1.
UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREAL
FIGAE
CURSO: FISICA I
ANALISIS VECTORIAL
DEMETRIO CCESA RAYME

2.
Objetivos: Después de completar
este módulo, deberá:
• Definir y dar ejemplos de cantidades escalares
y vectoriales.
• Determinar los componentes de un vector
dado.
• Encontrar la resultante de dos o más vectores.

3.
I. INTRODUCCIÓN
• Es una parte esencial de la matemática útil para
físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos.
• Constituye una noción concisa y clara para
presentar las ecuaciones de modelo matemático
de las situaciones físicas
• Proporciona además una ayuda inestimable en la
formación de imágenes mentales de los
conceptos físicos.

4.
II. VECTORES Y ESCALARES
1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse
necesitan de un número real y su
correspondiente unidad. Ejm: La masa; el tiempo;
la temperatura.

5.
II. VECTORES Y ESCALARES
1. VECTORES: Aquellas que para expresarse
necesitan de una magnitud, una dirección y un
sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la
fuerza, etc.
El desplazamiento
es una cantidad
vectorial
independiente de la
trayectoria entre
dos puntos

6.
II. VECTORES Y ESCALARES
3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una
magnitud, múltiples direcciones y
sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y
cortante, la presión

7.
III. VECTOR
• Ente matemático cuya determinación exige el
conocimiento de un módulo una dirección y un
sentido.
• Gráficamente a un vector se representa por un
segmento de recta orientado
• Analíticamente se representa por una letra con una
flecha encima.
OP

8.
Elementos de un vector
1. Dirección:
Gráficamente se representa por la recta soporte.
En el plano por un ángulo y en el espacio mediante
tres ángulos

9.
III. Elementos de un vector
2. sentido: Es el elemento
que indica la orientación
del vector. Gráficamente
viene representada por la
cabeza de flecha.
3. Magnitud : Representa el
valor de la magnitud física
a la cual se asocia.
Gráficamente viene
representado por la
longitud del segmento de
recta

10.
IV. Clase de vectores
1. Vectores libres : Aquellos que no tienen un
aposición fija en el espacio. Tal cantidad se
representa por un número infinito de vectores
que tienen la misma magnitud, dirección y
sentido.
2. Vectores deslizantes: Aquellos que tienen una y
solo una recta a lo largo de la cual actúan.
Pueden representarse por cualquier vector que
tenga sus tres elementos iguales ubicado en la
misma recta.
3. Vectores fijos. Aquellos que tienen uno y solo un
punto de aplicación

11.
V. Algebra vectorial
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres
elementos idénticos
2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma
magnitud y dirección pero sentido opuesto

12.
Suma de vectores: M del Paralelogramo
1. Una los puntos iniciales de los vectores
conservando sus elementos
2.Construya un paralelogramo teniendo como
lados a los vetores.
3. Trace la diagonal y orientele
4. Mida la longitud y el ángulo del
vector resultante

13.
Algebra vectorial: Suma vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la
regla del paralelogramo o del triángulo .

14.
Algebra vectorial: Suma vectorial
• La magnitud de la resultante R se determina
mediante la ley de cosenos.
• La dirección mediante la ley de senos
2 2
2 cosR A B A B   
( )
AR B
sen sen sen   
 


15.
Algebra vectorial: Resta vectorial
• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la
regla del paralelogramo o del triángulo .

16.
Algebra vectorial: Resta vectorial
• La magnitud del vector diferencia D es
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 22 2
2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B        
( )
AD B
sen sen sen  
 

17.
Leyes del algebra vectorial
1. Conmutatividad.
2. Asociatividad

18.
Multiplicación de un escalar por un
vector
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un
vector . El producto es un nuevo vector . La
magnitud del vector producto es c veces la magnitud del
vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma
dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el
vector producto es de sentido opuesto a
cA

19.
Propiedades de la Multiplicación de un
escalar por un vector
1. Ley asociativa para la multiplicación.
Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe
2. Ley distributiva para la adición vectorial.
si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma
de dos vectores se tiene

20.
Propiedades de la multiplicación de un
escalar por un vector
3. Ley distributiva para la suma escalar.
Si b y c son la suma de dos escalares por el
vector A se tiene

21.
SUMA DE VARIOS VECTORES
Para sumar varios vectores se utiliza la ley del
polígono. Esto la aplicación sucesiva de la ley del
paralelogramo o del triángulo. Es decir
   a b c d 0

22.
VI. VECTOR UNITARIO
• Es un vector colineal con el vector original
• Tiene un módulo igual a la unidad
• Se define como el vector dado entre su modulo
correspondiente es decir
ˆA
A
e
A

ˆAA A e

23.
VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES
• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna
vectores unitarios
• Cada uno de estos vectores unitarios tienen
módulos iguales a la unidad y direcciones
perpendiculares entre sí.
ˆˆ ˆ, ,i j k
ˆˆ ˆ 1i j k  

