República Bolivariana de Venezuela
Ministerio de poder popular para la educación universitaria
UPTAEB - Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco-
Barquisimeto-lara
Producción
escrita
Producción
escrita
Integrantes:
Dianis Montilla ci 31.769,602
María Peña
Sección: Hs-0143
Prof.: Larry Sequeri
matemáticas

Expresión Algebraica
Los términos algebraicos deben conocerce muy bien, y que su corecto manejo permite
aplicar correctamente el criterio de los terminos semejantes que son la base de las
operaciones algebraicas. Para aplicarlos correcddesarrolllolloe los terminos deben ser
iguales (igual(es) variable (s) y exponente (s)) para agruparlos correctamente llegando a
su minima expresion (lo mas pequeña posible). Asi que se comenzara con la definicion
de los conceptos que seran la base de lo que viene de ahora en adelante en el estudio
de esta area del conocimiento.
Es una combinacion de letras o letras y numeros unidos por medio de las operaciones:
suma, resta, multiplicación, división, potenciación o radicación, de manera finita.
Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc. si nose dice otra cosa,
representan los valores fijos en la expresion. Estas letras tambien se pueden llamar
parámetros.
Las ultimas letras de nuestro alfabeto: x, y, z, u otros simbolos, representan variables
que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.
El dominio de una variable en una expresion algebraica, es un subconjunto de números
reales, que el reemplazarlos en la expresión, siempre se obtiene un número real.
Es conveniente dar el dominio de cada una de las variables contenidas en una expresión
algebraica.
Dos expresiones algebraicas son equivalentes cuando toman ambas el mismovalor
numerico, para cualquier valor del dominiode cada una de las variables.
Factorizacion
Esta estrategia aplicada a la multiplicación de números o polinomios le
llamamos factorización y consiste en encontrar números o polinomios que multiplicados
nos dan el número o polinomio original, respectivamente. A estos números o polinomios
se les llama factores.
Esta estrategia de dividir en partes más sencillas también aplica a la suma de números o
polinomios. En este caso a las partes se les llama términos.
Radicacion
La radicación es la operación inversa a la potenciación. Y consiste en que, dados dos
números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado
al índice, sea igual al radicando.
11Suma, resta y valor númerico de expresiones Algebraicas

Se conoce como algebra a la rama de matematica que combina numeros, signos y letras,
respetando diferentes reglas, realizar operaciones aritméticas. El álgebra, por lo tanto,
surgio cmo una expansion de la aritmética.
La resta algebraica es una de estas operaciones.
consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se
puede saber cuando le falta a un elemento para resultar igual al otro
Se dice que la resta algebraica es el proceso inverso de la suma algebraica. Lo que
permite la resta es encontar la cantidad desconocida que, cuando se suma al sustraendo
(el elementoque indica cuando hay que restar), da como resultado el minuendo (el
elementoque disminuye en la operacion).
Ademas de todos los datos ofrecidos hasta el momento sobre la citada resta algebraica
que nos ocupa, se hace necesario conocer otros igualmente interesantes como son los
siguientes pues permitirán entenderla mucho mejor.
En este tipo de resta algebraica no existe la posibilidad de que tome protagonismola
llamada propiedad asociativa, ya que la resta únicamente se puede acometer entre dos
polinomios.
Valor numerico
El valor numerico de una expresión algebraica es el numero que resulta de sustituir las
variables de la dicha expresión por valores concretos y completar las operaciones. Una
misma expresión algebraica puede tener muchos valores numéricos diferentes, en
función del numero que se asigne a cada una de las variables de la misma.
Valor numerico de una expresión
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza el valor dado
de la (s) letra (s) y se realizan las operaciones indicadas en la expresión, ahora, entre
números, el valor obtenido, es el valor numerico de la expresión dada.
Ejercicios
suma de monomio polinomio
A) P (x): 3x⁵ + x⁴ - x² + 7 x – 10
Q (x): x² + 17 x- 7x⁵ + 8 x⁴ + 16
El polinomio suma se obtiene sumando los términos semejantes entre si
Se efectúa lo siguiente
1) P(x) + q(x): (3x⁵+x⁴-x²+7x-10) +(x²+17x-7x⁵+8x⁴+16)
= (3-7) x⁵+(1+8) x⁴+ (-1+1) x²+(7+17) x + (-10+16)
= -4 x⁵+ 9x⁴+ 0 x²+24 x+6-
=-4 x⁵+9 x⁴+24+6

