CÁLCULO DE VARIAS
VARIABLES
DEMETRIO CCESA RAYME

1. FUNCIONES DE VARIAS
VARIABLES.

1.1 Dominio y curvas de nivel.
• El dominio de una función es el conjunto de pares ordenados en el plano 𝑋𝑌, tales que 𝑍 = 𝑓(𝑥; 𝑦)
exista.
• Condiciones para graficar el dominio:

Conjuntos de nivel
• Curva de nivel: es la proyección sobre el plano 𝑋𝑌 de la línea de contorno, con ecuación
𝑓 𝑥; 𝑦 = 𝑘, donde 𝑘 es una constante (en el contra - dominio de 𝑓 )
• Línea de contorno: es todo el borde cuando se realiza un corte.
• Mapa de contorno: es el conjunto de todas las curvas de nivel.

1.2 Gráfica de funciones de dos
variables y superficies.
1. Gráfica de un plano paralelo a 𝑥𝑦. 2. Grafica de un cilindro 𝑥2
+𝑦2
= 1
Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑓: 𝐷 ⊂ ℝ ⟶ ℝ. Éstas funciones
recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor 𝑌 dependía de una sola
variable 𝑋.
Representación gráfica:
Se han ideado muchas tipos diferentes de representación, pero aquí sólo se ven algunas de las más
sencillas como:

4. La gráfica de la función 𝑍 = 𝑋2
+ 3𝑌2
Ésta forma es una figura llamada paraboloide elíptico.
6. Gráfica de una esfera 𝑥2
+𝑦2
+𝑧2
= 1
3. El plano que tiene por ecuación
𝑋 + 𝑌 + 𝑍 − 1 = 0.
5.Gráfica del cono cuya ecuación es 𝑧2
= 𝑥2
+ 𝑦2

Lo que no se debe olvidar:

1.3) Derivadas parciales
de primer orden.

1.4 Razón de cambio.
• El concepto de razón de cambio se refiere a la medida en la cual una variable se modifica
con relación a otra.
• La razón de cambio más frecuente es la velocidad, que se calcula dividiendo un trayecto
recorrido por una unidad de tiempo. Esto quiere decir que la velocidad se entiende a partir
del vínculo que se establece entre la distancia y el tiempo. De acuerdo a cómo se modifica la
distancia recorrida en el tiempo por el movimiento de un cuerpo, podemos conocer cuál es
su velocidad.

Es posible distinguir entre dos tipos de razón de cambio: la promedio y la instantánea, las
cuales se explican a continuación.
Razón de cambio promedio: Se trata de problemas en los cuales estudiamos fenómenos
relacionados con la variación de una magnitud que depende de otra, por lo cual es necesaria
una descripción y una cuantificación de dichos cambios por medio de gráficas, tablas y
modelos matemáticos.
Razón de cambio instantánea: La razón de cambio instantánea también se denomina
segunda derivada y hace referencia a la velocidad con la cual cambia la pendiente de una
curva en un momento determinado.

Razones
de
cambio
Razón de cambio
porcentual
Razón de cambio
relativa
Razón de cambio
instantáneo o
derivado
Razón de cambio
promedio
∆𝒙
∆𝒚
=
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝟎)
𝒙 − 𝒙𝟎
𝐥𝐢𝐦 𝒙 → 𝒙𝒐
𝒇 𝒙 − 𝒇(𝒙𝒐)
𝒙 − 𝒙𝒐
R.C.R =
𝒇´(𝒙𝒐)
𝒇(𝒙)
R.C.P =
𝒇´(𝒙𝒐)
𝒇(𝒙𝒐)
+ 𝟏𝟎𝟎

1.5) Regla de la cadena.
• Recordemos que la regla de la cadena para una función 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; y 𝑥 = 𝑔 𝑡 , ambas
funciones derivables, entonces 𝑦 es una función derivable con respecto a 𝑡 y se
cumple:
• Para funciones de varias variables, la regla de la cadena tiene varias versiones.
dt
dx
dx
dy
dt
dy


