1.
Cálculo diferencial e integral de una variable
1
FUNCIONES
VARIAS
VARIABLES

2.
Cálculo diferencial e integral de una variable
AGENDA
• Función de dos variables .
• Dominio y rango
• Gráfica de una función varias
variables
• Curvas de nivel.
• Funciones de tres variables
• Límites y continuidad
• Derivadas parciales.
2

3.
Cálculo diferencial e integral de una variable
•Define el concepto de función real de dos y tres
variables.
•Determina el dominio de una función real y lo
representa gráficamente.
•Traza la gráfica de una función real de dos
variables reales.
•Relaciona la regla de correspondencia de una
función con su gráfica.
•Determina las curvas (superficies) de nivel de
una función real de dos (tres) variables.
3
OBJETIVOS

4.
Cálculo diferencial e integral de una variable
4
OBJETIVOS
MOTIVACIÓN
En la objetivación sistemática del desarrollo del mundo real
consensual usted ya experimentó la necesidad de expresar hechos
como: si fabricamos un producto este se encuentra en función de
dos o más características, políticas, atributos etc. A las que lo
llamamos variables independientes y podemos denotar con X1,
X2, X3,…,Xn. En particular consideremos, el costo total de un
producto el cual dependerá de los niveles de producción y/o de
servicio denotándolo por X1, X,2, específicamente X, Y.
Por ejemplo; el volumen de un cilindro depende de área de la base
y de su altura, el volumen de los gases es directamente
proporcional a su temperatura e inversamente proporcional a su
presión esto según la ley del comportamiento de los gases..

5.
Cálculo diferencial e integral de una variable
5
OBJETIVOS

6.
Cálculo diferencial e integral de una variable
6
Funciones de Varias Variables.
Definición: Una función f de dos variables es una regla
que asigna a cada par ordenado de números reales (x,y) de un
conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de
valores que toma f, es decir Dyxyxf ),/(),(

7.
Cálculo diferencial e integral de una variable
7
Funciones de Varias Variables.

8.
Cálculo diferencial e integral de una variable
8
Ejemplos.
1. Halle los dominios de las siguientes funciones y grafíquelos.
2
a) f(x,y) y x 
   2 2
4b) f x,y ln x y  
1Ln( x y)
c) f(x,y)
y x
 


2. Evalué la función del inciso (a) en f(0,0) ,f(1,1) y f(2,-1), en caso
sea posible. Justifique su respuesta.

9.
Cálculo diferencial e integral de una variable
9
Gráfica de una función de dos variables.
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio
D, entonces la gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z)
de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y) está en D.

10.
Cálculo diferencial e integral de una variable
10
Ejemplo
2. Grafique las siguientes funciones y determine el dominio y la
imagen.
2.-
2
( , )f x y y x 
.
22
0)(),( xyxyfDomyx  .
Es decir:  2 2
( , ) / 0Domf x y y x    Para esbozar el dominio graficamos 2
: xyC 

11.
Cálculo diferencial e integral de una variable
11
Ejemplo
3. Ejemplo. Grafique la función 22
9),( yxyxf  . Nos damos cuenta que el
dominio de la función está conformado por aquellos (x,y) tal que 2 2
9 0x y   , o
equivalentemente 2 2
9x y  .Es decir el dominio es la circunferencia de radio 3 y
centrado en el origen (incluido su frontera).
Para esbozar el gráfico observamos que z es positivo y que debe verificar la
igualdad 2 2 2
9x y z   . Solamente graficamos los z positivos, lo cual se reduciría
a la semiesfera superior.

