UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MACHALA
UNIDAD ACADÉMICA DE INGENIERÍA CIVIL
INTEGRAL DEFINIDA

 Conocer el símbolo de la sumatoria, sus elementos y propiedades
La oper ación sumatoria se expresa c on la letr a gr iegra sigma
mayúsc ula Σ , y se define como:
Donde:
m es el límite inferior (es el número inicial de donde comienza la
sumatoria)
n es el límite superior (es el numero hasta donde llegara la sumatoria)
La variable i es el índice de la suma, que varía entre m y n
x es el valor de la magnitud objeto de suma en el punto i
Esto se lee: "Sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i"
Necesariamente debe cumplirse que: m, n sean números enteros y
m ≤ n
Propiedades de las sumatorias:

 Establecer la integral definida de una función estableciendo
como límite de la suma de Riemann.
La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de
las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que,
para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor
o igual que 0 en [a, b].
Se llama integral definida de la función entre los puntos a y b al área de
la porción del plano que está limitada por la función, el eje horizontal
OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b]
se denota como:
La integral de Riemann es una operación sobre una función continua y
limitada en un intervalo [a; b], donde a y b son llamados los extremos de
la integración.
La operación consiste en hallar el límite de la suma de productos entre
el valor de la función en un punto xi* y el ancho Δx del subintervalo
conteniendo al punto.
Una función f definida en [a; b] se dice integrable en [a; b] si existe el
límite de las sumas de Riemann de f (cuando la norma de P tiende a 0) y
denotamos este límite mediante
Cuando existe la integral de Riemann de una función en un intervalo, se
dice que esa función es integrable en ese intervalo.
Estos límites deben ser constantes con respecto al índice de la suma y la
única restricción es que el límite superior debe ser cualquier entero
superior (o igual) al límite inferior.

 Demostrar las propiedades de la integral definida e interpretarlas
geométricamente
a) Si los límites que integran coinciden, la integral definida vale cero.
b) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites
de integración.
c) La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
d) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de
integrales (Propiedad de linealidad)·
e) Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se
descompone como una suma de dos integrales extendidas a los
intervalos [a, c] y [c, b].
Interpretacion geométricamente:

 APLICAR E INTERPRETAR GEOMÉTRICAMENTE EL T.V.M. PARA
INTEGRALES.
En cálculo diferencial, el teorema de valor medio es una propiedad de
las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos
consideran que este teorema es el más importante de cálculo. El
teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se
usa normalmente para demostrar otros teoremas.
Si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b], entonces
existe un número z en [a, b] tal que se verifique la siguiente igualdad:
∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x)dx= ( b – a ) ƒ(z)
El valor f (z) se conoce como el valor medio de la función f (x) en el
intervalo [a,b]
Es importante considerar los siguientes aspectos:
1) El punto z puede no ser único. El teorema asegura la existencia de por
lo menos un punto con esa propiedad.
2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de variación
media en el intervalo considerado. Se trata de un concepto diferente.
3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto z en el que se alcanza
presupone el cálculo de una integral definida.
Interpretación geométrica:
Si f es positiva se toma el área de la región encerrada por la curva f(x),
las rectas x= a, x=b y el eje x.
Entonces este teorema establece que existe un número z Є [a, b], tal
que el área del rectángulo ABCE, cuyas dimensiones son:
Altura= f(z)
Ancho= b-a

es igual al área de la región ABDF
Definición: Sea f continua en [a, b], el valor medio ,fmed, de f en [a, b] es
fmed= 1/(b-a) ∫ 𝑓
𝑏
𝑎
(x)dx
Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) = 3x2 - 2x en el intervalo [1, 4].
Solución:
fmed     1/3(64  16 1 + 1)
 16

