La Derivada de una Función Real y sus
Aplicaciones
Demetrio Ccesa Rayme

La derivada
Pendiente y Razones
La derivada

¿Cómo determinas la pendiente de la recta tangente a la
gráfica de la función y=x2 en x=1 ó x=2 ó en cualquier
otro punto?
¡Primeras Ideas!
Empecemos por
la pendiente de la
recta secante a la
gráfica de una
función y = f(x)
en x=xo.        






x
y

x
y
0x
)( 0xf
)( 0 hxf +
hx +0
h
0
h
hx +
)( 0 hxf +

6
x
y
0x
)( 0xf)( 0xf
x0
Tangente!!!

En el límite, cuando h  0, la recta secante se
confunde con la recta tangente en x0, y podemos decir
que:
Pendiente de la recta secante
Note que:
   0 0
SL
f x h f x
m
h
+ 

   0 0
0 0
lim limT SL L
h h
f x h f x
m m
h 
+ 
 
Pendiente de la recta tangente

Razón de Cambio
Recuerde que el cociente
se llama razón de cambio
promedio de y respecto a x.
Del gráfico ¿cuál es la razón de
cambio promedio de y al emplear
i) De x = 1 a x = 4 operarios?
ii) De 1 a 3?
iii) De 1 a 2?
01
01 )()(
xx
xfxf
x
y





Número de docenas de
pantalones producidos
diariamente.
Número de
operarios.
5.5
1.5
*

x0 h x1
f(x1)
f(x0) *
Razón de cambio instantánea
se llama razón de cambio instantánea
de y con respecto a x en x = x0.
h
xfhxf
x
y )()( 00 +



Note que si x1 = x0 + h
h
xfhxf
x
y
hx
)()(
limlim 00
00
+




entonces

La derivada de la función f respecto de la variable x, en
x0 se denota por f ´(x0) y se define por:
La Derivada en un valor xo
Se dice que f (x) es derivable en x0 si existe f ´(x0). Al
proceso de calcular la derivada se le denomina derivación.
 
   0 0
0
0
lim
h
f x h f x
f x
h
+ 
 
)()(´ oo xf
dx
d
xf Notación:

La derivada de
una función f en
x0 es:
Pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la
función f en x0
La razón de cambio
instantánea de la función f
en x0
   0 0
0
lim
h
f x h f x
h
+ 

La derivada de la función f respecto de x se denota por f ´
se define por:
f ´(x) =
La f en cualquier x
Se dice que f (x) es derivable en x si existe f ´(x)
h
xfhxf
lím
h
)()(
0
+

y
dx
d
yxf
dx
d
xf  ´)()(´Notación

1. Usando la definición, determine las expresiones de
la derivada de las siguientes funciones:
a) f (x) = x b) f (x) = x2
c) f (x) = x -1
Ejemplo
2. Obtenga la ecuación de la recta tangente a las gráficas
de las funciones en x = 2:
a) f (x) = x2
b) f (x) = x -1

Si una función f es derivable en el punto P(x0; f(x0)),
entonces la gráfica de y = f (x) tiene una tangente no
vertical en P y en todos los puntos “cercanos” a P.
Derivabilidad y continuidad
Esto indica que una función f es continua en cualquier
punto donde sea derivable, ya que una gráfica no puede
tener un “hueco” o “vacío” en ningún punto donde pueda
dibujarse una recta tangente.

Es importante saber que: una función continua no
necesariamente es derivable en todos los puntos.
1/3
La gráfica de la curva
presenta una línea tangente vertical
en 0
y x
x


2/3
La gráfica de la curva
presenta una cúspide en 0
y x
x


La gráfica de la curva
presenta un punto ánguloso
cuando 0
y x
x


Se muestra la gráfica de tres funciones continuas en x=0,
pero a pesar de ello, no son derivables en x = 0

       





x
y
Para la función f(x) = x2, ¿alrededor de qué punto (1; 1) o
(2; 4), la gráfica cambia con mayor rapidez?
       





x
y
       





x
y
Ejemplo

Ejemplo
Dado el gráfico de la función f.
Ordene de menor a mayor los siguientes valores: f ´(1),
f ´(2), f ´(4) y f ´(5,8)

18
4. Si f(x) = mx + b, entonces f´(x) = m
3. Sea f(x) = xn, entonces:
  1
 n
nxxf
n
1. Sea f(x) = k, entonces:
  0 xf
k
D (c) = 0x
2. Sea f(x) = x, entonces:
  1 xf
Fórmulas de derivación

Reglas de Derivación
Si f y g son funciones diferenciables y c es una constate,
entonces:
5.
6.
 ( ) ( )
d
c f x c f x
dx
  
  )´()´()()( xgxfxgxf
dx
d

7.
8.
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
d
f x g x f x g x g x f x
dx
    + 
 
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d f x f x g x g x f x
dx g x g x
     
 
 

9. Si y , entonces la regla
de la cadena se define por:
 n
xgxf )()( 
  )()()(
1
xgxgnxf
n
 
n
10. Si f y g son funciones derivables y 
y  son constantes se tiene que:
        xgxfxgxf +

+ 

La función
Exponencial
y=ex
1 e
e
1
y = ex
y = ln x
x
y La función
Logaritmo natural
y= Ln(x)
Definición:
Si x es cualquier número real, entonces
Ln y = x si y sólo si ex = y

Derivada de funciones exponenciales
i)
ii)
Derivada de funciones logarítmicas
i)
ii)
x
xfxxf
1
)(;ln)( 
   
 xgexfexf xgxg
 )(;)(
   )(
)(
1
)(;ln)( xg
xg
xfxgxf 
xx
exfexf  )(;)(
Derivadas de funciones Exp y Ln

LA DERIVADA
EN EL
ANALISIS DE
FUNCIONES
(OPTIMIZACIÓN)

TEOREMA
f ’(c) = 0
Si c es un punto de extremo local de f,
entonces

PUNTOS CRITICOS
Definición:
Un número c del dominio de f se
llama número crítico o punto crítico
de f si f ’(c) = 0.