12.
Cálculo diferencial e integral de una variable
12
Ejemplo
Observe que el gráfico es un subconjunto de 3
R que tiene la forma de una
superficie en el espacio. La proyección de la gráfica sobre el plano horizontal
coincide con el dominio de la función

13.
Cálculo diferencial e integral de una variable
13
Ejemplo
4. Ejemplo. Grafique la función 22
),( yxyxf  Observamos que el dominio es
todo 2
 , además z siempre es positivo. Esta gráfica corresponde a un paraboloide

14.
Cálculo diferencial e integral de una variable
14
Ejemplo
5. Ejemplo. Grafique la función ( , ) 3f x y  Para representar la función se pone z en
lugar de ( , )f x y con lo que tendríamos z=3, que es la ecuación de un plano
horizontal de 3
0
1
2
3
0
1
2 3
0
2
4
6
0
1
2
3
0
1
2 3

15.
Cálculo diferencial e integral de una variable
15
Ejemplo
3.2. CURVAS DE NIVEL DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES
Imaginemos que deseamos representar sobre un plano horizontal la topografía
de una región. Para esto disponemos de observaciones de distintos puntos del
terreno relativas a su altura sobre el nivel del mar. Se conoce además la posición
geográfica (latitud, longitud) de cada punto.
Podemos anotar esos niveles en un plano a escala y trazar posteriormente
líneas que unen puntos que tienen el mismo nivel. Estos conjuntos se llaman
curvas de nivel. El trazado de una curva de nivel tiene algo de subjetivo, pues
no conocemos exactamente la posición geográfica de todos los puntos que
tienen esa altura sobre el nivel del mar.
Las curvas de nivel define un mapa en el plano, en el que podemos identificar
los puntos altos y bajos del terreno, los valles, las zonas planas y los sectores de
fuerte pendiente.

16.
Cálculo diferencial e integral de una variable
16
Ejemplo
En otras palabras, este mapa entrega una gran cantidad de información sobre las
características de la topografía del lugar.
Formalmente, una curva de nivel de altura k es el subconjunto del dominio de la
función conformado por aquellos puntos ),( yx donde kyxf ),( . Esto quiere decir que
cuando el ),( yx se mueve sobre una curva de nivel la función se mantiene constante.
Es decir es el conjunto
 kyxfyfDomyxzyxCNK  ),()(),(:),,(

17.
Cálculo diferencial e integral de una variable
17
Ejemplo
La proyección de esta altura de contorno sobre el plano horizontal de coordenadas se
llama curva de nivel de altura k de la función f. Debemos tener cuidado al elegir
el valor del z adecuado para que el mapa traslade una clara visualización de la
superficie.
Las curvas de nivel son el conjunto de puntos del dominio donde la función es
constante, es decir las curvas de altura constante sobre la gráfica de la función. Las
curvas de nivel permiten representar superficies tridimensionales mediante un
mapa de plano.

18.
Cálculo diferencial e integral de una variable
18
Ejemplo
1. Ejemplos Usando las curvas de nivel esboce la gráfica de zyxyxf  22
),(
Solución
Nivel 0z  .La curva de nivel se reduce al punto (0,0).
Nivel 1z  .La curva de nivel es la circunferencia centrada en el origen y radio 1
Nivel 2z  , La curva de nivel es la circunferencia centrada en el origen y radio 2
Nivel 4z  . La curva de nivel es la circunferencia centrada en el origen y radio 4
Nivel 1z   . La curva de nivel es el conjunto vacío. O simplemente decimos
que no existe solución alguna.

19.
Cálculo diferencial e integral de una variable
19
Ejemplo
2. Ejemplos Usando las curvas de nivel esboce la gráfica de
zyxyxf ),(
Solución
Nivel 0z  ,La curva de nivel se reduce al punto (0,0)
Nivel 1z  ,La curva de nivel es un rombo de lado 1
Nivel 2z  , La curva de nivel es un rombo de lado 2
Nivel 4z  , La curva de nivel es un rombo de lado 4
Nivel 1z   . La curva de nivel es el conjunto vacío. O simplemente decimos
que no existe solución alguna.

20.
Cálculo diferencial e integral de una variable
20
Ejemplo
2. Ejemplos Usando las curvas de nivel esboce la gráfica de
zyxyxf ),(
Solución
Nivel 0z  ,La curva de nivel se reduce al punto (0,0)
Nivel 1z  ,La curva de nivel es un rombo de lado 1
Nivel 2z  , La curva de nivel es un rombo de lado 2
Nivel 4z  , La curva de nivel es un rombo de lado 4
Nivel 1z   . La curva de nivel es el conjunto vacío. O simplemente decimos
que no existe solución alguna.