 Aplicar el teorema fundamental del cálculo, mediante la
aplicación de los métodos de sustitución y cambios de variables.
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente)en la
afirmación de que la derivación e integración de una función son
operaciones inversas. Esto significa que toda función continua
integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma.
Si f es una función continua en [a, b] entonces la función
donde a < x < b es derivable y verifica A' (x) = f(x) para todo x del
intervalo
Cuando se evalúa una integral definida por sustitución, se pueden
aplicar dos métodos. Uno es evaluar primero la integral indefinida y,
enseguida la segunda parte del teorema fundamental. Otra, que suele
ser más preferible, es cambiar los límites de integración cuando se
cambia la variable.
Regla de sustitución para integrales definidas:
Si g´ es continua sobre [a, b] y f lo es sobre el conjunto de llegada de u =
g(x) entonces
Demostración:
Sea F la primitiva de f. Entonces F[g(x)] es una antiderivada de f[g(x)]g'
(x) con lo que
F[g(b)] - F[g(a)].
Pero si aplicamos nuevamente la segunda parte del teorema
= = F[g(b)] - F[g(a)].
En esta regla se afirma que cuando se usa una sustitución en una
integral definida, debemos poner todo en términos de la nueva
variables u, no sólo x y dx sino también los límites de integración. Los
nuevos límites de integración son los valores de u que corresponden
a x = a y x = b

 ENCONTRAR EL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA, MEDIANTE EL
DESARROLLO DE LA SUMA INFERIOR Y SUPERIOR.
Antes de determinar el área de una región plana, mediante el desarrollo de la
suma inferior y superior, es importante conocer como se calcula el área de una
región simple, en la geometría euclídea, la región más simple es el rectángulo.
Aunque suele decirse que la fórmula para el área del rectángulo es A = b*h, en
donde “b” denota la base y “h”, la altura; es más apropiado decir que eso es
la definición del área del rectángulo.
De esa definición se pueden deducir fórmulas para las áreas de otras
regiones planas. Así, para determinar la de un triángulo, formamos un
rectángulo y lo dividimos a la mitad.
Triángulo: A = bh/2
Y una vez que sabemos hallar la del triangulo, el área de los polígonos se
calcula dividiéndolos en triángulos:
Hexágono
Calcular las áreas de regiones no poligonales es mucho más difícil. Los antiguos
griegos fueron capaces de encontrar fórmulas para algunas regiones
generales, acotadas por cónicas, mediante el método de exhaución. La
descripción más precisa de este método se debe a Arquímedes.
Esencialmente es un proceso de límites en el que el área se encierra entre
polígonos, unos inscritos y otros circunscritos a la región en cuestión.

Si el problema del cálculo de la recta tangente llevó a los matemáticos del
siglo XVII al desarrollo de las técnicas de la derivación, otro problema, el del
cálculo del área encerrada por una curva, propició el desarrollo de las
técnicas de integración.
Se trataba, por ejemplo, de hallar el área encerrada bajo la curva f(x) entre los
puntos a y b:
Se conocían fórmulas para recintos de forma igual a figuras geométricas
(rectangulares, triangulares, e incluso algunas de curvas específicas), pero si la
curva no tenía forma regular, no se conocía, en general, su área exacta.
Una aproximación para calcular el área consiste en dividir el intervalo en otros
más pequeños y calcular el área de los rectángulos que se forman, para lo
cual, se toma como altura de los rectángulos el valor de la función en el
extremo superior del intervalo. Así la suma de las áreas de los rectángulos son
más pequeñas que el área buscada.
Cumpliéndose: Área suma rectángulos< Área de la función
Esta suma, en la que la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el
área total se denomina suma inferior de la función en el intervalo.
Pero se podría haber tomado otros rectángulos:

Ahora la suma del área de los rectángulos es mayor que el área total, es decir:
Área de la función< Área suma rectángulos
Esta suma, en la que la suma de las áreas de los rectángulos es mayor que el
área total se denomina suma superior de la función en el intervalo.
Por tanto, el área buscada está entre la suma superior y la suma inferior de la
función:
Suma inferior≤ Área≤ Suma superior
Además, observemos lo que ocurre cuando los subintervalos que tomamos son
cada vez menores:
Vemos que las sumas inferiores son cada vez mayores y cada vez más
cercanas al área buscada, a medida que los intervalos son más pequeños.
Por contra, las sumas superiores son cada vez más pequeñas y también cada
vez más cercanas al área buscada, a medida que los intervalos son más
pequeños.
A medida que los subintervalos son menores, las sumas superiores e inferiores se
acercan al área buscada. Para llegar a calcular dicha área, necesitamos
calcular una suma infinita (la de los infinitos rectángulos a medida que estos
son más pequeños), cosa que en matemáticas se denomina sumar una
Serie.

Lo que se necesita saber es que tanto las sumas superiores como las sumas
inferiores convergen (se acercan) al área buscada, y dicha suma se
representa, si la función es f(x) y el intervalo es [a, b], por la integral: