar uma idéia de valor de x, observe: - (1,4)2 = 1,4 - 1,4 = 1,96 (menor que 2) e (1,5)2 = 2,25 (maior que 2); logo, x fica entre 1,4 e 1,5. - (1,41)^°- = 1,9881 (menor que 2) e (1,42)2 = 2,0164 (maior que 2); logo, x fica entre 1,41 e 1,42. - (1,414)2 = 1,999396 (menor que 2) e (1,415 2 = 2,002225 (maior que 2); logo, x fica entre 1,414 e 1,415. Assim, um valor aproximado para x com uma casa decimal é 1 ,4, com duas casas é 1,41 e com três casas é 1,414. O número x não pode ser representado por um decimal exato (porque senão seria racional) nem por dízima periódica (porque toda dízima tem uma fra- ção geratriz, sendo portanto número racional). Assim, a representação decimal do número x é infinita e não periódica. Indicamos: X~= ~ (Adiante veremos que x é a raiz quadrada de 2, ou seja, x = *Í-ZÁ. Recorrendo a uma calculadora obtemos, com 8 casas, x = 1,41421556.. .). _ Número irracional é todo número representado em pontos da reta que não cor- respondem a números racionais. A representação decimal de um número irra- cional é inñnita e não periódica. k Veja outros exemplos de números irracionais e sua localização aproximada na reta: a = 0,1001000100001.. . C = -1,2545Õ789101112.. . b = 1,1112131415.. . C1 = 330300500030000.. . a b d *- | | H H | | i: | > -1 O 1 2 3 4
  15. 15. Números reais Todos os números representados na reta são denominados números reais. A cada ponto da reta corresponde um número real, e a todo número real corresponde um ponto da reta. Dessa forma, são números reais todos os números racionais e todos os números irracionais. ' todo número racional ou irracional. . ... ,.. .,. ,.. _.. ... ... .., ... ,.. ... ... ... ,,, ,,. .,. ... . . . ›)» . _.____. _.. .,. ... ... ... .. ... .,. ... ... ,.__. .r Número real 4+2* Exercicios 31. Desenhe uma reta e marque sobre ela um segmento de medida 10 cm. Chame as extremidades desse segmento de O e 1 e localize nesse segmento, aproximadamente, os pontos que repre- sentam: a) os números racionais: 911.5. 93 9.13.. ? b) os números racionais: 0,333333.. . 3 037373737.. . c) o número irracional 035335333533335.. . . Desenhe uma reta e marque sobre ela um segmento de 20 cm. Chame as extremidades desse segmento dei e 2 e localize (aproximadamente) nele os pontos que representam os números dos cartões: _ _ 4 1,4. 1,5; 1,7= 1,8 1,9; 1›35í 145 . .T1552 11.95 1.175. 1,33333.. .É 1,433331.. 1,8333.. . 1,121l21112111i2.. .: . Quais dos seguintes decimais representam números racionais? todos a) 5,9 b) -31,72 c) 6,383838.. . d) -O,777.. . 34. Quantos números da lousa são irracionais? Quais são eles? três: 2,72272227.. .; 0,4567891011.. .; -7-°24681°*2*4--~ _ 2,72272227.. . 5,125 5,414141.. . O,4567891011.. . 0515515515.. . -17,5 4,5355.. . -7,02468101214.. . 35. Escreva a representação decimal de um número irracional compreendido entre 5 e ó e de outro compreendido entre 3,1 e 3,2. São exemplos: 5123456789101112.. . e 3301100111000.. . Representação dos conjuntos numéricos Os números podem ser organizados em conjuntos. Há uma simbologia convencionada para representar os principais conjuntos formados pe- los números que estudamos até agora. Vejamos:
  16. 16. Conjunto dos números naturais É representado por IN. Então: IN = (0, 1, 2, 3, 4, 5,6, . ..I Conjunto dos números inteiros É representado por Z. Então: Z: -4› _ 33 _ 2a - 170» 17 2a 3›47 5a Conjunto dos números racionais É representado por Q. Então: Q = Jíx I X= ã-, sendop eqinteirOsqiOÊ A letra Q é a inicial da palavra quociente. T0do racional é o quociente da divisão de dois inteiros. Conjunto dos números reais É representado por lR. Então: R = [xlx é racional ou irracional] Todo número natural é número inteiro. Mas há números inteiros que não são naturais, como, por exemplo, -1, -2, -3. Todo número inteiro é número racional. Mas há números racionais que não são inteiros, como i l -À, por exemplo. 2 ' 3 7 10 Todo número racional é número real. Mas há números reais que não são racionais - são os irracionais. Num diagrama, podemos representar os conjuntos numéricos, respeitando as observações acima, do seguinte modo: IN Z Q [R g4! unidade 1
  17. 17. > , 77m '7Xñ rrrrrrr V» mr** .32(7-_J. PHÍL-3l'le| ã 36. Copie e complete as tabelas assinalando a que conjunto (ou conjuntos) pertence cada número dado: ° _l_ 10 #x I- -1,343343334.. . 7 ? 010101010 0101001000 t» 37. Dê três exemplos de: Sugestões de resposta: 1 _l ? -35 a) números naturais; 0, 1_ 2_ 3. C) números racionais não inteiros; T. 2 y b) números inteiros não naturais; -1, -2, -3, d) números reais não racionais. 0101001000.. ., s.12345e7s9101112.. ., -6,121122111222.. . Valor absoluto Quando representamos os números reais â e -g por pontos, obtemos dois pontos - um à direita e outro ã esquerda de 0 (zero) - situados à mesma distância de 0: 2,5 unidades 2,5 unidades -4-r1-1 1 1 11-1 › -3_; -2 -1 0 1 zgs -« 2 2 Dizemos que -â e â são números que têm o mesmo valor absoluto (ou módulo), que é Indicamos: l--ãldãl = â Se a é um número real positivqentão | a| = a e I-al = a. Sea=0, então | a| = |O| =O. Veja outros exemplos: «121=2 °| -3l=3 . “FH 3 3 - | -0,123456.. .| = 0,123456.. . capítulo2 __
  18. 18. Os paulistas no campeonato brasileiro O campeonato brasileiro de futebol de 2003 foi realizado com 24 equipes, sendo 6 paulistas. Como duas equipes caíram para a segunda divisão e subiram outras duas, em 2004 havia 24 equipes, 7 das quais paulistas. Ao término da temporada, caíram quatro equipes para a segunda divisão e subiram outras duas, ficando o campeonato de 2005 com 22 equipes, entre elas 6 paulistas. Equipes integrantes do campeonato brasileiro de 2005 Atlético - MG Atlético - PR Botafogo - RJ Brasiliense - DF Corinthians - SP Figueirense - SC Flamengo › RJ Fluminense - RJ Fortaleza - CE Goiás - GO Paraná - PR Paysandu - PA Ponte Preta - SP Santos - SP São Caetano - SP São Paulo - SP Vasco - RJ Em que ano a participação dos paulistas foi maior? PW . s 6 Para resolver essa questao, precisamos comparar as fraçoes ía É C É.