21.
Cálculo diferencial e integral de una variable
21
Ejemplo
3. Ejemplos Usando las curvas de nivel esboce la gráfica de
22
),( yxyxf 
Solución
Nivel 0z  La curva de nivel se reduce al punto (0,0)
Nivel 1z  , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje y
Nivel 4z  , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje y
Nivel 1z   , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje x
Nivel 4z   , La curva de nivel es una hipérbola que no corta al eje x

22.
Cálculo diferencial e integral de una variable
22
Curvas de nivel.

23.
Cálculo diferencial e integral de una variable
23
O
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos
variables, son las curvas con ecuaciones f(x,y)=k, donde k es
una constante (que pertenece a la imagen de f).

24.
Cálculo diferencial e integral de una variable
24
Límites
3.3. LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
3.3.1 LIMITES
Comenzaremos el estudio de los límites para funciones de dos variables, el caso para
funciones de variables es análogo. Primero definimos el análogo a un intervalo
abierto de .
Definición Un disco ( , )D P  abierto, o simplemente un disco, de radio 0  y centro
en ( , )P a b es el conjunto de todos los puntos ( , )x y tales que su distancia a ( , )a b es
menor que , es decir
 2 2 2
( , ) ( , ) / ( ) ( )D P x y x a y b      
Si cambiamos la desigualdad < por un  obtenemos un disco cerrado.

25.
Cálculo diferencial e integral de una variable
25
Límites
Definición Sea 2
: (( , ), )f D a b    una función de dos variables definida en el disco
abierto (( , ), )D a b  , excepto posiblemente en ( , )a b . Entonces
( , ) ( . )
( , )
x y a b
Lim f x y

= L
Si, y sólo si, para cada 0 existe un correspondiente 0  tal que
2 2
( , ) , siempre que 0 ( ) ( )f x y L x a y b       
Lo que esta definición dice en términos intuitivos es que habrá un disco alrededor de
(a; b) para el cual los valores de la función estarán tan cerca del límite como queramos.
Gráficamente, esta definición significa que para un punto cualquiera ( , ) (( , ), )x y D a b  ,
el valor de ( , )f x y está entre L y L, tal como lo ilustra la figura

26.
Cálculo diferencial e integral de una variable
26
Límites
El principal problema a la hora de calcular un límite es cómo acercarnos al punto. Hay
muchas maneras (por rectas, parábolas, cubicas, etc). Pero como el límite ha de ser
siempre el mismo, podemos asegurar que tal no existe si el límite resulta diferente para
al menos dos modos de acercarse. Veamos esto en los ejemplos

27.
Cálculo diferencial e integral de una variable
27
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,455 0,759 0,829 0,842 0,829 0,759 0,455
-0,5 0,759 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
-0,2 0,829 0,989 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0 0,841 0,990 1,000 1,000 0,990 0,841
0,2 0,829 0,986 0,999 1,000 0,999 0,986 0,829
0,5 0,876 0,959 0,986 0,990 0,986 0,959 0,759
1 0,455 0,759 0,829 0,841 0,829 0,759 0,455
TABLA1 Valores de f(x,y)
-1,0 -0,5 -0,2 0 0,2 0,5 1
-1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
-0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
-0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000 -1,000
0,2 -0,923 -0,724 0,000 1,000 0,000 -0,724 -0,923
0,5 -0,600 0,000 0,724 1,000 0,724 0,000 -0,600
1 0,000 0,600 0,923 1,000 0,923 0,600 0,000
TABLA 2 Valores de f (x,y)
Límites
 
