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Integracão para engenharia

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  • 3. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 3/41 Integração Numérica
  • 4. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 4/41 ¨  Em determinadas situações, integrais são difíceis, ou mesmo impossíveis de se resolver analiticamente. ¨  Em alguns casos, o valor de f (x) é conhecido apenas em alguns pontos, num intervalo [a, b]. Como não se conhece a expressão analítica de f (x), não é possível calcular: Integração Numérica ∫ b a dxxf )(
  • 5. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 5/41 ¨  ¨  Substituição da função f (x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]. Integração Numérica
  • 6. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 6/41 ¨  As fórmulas terão a expressão: f (x)dx a b ∫ ≈ A0 f (x0 )+ A1 f (x1)+...+ An f (xn ), xi ∈ [a,b],i = 0,1,...,n ∑= = n i iin xfAfI 0 )()( Integração Numérica
  • 7. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 7/41 ¨  Fórmulas de Newton-Cotes Fechadas ¤  Regra dos Trapézios, x0 = a e xn = b. ¤  Regra 1/3 de Simpson. ¨  Fórmulas de Newton-Cotes Abertas ¤  os xi têm de pertencer ao intervalo aberto de a até b. Integração Numérica
  • 8. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 8/41 Fórmulas de Newton-Cotes ¨  A ideia de polinômio que aproxime f (x) razoavelmente, é que este polinômio interpole f (x) em pontos de [a, b] igualmente espaçados. ¨  Considere a partição do intervalo [a, b] em subintervalos, de comprimento h, [xi, xi+1], i = 0, 1, ..., n – 1. Assim: xi+1 − xi = h = b− a( ) n
  • 9. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 9/41 Fórmulas de Newton-Cotes ¨  Desta forma, as fórmulas de Newton-Cotes são fórmulas de integração do tipo: sendo os coeficientes Ai determinados de acordo com o grau do polinômio aproximador. x0 = a, xn = b f (x)dx a b ∫ = f (x)dx x0 xn ∫ ≈ Ai f (xi ) i=0 n ∑
  • 10. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 10/41 Fórmulas de Newton-Cotes ¨  Diferença entre as fórmulas de Newton-Cotes fechadas (a) e abertas (b).
  • 11. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 11/41 ¨  Utilizando a interpolação polinomial na Forma de Lagrange: 1º Polinômio de LagrangeREGRA DOS TRAPÉZIOS 2º Polinômio de LagrangeREGRA 1/3 DE SIMPSON
  • 12. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 12/41 Regra dos Trapézios
  • 13. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 13/41 Regra dos Trapézios ¨  Usaremos a para expressar P1 (x) que interpola f (x) em x0 e x1: ¨  Então: P1 x( )= f x0( ) x − x1 x0 − x1 + f x1( ) x − x0 x1 − x0 f x( )dx = a b ∫ P1 x( ) x0 x1 ∫ dx = f x0( ) x − x1 x0 − x1 + f x1( ) x − x0 x1 − x0 # $ % & ' ( x0 x1 ∫ dx
  • 14. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 14/41 Regra dos Trapézios ¨  Resolvendo a integração: ou seja: ( ) ( ) ( )[ ]10 01 2 xfxf xx IT + − = ( ) ( )[ ]10 2 xfxf h IT +=
  • 15. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 15/41 ¤  Consiste em considerar um polinômio de primeiro grau que aproxima uma função f (x), ou seja, n = 1. ¤  Este polinômio terá a forma y = α0 + α1x e trata-se da equação que une dois pontos: a = x0 e b = x1. Regra dos Trapézios Simples f (x1) f (x0) a = x0 b = x1 f (x) P1 (x) x f (x)
  • 16. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 16/41 Regra dos Trapézios Simples f (x)dx ≈ h 2 f (x0 )+ f (x1)[ ] x0 x1 ∫ T = f (x1) t = f (x0) a = x0 b = x1 f (x) P1 (x) x f (x) h f (x0) f (x1) Área do trapézio: A = h (T + t) / 2 De acordo com a figura: ¤  b – a = x1 – x0= h ¤  f (b) = f (x1) = T ¤  f (a) = f (x0) = t ¤  h - altura do trapézio ¤  t - base menor ¤  T - base maior Logo,
  • 17. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 17/41 ¨  ¤  Aproximação do valor da integral é aceitável. ¨  ¤  Aproximação não indicada. Regra dos Trapézios Simples
  • 18. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 18/41 x1 ¨  Intervalo [a, b] de grande amplitude. ¨  Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. Regra dos Trapézios Repetida (Composta) x0 xn x f (x) x1 xn-1. . .
