1.1) Ιεραρχία Συναρτήσεων Πολυπλοκότητας 1.2) Αναδρομικές Σχέσεις (Θεώρημα Κυριαρχίας, Μέθοδος Επανάληψης) 2) Δυναμικός Προγραμματισμός (Σειριακή Επιλογή Αντικειμένων με Περιορισμό) 3.1) ΚΕ σε ΜΠΑε 3.2) "αρχίζει" και "περιέχει" και "τελειώνει": ΚΕ - ΜΠΑ - ΝΠΑ

1. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 11 1
ΠΛΗ30 – ΤΕΣΤ11
ΘΕΜΑ 1
(A) Ιεραρχήστε τις παρακάτω συναρτήσεις σε αύξουσα σειρά ασυµπτωτικής
πολυπλοκότητας:
nn
nn
nn
nn
nf
nnnf
nnnf
nnnf
nnnf
loglog
5
225,0
4
5,0
3
log
2
1
82)(
log)(log)(
)(
24)(
)(loglog)(
3
+=
+=
+=
+=
+=

2. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 11 2
(Β) Να λύσετε τις αναδροµές:
2
64
3
)()1( n
n
T
n
TnT +





+





=
2
4
16)()2( n
n
TnT +





=
2
4
64)()3( n
n
TnT +





=
( ) 121)()4( −+−= nnTnT
Στη συνέχεια, να διαταχθούν οι λύσεις τους κατά αύξουσα τάξη µεγέθους.
Θεώρηµα Κυριαρχίας: Έστω η αναδροµική εξίσωση T(n) = aT(n/b) + f(n), όπου a≥1, b>1 είναι σταθερές, και
f(n) είναι µια ασυµπτωτικά θετική συνάρτηση. Τότε διακρίνονται οι ακόλουθες τρεις περιπτώσεις:
log log
( ) ( ), ( )b ba a
(1) αν f n O n για κάποια σταθερά ε>0, τότε T(n) = nεεεε−−−−
= Θ= Θ= Θ= Θ
log log
( ) ( ), ( log )b ba a
(2) αν f n n τότε T(n) = n n= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ= Θ Θ
log
( ) ( ), ,
( ( )).
b a
0
0
(3) αν f n n για κάποια σταθερά ε>0, και αν υπάρχει σταθερά n τέτοια
n
ώστε, για κάθε n n , af cf(n) για κάποια σταθερά c<1, τότε T(n) = f n
b
εεεε++++
= Ω= Ω= Ω= Ω
    
≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ≥ ≤ Θ    
    

3. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 11 3
ΘΕΜΑ 2
Μας δίνουν µια σειρά από αντικείµενα 1, 2, 3, … , n, µε αντίστοιχες αξίες a[1], a[2],
a[3], …, a[n], αντίστοιχα, οι οποίες είναι όλες θετικές. Πρέπει να επιλέξουµε
υποσύνολο αντικειµένων µε το µέγιστο δυνατό άθροισµα αξιών. Η λύση όµως
πρέπει να ικανοποιεί τον εξής περιορισµό: αν επιλεγεί το αντικείµενο i τότε µένει
εκτός το αµέσως προηγούµενό του αντικείµενο, i-1.
Περιγράψτε αλγόριθµο ∆υναµικού Προγραµµατισµού που επιστρέφει το µέγιστο
άθροισµα αξιών (σχεδιασµό της αναδροµικής εξίσωσης, ψευδοκωδικας,
υπολογισµός πολυπλοκότητας).

4. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 11 4
ΘΕΜΑ 3
Άσκηση 1:
Κατασκευάστε ΜΠΑ για τις κανονικές εκφράσεις:
(0+1)*11
(00+10)*
(0+10+111)*+(10)*
0*1*11
(010*11)*

5. ∆ηµήτρης Ψούνης – ΠΛΗ30, Τέστ 11 5
Άσκηση 2:
∆ίδεται η γλώσσα του αλφαβήτου {0,1} L={w|w αρχίζει µε 1, περιέχει το 00 και τελειώνει µε 1}
(Α) ∆ώστε Κανονική Έκφραση που παράγει τις συµβολοσειρές της L
(B) ∆ώστε Μη Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΜΠΑ) της L
(Γ) ∆ώστε Ντετερµινιστικό Πεπερασµένο Αυτόµατο (ΝΠΑ) της L