1. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” TRIGONOMETRIA 5°
ÁNGULOS HORIZONTALES
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DEFINICIÓN: Son aquellos ángulos ubicados en el plano
horizontal, que en la práctica son determinados por el uso
de la ROSA NAÚTICA.
ROSA NAUTICA: Llamado también compás marino, es
un instrumento de orientación que permite localizar un
punto respecto de otro llamado referencia; haciendo uso
de las llamadas direcciones o rumbos (32) y de los puntos
cardinales (N, S, E, O), formando entre dirección y
dirección un ángulo de; 11°15’
DIRECCIONES NOTABLES: Nos indica la posición en
que se encuentra un punto con respecto al otro, teniendo
como base los puntos cardinales, se obtienen al trazar
bisectrices consecutivas en la Rosa Náutica
Por ejemplo en el gráfico:
mËq = 11º15’
RUMBOS Y DIRECCIONES
Para ubicar la posición de una persona u objeto con
respecto a un punto determinado en el plano horizontal, se
emplean con frecuencia los rumbos o direcciones;
entendiéndose por:
RUMBO: El ángulo agudo horizontal que forma la
dirección de la persona u objeto con respecto al eje
norte - sur, cuando esta se desvía hacia el este (E) u oeste
(O)
DIRECCIÓN: La línea recta sobre la cual se encuentra la
persona u objeto con respecto a una Rosa Náutica,
quedando determinada dicha dirección por su rumbo.
El rumbo de “A” con respecto a “P”
Es “q” al este del norte
La dirección de “A” con respecto a “P”
Es “NqE” (Norte q del Este)
DIRECCIONES OPUESTAS:
El opuesto de una dirección dada, se obtiene cambiando
las direcciones que aparezcan por sus respectivos opuestos,
sin cambiar el ángulo.
DIRECCIÓN DIRECCIÓN OPUESTA
NaE SaO
1
N
NE S
4
1
SO
4
SO NE
ENE OSO
NOTA: En todo problema donde se incluyan ángulos
verticales y horizontales a la vez, se deberá bosquejar
diagramas tridimensionales para tener una mejor visión y
ubicación del problema.
PRACTICA DIRIGIDA
01. Calcular el mayor ángulo formado por las direcciones:
SE
1
4
S y N
1
NE.
4
A) 250° B) 210° C) 225°
D) 270° E) 185°
02. Si desde “A” se observa a “B” al NaE ¿En que
dirección se halla “A” respecto a “B”?
A) NaE B) SaE C) NaO
D) SaO E) NaS
03. Un joven sale de su casa y hace el siguiente recorrido:
24m al N30°O y luego una cierta distancia al E53°N,
hasta ubicarse al Norte de su casa, ¿Qué distancia
recorrió en el último tramo?
A) 10m B) 20m C) 30m
D) 25m E) 15m
04. Un niño sale de su casa y hace el siguiente recorrido:
40m al Norte, 60m al Este y una cierta distancia al
S37°O, hasta ubicarse al Este de su casa. ¿A que
distancia de su casa se encuentra?
A) 10m B) 20m C) 30m
D) 25m E) 15m
05. Desde los puntos “A y “B” se divisa un punto “C” al
N10°E y N50°O respectivamente. Si desde “A” se
divisa a “B” al N70°E a 20m de distancia. ¿Qué
distancia hay entre “B” y “C”?
A) 20m B) 10m C) 40m
D) 20 3 m E) 10 3 m
N
O P E
S
q
A
2. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” TRIGONOMETRIA 5°
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06. Una gordita con intensión de adelgazar decide hacer
una caminata recorriendo inicialmente 40 m hacia el
Oeste, después camina 20 m en la dirección N30°E,
luego sigue por el NE, pero lamentablemente, sufre un
desmayo. ¿Qué distancia recorrió en el último tramo?.
A) 15 2 B) 3 2 C) 30 3
D) 15 3 E) 60
07. Luis se encuentra a 16m de Manuel en la dirección
S60°O y Sara se encuentra a 12 m de Manuel en la
dirección N30°O. Hallar la distancia entre Luis y Sara.
A) 20 B) 15 C) 10
D) 13 E) N.A.
08. Un auto parte en la dirección NE y recorre 40 km,
luego se dirige hacia el este, recorriendo una distancia
“d” y finalmente se dirige hacia el E53°S, llegando a
un punto ubicado al este del punto de partida; calcule
el valor de “d”, si el auto se desplazo en total 90 km.