 2 2
2 2
1
sen x y
f (x,y)
x y



 
2 2
2 2
2
x y
g(x,y)
x y




28.
Cálculo diferencial e integral de una variable
28
Límites
Definición: Sea f una función de dos variables cuyo dominio
D incluye puntos arbitrariamente cercanos a (a,b). Entonces
decimos que el límite de f(x,y) cuando (x,y) se aproxima a (a,b)
es L y escribimos
tal que siempre que
y
0,0    f x,y L  
 x,y D    
2 2
0 x a y b     
   
 x,y a,b
lim f x,y L



29.
Cálculo diferencial e integral de una variable
29
Interpretación geométrica de los límites
X
Z
L
L  
L

30.
Cálculo diferencial e integral de una variable
30
Determina la no existencia del límite de una función real.
Definición: Si cuando por
una trayectoria C1 y cuando por
otra trayectoria C2,, donde , entonces
no existe.
  1f x,y L
1 2L L
   
 x,y a,b
lim f x,y

   x,y a,b
  2f x,y L    x,y a,b
a
b
y

31.
Cálculo diferencial e integral de una variable
31
Determina la no existencia del límite de una función real.
Ejemplo Calcule el limite
En este caso, si bien las funciones del numerador y el denominador son ambas
continuas, el cociente entre ambas no está definido en el origen. Para tratar de ver si
existe un límite, analizaremos primero los acercamientos por los ejes coordenados.
Veamos. Por eje x se tiene
22
2
)0;0();(
)(
lím
yx
yx
yx 


1lím
0
)0(
lím 2
2
022
2
)0;0()0;(



 x
x
x
x
xx
Y por el eje y se tiene .
Esto es alentador y parecería que deberíamos concluir que el límite existe y es 1. Sin
embargo, conviene analizar otros acercamientos al origen. Debemos recordar que
una sola coincidencia entre límites por distintos acercamientos no garantiza
nada; por el contrario, un solo caso de límite distinto prueba que no existe el
límite.
1
)(
lím
0
)0(
lím 2
2
022
2
)0;0();0(





 y
y
y
y
yy

32.
Cálculo diferencial e integral de una variable
32
Determina la no existencia del límite de una función real.
Normalmente, se suelen calcular a ese efecto los Límites Radiales, es decir por rectas
de la forma y = mx. Veamos
Este último valor depende de m; por lo tanto variará de acuerdo al camino de
acercamiento al origen. Como los límites no son todos iguales para todos los
acercamientos, se concluye que no existe el límite.
 
)1(
)1(
)1(
)1(
lím
)1(
)1(
lím
)(
)(
lím 2
2
22
22
022
2
022
2
)0;0();( m
m
mx
mx
mx
mx
mxx
mxx
xxmxx 












33.
Cálculo diferencial e integral de una variable
33
Determina la no existencia del límite de una función real.
Ejemplo: Calcule el límite
yx
x
yx  2
3
)0,0(),(
lim .
Acerquémonos al origen a través de rectas mxy  . En este caso tenemos
0limlimlim
2
02
3
02
3
)0,0(),(





  mx
x
mxx
x
yx
x
xxyx
Si )(xf

tuviera límite, tiene que ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de
trayectorias, como por ejemplo con 32
xxy  tenemos
1limlim 322
3
02
3
)0,0(),(



  xxx
x
yx
x
xyx
Luego el límite no existe.

34.
Cálculo diferencial e integral de una variable
34
Determina la no existencia del límite de una función real.
Ejemplo Calcule el límite 22
3
)0,0(),( yx
yxy
lim
yx 


Acerquémonos al origen a través de rectas mxy  . En este caso tenemos
)1()1(
lim
)1(
limlim
3
02
332
022
3
)0,0(),( m
m
m
xmm
mx
xmmx
yx
yxy
xxyx 










Se ve que el límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.

