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Circunferência trigonométrica

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Circunferência trigonométrica

  1. 1. Ac O número TC. Circunferência trigonométrica Revisão: medindo arcos Já vimos nas apostilas anteriores o conceito de arco: é um conjunto de pontos consecutivos eqüidistantes de um ponto O, ou seja, é uma parte de uma circunfe- rência (que é o conjunto de todos os pontos eqüidis- tantes de O): B Na ñgura acima temos representado o arco All/ IÉIO- dos os pontos que o compõem são eqüidistantes do ponto O. Vimos também que podíamos medi-lo através da unidade grau (simbo| ícamente: ° ). Um arco de medi- da 1 grau (1 °) corresponde a um trezentos e sessenta avos da circunferência que o contém, ou seja, uma circunfe- rência completa tem medida 360 graus (360°). Então, um arco de 60° corresponde a 60 arcos de medida 1°. Outro detalhe importante que precisamos revisar é: além de medir um arco através da unidade grau, pode- mos também medir seu comprimento, que significa"es- ticar"o arco (tornando-o um segmento) e usar uma unidade de comprimento conhecida (por exemplo o centímetro): Na figura acima o comprimento do arco Ali/ TB é igual à medida do segmento 'ÃÊ (que representa o arco "es- ticado"). Portanto, se um arco tem comprimento 8 cm, significa que se o "esticássemos" obteríamos um seg- mento de medida 8 cm. A unidade radiano Desde os primórdios da geometria, na Grécia, a cir- cunferência (e portanto os arcos de circunferência) eram estudados. Arquimedes fo¡ um dos estudiosos, e perce- CURSlNHO DA POLI beu que, ao aumentarmos a medida do raio de uma cir- cunferência, o seu comprimento também aumentava, sempre na mesma proporção. Vamos então usar o mes- mo raciocínio de Arquimedes para entendermos o nú- mero rr e a unidade de medida radiano. Se desenharmos uma circunferência e traçarmos o diâmetro, como na figura acima, obteremos dois arcos de medida igual a 180°: M Os gregos perceberam que, medindo-se o raio da circunferência desenhada e o comprimento do arco Ali/ TB destacado, o comprimento do arco era aproxima- damente 172_ s 3,14 vezes a medida do raio: comprimento AMB -'-'3,14~-ir¡ Ê musamnnsuvmmem Mesmo tomando-se outra circunferência, o resulta- do obtido era sempre o mesmo: M Ç B A comprimento CWB: 3,14_ - r g . zswwrssmannwmsnuzmua-nonc Eai Portanto, como essa relação é constante para qual- quer circunferência, podemos medir os arcos em fun- ção da medida de seu raio! Essa unidade de medida é o radiano (o nome vem de raio mesmol). Então, se um arco mede 1 radiano, significa que o seu comprimento é igual ao comprimento de um raio da circunferência que o contém. E os gregos perceberam que um arco de medida 180° terá medida, em radianos, igual a aproxi- madamente 3,14. Hoje em dia sabemos que esse valor é um número irracional que chamamos de n (pi) e que vale: 3,14159265 . ... . . ., ou seja, infinitas casas decimais, sem repetição (não é uma dizima periódica). _l ATENA - 341
  2. 2. matemática B - aula 25 Resumindo: Para calcularmos a medida de um arco em radia-*É - nos, basta dividirmos a medida de seu comprimen- topela medida deseu raio: › . . _ primento medida de um arco em radianos - (Om me Fazendo-se açtransformaçãolde unidades: 1: radianos = 180 graus r r : a: “sñvimríüiêà” *zxwwmsism A circunferência trigonométrica Para estudarmos a trigonometria, devemos conhe- cer a sua mais importante ferramentaza circunferência trigonométrica. É através dela que conseguiremos che- gar a diversas conclusões importantes. Portanto, vamos defini-la: , _: , É uma circunferência orientada onde: › o centro coincide com a origem do sistema de l coordenadas cartesianas i0; 0); ' ' › o raio é unitário; '› marcamos arcos, partindo de um pontojde ori- gem (um zero), e portanto a cada medida dearco está associado um ponto da circunferência; › o ponto de origem dos arcos é a intersecção da circunferência com o semi-eixo positivo das abcissas: i “ “ í - i ' . › adotamos o sentido anti-horário como o po- ; É _' sitivo (logo, o sentido horário é o sentido nega- ; L tivo). y l i " memrammammmemmuaxumuzwz; mem, mmmwaunummwmawmmmmmkzmuumunnmwmui Vws'^^v: dl<4mslvs'f: .w. ".: ze: .wvlsmiLw«›1;. ... ... s.. .^: :^: ¡ Ou seja: Note na figura acima que os eixos cartesianos divi- diram a circunferência em quatro partes distintas, que denominamos quadrantes. Portanto existem quatro quadrantes, que são nomeados partindo-se do ponto de origem dos arcos na circunferência, seguindo no sentido positivo da orientação: Y 'l ponto de origem 2"' l"' 2g dos arcos quadrante quadrante 3.. . 4.. . quadrante quadrante Logo: a) o arco de medida 30° (ou 1g- rad) está associado ao ponto P na figura abaixo, localizado no primeiro qua- dra nte: Y P 30° X b) o arco de medida 150° (ou 5T” rad) está associ- ado ao ponto Q na figura abaixo, localizado no segun- do quadrante: Y 150° Q q' x c) o arco de medida 210° (ou '761 rad) está associa- do ao ponto R na figura abaixo, localizado no terceiro quadrante: Y l x R 342 - ATENA CURSINHO DA POLI