Caso 1:
• Supongamos que 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦) es una función diferenciable de 𝑥 y de 𝑦, donde 𝑥 = 𝑔 𝑡 y
𝑦 = ℎ 𝑡 son funciones derivables de 𝑡; entonces 𝑧 es una función derivable de 𝑡 y se
cumple que:
• Veamos esta fórmula de manera gráfica:
dt
dy
y
f
dt
dx
x
f
dt
dz







Caso 1
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)
𝑥 𝑦
𝑡 𝑡
x

y

dt
d
dt
d x
f
dt
dz



dt
dx
y
f


+
dt
dy

Caso 1 ( General )
Suponga que 𝑧 es una función derivable de las 𝑛 variables 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ,…, 𝑥n , en
donde cada 𝑥j es una función de 𝑡. Por consiguiente, 𝑧 es una función derivable de 𝑡
y se cumple:
dt
dx
x
z
...
dt
dx
x
z
dt
dx
x
z
dt
dx
x
z
dt
dz n
n
3
3
2
2
1
1 












Caso 2:
Supongamos que 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦 es una función derivable de 𝑥 y de 𝑦, donde:
𝑥 = 𝑔 𝑠; 𝑡 , 𝑦 = ℎ 𝑠; 𝑡 , y las derivadas parciales de 𝑔 y ℎ existen.
Entonces:
s
y
y
f
s
x
x
f
s
z












t
y
y
f
t
x
x
f
t
z













Caso 2
𝑥 𝑦
𝑡 𝑡
x

y

t

t

𝑠 𝑠
s

s




s
z
x
f


s
x

 +
y
f


s
y





t
z
x
f


t
x

 +
y
f


t
y


𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦)

1.6 Diferencial total.

El diferencial 𝑑𝑓(𝑎) es
una aproximación de
la variación ∆𝑓 =
𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 cuando el
punto b se encuentra
próximo al punto 𝑎 =
(𝑥; 𝑦)

1.7 Derivada direccional y gradiente.
• La gradiente: es la derivada en un punto dado de 𝑓 𝑥; 𝑦 .

• Derivada direccional: está definida en un punto con una dirección en el vector 𝑣.

• Interpretación geométrica: con la definición del límite y cuando el vector
𝑣 es unitario, la derivada direccional se puede interpretar como una
pendiente .

• Definición de la derivada direccional y gradiente.

1.8 Derivadas parciales de orden
superior.
• Concepto: Una derivada parcial de una función de diversas variables,
es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras
como constantes. La derivada de orden superior comprende las
derivadas a partir de la segunda derivada a más, y que se efectúa
derivando tantas veces como se indique. Las derivadas parciales son
útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial.

Representación:
• La función 𝑧 = 𝑓 𝑥; 𝑦 tiene las segundas derivadas parciales:
1. Derivando dos veces respecto a 𝑥:
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥2 = 𝑓𝑥𝑥
2. Derivando dos veces respecto a 𝑦:
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦2 = 𝑓𝑦𝑦
3. Derivando primero respecto a 𝑥 y después respecto a 𝑦:
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2 𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
= 𝑓𝑥𝑦
4. Derivando primero respecto a y y después respecto a 𝑥:
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑓𝑦𝑥

Teorema de Schwarz (Igualdad de
las derivadas mixtas)
• Sea 𝑓: 𝑈 ⊂ ℝ 𝑛
⟶ ℝ 𝑛
una función definida en el abierto 𝑈 y 𝑥0 ∈ 𝑈. Si para todo 𝑖, 𝑗 ∈
1;2; … ; 𝑛 con 𝑖 ≠ 𝑗 se cumple que:
• Existen
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖
𝑥 ; ∀𝑥 ∈ 𝑈
• La función
𝜕2 𝑓
𝜕𝑥 𝑗 𝜕𝑥 𝑖
: 𝑈 ⟶ ℝ es continua en 𝑥0
• Entonces se cumple la igualdad:
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖
𝑥0 =
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖
𝑥0 ; ∀ 𝑖 ≠ 𝑗