35.
Cálculo diferencial e integral de una variable
Ejemplos
35
6. Muestre que no existe
    2 40 0x ,y ,
xy
lim
x y 
7. Muestre que no existe
    2 20 0x ,y ,
xy
lim
x y 
5. Muestre que no existe
   
2 2
2 20 0x ,y ,
x y
lim
x y



36.
Cálculo diferencial e integral de una variable
36
Propiedades
Si
( , ) ( . )
( , )
x y a b
Lim f x y L

 y
( , ) ( . )
( , )
x y a b
Lim g x y M

 , además 𝑘 = 0 Entonces
1)
( , ) ( . ) ( , ) ( . )
( , ) ( , )
x y a b x y a b
Lim kf x y k Lim f x y kM
 
 
2)  ( , ) ( . ) ( , ) ( . ) ( , ) ( . )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x y a b x y a b x y a b
Lim f x y g x y Lim f x y Lim g x y L M
  
    
3)  ( , ) ( . ) ( , ) ( . ) ( , ) ( . )
( , ). ( , ) ( , ). ( , ) .
x y a b x y a b x y a b
Lim f x y g x y Lim f x y Lim g x y L M
  
 
4)
( , ) ( . )
( , ) ( . )
( , ) ( . )
( , )
( , )
, 0
( , ) ( , )
x y a b
x y a b
x y a b
Lim f x y
f x y L
Lim M
g x y Lim g x y M



 
   
 

37.
Cálculo diferencial e integral de una variable
37
Continuidad
Definición: Una función f de dos variables, se denomina
continua en (a,b) si
Decimos que f es continua en D si f es continua en todo punto
(a,b) de D
   
   bayxf
bayx
,,lim
,,


Nota:
Las funciones polinomicas y racionales son continuas en su dominio
   
   
2 2
1 2
2 2
2 21 0
x ,y ,
x ,y ,
lim x xy y
x y
lim
x y


   



38.
Cálculo diferencial e integral de una variable
38
3.3.2. CONTINUIDAD
Sea  2
: Df una función de dos variables, sea DbaP  ),( y sea
),( PD un disco abierto centrado en P y de radio  . Decimos que f es
continua en ),( baP  si
( , ) ( . )
( , )
x y a b
Lim f x y

),( baf . Y decimos que f es continua en la
región si es continua en cada punto de la región
En la práctica, esto se sintetiza en: f es continua en (a,b) si:
a) f (a , b) está definido
b)
( , ) ( . )
( , ) existe
x y a b
Lim f x y

c)
( , ) ( . )
( , )
x y a b
Lim f x y

),( baf

39.
Cálculo diferencial e integral de una variable
39
Ejemplo Analizar la continuidad en el origen de







)0,0(),(,0
)0,0(),(,
),( 22
2
yx
yx
yx
yx
yxf

40.
Cálculo diferencial e integral de una variable
40
3.3.DERIVADA EN VARIAS VARIABLE
3.4.1. DEFINICIÓN
Recordemos que la gráfica de ),( yxfz  representa una superficie S . Si cbaf ),( ,
entonces el punto ),,( cbaP  está sobre la superficie S . El plano vertical by 
interseca a la superficie S en la curva 1C (es decir, 1C es la traza de la superficie
S sobre el plano by  ) De manera semejante, el plano vertical ax  interseca
a la superficie S en la curva 2C . Ambas curvas pasan se intersecan en el punto P .
Observe que: 1C es la gráfica de la función ),( bxg de manera que la pendiente de su
recta tangente 1T en el punto P es: ),()( bafag x

41.
Cálculo diferencial e integral de una variable
41
2C Es la gráfica de la función ),()( yafyg  así que la pendiente de su tangente 2T en e
punto P es ),()( bafbg y
De estas observaciones notamos que las derivadas parciales ),( bafx y ),( bafy puede
interpretarse geométricamente como las pendientes de las rectas tangentes a la
curvas 1C y 2C en el punto P , respectivamente. Estas pueden ser también ser vista
como razones de cambio. Es decir, xf representa la razón de cambio de con respect
a x , cuando y permanece fija. De manera semejante, yf representa la razón de cambi
de con respecto a y , cuando permanece fija.