  19. 19. Comparação de números reais Comparar dois números reais a e b significa estabelecer qual das afirmações abaixo é verdadeira: a < b ou a = b ou a > b Acompanhe os exemplos a seguir. Em forma de fração VAMO5 COMFARAK Nesse caso, os dois números reais são representados por frações. Vamos reduzir as frações a um mesmo denominador positivo e comparar os numeradores entre si. ___ l_2§ 4“1 e3'12 ~ i l. Como 15<28,entao4 < 3 Veja outros exemplos: o. .ll _L6 ' _&-_SÀ_LÕ. -_ÊS_ _ _ 3 < 5,p01S 3 - 15, 5 _ lse 55< 48 % > à, pois os numeradores são iguais e 89 < 91. Na forma decimal Nesse caso, comparamos as partes intei- ras: o maior número é o que tem a parte in- teira maior. Logo, 1 ,21 < 5,007,pois 1 < 3. Observe outros exemplos: 7,3 > 499987, pois 7 > 4 -1,7 > 45,584, pois -1 > -3 VAMOS COMFARAK 1,21 E 5,007. capítulo 2
  20. 20. Com partes inteiras iguais Nesse caso, tomamos igual número de ca- sas decimais nos dois números até que surja uma casa com algarismos distintos. Em segui- da, comparamos os números resultantes. E AGORA VAMOS COMPARAR 1,15 E 1,57. 1,1 3 < 1,3 7,pois 1,1< 1,3 1 l tomamos uma casa decimal Outros exemplos: 2,5 5 > 2,2 31,p0iS 2,5 > 2,2 5,11 1 < 5,15 3 -4,852 > -4,833 3.. . T l l l T i tomamos uma tomamos duas tomamos três casa decimal casas decimais Í casas decimais Você sabia? Esse é o mesmo método que se usa para colocar palavras em ordem alfabética (num dicionário, por exemplo). Que palavra vem antes: abacate ou abacaxi? Coritibano ou corintiano? Observe que, quando são representados por pontos da reta, os números reais ficam coloca- dos em ordem crescente quando se percorre a reta da esquerda para a direita. Em consequência: - Um número real a é menor que um número real b quando a está representado à esquerda de b na reta. _a s_13 a b a<b - Todos os números reais negativos são menores que zero. _L 3 <0 -5 < 0 -1,254567.. .< 0 - O zero é menor que todos os reais positivos. 0<% 0 < 5 O < 1,254567.. . - Todo número real negativo é menor que qualquer número real positivo. 1 1 wli-i Uol» wlH / / ›_¡ l 9 < ,1001000100001.. . q; - unidade 1
  21. 21. .É, .w r 38. Copie e compare os números, usando < ou >: E E E Q É É al17e17 943941 917941 d) -214- e que representam as participações de clubes paulistas nos campeonatos brasilei- ros de 2003, 2004 e 2005, respectivamente. Você sabe dizer em que ano a participação dos Clubes paUllstas fo¡ maior? 2_64< à < gil, A participação dos paulistas foi maior em 2004. . Copie, substituindo os ? por <, = ou >: a)2 1 -3 b) -3 < -5 z . . d) -ê l . Coloque os números reais em ordem crescente: 0.6 s; 0,626262.. . s: à : 08789101112.. . à 0,6 0,626262.. . 06789101112.. . . Copie, substituindo os ? por <, = ou >: b) 0,75 ? 0,77 “ c) 2,98 '9 2,957 * d) 0,71 42. Coloque os números reais em ordem decrescente: 0 - ui «0515115111 . 170,¡ 0 -% _0,7 _â _0,515115111.. . 43. Copie, substituindo os por <, = ou >: a) -0,8333 1 O,83411< c)1,25 '? 1,2345672.. .-> : › -à e d) (-1,2345ó78.. .) 4,235. r Éi'2_(§-l”I_-l19-i: lIl: 7-31:- evaiqiiig-i-W 44. Desenhe uma reta e marque sobre ela um 45. Desenhe um diagrama como o da figura a segmento de 20 cm. Nas extremidades des- seguir. Depois responda: Commüs dos Naturais se segmento, marque os números 0 e 2 e de- a) O que são N, Z, (D e Rbnreiras, racionais. reais: pois localize (aproximadamente) os pontos b) | nd¡que em que | ugar de dmgrama deve 9119 79919590910 05 599UW95 números Fealsí estar cada um dos números do exercício a) 0,5 ¡) 0,125 anterior (inclusive O e 2). b) 1 J. ) 0,3333”. c) Quantos números dados ficaram em Z mas nao em IN? Que numeros ficam nes- C) l 5 O'12345ó7891O1 1 sa região? Nennrirn: os inteiros negativos. d) 1,6 m) 1,2345ó7891011.. . 10 1 1 R' 211:. re 1 8_1 Z g) 1 óóó O) 80 1 3 'N ' p) 0858855888555.. . h) 0,75 capítulo 2 w'