1.9 Máximos y mínimos (Método del
Hessiano).
Solo se puede demostrar que una función tiene los máximos y mínimos a través de los puntos
críticos; si se alcanzan en puntos interiores, también pueden ser máximos y mínimos. Puntos en
la frontera; pero, entonces no son necesariamente críticos.
Matriz Hessiana:
Se basa en el estudio de las segundas derivadas y en particular de la matriz hessiana:
Conclusión:
Si H > 0 entonces 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) tiene un mínimo relativo.
Si H < 0 entonces 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) tiene un máximo relativo.
Si H = 0 entonces el criterio no da ninguna conclusión.

1.10 Máximos y mínimos condicionados
(Multiplicadores de Lagrange).
El método de los multiplicadores de Lagrange,
llamados así en honor a Joseph Louis Lagrange, es un
procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de
funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.
Este método reduce el problema restringido con n
variables a uno sin restricciones de n + k variables, donde
k es igual al número de restricciones, y cuyas ecuaciones
pueden ser resueltas más fácilmente.
Estas nuevas variables escalares desconocidas, una para
cada restricción, son llamadas multiplicadores de
Lagrange.

2. INTEGRALES MÚLTIPLES.

2.1 Integrales dobles en coordenadas
cartesianas.

2.2 Integrales dobles en coordenadas polares.
Integral definida de una función de 2 variables sobre una región en el 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥; 𝑦 .
Existes 3 casos :
Caso 1

Caso 2

Caso 3

2.3 Aplicación de las
integrales dobles.

2.4 Integrales triples.
• Se definen por cajas rectangulares definiendo una partición 𝑃 en el paralelepípedo 𝐵.
• ‫׮‬𝐵
𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑣 = ‫׬‬ ‫׬‬ ‫׬‬ 𝑓(𝑥; 𝑦; 𝑧)𝑑𝑣
• 3 formas de integración: 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 y 𝑑𝑧.

En coordenadas cilíndricas: Se usan
para describir la región que son
simétricas respecto alguno de los ejes. Cambio de orden de integración:

2.5 Cambio de variable en integrales
múltiples (Jacobianos).
Es la transformación (función) 𝑇: ℝ2
→ ℝ2
. Esta transformación convierte una región plana
𝐷 ⊂ ℝ2
en una región D = 𝑇 k, 𝐷 ⊂ ℝ2
.
El Jacobiano de la transformación diferenciable 𝑇 descrita por las ecuaciones:
𝑥 = 𝑔 (𝑢; 𝑣) ; 𝑦 = (𝑢; 𝑣).
Esta transformación puede describirse por dos ecuaciones de la forma.

2.6 Aplicaciones de las integrales triples.
Generalmente se utilizan para el cálculo de volúmenes de curvas espaciales cerradas o de
cuerpos espaciales tales como: esferas, elipsoides, cubos, tetraedros o combinaciones de estas
superficies
• Cálculo de la integral triple:
 En coordenadas rectangulares, etc. Tomando los lÍmites de integración de forma que cubran
la región ℝ.

En coordenadas cilíndricas tomando los límites de integración de forma que cubran la región
ℝ.
En coordenadas esféricas tomando los límites de integración de forma que cubran la región ℝ.

Aplicaciones de
las integrales
triples
Volumen de un
sólido:
Masa de un sólido:
Momentos de
inercia de un sólido:

3. INTEGRALES DE LÍNEA Y
SUPERFICIE.

3.1 Curvas paramétricas en 𝑹 𝟐
.
• Es una curva cuando existe una función, de tal forma tenemos que parametrizar la curva.
• Existen 4 tipos de arcos:

Derivada de una curva vector tangente:

Recta tangente a una curva:

3.2 Curvas paramétricas en 𝑹 𝟑.
Procedimiento para hallar la parametrización:
son intersecciones de superficies.
Primero se proyecta la
curva sobre uno de los
planos cartesianos

Parametrice la
curva proyectada
Exprese la tercera variable
en términos del parámetro
de la parametrización de la
curva.