2) P(x): -5 x² + x³+ x + 12
Q(x): x⁴-2x²-x³-5 x + 8
P(x) +q(x)
Ordenamos:
P(X): x³-5x² + x ±12: 0 x⁴+ x³-5x² + x + 12
Q(x): x⁴-x³-2x²+5x+8
P(x)+ q(x): 0x⁴ + x³- 5x²+ x+12
X⁴ - x³-2x²+5x+8….
X⁴+0x³-7x²+6x+20
3) P(x): 5x⁴-3x³-2x²-21
Q(x): -5x⁴ + 3 x³+ 21+ 2x²
Ordenamos:
p(x): 5x⁴-3x³-2x²+0x-21
Q(x): -5x⁴+3x³+2x²+0x-21
P(x)+q(x): 5x⁴-3x³-2x²+0x-21
-5x⁴+3x³+2x²+0x+21
0x⁴+0x³+0x²+0x+0
4) 3x⁵ + x⁵: (3x1) x⁵: 4x⁵
- ⅓ z³- ¾ z³ (¼ - ¾) z³: -z³
- ¼ - ¾: -1-3: - 4: 1
4. 4
6x²-7x²: (6-7) x²: - x²
Multiplicación y división de expresiones. Algebraicas
La multiplicación de dos exponentes algebraicos es otra expresion algebraica, em otras
palabras, es una operacion matematica que consiste en obtener un resultado llamado
producto a partir de dos factores algebraicos llamada multiplicando y multiplicador.
La multiplicacion entre expresiones es independiente de la existencia de terminos
semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica.

Aquellas proposiciones que ya hemos demostrado previamente seran usadas en esta
seccion. Estasleyes son la ley de los signos, las leyes de la potenciacion de la teoria de
exponentes como las leyes distributivas de multiplicacion con respeto a la suma y resta.
La division algebraica es una operación entre dos expreciones algebraicas llamadas
dividendo y divisor para obtener otra expresion llamado cociente por medio de un
algoritmo.
Como estamos trabajando con polinomios, debemos tener en cuenta un punto importante:
el mayor exponente de algun termino del dividendo debe ser mayor o igual al mayor
exponente de algun termino del divisor.
La division en algebra tiene una similitud con la division aritmetica, esto se puede
visualizar usando un metodo y los pasos adecuados para realizar una division exitosa para
estos casos, realmente es muy sencillo.
1) Dado el polinomio
P(x) :2x⁴ - ⅓ x³ + ³/2 x ², calculamos -½. p(x)
-½. p(x): -½. (2x⁴ - ⅓ x³+ ³/2 x²)
: (-½. 2) x⁴ + (½) (-⅓) x³+ (-½) (³/2) x²
: -x⁴ + ⅙x³- ¾ x²
2) Resuelve los productos de monomios a) 3x⁸. (-2x³).
1) Multiplicamos los coeficientes
3.(-2): -6
2) se multiplican las potencias de x
X⁸. X³: x¹¹.
3) ¿Cuáles serán los resultados de la división de 4x⁶+8 x⁴-6x³+10x² entre 2x²?
Procedemos a dividir cada término entre 2x²
4x⁶: 2x⁴ ; 8x4: 4x²; -6x³: -3; 10x²: 5
2x². 2x². 2x². 2x².
(4x⁶ + 8x⁴ -6x³+10²) ÷2x²
: 2x⁴ +4x²-3x+5
4) ¿Cuál debe ser el valor de a, b, c para que se cumpla la siguiente igualdad
(10xª+50xb-5xc) ÷ 5x⁵ : 2x³:10x²-1
1) Dividimos los coeficientes