  • 19. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 19/41 x1 ¨  Intervalo [a, b] de grande amplitude. ¨  Soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. Regra dos Trapézios Repetida (Composta) x0 xn x f (x) x1 xn-1. . .
  • 20. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 20/41 ¨  ¤  Aproximação do valor da integral é aceitável. ¨  ¤  Aproximação não indicada. ¤  Uso da Regra dos Trapézios Repetida (Composta): soma da área de n trapézios, cada qual definido pelo seu sub-intervalo. ¤  A amplitude dos sub-intervalos será h = (b - a) / n. ¤  A integral no intervalo é dada pela soma das integrais definidas pelos sub-intervalos. Regra dos Trapézios Simples
  • 21. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 21/41 ¨  Fórmula: ¨  Só os termos f (x0) e f (xn) não se repetem, assim, esta fórmula pode ser simplificada em: f (x)dx ≈ h 2 f (x0 )+ f (x1)[ ]+ x0 xn ∫ h 2 f (x1)+ f (x2 )[ ] +...+ h 2 f (xn−1)+ f (xn )[ ] f (x)dx ≈ h 2 f (x0 )+ 2 f (x1)+ f (x2 )+...+ f (xn−1)[ ]+ f (xn ){ } x0 xn ∫ Regra dos Trapézios Repetida
  • 22. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 22/41 ¨  Regra dos Trapézios Simples - 1 subintervalo I ≈ 2,48508 ¨  Regra dos Trapézios Repetida - 2 subintervalos I ≈ 2,1369 ¨  Regra dos Trapézios Repetida – 8 subintervalos I ≈ 2,0936 x y = (1 + x²)-1/2 0,0 1,00000 0,5 0,89445 1,0 0,70711 1,5 0,55475 2,0 0,44722 2,5 0,37138 3,0 0,31623 3,5 0,27473 4,0 0,24254 A aproximação para 8 subintervalos é melhor, dado que o . Estimar o valor de EXEMPLO 1 ∫ − + 4 0 212 1 dxx / )(
  • 23. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 23/41 ¨  Suponha x0 < x1 < ... < xn, (n + 1) pontos distintos em [x0, xn] e que . Então, para cada x em [x0, xn], existe um número ξ (x) (geralmente desconhecido) em ] x0, xn[, tal que: f ∈ Cn+1 a,b[ ] R x( )= f x( )− Pn x( )= f n+1( ) ξ x( )( ) n +1( )! x − x0( ) x − x1( )! x − xn( ) Erro da Regra dos Trapézios
  • 24. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 24/41 Erro da Regra dos Trapézios ¨  Erro da Regra dos Trapézios simples ¤  Da interpolação polinomial, temos que: ¤  Logo: f x( )= p1 x( )+ x − x0( ) x − x1( ) f " ξx( ) 2 , ξx ∈ x0, x1] [ f x( )dx x0 x1 ∫ = IT + x − x0( ) x0 x1 ∫ x − x1( ) f " ξx( ) 2 dx
  • 25. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 25/41 Erro da Regra dos Trapézios ¨  Então, temos que: ET = x − x0( ) x0 x1 ∫ x − x1( ) f " ξx( ) 2 dx
  • 26. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 26/41 Regra dos Trapézios ¨  Já que (x – x0)(x - x1) não muda de sinal em [x0 , x1], o Teorema do Valor Médio com Peso para Integrais pode ser aplicado ao termo de erro, para algum : ¤  Então: x − x0( ) x0 x1 ∫ x − x1( ) f " ξx( )dx = f " c( ) x − x0( ) x0 x1 ∫ x − x1( )dx c ∈ x0, x1] [ ET = f " c( ) 2 x − x0( ) x0 x1 ∫ x − x1( )dx
  • 27. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 27/41 Regra dos Trapézios ¨  ¨  Como não podemos determinar exatamente c, temos: ET = − h3 12 f " c( ), c ∈ x0, x1] [ ET ≤ h3 12 M2 onde: M2 = máx x∈[a,b] f " x( )