3.3 Longitud de
arco.

3.4 Integral de línea de campos
escalares y aplicaciones.
Es una integral en donde el dominio de integración es un arco simple.
Campo escalar quiere decir que puede ser una función de 2 ó 3 variables.
Notación:
Cuando 𝑓 𝑥 = 1:
No le afecta la orientación de la curva a
la integral de línea.

Aplicaciones
Masa de un cable: tiene la forma dada por una
curva C y cuya densidad es un función continua.
Área lateral: El área de la superficie lateral
de la región comprendida entre la superficie
𝑧 = 𝑓(𝑥; 𝑦) y la curva 𝐶.

3.5 Integral de línea de campos
vectoriales y aplicaciones.
Un campo vectorial es una función que asigna un vector en cada punto del plano ℝ2
ó ℝ3
.
Notación:
Otra forma diferencial:

Trabajo: es realizado por el campo de
fuerza en ℝ2
ó ℝ3
sobre una partícula
que se mueve a lo largo de una curva
suave.
APLICACIÓN
La orientación de la curva si
afecta a la integral de línea.

3.6 El teorema de Green en el plano.
• Una curva simple y cerrada C esta orientada positivamente o negativamente, siempre
harán un solo recorrido.

• La integral de línea también se puede hallar con la integral doble cuando D es una región
simplemente conexa cuya frontera es una curva cerrada simple regular.

• Teorema de Green en regiones múltiplemente conexas:

3.7 Parametrización de superficies.
Vector normal y plano tangente.

Vector normal y plano tangente.

• S es alguna superficie en el espacio tridimensional.
• Sea S una superficie regular en todos sus puntos, con una parametrización r: 𝑅 ⊂ ℝ2
→ ℝ3
donde la función debe ser conexo, cerrado y acotado.
• No depende tanto de la parametrización.
Sobre una superficie explícita:
Sea z = g(x; y) la ecuación explícita
donde Gx y Gy son continuas en un
abierto.
Entonces f: S ⊂ ℝ2
→ ℝ es un
campo escalar continuo
3.8 Integrales de superficie de campos
escalares.

Aplicaciones:
Área de una superficie:
Sea 𝑆: 𝐷 ⊂ ℝ3
una superficie regular en
todos sus puntos. Su área es:
Masa de una lámina bidimensional:
Esta dada por una superficie S y cuya
densidad es dad por una función continua
𝜌: 𝐷 ⊂ ℝ3
→ ℝ donde S ⊂ D
Fuente bibliográfica: Larson, R.; Hostetler, R. y Edwards,B. (2010)
Cálculo Esencial 1ª ed. México: Cengage Learning.

3.9 Integrales de superficie de campos
vectoriales.
• Sea 𝑆 ⊂ ℝ3
una superficie parametrizada por Φ: 𝐷 → ℝ3
, 𝐷 ⊂ ℝ2
, y 𝐹: 𝑆 → ℝ3
un campo
vectorial continuo. Se define la integral de superficie de 𝐹 sobre 𝑆 como:
ඵ
𝑆
𝐹𝑑ℴ = ඵ
𝐷
𝐹(Φ 𝑢; 𝑣 ) ∙
𝜕Φ
𝜕𝑢
×
𝜕Φ
𝜕𝑣
𝑑𝑢𝑑𝑣
Interpretación geométrica:
La integral del campo vectorial 𝐹 sobre la superficie 𝑆 coincide con la integral de su
componente normal o proyección sobre 𝑛 (que es una función escalar) sobre 𝑆:
ඵ
𝑆
𝐹𝑑ℴ = ඵ
𝑆
𝐹 ∙ 𝒏𝑑𝜎

Orientación de un superficie:
• Una superficie orientada es una superficie con dos caras en la que se especifica una de ellas
como cara exterior o positiva y la otra como cara interior o negativa.
• Puesto que en cada punto de la superficie hay dos vectores normales opuestos (𝒏1 y 𝒏2 con
𝒏2 = −𝒏1), cada uno de ellos se asocia con una cara. Concretamente, cada cara se asocia
con el vector que apunta hacia afuera sobre dicha cara.
• Si 𝑆 ⊂ ℝ3
es la superficie parametrizada por Φ: 𝐷 → ℝ3
, se toma como orientación positiva
de 𝑆 la asociada al vector normal 𝒏 =
𝜕Φ
𝜕𝑢
×
𝜕Φ
𝜕𝑣
.