42.
Cálculo diferencial e integral de una variable
42
Derivadas parciales.
Sea z=f(x,y), definida en el dominio D del plano XY y sea
(x0 ,y0) un punto de D. La función f(x, y0) depende
solamente de x y está definida alrededor de x0.
Si la derivada existe, el valor
de la derivada es llamado
derivada parcial de f(x,y),con
respecto a x en el punto
(x0,y0) y se denota por
 
 00 ,
00,
yxx
z
óyx
x
f





43.
Cálculo diferencial e integral de una variable
43
Definición de derivada parcial con respecto a x.
 
   0 0 0 0
0 0
0x
f x x,y f x ,yf
x ,y lim
x x 
  

 

44.
Cálculo diferencial e integral de una variable
44
Del mismo modo, la derivada de f con respecto a
y en (a,b) , denotada por fy(x0 ,y0), se obtiene
dejando x fija (x=x0).
   
   0 0 0 0
0 0 0 0
0
y
y
f x ,y y f x ,yf
f x ,y x ,y lim
y y 
  
 
 
Definición de derivada parcial con respecto a y.

45.
Cálculo diferencial e integral de una variable
45
Ejemplos
Ejemplo Halle la derivadas parciales de, . Aplique la definición
Veamos
2 3
( , )f x y x y
 
 
2 3 2 3
3 3 3
0 0 0
( , ) ( , )
lim lim lim 2 2
h h h
x h y x yf f x h y f x y
xy hy xy
x h h  
   
    

2 3 2 3
2 2 2 2 3 2 2
0 0 0
( , ) ( , ) ( )
lim lim lim(3 3 ) 3
h h h
f f x y h f x y x y k x y
x y x yh x y x y
y h h  
    
     


46.
Cálculo diferencial e integral de una variable
46
Ejemplos
Ejemplo Halle la derivadas parciales de
En el origen de coordenadas
En este caso es conveniente aplicar la definición de derivada en el punto . Ya que
si calculamos las derivadas parciales y en ella sustituimos, nos encontramos con una
determinación.
2 2
; ( , ) (0,0)
( , )
0 ; ( , ) (0,0)
xy
x y
x yf x y
x y


 
 
(0,0)P
2 2
0 0 0
.
0
(0 ,0) (0,0) ( ,0) (0,0) 0(0,0) lim lim lim 0
h h h
h o
f f h f f h f h
x h h h  

       

2 2
0 0 0
0.
0
(0,0 ) (0,0) (0, ) (0,0) 0(0,0) lim lim lim 0
k k k
k
f f k f f k f k
y k k k  

       


47.
Cálculo diferencial e integral de una variable
47
3.4.2 REGLA PARA CALCULAR LAS DERIVADAS PARCIALES
 Para calcular xf considere a y como una constante y derive a ),( yxfz  con
respecto a x.
 Para calcular yf considere a xcomo una constante y derive a ),( yxfz  con
respecto a y
Apliquemos esto en el siguiente ejemplo
Ejemplo Para hallemos
En efecto
2 2
( ) xy
z x y e
  x yf y f
2 2 2 3
2 2 3 2
2 ( )( ) (2 )
2 ( )( ) (2 )
xy xy xy
x
xy xy xy
y
z
f xe x y ye x x y y e
x
z
f ye x y xe y x xy e
y
  
  

       


       


48.
Cálculo diferencial e integral de una variable
48
RECTA TANGENTE
Si por el punto hacemos pasar los planos , entonces
estos intersecan a la superficie formándose, respectivamente, las
curvas , las que a su vez se cortan en
Ahora interpretemos geométricamente las derivadas parciales
es la pendiente de la recta , que es la tangente a en el punto
. De ahí que la ecuación de esta recta esta dad por
0 0( , )x y U 1 0 2 0: :y y y x x  
: ( , )S z f x y
1 0 2 0: ( , ) : ( , )z f x y y z f x y C C
 0 0 0 0, , ( , )x y f x y
0 0( , )
f
x y
x

 1L 1C
 0 0 0 0, , ( , )x y f x y
  10 0 0 0
1
20
( , ) ; : ( ,0, 1)
:
; : (0,1,0)
x
f
z z x y x x plano con normal n f
xL
y y plano con normal n