  3. 3. /a , -. d) o arco de medida 330° (ou E63 rad) está associ- ado ao ponto S na figura abaixo, localizado no quarto quadrante: Y X S 330° Obs. : note que o ponto S também está associado ao arco de medida _-30°: e) marcando em graus e radianos os pontos de inter- secção entre os eixos e a circunferência, no intervalo 0° s x < 360° (se o valor de x estiver em graus) ou O S x < Zn (se o valor dex estiver em radianos), teremos: Simetria na circunferência trigonométrica Ao traçarmos os eixos coordenados na circunferên- cia trigonométrica, são determinados os quatro quadran- tes. Podemos perceber que eles são dois a dois simétri- cos na circunferência, tomando-se como referência de simetria os próprios eixos coordenados ou a origem do sistema de coordenadas cartesianas. Portanto, a cada ponto da circunferência trigonométrica (não localizados matemática B - aula 25 nos eixos coordenados) estão associados outros três pontos, que são ditos simétricos, totalizando 4 pontos, um em cada quadrante. Veja as figuras a seguir: › simetria em relação ao eixo das ordenadas P_ › simetria em y relação ao eixo das abcissas › simetria em relação à origem Colocandos todos os pontos simétricos numa mes- ma figura: Na figura acima, os pontos P, P', P"e P'" são simétri- cos em relação aos eixos coordenados ou em relação à origem. Sabemos que a cada um dos pontos acima es- tão associados números, em graus ou radianos. CURSINHO DA POLI ATENA - 343
  4. 4. li Conhecendo-se o número associado ao ponto P no intervalo O s x s 360° (se a medida x estiver em graus) ou O s x s ZTE (se a medida X estiver em radianos), é possível determinarmos os números associados a P', P" e P'”, pois conforme a figura abaixo, devido à simetria, os arcos destacados são congruentes: Logo, teremos: a) os valores associados aos pontos marcados na figura, se a medida x estiver em graus: ›P = ›x ›P' = >180°-x ›P"= ›180°+x ›P"' = >360°-x b) os valores associados aos pontos marcados na figura, se a medida xestiver em radianos: › P = › x › P' = › T1'. -x ›P"= rc+x ›P"' = >2Tl: -X Obs. : Cuidado! Note que os númerosx nos itens a) e b) acima não são iguaisPor exemplo, se no caso do item a) o valor de x é 60°, isso corresponde a um valor de x . 7¡ . . igual a g radianos no item b). ~ tí. _., í._. _.. ___. .___. .. ... ... -. ... , . ... ... ... ... ... ... . . . 1.Ca| cule a medida em radianos de um arco de 240°. 2. Calcule a medida em graus de um arco de medida “Tu radianos. 3. No intervalo O s x s 360°, determine o valor, em graus, dos números associados aos pontos simétricos em cada uma das figuras. Depois, resolva novamente o item a, porém utilizando a unidade radiano. a) Caro aluno, Consideramos importante retomar algumas "dicas" que já foram dadas em apostilas anteriores, mas que são imprescindíveis para um bom desempenho. Aívão elas! › Não existe questão que, para você, é impossivel re- solver. Você ainda não sabe, mas com certeza logo saberá resolvê-la. › Tente resolver sempre. Não desista antes de enfren- tar o problema. › Volte à teoria, veja os exemplos, quantas vezes for necessário. › Procure ajuda! Quando a dúvida persistir, procure um professor, um colega quejá tenha conseguido e PERGUNTE. › Se for possível, procure e pesquise em livros didáti- cos o conteúdo onde sobre o qual existam dúvidas. › Não deixe "buracos', ' pois eles podem dificultar seu trabalho mais para frente. › Jogue fora pensamentos do tipo"Eu não sou capaz 344 ' ATENA CURSINHO DA POLI
  5. 5. fx_ es_ mesmo! ? "Eu nunca vou conseguir! "e outros seme- c) -120° y lhantes. São serem mentiras, não servem para nada além de baixar seu auto-conceito. Conhecer e saber trabalhar com a circunferência tri- gonométrica é fundamental para estudarmos a trigo- x nometria. Esta aula é importantíssima. Faça todos os exercícios e tire TODAS as suas dúvidas, pois as próxi- mas aulas têm esta aula como pré-requisito. Resolva os exercícios a seguir com calma. d) i200° Bom trabalho! y Equipe de Matemática Nível l x 1. Calcule a medida, em radianos, dos arcos: a) 30° b) 45° C) 60° d) 90° e) 300° f) -225° 711 e) T rad 2. Calcule a medida, em graus, dos arcos: y 77( _ 11 , a) 7 radianos b) 'gi radianos 47: . 7 . c) e_ radianos d) _n_ radianos 3 4 X Nível ll 1. Localize na circunferência trigonométrica: a) 15° n f) g rad y y x b) 200° 771', y g) - Trad y X x CURSINHO DA POLI ATENA . 345
  6. 6. . e . _ e : see e, e_ ? as s_ e . e. s_ . . : :z i Ji. . ll. i li. il. .illli. il. _l. .,_. li , ii iuielliji . . . .i “eg-i, su. ; . za , j f: s, s; l' , . . ' - 5 r'. .ai, _. _.. ,_-ns-, ,_ . _a_ , n _w _q__. .._ temática iBl- aula

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