Independencia de la parametrización:
• La integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie no depende de la
parametrización elegida, siempre que esta conserve la orientación. Si Φ1 y Φ2 son dos
parametrizaciones de la misma superficie 𝑆 que no conservan la orientación 𝒏2 = −𝒏1 ,
entonces las integrales asociadas a ellas son opuestas:
ඵ
𝑆Φ1
𝐹𝑑𝜎 = ඵ
𝑆
𝐹 ∙ 𝒏1 𝑑𝜎 = − ඵ
𝑆
𝐹 ∙ 𝒏2 𝑑𝜎 = − ඵ
𝑆Φ2
𝐹𝑑𝜎
Interpretación física:
• Si 𝐹 es el campo vectorial que indica la velocidad de un fluido en cada punto, la integral de
superficie de 𝐹 sobre la superficie 𝑆 proporciona la cantidad neta de fluido que atraviesa la
superficie (en el sentido positivo dado por el vector normal a 𝑆) por unidad de tiempo, lo que
se conoce con el nombre de flujo de 𝐹 a través de 𝑆.

3.10 Teorema de Stokes.
• El teorema de Stokes es la versión
tridimensional del teorema de Green.
• Es la orientación positiva del
“contorno” las manecillas del reloj
con respecto al vector normal
inducido por r.
• Relaciona la integral de superficie
del rotacional de un campo vectorial
con la integral de línea de ese mismo
campo vectorial alrededor de la
frontera de la superficie:
Fuente: https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/greens-
theorem-and-stokes-theorem/stokes-theorem-articles/a/stokes-theorem

ROTACIONAL DE UN CAMPO VECTORIAL:
1.- 𝑅 es simplemente conexo, cerrado y acotado.
2.- Las funciones componentes de 𝑟 tienen derivadas parciales de orden dos
continuas en un abierto 𝑈 ⊃ 𝑅.
Si 𝐹: 𝑆 ⊂ ℝ3
→ ℝ3
Entonces es un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales
continuas en algún abierto que contenga a 𝑆.
Sea 𝑆 una superficie regular con parametrización inyectiva
𝑟: 𝑅 ⊂ ℝ2 → ℝ3 donde:

3.11 Teorema de la divergencia.
El Teorema de la divergencia es una analogía, en tres dimensiones, del Teorema de Green en el
plano, donde en este caso se establece la relación que existe entre una integral sobre la superficie S
y la integral triple de una región sólida B, en la cual la superficie S es su frontera. Sea 𝐵 ∈ ℝ3
una
región sólida en el espacio limitada por una superficie simple y cerrada S, con orientación positiva
y sea F el campo vectorial definido por F = 𝐴 ∈ ℝ3
→ ℝ3
/ 𝐹 𝑋, 𝑌, 𝑍 =
(𝐹1 𝑋, 𝑌, 𝑍 , 𝐹2 𝑋, 𝑌, 𝑍 , 𝐹3 𝑋, 𝑌, 𝑍 ), tal que sus funciones componentes F1 , F2 y F3 tienen
derivadas parciales continuas de primer orden en la región B y e incluso en S. Si n es el vector
normal unitario correspondiente a la orientación positiva de S, entonces:
El teorema de la divergencia de Gauss se aplica sobre superficies cerradas (es decir que limitan
completamente a un sólido).

4. SERIE DE POTENCIAS.

4.1 Serie de potencias.