  22. 22. 46. Compare os números reais: 50 5_0 _a _i> e)1,1777.. .e1,123> 4111 a) 2 e 33 c) 8 e 20 g)4,1111.. .e1OOO b) â¡ Êeã d) 3,1416e3,1388> f)-2,10203e-2,11 111-4 e-O,7 Operações em ! fã COMO SE SOMAM (OU SE MULTIPLICAM) DOIS NUMEROS IKKACIONAIS? Se tivermos os números irracionais a e b tais que a = 2,4681012141 e b = 1,351791 1 1315.. ., as operações a + b e a - b resultam em números reais, dos quais podemos formar idéia por meio de valores aproximados. Observe que a e b têm 10 casas decimais. Ao considerarmos um valor aproximado, também dizemos que arredondamos o número. Quando fazemos o arredondamento, desprezamos as demais casas decimais, tomando os se- guintes cuidados: - se o primeiro número a ser desprezado é menor que 5, os que permanecerão não sofrem alteração; - se o primeiro número a ser desprezado é 5 ou um número maior que 5, então somamos 1 ao último que permanecerá. Preste atenção aos valores aproximados de a e de b: a=2,4681012141.. . b= 15579111315.. . com 5 casas: a E 2,46810 com 5 casas: b E 1,35791 com 4 casas: a E 2,4681 com 4 casas: b = _= 1,3579 com 3 casas: a E 2,468 com 3 casas: b E 1,358 com 2 casas: a s 2,47 com 2 casas: b . z. 1,36 com 1 casaza : -: 2,5 com 1 casazb E 1,4 (E lê-se: é aproximadamente igual a) Com base nos quadros anteriores vamos calcular um valor aproximado para a + b, conside- rando a e b com 4 casasVeja: a E 2,4681 + b E 1,3579 a + b E 3,8260 : ici unidade 1
  23. 23. Vamos calcular um valor aproximado para a - b a partir dos valores arredondados de a e b com duas casas: a§2,47 e ba 1,56 você LEMBRA como MULTIFLICAR DEclMAlâ? 247 >< 1 36 1482 741 247 33592 a - b E 3,3592 Propriedades das operações em IR Os decimais exatos são números racionais. As contas que acabamos de mostrar foram feitas com números racionais, para formar idéia dos números reais a + b e a - b. As operações de adição e de multiplicação de racionais se estendem para os reais, conser- vando as propriedades: Associativa Quaisquer que sejam os reais 41,19 e c, temos: (a+b)+c= a+Cb+c) e (a-b)~c= a-(b-c) Comutativa Quaisquer que sejam os reais a e b, temos: a+b= b+a e a-b= b-a 0 Elemento neutro O zero é o elemento neutro da adição: a+0=a=0+a qualquer que seja o real a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação: a - 1 = a = 1 - a qualquer que seja o real a. ÚElemento oposto Qualquer que seja o número real a, existe um real -a, tal que: a+(-a)=0=(-a)+a Elemento inverso Qualquer que seja o real a, a i 0, existe um real à (Ou a4 tal que: a-a"=1=a'*-a capítulo2 : :ri
  24. 24. - Distributiva Quaisquer que sejam os reais a, b e c, temos: a-(b+c)= a-b+a-c (b+c)-a= b-a+c-a As áreas dos retângulos abaixo ilustram a propriedade distributiva. b c a(b + c) = ab + ac As operações de subtração e de divisão também se estendem dos racionais para os reais. - A diferença (a - b) de dois números reais a e b é o único número real que somado a b dá como resultado o número a. A diferença (a - b) é igual à soma de a com o oposto de b: a-b= a+(-b) 0 O quociente (a : b) de dois números reais a e b, b ; é 0, é o único número real que multiplica- do por b dá como resultado o número 41.0 quociente (a : b) é igual ao produto de a pelo inverso de b: a: b=a-b'1 . , a O quociente tambem se escreve É. D erro cometido numa aproximação Quando fazemos uma aproximação, há uma diferença entre o valor exato e o valor aproxi- mado. O valor absoluto dessa diferença é denominado erro cometido na aproximação. Veja os exemplos a seguir. a) à = 0,3333.. . Considerando à = 0,33, o erro cometido é: jà - 0,331 = - T3036 = = 57136 (menor que um centésimo). Considerando à = 0,333, o erro cometido é: l _ _ l _ _ÔÀ _ _L_ _ _l_ - ' - | 3 0,333| - I 3 loool - 'õoool - 5000 (menor que um milesimo). b) â = 0,6666.. . Considerando â = 0,667, o erro cometido é: À _ - à _ - ; L - _L ' / ' Í 3 0,667j _ 3 1000 - l OOOÍ - 3000 (menor que um IIIIICSIIIIO). O erro cometido na aproximação será menor que um décimo, um centésimo, um nlilésimo, .. ., dependendo do número de casas decimais (uma, duas, três, .. .) que se utilizar.