10: 2; 50: 10; -5: -1
5 5. 5
2) Aplicamos potencia de un cociente de igual base
n
A. n- m
m.: A
A
Ex: Ex-⁵: X³→exponentes
X⁵ . a-5: 3 →a :3+5:
a:8
b. b-5
X.: X: x²
X⁵ → b -5: 2 →b: 2+5→b: 7
c. c -5
X: X.: 0 → c-5:0→ c: 5
X
A: 8, b: 7 y c :5
Productos notables de expresiones. Algebraicas
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin
necesidad de hacerlo paso por paso.
Se llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son
muy utilizados en los ejercicios
1) ((1+x) + x ²) ²: (1+x) ²+2(1+x) (x²) ²:
1²+X²+2(1.) (x)+x⁴ +2x²+2x³
1+3x²+2x+x⁴ +2x³:x⁴ +2x³+ 3x²+2x+1
2) Dado el siguiente producto notable demuestra (x-4) ²: x²-8x+16
Respuesta:
(X-4) ²: x²-2(x)(4) +4²
: X²- 8x+16
3) Desarrolla las siguientes expresiones aplicando producto notable
(a³+4b²) (a³-4b2)

(a³+4b²) (a³-4b²): (a³) ²- (4b²) ²
: a⁶ -16 b ⁴
4) El producto de dos binomios con un término en común es de la forma (ama).
(x+b) dónde a y b son constante . Calcula el siguiente producto (x+1) (x+5)
sabiendo que (x+a ) (x+b):x² + (a+b)x+ab
(X+1) (x+5): x²+(5+1) x+5.1
: X²+5x+x+5
: X² + 6x + 5
Factorización por productos notables
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expreciones
algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspeccion, sin verificar la
multiplicacion que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicacion simplifica y sistematiza la
resolucion de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una formula de factorizacion. Por ejemplo, la
factorizacion de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios
conjugados, y recíprocamente.
Son aquellos productos de expresiones algebraicas que se pueden resolver con la ayuda
de reglas generales y evitar que se hagan todas las operaciones de desarrollo.
Factorizacion por resolvente cuadratica y por cambio de variables
Existen varios metodos para resolver ecuaciones cuadraticas, y el metodo que se utilice
dependerá de la manera en la que la ecuacion se presenta, facilitando asi su solucion. En
este apartado se abordará especialmente la solución de ecuaciones cuadraticas completas
por el metodo de la factorizacion.
1) ¿Cuáles de los siguientes polinomios se le puede aplicar la técnica de factor
común para factorizarlo
. _a._x⁵ +10x⁴ -15x³
b._x⁸ -4 x³.
c) y³+4y²-y+2
A) X⁵ +10x4-15x3
X³(x²+10x-15)
B) X⁸ -4x³
X³(x⁵ -4)
C) Y³+4 y²-y+2 (no sé puede)
2) Ejercicio de factorización por producto notables
2. Existen diferentes técnicas de factorización
 Factorización de cuadrados perfectos

 Factorización de un trinomio de la forma (x+a)(x+b):x²+(a+b)x+a.b
 Factorización de la diferencia de dos cuadrados
De acuerdo a esto indica la técnica que se puede aplicar en la factorización
de las expresiones.
A) X²+4x+3
B) X⁴ -1
Solución
A) X²+ 4x+3
(A) (x+b): x²(a+b) x+ab
B) X⁴ -1
(X-a) (x-a) : x²- a²
X⁴ -1; (x²)²-1: (x²+1) (x²-1)
El factor de x²-1 es una diferencia de 2 cuadrados x²-1: ( x+1) (x-1)
X⁴ - 1 : (x²+1) (x²+1)
: (X²+1) (x+1) (x-1)
3) Factoriza el siguiente polinomio
16 y²-56y + 49
16 y²-56y+49 : (4y)²-56 y+(7)²
A :4y b:7 se cumple 2.ab : 2.(4y).7:56
16y²-56y+49: ( 4y-7) ².
4) Completa
Cuadrados perfectos
1²: 1 4²:16 7²:49
2²: 4 5²:25 8²:64
3²:9 6²:36 9²:81
Simplificación de fracciones algebraicas. Suma y resta de fracciones algebraicas
Simplificar una expresion algebraica consiste en escribirla de la forma mas sencilla
posible.
Ten en cuenta que para simplificar una expresion algebraica debes conocer:
_ Las operaciones matematicas basicas como suma, resta, multiplicacion y division
_ Conceptos de algebra como variables, coeficientes, potencias y paréntesis.
_ Operaciones con potencias