24.
Repaso de trigonometría
• Aplicación de trigonometría a vectores
y
x
R

y = R sen 
x = R cos cos
x
R
 
tan
y
x
  R2 = x2 + y2
Trigonometría
sen
y
R
 

25.
VII. DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Cualquier vector puede descomponerse en infinitas
componentes. El único requisito es que La suma
de esta componentes nos de le vector original. La
descomposición pude ser en un plan o en el
espacio.
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO

26.
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
1. EN DOS DIRECIONES PERPENDICULARES EN EL PLANO
ˆ ˆ
ˆ ˆcos
ˆ ˆ(cos )
ˆ
ˆ ˆˆ (cos )
x y
x y
A
A
A A A
A A i A j
A A i Asen j
A A i sen j
A Ae
e i sen j
 
 
 
 
 
 
 

 
2 2
x yA A A 
y
x
A
Atg 

27.
Suma de varios vectores en forma de
componentes
• Rx = Ax + Bx
• Ry = Ay + By
Se descompone cada
uno de los vetores en
componentes y
posteriormente se
suma
 
   2 2 2 1
cos , .x
x y z
R
R R R R etc
R

28.
Signos de las componentes de las
componentes vectoriales
4to quadrante3rd
Cuadrante
2do
Cuadrante
1er
Cuadrante

29.
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
2. EN DOS DIRECIONES NO PERPENDICULARES EN EL
PLANO.
Para ello trace rectas paralelas y a las originales que pasen
por el extremo del vector original formándose un
paralelogramo cuyos lados son las componentes
a a b bA A A  

30.
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio. Cualquier vector puede
descomponerse en tres componentes

31.
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
3.En el espacio.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
  
  
  
  
  
  
  

  
2
2 2 2
x y zA A A A  
cos xA
A 
cos yA
A 
cos Az
A 

32.
VECTOR POSICIÓN
Aquel vector trazado desde el observador hasta
el punto de ubicación instantanea del cuerpo
ˆˆ ˆr OP xi yj zk   

33.
VECTOR POSICIÓN RELATIVO
1 2 1 2 1 2
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k      

34.
VIII. PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de dos
vectores denotado por y expresado A
multiplicado escalarmente B, se define como el
producto de las magnitudes de los vectores A y B
por el coseno del ángulo que forman ellos.
A y B .A B

35.
Propiedades del producto escalar
1. El producto escalar es conmutativo
2. El producto escalar es distributivo
3. Producto de un escalar por el producto escalar
4. Producto escalar entre la suma de dos vectores
por un tercer vector

36.
Propiedades del producto escalar
4. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales
5. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes.
6. Producto escalar de dos vectores

37.
Propiedades del producto escalar
7. Producto escalar de dos vectores en forma de
componentes
.
Entonces tenemos
8. Si el producto escalar de dos vectores es nulo.
Entonces dichos vectores son perpendiculares
. 0A B A B  

38.
INTERPRETACIÓN DEL PRODUCTO ESCALAR
Geométricamente esta situación se muestra en la
figura

39.
VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL
• Considere los vectores a y b mostrados
2 2
2
.( ) 0 ( ). 0
( . ) 0
.
c rb a rb rb
r a b r b
a b
r
b
   
 

2
.
Pr ( ) [ . ]
ˆ ˆPr [ . ]
b
b bb
a b b b
oy a rb b a
b b b
oy a a e e
  


40.
IX. PRODUCTO VECTORIAL
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores A y
B, es un tercer vector el cual es perpendicular al plano
formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al
producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del
ángulo entre ellos y su sentido se determina mediante la
regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es
C

41.
REGLA DE LA MANO DERECHA
a. Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo
índice con el primer vector, el dedo corazón el segundo
vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto
de ambos.
b. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha
tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo;
el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.

42.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1. El producto vectorial no es conmutativo
AxB BxA
AxB BxA 
BxA C 

43.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
2. El producto vectorial es distributivo

44.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
3. Multiplicación de un escalar por el producto
vectorial.

45.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios

46.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
5. El producto vectorial de dos vectores en
componentes es
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )
x y z
x y z
y z z y x z z x x y y z
i j k
AxB A A A
B B B
AxB i A B A B j A B A B k A B A B

     

47.
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
6. La magnitud del producto vectorial es igual al
área del paralelogramo que tiene a los vectores A
y B
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores
son paralelos.
( ) ( )
Area AxB
Area A Bsen A h

 

48.
Ejemplo 01
Halle el vector unitario perpendicular al plano
formado por los vectores
Usando (a) el producto escalar y (b) el producto
vectorial.
ˆ ˆ ˆ ˆ2 6 3 4 3A i j k B i j k     