continuacion de derivadas

1. DERIVADAS DE UNA
FUNCION
CONTINUACION
Alumno: David Marcano
1er Semestre de Informática
Prof: Ing. Ranielina Rondón
Septiembre 2017

2. En el siguiente material se expone la continuación de las
derivadas de una función, tomando en cuenta los comentarios
de su definición, sus aplicaciones con ejemplos de los 2 criterios
de la derivadas y comentarios en uso de nuestra vida cotidiana.

3. La derivada es el resultado de un límite y
representa la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de la función en un
punto.
La derivada de una función en un punto
representa el valor de la pendiente de la
recta tangente en el mencionado punto y
mide el coeficiente en el que varía la
función, es decir, nos dará una
formulación matemática de la noción del
coeficiente de ese cambio. Este
coeficiente indicará lo rápido que crece o
en su defecto lo rápido que decrece una
función en un punto respecto del eje de
un plano cartesiano de dos dimensiones.
TOMANDO EN CUENTA EN LA INSVESTIGACION ANTERIOR, LA DEFINICION DE DERIVADAS:

4. La determinación de las derivadas no está limitada solamente a un punto
de vista teórico para que de esta forma los estudiantes puedan entender
distintos temas de las matemáticas, sino que hay una serie de
aplicaciones vitales de las derivadas en ejemplos de la vida real. Las
derivadas encuentran un lugar vital en la ingeniería, física e incluso en los
negocios y la economía, etc. Algunas de las aplicaciones más notables de
las derivadas se explican a continuación:
APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS Y SUS TIPOS
( Tomado de http://www.cecyt3.ipn.mx/ibiblioteca/mundodelasmatematicas/u3tipos.html)

5. • Tasa de variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.
Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de
variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto.
De manera similar la tasa de cambio de la velocidad de un punto se
conoce como la aceleración del mismo. La velocidad de un punto se
despeja como, aquí x es el punto cuya velocidad será calculada y t
representa el intervalo de tiempo.
• Punto Crítico: El punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que
incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un
punto crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en
absoluto.

6. • Determinación de valores mínimos y máximos: A este proceso se le
denomina optimización. Existen una serie de problemas que requieren
la determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función
tal como la determinación del menor costo, aproximación del menor
tiempo, cálculo de mayor ganancia, etc. Puede existir un mínimo local /
punto máximo que se denomina mínimo relativo / máximo punto o
mínimo global / máximo punto que se le llama como mínimo absoluto /
punto máximo. El máximo absoluto es uno, , para todos los puntos del
dominio de la función. Mientras que un punto máximo relativo es uno, ,
para todos los puntos en un período abierto en las proximidades de x
igual a c.
• Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es
el método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una
ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución
encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la
ecuación.

7. • Aplicaciones en el ámbito del comercio: Existe una gran cantidad de
lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que
el objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y
minimizar las pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede
utilizarse aquí para evaluar la respuesta correcta y así aumentar la
productividad total del comercio. También resulta conveniente analizar
el costo promedio de un artículo lo que puede ayudar al aumento de
la ganancia.
• Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física, como es el caso
de la óptica, la Aproximación lineal juega un papel vital. En este
utilizamos una función lineal con el fin de encontrar la aproximación
de cualquier función general. Esta es más comúnmente conocida como
una aplicación de la recta tangencial al gráfico de cualquier función
lineal.

8. Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado
frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y
máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la
primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo,
en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico .
"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo
abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto
posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue.“
1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo
relativo en (c, f(c)).
2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo
relativo en (c, f(c)).
3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c,
entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.
TEORÍA DEL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA
(Tomado de Wikipedia)

9. Ejemplo: Encuentre los puntos críticos de 𝑓 𝑥 𝑥2 − 3𝑥 + 2 utilizanJdo el criterio de
la primera derivada para clasificar cada punto crítico como un máximo o un mínimo
relativo
Paso 1. Derivamos la función tomando en cuenta los teoremas básicos para derivar:
Aplicamos el Derivada de la suma funciones:
𝑓´ 𝑥 2 ∗ 𝑥2−1
− 1 ∗ 3𝑥1−1
+ 0
𝑓´ 𝑥 2𝑥 − 3
Paso 2. Paso 2. Resolvemos la ecuación
Como tenemos una ecuación polinómica de primer grado, la igualamos a 0 y
podemos resolverla despejando la constante de la x.
𝑓´ 𝑥 = 0 → 2𝑥 − 3 = 0
𝑥 =
3
2
← Es el valor crítico, del
hallaremos el máximo y el minino con valores aproximados a él y serán el 1y2.

10. Paso 3. Buscamos los puntos máximos y mínimos de la derivada en los puntos 1 y 2
Para el punto crítico 1 se tiene que 𝑓´ 1 = 2 1 − 3 = −1
Para el punto crítico x= 2 se tiene que 𝑓´ 2 = 2 2 − 3 = 1
Como f´ (x) pasa de negativo a positivo, se alcanza un punto mínimo relativo.
Paso 4. Buscaremos las coordenadas del mínimo.
Sustituimos
3
2
𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑥 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 .
𝑓
3
2
= (
3
2
)2
− 3 ∗
3
2
+ 2
𝑓
3
2
=
9
4
−
9
2
+ 2 ← hallamos el resultado
aplicando las operaciones de sumas y resta con 3 fracciones.
9 − 18 + 8
4
= −
1
4
Decimos que las coordenadas del minino están en (
3
2
, −
1
4
)

11. TEORÍA DEL CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
(Tomado de Wikipedia)
El Criterio o prueba de la segunda derivada es un teorema o método del cálculo
matemático en el que se utiliza la segunda derivada para efectuar una prueba simple
correspondiente a los máximos y mínimos relativos.
Se basa en el hecho de que si la gráfica de una función f es convexa en un intervalo
abierto que contiene a c, y f '(c)=0, f(c) debe ser un mínimo relativo de f. De manera
similar, si la gráfica de una función es cóncava hacia abajo en un intervalo abierto que
contiene a c y f '(c) = 0, f(c) debe ser un máximo relativo de f.
Sea f una función tal que f '(x) = 0 y la segunda derivada de f existe en un intervalo
abierto que contiene a x
Si f ''(x) < 0, entonces f tiene un máximo relativo en (x, f(x)).
Si f ''(x) > 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x, f(x)).
Si f ''(x) = 0, entonces el criterio falla. Esto es, f quizás tenga un máximo relativo en x,
un mínimo relativo en (x, f(x)) o ninguno de los dos. Tomar como ejemplo la función
f(x) = x³. En tales casos, se puede utilizar el criterio de la primera derivada o el criterio
de la tercera derivada.

12. Ejemplo: Encuentre los puntos críticos de 𝑓 𝑥 2𝑥3 + 3𝑥2 + 12𝑥 − 7 utilizando el
criterio de la segunda derivada para clasificar cada punto crítico como un máximo o
un mínimo relativo.
Paso 1. Derivamos la función tomando en cuenta los teoremas básicos para derivar:
Aplicamos el Derivada de la suma funciones:
𝑓´ 𝑥 = 3 ∗ 2𝑥3−1
+ 2 ∗ 3𝑥2−1
− 1 ∗ 12𝑥1−1
− 0
𝑓´ 𝑥 = 6𝑥2
+ 6𝑥 − 12
Paso 2. Resolvemos la ecuación
Como tenemos una ecuación polinómica de segundo, podemos resolverla
factorizando la ecuación.
𝑓´ 𝑥 = 0 → 6𝑥2
+ 6𝑥 − 12 = 0
6(𝑥2
+ 𝑥 − 2) = 0 ← Ecuación Factorizada
6(𝑥2
+ 𝑥 − 2) = 0 ← Factorizamos y despejamos el 6 en la
ecuación
(𝑥2 + 𝑥 − 2) =
0
6
𝑥 + 2 𝑥 − 1 = 0 ← Despejamos las constantes de las x
𝑥1 = −2 𝑥2 = 1

13. Paso 3. Buscamos la segunda derivada
𝑓´´ 𝑥 = 2 ∗ 6𝑥2−1 + 1 ∗ 6𝑥1−1 − 0
𝑓´´ 𝑥 = 12𝑥 + 6
Paso 4. Buscamos los puntos máximos y mínimos de la derivada en los puntos -2 y
1
Para el punto crítico -2 se tiene que 𝑓´´ −2 = 12 −2 + 6 = −18
Como f´ (-2)=0 y f´´ (-2) < 0, entonces en x=-2 se alcanza un punto máximo relativo.
Para el punto crítico x= 1 se tiene que 𝑓´´ 1 = 12 1 + 6 = 18
Como f´ (1)= 0 y f´´ (1) > 0, entonces en x= 1 se alcanza un punto mínimo relativo.

14. APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS EN LA VIDA COTIDIANA
Voy a citar la parte final de mi investigación anterior de las derivadas porque
deduce en términos simples para que nos sirve las derivadas en la vida
cotidiana“ En resumen, aunque los ejemplos vistos son básicos, las derivadas
son utilizadas para ver los comportamientos de los valores donde es necesario
medir la rapidez con que se produce el cambio de una magnitud o situación. Es
una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química,
Astronomía, Biología y Estadística o en ciencias sociales como la Economía y la
Sociología. Por lo tanto, su importancia como herramienta de trabajo es
apreciable.”

15. Veamos: “si sabemos por ejemplo que los campeones de 100 metros lisos
corren esa distancia en unos 10 segundos, al calcular la velocidad promedio de
10 metros por segundo (36 km por hora) estamos haciendo una derivada, bajo
el supuesto de que la velocidad fuera constante (velocidad promedio).”
Otro ejemplo: “quieres comprar un auto y solamente te dan como dato que
acelera durante el arranque a 3 metros por segundo cada segundo. Pero te
interesa conocer el espacio que necesitas recorrer para pasar a120 km/h, y el
tiempo que necesitas para ello: Entonces planteas a = 3 = d^2x /dt^2, lo que
significa que dx /dt = 3 t (la operación es la inversa de la derivada, pero el
concepto es el mismo). Será pues120 km/h = 120* 1000/3600 = 3* t —> t =
400/36 = 11,11 segundos, yel espacio que hace falta recorrer será x = 3/2 t (al
cuadrado)= (3/2) 11,11 (al cuadrado) = 185 metros. Con esos datos puedes
valorar si te conviene el comportamiento del auto”
Claramente esos dos ejemplos no nos convencen mucho, pero podríamos
plantear otros casos, como poder hallar el máximo volumen que podemos
obtener al armar una caja con un rectángulo de cartón exactamente medido
(sin desaprovechar ni un centímetro) y saber las medidas de los lados, o hallar
otros mínimos y máximos aplicables a la vida cotidiana.