A) 10 km B) 20 km C) 30 km
D) 40 km E) 50 km
09. Una persona sale de su casa y se dirige al sur,
recorriendo 18 km en esa dirección, luego se va hacia
el oeste y recorre una distancia igual al doble de la
anterior, finalmente avanza 60 km en la dirección
N37°O; determine que distancia la separa de su casa.
A) 60 km B) 64 km C) 72 km
D) 78 km E) 80 km
10. Si desde un punto se observan dos árboles “A” y “B”
en los rumbos O37°N y E53°B respectivamente: ¿Cuál
debe ser la distancia entre los dos árboles, si desde
“A” se vuelve a observar “B” a 16° al Norte del Este y
la distancia del punto de observación inicial al árbol
“B” es de 20 m?.
A) 15 B) 20 C) 25
D) 30 E) N.A
11. Dos móviles parten desde un mismo punto, el primero
con dirección N a° E y el segundo con rumbo S 2a° E,
cuando el primero recorre 20 m y el segundo 21 m, la
distancia que los separa es de 29 m. Calcular “a”.
A) 15° B) 18° C) 30°
D) 37° E) 45°
12. Un móvil recorre 40 km en la dirección N53°O; luego
40 2 km en la dirección SO y finalmente 60 km
hacia el Este. ¿A que distancia se encuentra el móvil
con respecto a la posición inicial?
A) 20km B) 25 km C) 30 km
D) 35 km E) 40 km
13. Dos barcos salen de un puerto en las direcciones
S37°O y N53°E, recorriendo espacios iguales, si la
distancia que los separa es de 14 2 m. ¿Cuál es el
espacio recorrido?
A) 10m B) 20m C) 25m
D) 15m E) 30m
14. Desde un punto “A” parten dos personas una en
dirección N37°E y la otra en dirección Este, luego de
cierto tiempo la segunda persona observa a la primera
ubicada al NO y a una distancia de 4 2 m, obtenga
la suma de las distancias recorridas por ambas
personas hasta el momento de la observación.
A) 3m B) 6m C) 9m
D) 12m E) 15m
15. Desde dos puntos A y B ubicados al Sur y al Este de
un poste, se ve su parte más alta con ángulos de
elevación de 45° y 30°. Si la distancia AB es 20m.
¿Cuál es la altura del poste?
A) 10m B) 20m C) 40m
D) 20 3 m E) 10 3 m
16. Williams al salir de su casa se dirige hacia su
universidad siguiendo la dirección N30°E, pero en el
camino se arrepiente y se va en busca de Norma en la
dirección S60°E y la encuentra justo al Este de su
punto de partida. Si el recorrido total que hizo
Williams es 273 m, calcular la distancia entre su casa y
el punto de encuentro.
A) 200 B) 300 C) 400
D) 200 3 E) N.A.
17. Desde el borde superior de un edificio se observa los
puntos A y B en las direcciones Sur y Este bajo un
ángulo de depresión de 45° y 30°. Si la altura del
edificio es de 20m. Calcular la distancia entre los
puntos A y B.
A) 30m B) 50m C) 40m
D) 20 5 m E) 40 2 m
18. Un faro de 34m de altura desde su parte más alta se
observa 2 barcos con ángulos de depresión de 30° y
45° respectivamente uno al Sur y el otro al Este.
Determinar la distancia entre los barcos.
A) 64m B) 66m C) 68m
D) 70m E) 72m
19. Dos torres están en la misma dirección “NE” de una
persona. Esta persona camina 200m y una de las
torres está en la dirección Norte y la otra al “NO” de
dicha persona. Hallar la distancia entre las torres si la
persona caminó en dirección Este.
A) 100m B) 50m C) 150m
D) 50 2 m E) 100 2m
20. Al Este, Oeste, Norte y Sur de un árbol se encuentran:
Dalila, Marco, Ulises y Galeno, quienes observan la
parte superior del árbol con ángulos de elevación de
30°, 37°, 45° y 53° respectivamente. ¿Quién está más
cerca del árbol?
A) Dalila B) Marco C) Ulises
D) Galeno E) FD.
3. LICEO NAVAL C. DE C. “MANUEL CLAVERO” TRIGONOMETRIA 5°
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21. Un ratoncito sale de su agujero y hace el siguiente
recorrido: camina 30m con rumbo N30°E, luego 10m
hacia el Este; luego 15 2 m al SE, luego 20m al
Oeste y finalmente camina hacia el Sur hasta un
punto que se encuentra al Este de su agujero. ¿A qué
distancia del agujero se encuentra?