  • 28. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 28/41 Regra dos Trapézios ¨  ¤  O erro para cada um dos trapézios é dado por: ¤  Logo o erro da Regra dos Trapézios Repetida será a soma: ET = − h3 12 f " c( ), c ∈ x0, x1] [ ETR = − h3 12 f " ci( ) i=0 n−1 ∑ , ci ∈ xi, xi+1] [
  • 29. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 29/41 Regra dos Trapézios ¨  ¨  Como estamos supondo f”(x) contínua em [a, b], uma generalização do Teorema do Valor Intermediário nos garante que existe tal que: ¨  Então: ξ ∈ a,b] [ f " ci( ) i=0 n−1 ∑ = n f " ξ( ) ETR = − nh3 f " ξ( ) 12 , ξ ∈ a,b] [
  • 30. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 30/41 Regra dos Trapézios ¨  Da mesma forma que na Interpolação Polinomial, não podemos calcular exatamente f”(ξ), visto que não conhecemos o ponto ξ. Quando possível, calculamos um . ETR ≤ nh3 12 M2 onde: M2 = máx x∈[a,b] f " x( ) e h = b− a n
  • 31. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 31/41 ¨  Seja: Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos para Regra dos Trapézios Composta. Estime o erro cometido. EXEMPLO 2 ∫= 1 0 dxeI x [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 I = ex dx 0 1 ∫ ≈1,719713 f (x)dx ≈ h 2 f (x0 )+ 2 f (x1)+ f (x2 )+...+ f (xn−1)[ ]+ f (xn ){ } x0 xn ∫
  • 32. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 32/41 EXEMPLO 2 ¨  O erro pela Regra dos Trapézios Repetida é: ¨  Portanto: ETR ≤ nh3 12 máx x∈[0,1] ex ETR ≤ 0,01 12 máx x∈[0,1] ex ≈ 0,00227 e1
  • 33. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 33/41 Regra 1/3 de Simpson
  • 34. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 34/41 Regra 1/3 de Simpson ¨  Novamente podemos usar a para estabelecer a fórmula de integração resultante da aproximação de f (x) por um .
  • 35. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 35/41 Regra 1/3 de Simpson P2 x( )= x − x1( ) x − x2( ) x0 − x1( ) x0 − x2( ) f x0( )+ x − x0( ) x − x2( ) x1 − x0( ) x1 − x2( ) f x1( ) + x − x0( ) x − x1( ) x2 − x0( ) x2 − x1( ) f x2( ) IS = P2 x( ) x0 x2 ∫ = f x0( ) 2h2 x − x1( ) x − x2( )dx x0 x2 ∫ − f x1( ) h2 x − x0( ) x − x2( )dx x0 x2 ∫ + f x2( ) 2h2 x − x0( ) x − x1( )dx x0 x2 ∫
  • 36. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 36/41 Regra 1/3 de Simpson ¨  As integrais podem ser resolvidas usando a mudança de variáveis: x – x0 = zh. Assim: dx = h dz; x = x0 + zh; ¨  x – x1 = (z – 1) h; x – x2 = (z – 2) h. ¨  Fazendo esta mudança e resolvendo as integrais, obtemos a : f (x)dx ≈ IS = h 3 f (x0 )+ 4 f (x1)+ f (x2 )[ ] x0 x2 ∫
  • 37. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 37/41 Regra 1/3 de Simpson Repetida ¨  Da mesma forma que a Regra dos Trapézios Repetida, aplicaremos a regra de Simpson repetidas vezes no intervalo [a, b] = [x0 , xn]. ¨  Então vamos supor subintervalos igualmente espaçados.
