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Limites infinitos

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limites infinitos y limites al infinito

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Limites infinitos

  1. 1. LÍMITES LÍMITES AL INFINITO LÍMITES INFINITOS 1
  2. 2. tiempo (años) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 −10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 clientes f ¿Cuál es el máximo número esperado de clientes al cual se tiende en el largo plazo? Analicemos … ¿ ? ¿ ? 50 +∞→t Entonces: 50)(lim = +∞→ tf t Esto es un límite al infinito, que nos indica a qué valor se aproxima la función cuando t crece indefinidamente. 2
  3. 3. LÍMITES AL INFINITO 3 Si los valores de la función f (x) tienden al número L cuando x aumenta indefinidamente, se escribe: lim ( ) x f x L →+∞ = De manera similar, valores de la función f (x) tienden al número M cuando x disminuye indefinidamente, se escribe: lim ( ) x f x M →−∞ =
  4. 4. POR EJEMPLO…. 4 y = f (x) y y = L y = M M L lim ( ) x f x L →+∞ = lim ( ) x f x M →−∞ = x
  5. 5. LÍMITE AL INFINITO PARA FUNCIONES POLINÓMICAS 5 1 1 1 0( ) n n n nf x a x a x a x a− −= + + + +K lim ( ) lim n n x x f x a x →±∞ →±∞  =   Es decir, para hallar el límite de un polinomio en el infinito, se halla el límite del término de mayor grado (término dominante). Ejemplos: a) 32 59 lim 3 6x x x →+∞   − + −   b) )5( 24 lim +−+− +∞→ xxx x
  6. 6. Sabemos que para n > 0, , ¿cuál es el valor de los siguientes límites? INTERROGANTE . . . . . 6 +∞= +∞→ n x xlim = +∞→ n x x 1 lim = −∞→ n x x 1 lim
  7. 7. 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) n n n n m m m m a x a x a x a f x b x b x b x b − − − − + + + + = + + + + K K 1 1 1 0 1 1 1 0 lim ( ) lim n n n n m m mx x m m m a x a x a x a xf x b x b x b x b x − − −→±∞ →±∞ −  + + + +   =   + + + +     K K Divida el numerador y denominador entre el x elevado al mayor grado del denominador y calcule el límite de la nueva expresión: Resolución: límite al infinito para funciones racionales 7
  8. 8. 8 Para funciones racionales: 1 1 1 0 1 1 1 0 ( ) n n n n m m m m a x a x a x a f x b x b x b x b − − − − + + + + = + + + + K K Resolución simplificada: Calcular el límite, tomando en cuenta el término dominante del numerador y del denominador: m m n n x xb xa lim±∞→
  9. 9. Se dice que es un límite infinito si f (x) aumenta o disminuye ilimitadamente cuando x→a. Técnicamente, este límite no existe, pero se puede dar más información acerca del comportamiento de la función escribiendo: LÍMITES INFINITOS 9 lim ( ) x a f x → = −∞ lim ( ) x a f x → lim ( ) x a f x → = +∞ si f (x) crece sin límite cuando x→a. si f (x) decrece sin límite cuando x→a.
  10. 10. ¡INTERROGANTE! 10 A partir de la gráfica . . . , ¿en qué valor de a, se cumple: +∞= → )(lim xf ax
  11. 11. 11 a. Estime ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 lim , lim 1 1x xx x − + →− →−+ + Ejemplo 1: 2 2 2 2 lim , lim 2 2x xx x− + → →− − b. Estime . ¿A dónde tiende ?2 2 lim 2x x→ − ¿A dónde tiende cuando x tiende a −1? ( ) 2 1 ( ) 1 f x x = +
  12. 12. 12 De la gráfica de la función f, halle en caso exista, los siguientes límites: Ejemplo 2:

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