  25. 25. , . . . . . «a r- m . e r. . ¡. , . . - 4» g, V a . f À? .i S i5 : g5 '4 *ã É* $ à . d'
  26. 26. 47. Numa calculadora obtemos o número irracional V2 = 1,4142135ó. .. Dê o valor aproximado de V2: c) com três casas : ,414 d) com seis casas 241421-1 a) com uma casa decimal 1,4 b) com duas casas 1,41 . Outro exemplo de número irracional que veremos posteriormente é V5 = 223606797.. . Escreva o valor aproximado de V5: a) com uma casa decimal 2,2 b) com duas casas 2,24 C) com três casas 2.236 d) com seis casas 2,236068 Calcule, usando as aproximações com duas casas: a) 15+ 1/2 3,65 b)l-- *i2 0,63 ' Calcule e dê a resposta, usando as aproximações com três casas: a)2*/2 2,626 b) é 1.116 c) é -ZÕ -1710 d) V5_ >< 153,162 Dados os números a = 1,333333.. . e b = 1,757575.. .: a) usando seus valores aproximados com seis casas decimais, calcule valores aproximados dos números óa e a + b; 7,999998: 3090909 b) determine os valores exatos de óa e a + b; 8: c) calcule os erros cometidos nos valores aproximados do item a. 0000002; molTo Explique a propriedade distributiva a partir da área da figura ao lado. Aplique a propriedade distributiva e desenvolva os seguin- tes produtos: a)x-(y+z) 5x- b)x~(y-Z) c) (a+b)-c: a e) (-a-b)-c f) -x-(y+z) g)-><~(y- z) . l . - _z _ Y _ f_ -. .(-4- »fio-fim -lr -air-i-'gi- 53. Copie e complete, escrevendo os valores 54. Calcule usando as aproximações com seis l aproximados dos números a, b e c. Casas: 1 , 1 “ . aí scorr". lCom : :zgazli -- a - l l Numer° casas casas l casas casas a) a + b 85435” d) 2 21839435 A m l H l, l b) b + c 3,636364 e) 3b 8000001 = Í' - ? ' 7 ' 7 1 l La sfífflollíz"'ls. as E6679 :56789 '56769101 c) C_a _WOQQB f) 11c ,0666667 - b 7 Zvóóóóóóóóófl-; Lâõf 12,663 l26§67 l%2.66?6667 -. ___ _ . . . _ . .. .r p_ ç . :0999 9.. .. a) I ? ã 7 . ? . _ ' - c w, ó ó 696m6 0970 à É 019697 _JQVQGQBQT 55 Determine os valores exatos de. E b . Use os números a, be cdo exercício anterior a) b + C 11 c) HC “ '21' “O para resolver os exercícios 54, 55 e 56. b) 3b8 d) b - c 39-239 capítulo 2 lift'

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