_ La prioridad o el orden de las operaciones.
Para sumar o restar fracciones algebraicas se procede de igual manera que con las
fracciones aritmeticas: Se encuentra el minimo común denominador y se realizan las
operaciones de forma similar. Para sumar y resta fracciones algebraicas con igual
denominador se escribe el mismo denominador y se suman los denominadores.
1) Simplifica la siguiente fracción algebraica
X³+ 2x²-x-2
X²-2x+1
A) factorizamos
A) Factorizamos
(X-1) (x+1) (x+2)
(X-1) (x-1)
B) Eliminamos factor común
(X-1) (x+1) (x+2): (x+1)(x+2)
(X-1) (x-1). X-1
Nota : x³+ 2x²-x-2; raíces o factor común
2) Demuestra que x²-3x : x-3
X²+3 x+3
X²-3x: X(x-3); x-3
X²+3. X(x+3): x+3
3) Dada las fracciones racional x²-4x+1 obtener por simplificación una equivalente
a ella. X² -4.
X²-4x+4: (x-2) ²
X² -4 (x+2) (x-2)
: (X-2) ².:. X-2
(X+2) (x-2): X+2
Entonces:
X²-4x+4: x-2
X²-4 X+2
4) Resolver:
A) X. + 3 x. : X+3x :. 4 x
X+1. X+1. X+1. X+1

B) . 1. + _1_ :
X-3. X+1
_ 1_ • (x+2) : x+2______
X -3 (x-3) (x+2)
__1__. (X-3) : x-3______
(X+2). (X+2) (x-3)
_1_. + _1__ : x+2______ + x-3
X-3. X+2. (X-3)(x+2). (X+2)(x-3)
: X+2+x-3 : 2x-1____
(X+2)(x-3) (x+2)(x-3)
Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Para multiplicar y dividir fracciones algebraicas se opera de la misma forma que con
fracciones numéricas.
La multiplicación de fracciones algébricas es otra fracción algebraica cuyo numerador
es el producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los
denominadores.
Para dividir dos fracciones algebraicas multiplicamos la primera por la inversa de la
segunda. También podemos obtener la división de dos fracciones algebraicas como otra
fracción algebraica cuyo numerador es el producto del numerador de la primera por el
denominador de la segunda, y cuyo denominador de la primera por el numerador de la
segunda.
Para dividir fracciones algebraicas se intercambia el numerador y el denominador de la
fracción que este a la derecha del signo de división y se procede como en la
multiplicación. Como en las operaciones de suma, resta y multiplicación, para realizar
la operación hay que tener en cuenta los ceros en los denominadores.
1. Multiplica las fracciones algebraicas
X²-2x. • x²+4x+4
X²-5x+6. X²-4
(X²-2x) •(x²+4x+4)
(X² -5x+6) (x²-4)
:X.(x-2) (x+2)²
(X-2) (x-3) (x-2) (+2)
X•(x+2)
(X-2)(x-3)
2 calcula _ 2__ ÷ _1____
X+y. X² - y²