    

  

49.
Cálculo diferencial e integral de una variable
49
Donde el vector dirección de es
Similarmente, es la pendiente de la recta , que es la tangente a en
el punto
.
De ahí que la ecuación de esta recta tangente es
Donde el vector dirección de es
1L 1 2 0 01,0, ( , )
f
a n n x y
x
 
    
 
0 0( , )
f
x y
x

 2L 1C
 0 0 0 0, , ( , )x y f x y
  10 0 0 0
2
20
( , ) ; : (0, , 1)
:
; : (1,0,0)
y
f
z z x y y y plano con normal n f
yL
x x plano con normal n

     
  
2L 2 1 0 00,1, ( , )
f
b n n x y
y
 
    
 

50.
Cálculo diferencial e integral de una variable
50
Vector Normal y Plano tangente
Los vectores tangentes: generan un plano que es tangente a la
superficie S en el punto , cuya normal es el vector dado por
. De ahí que la ecuación del plano tangente a la superficie en
el punto , es
Gráficamente
a y b
 0 0 0 0, , ( , )x y f x y
 , , 1x yn b a f f   
 0 0 0 0, ,Q x y z
     0 0 0: , , 1 . , , , , 0tg x yf f x y z x y z     

51.
Cálculo diferencial e integral de una variable
51
Definición. Se llama recta normal a una superficie a la recta que pasa por un punto P y
es perpendicular al plano tangente. La ecuación está dada por
Nota: Si la superficie está definida de manera implícita por la ecuación: ,
entonces la ecuación del plano tangente en un punto de la superficie
viene definido por la ecuación,
:
La ecuación de la recta normal esta dado por:
0 0 0
1
P P
x x y y z z
z z
x y
  
 
    
       
( , , ) 0F x y z 
0 0 0( , , )P x y z
     0 0 0: , , . , , , , 0tg x y zF F F x y z x y z    
     
0 0 0
x zyP PP
x x y y z z
F FF
  
 

52.
Cálculo diferencial e integral de una variable
52
Ejemplo Halle la ecuación del plano tangente al paraboloide en el punt
.
El vector gradiente está dado por con lo cual el vector normal e
y la ecuación del plano tangente
Simplificando
2 2
4z x y  
(0,1,3)P 
( , , ) (2 ,2 ,1)F x y z x y 
(0,2,1)n 
0.( ) 0 (0,2,1).( , 1, 3) 0n P P x y z     
2 5y z 

53.
Cálculo diferencial e integral de una variable
53
Ejemplo Determine la ecuación del plano tangente y la recta normal al hiperboloide de
dos mantos en el punto .
Haciendo tenemos que Por tanto,
la ecuación del plano tangente es
Por otro lado, la ecuación de la recta normal es:
2 2 2
1z x y   (1, 2, 6) 
2 2 2
( , , ) 1F x y z z x y    ( , , ) ( 2 , 2 ,2 )F x y z x y z   
( 2,4, 2 6).( 1, 2, 6) 0x y z     
2 6 0x y z   
1 2 6
2 4 2 6
x y z  
 
 

54.
Cálculo diferencial e integral de una variable
54
Ejemplo Halle el o los puntos de la esfera en los cuales el plano
tangente es paralelo al plano.
Solución
Sea uno de estos puntos, entonces por estar en la esfera ocurre que
.Por otro lado, por ser el plano tangente a la esfera en el punto
y el plano paralelos, sus vectores normales son paralelos, es
decir
Entonces se tiene el siguiente sistema de ecuaciones
2 2 2
4x y z  
4x y z  
( , , )P a b c
2 2 2
4a b c  
4x y z  
(2 ,2 ,2 ) (1,1,1)a b c 
2 2 2
4a b c
a
b
c



  




55.
Cálculo diferencial e integral de una variable
55
De donde obtenemos que los puntos que buscamos son:    
2 2
1,1,1 1,1,1
3 3
y