A) 10m B) 20m C) 15m
D) 25m E) 20 2 m
22. Se tiene dos puntos ubicados al Norte y Oeste de un
poste a una misma distancia. Si del poste se ubica un
punto “P” sobre la línea que une los dos primeros
puntos, al N37°O. Calcular la distancia del punto “P”
al poste si la distancia entre los puntos es de 14 2 m
A) 5m B) 10m C) 15m
D) 2m E) 7m
23. Desde un punto ubicado al Oeste de una torre se
observa lo alto de la misma con un ángulo de
elevación de 45°. De aquí nos desplazamos hacia el
S37°E hasta ubicarnos al O37°S de la torre; y
observamos lo alto con un ángulo de elevación “q”.
Calcular “Tgq”.
A) 0,25 B) 3,25 C) 1,15
D) 1,25 E) 2,25
24. Desde un terminal terrestre parten dos ómnibus hacia
el Norte y Este, a la misma velocidad. Luego de un
cierto tiempo, parten del mismo terminal otro ómnibus
en la dirección N37°E hasta ubicarse sobre la línea
que une a los otros dos ómnibus. Si la distancia que
separa a los dos primeros ómnibus es de 21 2 km.
¿Cuánto recorrió el tercer ómnibus?.
A) 5 B) 10 C) 15
D) 20 E) 25
25. Un joven observa la parte superior de un poste de luz,
en la dirección Este y con una elevación angular “q”
cuya tangente es 9/8, si el joven se desplaza en la
dirección S53°E hasta un punto ubicado exactamente
al Sur del poste, y observa que el nuevo ángulo de
elevación es “f”, calcular “Tgf”.
A) 1/2 B) 2/3 C) 3/2
D) 2 E) 4/3
26. Los autos A y B parten simultáneamente desde puntos
diferentes y con la misma velocidad; el auto “A” parte
en la dirección N60°E y el auto “B” lo hace en la
dirección O60°N, determine la distancia que separaba
inicialmente a estos autos sabiendo que el auto “A”
recorrió 8 2 km.
A) 4 km B) 8 km C) 12 km
D) 16 km E) 20 km
27. Un paracaidista entes de saltar observa desde una
altura de 12m el punto donde caer, con un ángulo de
depresión de 45°, y en una dirección SE; pero al
momento de saltar cae con un ángulo de inclinación
de 30° en una dirección SO. Calcular a que distancia
cayó del punto fijado.
A) 6m B) 18m C) 30m
D) 12m E) 24m
28. Desde un helicóptero que esta a 50 m sobre el nivel
del mar, se observa una lancha hacia el este con un
ángulo de depresión de 45° y hacia el sur se observa
un barco con un ángulo de depresión de 30°; calcule
la distancia que separa al barco de la lancha.
A) 50 m B) 60 m C) 80 m
D) 75 m E) 100 m
29. Un alumno del Liceo propone el siguiente problema:
“Si estuviese al sur del Liceo vería su parte mas alta
con un ángulo de elevación de 37° y si me desplazo al
oeste una distancia igual al doble de la que me
encontraba inicialmente, la observaría con un ángulo
de elevación “θ”. ¿A que es igual Ctgθ?
A)
5
3
B)
2 5
3
C) 5
D)
4 5
3
E)
5 5
3
30. Pepe desea ir a su academia que se encuentra al EθS
de el, pero primero va a la casa de María situado a
“d” m de el en la dirección SθO. Luego ambos
deciden ir al cine, situado a “D” m al sur de ellos para
finalmente ir a la academia situado a “x” m al este del
cine. Hallar x
A) DTgθ + dSecθ B) DCtgθ + dCscθ
C) DSecθ + dTgθ D) dCtgθ + DCscθ
E) DCscθ + dSecθ
31. Una persona caminando hacia el NE observa una
casa en la dirección N15°E. Cuando han transcurrido
15 minutos la persona es observada desde la casa en
dirección S75°E y a 250 m de distancia. Calcular la
velocidad de la persona.
A) 2 km/h B) 2,5 km/h C) 3 km/h
D) 4 km/h E) 5 km/h
32. Un avión que viaja a una altura constante de 120 3
m, es visto desde un punto A de su trayectoria con un
ángulo de elevación de 37° y después de 3 seg, lo ven
al norte con ángulo de elevación de 53°, desde un
punto B. Situado en la dirección O30°S de A. Calcular
la velocidad del avión en m/s, sabiendo además que
viaja de este a oeste.
A) 80 B) 150 C) 200
D) 180 E) N.A.
33. En un instante dado un tren que viaja en línea recta
tiene un extremo al NO y el otro extremo a 15° al
norte del este de un campesino. ¿Con qué ángulo
miraba el campesino al tren completo?.
A) 60° B) 75° C) 90°
D) 105° E) N.A.