_2__ • x²-y². : 2(x+y) (x-y); 2(x-y) : 2(x-y)
X+y. 1 ( x+y). 1
3) La respuesta del siguiente ejercicio es x+1. Demuestra que x+1 es el
ejercicio x-1. _X_
x-1_
.
Aplicamos:
X+1
X : x(x+1). : X+1.
X-1. X(x-1). X-1
X
Factorización por el método de Ruffini
Para factorizar con la regla de Ruffini, el procedimiento es parecido a la división,
ordenamos y completamos el polinomio, seleccionamos una posible raiz del polinomio
en el estudio, que por lo general, son múltiplos del termino independiente, ya sea positivos
ó negativos, ubicándolo como el paso 2 de división. Seguidamente se cumple con los
pasos 3 y 4, con la diferencia que el último resultado debe ser (0), de no ocurrir ésto se
debe intentar con otro número.
Consiste en escribir los polinomios en formas de factores. Anteriormente hemos
calculado como respuestas: 1, 2, 3 y 4. Quiere decir que, si sustituyes a x por los valores
1, 2, 3 y 4 el resultado seré igual a cero.
Como hacer una factorización aplicando la regla de Ruffini
Para realizar éste tipo de factorización debemos seguir los siguientes pasos:
_ Ordenar el polinomio en orden decreciente, en caso de que falle algún término dejamos
el espacio colocamos cero ya que el polínomio debe estar completo.
_Fijaros que el polinomio tenga término independiente; si no lo tiene sacar factor común
hasta conseguir el término independiente.
_Buscar todos los divisores del término independiente.
_Formar una tabla y colocar los coeficientes del polinomio.
_Colocar el primer divisor o raíz que se quiera usar en la esquina inferior izquierda, y
bajar el primer coeficiente tal cual esté. Para la selección de divisor debemos tener
presente que los números que vamos obteniendo o bajando los vamos a multiplicar por el
divisor y luego el resultado de la multiplicación lo haga que al final nos de resto cero.
_Luego de obtener la primera raiz, el proceso se repite con los nuevos coeficientes
obtenidos hasta que nos quede un solo coeficiente o hasta que no exista ninguna raíz que
haga que nos de resto cero (0).
1 calcular el cociente y el resto de dividir
X³ - 4x² - 11x+30 |c-5
Solución:

X³- 4x²- 11 x+30 = x²+x-6
1 – 4 -11 x + 30 = x²+x-6
5. __ 5. 5. -30
1 1. -6. 0
X³ - 4x³-11x+30 X-5______
X² + x-6.
2.determinar el cociente y el resto de división (x³-2x²+5x-6) ÷ (3x-1)
(⅓ x³ - ⅔ x² + ⁵ /3 x-2) : ( x-⅓)
⅓. - ⅔. ⁵ /3 -2
⅓ ⅑ -⁵ /27 ⁴ ⁰ /81
⅓. -⁵ /9. ⁴ ⁰ /27. -¹²²/81
C (x) : ⅓ x² - ⁵ /9 x+ ⁴ ⁰ /27
R(x)= -¹²²/81
R(x)= 3(-¹²²/81) =¹²²/81
3. Consideremos el polinomio p(x)=x³-5+7x-3. vamos a dividirlo entre x-2 y
verifiquemos que el resto obtenido es p(2)Solución
P(x) =x³- 5 x² + 7x -3
Aplicando la regla de ruffini
1 -5 7 -3
2. 2 -6. 2
1. -3 1 -1
Cociente = c (x) =x²-3x+1
Resto = R(x)=-1
Teorema
P(2)=2³-5(2)²+7(2)-3
=8-5.4+14-3=8-20+14-3
= -1
Se ratifica que r(x) =p(2)
4. El polinomio p(x):3x⁴ -11x³+4x²+20x-16 tiene a x=2 cómo una raíz doble .demostrar
P(x)=3x⁴ -11x³+4x²+20x-16
2 -11 4 20 -16