  • 38. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 38/41 Regra 1/3 de Simpson Repetida ¨  Para cada teremos: com k = 1, ..., n/2, sendo n um . f (x)dx ≈ IS = h 3 f (x2k−2 )+ 4 f (x2k−1)+ f (x2k )[ ] x2k−2 x2k ∫
  • 39. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 39/41 Regra 1/3 de Simpson Repetida ¨  Assim, a integral obtida pela regra de aproximação de Simpson Repetida será dada por: f (x)dx{ } x0 xn ∫ ≈ ISR = h 3 f (x0 )+ f (xn )[ ]+{ +4 f (x1)+ f (x3)+!+ f (xn−1)[ ]+ +2 f (x2 )+ f (x4 )+!+ f (xn−2 )[ ]} f (x)dx x0 xn ∫ ≈ ISR = h 3 f x0( )+ 2 f x2 j( ) j=1 n 2 −1 ∑ + 4 f x2 j−1( )+ f xn( ) j=1 n 2 ∑ % & ' ' ' ( ) * * *
  • 40. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 40/41 Regra 1/3 de Simpson ¨  Supondo f (iv) (x) contínua em [x0 , x2]: ¨  O será: ES = − h5 90 f iv( ) ξ( ), ξ ∈ x0, x2] [
  • 41. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 41/41 Regra 1/3 de Simpson ¨  e o ¤  Calcularemos um para o erro: onde: M4 = máx x∈[x0,xn ] f iv( ) x( ) e h = b− a n ESR = − n 2 h5 90 f iv( ) ξ( ), ξ ∈ x0, xn] [ ESR ≤ nh5 180 M4
  • 42. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 42/41 ¨  Seja Calcule uma aproximação para I usando a regra 1/3 de Simpson com n = 10. Estime o erro cometido. EXEMPLO 3 I = ex dx 0 1 ∫ [0,1] subdivididos em 10 subintervalos com h = 0,1 I = ex dx 0 1 ∫ ≈1,71828278 f (x)dx x0 xn ∫ ≈ ISR = h 3 f x0( )+ 2 f x2 j( ) j=1 n 2 −1 ∑ + 4 f x2 j−1( )+ f xn( ) j=1 n 2 ∑ % & ' ' ' ( ) * * *
  • 43. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 43/41 Estimativa do erro cometido: Exemplo 3 ESR = 5 0,1( ) 5 90 eξ , ξ ∈ ]0,1[ Portanto: ESR ≤ 5,555×10−7 × máx x∈[0,1] ex ≈1,51016×10−6 e1
  • 44. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 44/41 Comparação Exemplo 2 e 3 ¨  Vamos comparar os resultados obtidos pela Regra dos Trapézios e pela Regra 1/3 de Simpson. ¤  Regra dos Trapézios Repetida (n = 10): ¤  Regra 1/3 de Simpson Repetida (n = 10): ex dx 0 1 ∫ ≈1,719713 ETR ≤ 2,27×10−3 ex dx 0 1 ∫ ≈1,71828278 ESR ≤1,51×10−6
  • 45. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 45/41 Exemplo 4 ¨  Considerando a integral dos exemplos 2 e 3. a) Para quantas subdivisões do intervalo de integração (n) teríamos erro inferior a 10-3 usando a Regra dos Trapézios? b) E para a Regra 1/3 de Simpson?
  • 46. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 46/41 Exemplo 4 a) Precisaremos de no mínimo 16 subdivisões do intervalo de integração. b) Precisaremos de no mínimo 2 subdivisões do intervalo de integração.
  • 47. Aula 16 – Integração Numérica Cálculo Numérico 47/41 Referências ¨  BURDEN, Richard L.; FAIRES, J. Douglas. Análise numérica. São Paulo, SP: Cengage Learning, 2008. xiii, 721 p. ISBN 8522106010. ¨  RUGGIERO, Marcia A. Gomes; LOPES, Vera Lucia da Rocha. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. 2. ed. São Paulo, SP: Makron, c1997. xvi, 406 p. ISBN 8534602042. ¨  CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Métodos numéricos para engenharia. 5. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2008. 809 p. ISBN 978-85-86804-87-8.