1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 2) Όρια και Ασυμπτωτικοί Συμβολισμοί 3.1) "αρχίζει"+"περιέχει"+"τελειώνει": ΚΕ σε ΜΠΑε σε ΜΠΑ σε ΝΠΑ σε Κανονική Γραμματική 3.2) Διάκριση Κανονικών και μη Κανονικών Γλωσσών 4.1) Αναλογία 2 πραγμάτων: Γραμματική Χωρίς Συμφραζόμενα και Αυτόματο Στοίβας 4.2) Αναλογία 3 πραγμάτων (όχι ΓΧΣ με 2ο λήμμα άντλησης) 5.1) Κανονική Γλώσσα (Μηχανή Turing) 5.2.Α) Απόδειξη ότι μία γλώσσα είναι αποδεκτή 5.2.Β) Απόδειξη μη επιλυσιμότητας 6) ΑΡΑΙΟ ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑ είναι NP-complete

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 1
ΠΛΗ30 - ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 4
ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 20/20)
(Α) Να ταξινοµηθούν οι ακόλουθες συναρτήσεις κατά αύξουσα τάξη µεγέθους:
nn n
n
nn
nnnf
nnnf
nf
nnnf
loglog)(
)(
2)(
)(log)(
log
4
3/25/4
3
2
log22
1
3
2
+=
+=
=
+=
Ο συµβολισµός log παριστάνει λογάριθµο µε βάση το 2. . Η συνάρτηση f έχει την ίδια τάξη µεγέθους (ίδιο ρυθµό
αύξησης) µε την g (f ≡ g), αν f = Θ(g) (ισοδύναµα Θ(f) = Θ(g)). Η συνάρτηση f έχει µικρότερη τάξη µεγέθους
(µικρότερο ρυθµό αύξησης) από την g (f < g), αν f = o(g).

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 2
(Β) Για την επίλυση ενός προβλήµατος έχουµε στη διάθεσή µας τρεις αλγόριθµους:
Ο αλγόριθµος Α για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά επτά υποπροβλήµατα µεγέθους
n/4 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε γραµµικό χρόνο.
Ο αλγόριθµος Β για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά επτά υποπροβλήµατα µεγέθους
n/4 το καθένα και συνδυάζει τις λύσεις τους σε χρόνο n2
.
Ο αλγόριθµος Γ για να επιλύσει ένα πρόβληµα µεγέθους n, επιλύει αναδροµικά ένα υποπρόβληµα µεγέθους n-1
το καθένα και εξάγει την τελική λύση σε χρόνο Ω(n4
).
Να βρεθούν οι ασυµπτωτικοί χρόνοι επίλυσης του προβλήµατος για κάθε αλγόριθµο και να επιλέξετε τον
ταχύτερο αλγόριθµο για την επίλυση του προβλήµατος. ∆ίδεται ότι )n( 5
1
4
Θ=∑=
n
i
i
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 3
ΘΕΜΑ 2: (Μονάδες 20/20)
Εξετάστε αν:
)Θ(32.
)(logn.
)(loglog.
)(3.
)(ω.
)3(2.Α
nloglogn
54
32
3
=Ζ
=Ε
=∆
Θ=Γ
=Β
=
nO
non
nn
nn
O nn

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 4
ΘΕΜΑ 3: (Μονάδες 20/20)
∆ίδεται η γλώσσα: ∈ 0,1 ∗| ί 11, έ 00 ώ 10
(Α) ∆ώστε µία κανονική έκφραση που παράγει τις συµβολοσειρές της γλώσσας.
(Β) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της L.
(Γ) ∆ώστε Κανονική Γραµµατική για το ντετερµινιστικό ΠΑ του ερωτήµατος Β

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 5
2. Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι κανονική και ποια όχι; Για να αποδείξετε ότι κάποια
από τις γλώσσες δεν είναι κανονική χρησιµοποιέιστε το λήµµα της άντλησης. Για να αποδείξετε
ότι είναι κανονική δώστε την αντίστοιχη κανονική έκφραση.
A = {0n
14
0k
| n<k}
B = {0n
12
0m
| n∈{0,2}, m≥0}
Γ = ∈ 0,1 ∗| έ 11
∆ = ∈ 0,1 ∗| 0 ί ά 1}
E = {0n
12
0m
| n∈{0,2}, m∈{0,2}}
Το Λήµµα Άντλησης για Κανονικές Γλώσσες:
Έστω µια άπειρη κανονική γλώσσα. Τότε υπάρχει ένας αριθµός (µήκος άντλησης) τέτοιος ώστε κάθε ! ∈ µε |"| # να
µπορεί να γραφεί στην µορφή ! $%& όπου για τις συµβολοσειρές $, % και & ισχύει:
|$%| '
% ( )
$%*
& ∈ για κάθε φυσικό * # +

6. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 6
ΘΕΜΑ 4: (Μονάδες 20/20)
Ποια από τις παρακάτω γλώσσες είναι χωρίς συµφραζόµενα και ποια δεν είναι;
L1 = {an
bn+2
c2n
| n≥0}.
L2 = {an
bn+2
b2n
| n≥0}
(A) Για την γλώσσα που είναι χωρίς συµφραζόµενα:
(1) ∆ώστε Γραµµατική Χωρίς Συµφραζόµενα που παράγει τις συµβολοσειρές της.
(2) ∆ώστε ντετερµινιστικό αυτόµατο στοίβας που αναγνωρίζει τις συµβολοσειρές της:
a. Περιγράψτε άτυπα τη λειτουργία του Μ.
b. ∆ώστε την πλήρη περιγραφή του Μ (σύνολο καταστάσεων, αλφάβητα εισόδου και στοίβας,
αρχική κατάσταση, αρχικό σύµβολο στοίβας, συνάρτηση µετάβασης και σύνολο τελικών
καταστάσεων). Για την περιγραφή της συνάρτησης µετάβασης µπορείτε να χρησιµοποιήσετε
πίνακα.

7. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 7
(Β) Για την γλώσσα που δεν είναι χωρίς συµφραζόµενα,δώστε τυπική απόδειξη µε το 2ο
λήµµα άντλησης:
Το Λήµµα Άντλησης για Γλώσσες Ανεξάρτητες Συµφραζοµένων
Έστω µια άπειρη γλώσσα ανεξάρτητη συµφραζοµένων. Τότε υπάρχει ένας αριθµός , (µήκος άντλησης)
τέτοιος ώστε κάθε s ∈ µε |s| # , να µπορεί να γραφεί στην µορφή . /0 12 όπου για τις συµβολοσειρές
/, 0, , 1 και 2 ισχύει:
|0 1| ' ,
|01| 3 0
/04
14
2 ∈ για κάθε φυσικό 5 # 0

8. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 8
ΘΕΜΑ 5: (Μονάδες 20/20)
Α: Έστω αλφάβητο Σ={0,1} και η γλώσσα: ∈ 6∗| περιέχει τουλάχιστον δύο 0 (συνεχόµενα ή όχι)
Να κατασκευάσετε µηχανή Turing T µε αλφάβητο Σ0={0,1,#,Υ,Ν} που θα αποφασίζει την γλώσσα L. H µηχανή
θα ξεκινά µε σχηµατισµό #w# για κάποιο ∈ 6∗
.
∆ώστε άτυπη περιγραφή της παραπάνω µηχανής Turing (τον αλγόριθµο διαχείρισης της ταινίας της) και στην
συνέχεια τυπική περιγραφή µέσω γραφήµατος ΤΜ.
Β: ∆ίνεται η γλώσσα X={c(M,q) | H µηχανή Turing M περνά από την κατάσταση q όταν ξεκινά µε είσοδο την
συµβολοσειρά 001}
∆είξτε ότι η γλώσσα Χ είναι αποδεκτή και όχι αποφασίσιµη.
Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε το γεγονός ότι η γλώσσα Le={c(M)| η µηχανή Turing M τερµατίζει µε είσοδο τη
συµβολοσειρά 001} είναι µη αποφασίσιµη.

9. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, ∆ιαγώνισµα 4 9
ΘΕΜΑ 6: (Μονάδες 20/20)
Αποδείξτε ότι το πρόβληµα του ΑΡΑΙΟΥ ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ είναι NP-πλήρες. Το πρόβληµα του ΑΡΑΙΟΥ
ΥΠΟΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ ορίζεται ως εξής: ∆οθέντος ενός γραφήµατος G=(V,E) και ακεραίων a,b µε 2≤a≤|V| και
0≤b≤|E|, υπάρχει υπογράφηµα G’=(V’,E’) του G µε |V’|≥a και |Ε’|≤b
Για την απόδειξη χρησιµοποιήστε το γνωστό NP-πλήρες πρόβληµα εύρεσης του ανεξαρτήτου υποσυνόλου k
κορυφών ενός γραφήµατος.