2_____ 6 -10. -12. 16
3. -5 -6. 8. 0
El 2 es raíz doble. Pero no es raíz del c(x)=3x²+x-4
Q(2): 3(2)²+2-4:10 / 0
Radiación suma y resta de radiaciones. Multiplicación y división de radicales.
Para sumar ( restar ) radicales es nesario que tengan el mismo índice y el mismo
radicando, cuando esto ocurre los coeficientes y se deja el radical.
Existen dos principios para combinar radicales sumando y restando: el índice y el
radicando. Si son los mismos, la suma y la resta son posibles. Si no, entonces no puedas
combinar dos radicales.
Entender una cadena de radicales podría ser dificil. Un consejo útil es pensar en los
radicales como variables y tratarlos de la misma manera.
Pensando en radicales como Variables
Los radicales pueden parecer confusos cuando se presentan como una cadena larga.
Mencionar que normalmente no verás radicales presentados en esta forma ...¡pero es una
manera útil para aprendar a sumar y restar radicales!)
Tratar radicales de la misma manera que tratar variables es una buena forma de comenzar.
Combinando los términos semejantes, puedes encontrar rápidamente que 3+2=5 y a+ 6a
= 7a. La expresión se puede simplicar como 5+7a +b..
1 . Efectuar las operaciones
A) ³√40 + ³√5 + ³√625
³√40 40 2. ³√40= ³√2³.5. 2³√5
20. 2. ³√625. 625. 5. ³√625=³√5⁴
10. 2. 125. 5 = ³√5³.5
5. 5 25. 5. = 5³√5
1 5. 5
5
³√40+⁵ √5+³√625= 2³√5+ ³√5 +5³√5
= (2+1+5)³√5=8³√5
2. √108 a⁵ - ³√24 a⁴ -√27ª

√ 108 a⁵ 108. 2 √108 a⁵ = √2².3³a⁵ = √2².3².3 a⁴ .a
27. 2 = 2.3 a² √3ª = 6 a² √3a
9. 3
3. 3.
1
3√24 a⁴ 24. 2 ³ √24ª ⁴ = ³√2³.3² a³ a : 2.a ³√3a
12. 2
6. 3
3. 3
1
√27ª 27. 3. √27 a. √ 3².3 a = 3√3a
9. 3
3. 3.
1
√108 a⁵ = ³√24 a⁴ = √27 a = 6 a² √3ª- 2 a ³√3a – 3√3 a
= (6 a² √3ª – 3√3 a ) – 2 a³√a
= ( 6 a² -3 ) √3 a – 2 a³√a
3 efectúa √3+√81 - √27
√3 =√3 √81 81 3 √27 27. 3
27 . 3 9. 3
9. 3 3. 3
1 1.
√3=√3 √81 =√3⁴ √27=√3³
=3.3. = 3√3
√3 + √81 - √27= √3+9- 3√3
=(1-3)√3+9
=(1+3)√3+9
=2√3+ 9

Expresiones conjugadas. Racionalización
El proceso de racionalización de denominadores suele consistir en la transformación de una
expresión con radicales en el denominador en una expresión equivalente que no los tiene. Es
una técnica muy popular y extendida tanto en la enseñanza media como en instancias
superiores.
Como desprende de los libros de texto ( y de nuestra propia experiencia docente )los ejemplos
tratados involucran expresiones con raíces cuadradas y el problema de racionalizar se lleva a
cabo introduciendo el conceptode conjugado. Llegados a esta instancia ya hemos trabajando en
forma profusa con todo tipode radicales y así, un alumno podría preguntarnos si tiene sentido
racionalizar la expresión.
1) hallar el producto en 3√8 a⁵ . 2√3 a⁵ .2√3a ²
3√8 a⁵ .2√3ª ² = 6√24 a⁷
= 6.√2².2.3 a⁶ .a
24. 2. = 6.2 a³ √2.3 a=12 a³ √6a
12. 2.
6. 2
3. 3
1.
2). Realizar. ³√2x⁴
⁴ √x2
³√2x⁴ -- m.c.m (-3,4):12
⁴ √4x²
³√2x⁴ = ¹²√(2x⁴ )⁴ = ¹² 16x¹⁶ = ¹² 1x¹⁰
⁴ √4x². ¹²√(4x²)³. 64x⁶ . 2²
= ¹². 1.2¹⁰ x¹⁰ . ¹². 2¹⁰ x¹⁰ . =. 1. ¹² 2¹⁰ x¹⁰
2² . 2¹⁰ . 2¹². 2
½ ⁶ . 2⁵ x⁵ = ½ ⁶ 32x5
3 ) Racionalizar el denominador en la expresión 3
1+√a+b
3 3____. 1 -√a+b = 3(1-√a+b)
1+√a+b = 1+ √a+b 1 -√a+b (1)²-(a+b)²
=.3-3√a+b
1-(a+b)