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Teoria y problemas de funciones cuadraticas ccesa007

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02-08-2017
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Función
Cuadrática
Prof. Cristina Antilef Robarte
Tercer año medio
DEFINICIÓN
• Una función cuadrática se def...
02-08-2017
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• La gráfica de toda función cuadrática es
una curva llamada parábola.
Elementos de la gráfica de una función...
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CONCAVIDAD
• La concavidad se refiere la abertura de las ramas
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Teoria y problemas de funciones cuadraticas ccesa007

  1. 1. 02-08-2017 1 Función Cuadrática Prof. Cristina Antilef Robarte Tercer año medio DEFINICIÓN • Una función cuadrática se define como f(x)=ax2 + bx + c donde a, b, c son reales y a≠0. a: coeficiente cuadrático b: coeficiente lineal c: coeficiente libre Para denotar la gráfica de la función hacemos f(x)=y, así y=ax2 + bx + c x: es la variable independiente y o f(x): es la variable dependiente
  2. 2. 02-08-2017 2 • La gráfica de toda función cuadrática es una curva llamada parábola. Elementos de la gráfica de una función cuadrática
  3. 3. 02-08-2017 3 CONCAVIDAD • La concavidad se refiere la abertura de las ramas de la parábola y se relaciona con el coeficiente cuadrático de f(x)=ax2 + bx + c donde a, b, c son reales y a≠0. • Así cuando: a>0 (+) La parábola será cóncava hacia arriba. a<0 (-) La parábola será cóncava hacia abajo (o convexa) • Para comparar la concavidad de las parábolas, debemos considerar que el valor absoluto de los coef. cuadráticos. • Cuando menor es |a| (valor absoluto de a), la parábola será más abierta, y viceversa.
  4. 4. 02-08-2017 4 Ejercicio: Analiza la concavidad de cada función cuadrática. CORTES CON EL EJE X (RAÍCES) • Sea f(x)=ax2 + bx + c con a≠0, la intersección de la parábola con el eje X está dada por las raíces de la ecuación cuadrática que se obtiene al hacer f(x)=0 Así, las soluciones x1 y x2 de ax2 + bx + c = 0 determina los cortes en los puntos (x1 , 0) y (x2 , 0)
  5. 5. 02-08-2017 5 Ejemplo: Determinar los cortes con el eje X de f(x)= x2 + x – 6 Pasos: 1° x2 + x – 6 = 0 2° Determinar raíces utilizando el método apropiado. 3° Indicar los puntos de corte con el eje X. • Una función cuadrática puede cortar al eje X en dos puntos, un punto, o puede no cortarla, para saber qué caso es, se debe calcular el discriminante D=b2-4ac. a>0 a<0
  6. 6. 02-08-2017 6 Ejercicio: Analiza en cuántos puntos corta la parábola dada por las funciones: 1 2 3 CORTES CON EL EJE Y • Sea f(x)=ax2 + bx + c con a≠0, para conocer el punto de corte de la parábola con el eje Y hacemos x=0, así: f(0)=a•02 + b•0 + c  f(0) = c Luego, el corte con el eje Y será el punto (0, c)
  7. 7. 02-08-2017 7 Ejemplo: Determinar el corte con el eje Y de f(x)= x2 – 4 Ejercicio: Analiza el punto de corte con el eje Y de las siguientes funciones. 1 2 3 4
  8. 8. 02-08-2017 8 VÉRTICE • El vértice de la función f(x)=ax2 + bx + c indica el punto máximo (o mínimo) que alcanza la función. VÉRTICE • El vértice de la función f(x)=ax2 + bx + c esta dado por el punto V=(Vx , f(Vx)) donde: a b Vx 2   Ejemplo: f(x) = x2 - 4x 1° Calcular la primera coordenada del punto Vx. 2° Reemplazar el valor de la primera coordenada en la función f(x). 3° Escribir el punto que corresponde al vértice. Notar si es punto mínimo o máximo.
  9. 9. 02-08-2017 9 VÉRTICE 2 2 4 12 )4( 2       xx V a b V Ejemplo: f(x) = x2 - 4x a= 1 b= -4 c= 0 1° Calcular la primera coordenada del punto Vx. 2° Reemplazar el valor de la primera coordenada en la función f(x). 242)2()( 2  fVf x 3° )4,2( V Punto mínimo, pues su concavidad es positiva. 84 4 Ejercicio: Calcula el vértice de las siguientes funciones, y decide si es punto mínimo o máximo: 1 2 3 xxxf 10)( 2  34)( 2  xxg 982)( 2  xxxh
  10. 10. 02-08-2017 10 • El eje de simetría de la función f(x)=ax2 + bx + c corresponde a la recta vertical, paralela al eje Y, que pasa por el vértice de la parábola y que la divide en dos partes simétricas. • La ecuación corresponde a : EJE DE SIMETRÍA a b x 2   EJE DE SIMETRÍA 2 4 8 22 )8( 2         x a b x Ejemplo: f(x) =-2 x2 - 8x + 5 a= -2 b= -8 c= 5 1° Reemplazamos en la ecuación: 2° Luego, la ecuación correspondiente al eje de simetría es: 2x
  11. 11. 02-08-2017 11 Ejercicio: Calcula el eje de simetría de las siguientes funciones: 1 2 3 xxxf 10)( 2  34)( 2  xxg 982)( 2  xxxh Ejercicio: Determina los 5 elementos de las siguientes funciones: 1 2 3 4 5

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