1. Hallar todos los puntos críticos de f en
[a, b]
2. Hallar f(c) para cada punto crítico c
3. Calcular f(a) y f(b)
4. El mayor de los números hallados en 2 y 3
es el máximo absoluto de f en[a,b] y el
menor el mínimo.
Procedimiento para determinar los máximos o
mínimos de una función continua f en [a, b]

TEOREMA
Sea f continua en [a, b] y derivable en
(a, b), entonces:
Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces
f es estrictamente CRECIENTE
en [a,b]
>

Criterio de la primera derivada
Si c es un punto crítico de f y f es derivable
alrededor de c, entonces:
i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c
entonces c es un punto de MÁXIMO local de f
ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c
entonces c es un punto de MÍNIMO local de f

TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = carriba
>
+

TEOREMA
Sea f derivable en el intervalo (a, b),
que contiene a c, tal que existe f ’’(c),
entonces:
Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es
cóncava hacia
en x = cabajo
<
-

Criterio de la segunda derivada
Sea c un punto crítico de f en el cual
f ’(c) = 0, entonces:
Si f ’’(c) > 0, c es un punto de
mínimo local
Si f ’’(c) < 0, c es un punto de
máximo local

Punto de inflexión
La gráfica de f tiene en el punto
(c, f(c)) un punto de inflexión si:
1 f es continua en c
2 La gráfica tiene tangente en
el punto
sentido en c
3 La concavidad cambia de

PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR
Los PUNTOS DE INFLEXION
i) Determinar los puntos donde f ’’ es
cero
ii) Verificar si cada uno de estos
puntos es de inflexión. Esto es:
• Si f es continua
• Si la derivada existe o tiene
límite infinito (tang. vertical)
• Si f ’’ cambia de signo

Razón de cambio porcentual
Análisis Marginal.

De dos empresas competidoras A y B se conocen sus funciones
utilidad respectivas UA(q) y UB(q), donde UA(20) = UB(10).
Si se tiene dól/unid y dól/unid
¡Reflexión!
¿Qué empresa fue más eficiente en la obtención de sus
utilidades?
2
)20(

dq
Ud A
2
)10(

dq
Ud B

Si consideramos el cociente
( )
( )
f x
f x

tenemos un medio para comparar la razón de cambio de
f consigo misma. Esta razón se llama razón de cambio
relativa de f.
Si multiplicamos las razones de cambio relativas por
100 obtenemos las razones de cambio porcentuales.
( )
100
( )
f x
f x


Razón de cambio porcentual

Ejemplo
Se estima que dentro de t años, la circulación de un
periódico local será:
C(t) = 100t2 + 400t + 5000 unidades
a. ¿A qué razón cambiará la circulación dentro
de 5 años?
b. ¿Cuál es la razón de cambio porcentual de la
circulación dentro de 5 años?

Si el nivel de producción de un fábrica es de 10
unidades, ¿cómo podríamos determinar en
forma aproximada el costo de producción de la
undécima unidad sin tener que producirla?
¡Reflexión!

x0
x1
f (x0)
f (x1)
f
f (x)
M
N
Del gráfico se puede afirmar que f  MN
Aproximación por incrementos
x


Ejemplo:
Estime el cambio de f (x) = x3, cuando x varía de 2 a 2,1
Entonces, f  MN= = f´(x)x
Luego, podemos decir que: f  f´(x)x
x
x
MN


.

Ejemplo
Suponga que el costo total C, en soles, de fabricar q
unidades de cierto artículo es C(q) = 10 + 5q + 3q2. Si
el nivel actual de producción es 30 unidades, estime
cómo cambiará el costo total si se producen 29,5
unidades.

Consideremos la función Costo total C(q)
11 12
C(11)
C(12)
Creal Caproximado
C(q)
La pendiente de la recta
tangente en q = 11 es la
derivada del costo total en
q = 11
Esta pendiente es numéricamente
igual al cociente
aproximado
aproximado
C
C

1112

De los párrafos anteriores se puede deducir que
C´(11) = Costo aproximado de la unidad 12
A este costo aproximado se le conoce como el costo
marginal de producir la doceava unidad o el costo
marginal de producir 11 unidades.
En general podemos decir que :
C´(q) = C aproximado de la unidad “q+1 ”
Costo marginal

La función costo marginal CM es la derivada C´(q).
Las unidades del costo marginal son las del costo por
artículo. Se interpreta a C´(q) como el costo aproximado
de producir un artículo adicional a q unidades.
El ingreso marginal IM es la derivada del ingreso I(q)
respecto a q. Esto es:
La utilidad marginal UM es la derivada de la utilidad
U(q) respecto a q. Esto es:
dI
IM
dq

dU
UM
dq