56.
Cálculo diferencial e integral de una variable
56
Ejemplos
1. Si f(x,y)=4-x2-2y2, encuentre fx(1,1), fy (1,1), e
interprete estos números como pendientes.
3 2 2
a)f(x,y) (x y ) 
2y
b)f(x,y) xe ysenx
 
3 2x
c)f(x,y,z) xe z xz ln(yz)  
2. Obtenga las primeras derivadas parciales de f

57.
Cálculo diferencial e integral de una variable
57
Derivadas parciales respecto a x y a y.

58.
Cálculo diferencial e integral de una variable
58
3.4. DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR.
En las segundas derivadas parciales usaremos la siguiente notación
2
222
2
2
)()()()(
y
f
y
f
y
f
yx
f
y
f
x
f
xy
f
x
f
y
f
x
f
x
f
x
f yyyxxyxx
































Regla de la cadena.
Suponga que es una función diferenciable de x e y, donde
son funciones diferenciables de . Entonces
( , )z f x y
( , ), ( , )x g s t y h s t  s y t
;
z z x z y z z x z y
s x s y s t x t y t
         
   
         

59.
Cálculo diferencial e integral de una variable
59
Ejemplos:
1) Si , donde , halle en
Solución.
No es necesario sustituir las expresiones para x y y en términos de t .
Simplemente observamos que cuando tenemos
por tanto.
.
2 4
3z x y xy  2 ; cosx sen t y t 
z
t


0t 
     4 2 3
2 3 2cos2 12
z z x z y
xy y t x xy sent
t x t y t
    
      
    
0t 
(0) 0, cos(0) 1x sen y   
0
(0 3)(2cos0) (0 0)( 0) 6
t
dz
sen
dt 

     

60.
Cálculo diferencial e integral de una variable
60
1) La presión P (en kilo pascales), el volumen V (en litros), y la temperatura T (en
grados kelvin), de un mol de un gas ideal están relacionados por la ecuación
. Encuentre la razón a la que cambia la presión cuando la
temperatura es de 300 K y aumenta a razón de 0.1 K/s y el volumen es 100 L
y crece a razón de 0.2 L/s.
Solución.
Si t representa el tiempo transcurrido en segundos, entonces en el instante
dado tenemos . Como
La regla de la cadena da
La presión esta decreciendo a razón de unos 0.042 kPa/s.
8.31PV T
300, 0.1, 100 , 0.2
dT dV
T V
dt dt
   
8.31
T
P
V

2
2
8.31 8.31
8.31 8.31(300)
(0.1) (0.2) 0.04155
100 100
dP P dT P dV dT T dV
dt T dt V dt V dt dtV
 
   
 
   

61.
Cálculo diferencial e integral de una variable
61
1) Si tiene derivadas parciales continuas de segundo orden y
, encuentre :
a.
b.
Solución:
a ) la regla de la cadena da
b ) Al aplicar la regla de la cadena a la expresión de la parte (a), obtenemos
Pero, usando otra vez la regla de la cadena, tenemos
( , )z f x y
2 2
, 2x r s y rs  
z
r


2
2
z
r


(2 ) (2 )
z z x z y z z
r s
r x r y r x y
      
   
      
2
2
2 2
2 2 2 ...........( )
z z z
r s
r x yr
z z z
r s
x r x r y
    
  
    
      
     
       

62.
Cálculo diferencial e integral de una variable
62
Poniendo estas expresiones en la ecuación y usando la igualdad de las
derivadas mixtas de segundo orden, obtenemos
2 2
2
2 2
2
(2 ) (2 )
(2 ) (2 )
z z x z y
r x x x r y x r
z z
r s
y xx
z z x z y
r y x y r y y r
z z
r s
x y y
            
      
            
 
 
 
            
      
            
 
 
  
( )
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 4 8 4
z z z z z z
r r s s r s
x y x x yr x y
z z z z
r rs s
x x yx y
        
       
         
   
   
   

63.
12/09/2015 63