Formulas ui ondas

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  1. 1. *f-U UQIVÉRSIDADNÓE-EÃRABOBO u FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE FISICA _í Materia! Éxira' i . r . .›. .,__, .__ n, ... .. _, ,_-. '/ ' . - Resimzers : :ie ? mmuias Unidad E e Movimiento Periódico l . , À . _ T : - 7 Reiacion Periodo-Frecuencia ro = 22g' Relación Frecuencia AnguIar-Frecuencia Relación Frecuencia angular-Periodo e Osciiaciones Armónicas Simples Sistema Bloque-Resode j _ (t) : lcd(t) Fuerza elástica _ -*> . d(t) = L(t) » L0 deforrnación ' L0 l xa) - ¡QVERM (t) = ~ma(r) Fuerza de inercia (Pseudo fuerza) f* ' + wâx : - O Ec. Dif. OscÇ Armónicas Simples. (Ec, Dif. Movimiento) ¡. Frecuencia angular natural de las osciiaciones T. m í. .. ~ x(1) = X 9 cos('a›oz + go) , F Posicíón vs. Tiempo (Soiución General Ec. Dif. ) (Ec. Movimiento) vx (t) : dê/ Yowo Velocidad en X vs. Tiempo _ v “f * - ' x a_. (r)_= iXowã cos(a; ;,t + p) _ Abeleración en X vs. Tiempo X U Amplitud de posición. Amplitud de Movimiento Se despejan a partir de condiciones ça Constante de fase de movimiento. iniciaies , x(. -' = O): x0 y v¡ (r = O) z v” En general_ todo factor positivo que precede a una expresión armónica del tiempo (seno 0 coseno), se ilamara "Amplitud de. ..” de la variable a Ia cual nos estemos reñriendo. V”, = X own Amplitud de veiocidad am : X oco: Ampiitud de aceieración. 7 l 7 E, m 77412¡ m] Energia Cinética m : -~Ã: [x(í)i" Energia Potencial Elástica
  2. 2. Circuito L-C ; à m) . x ' vc (f) -_› : Ê-rqrrj; "Joitaje en el capacitor C ' . “d Voa) i_ . › --' vL (t) = L-[i(t)] Voltaje en ei inductor dt + a 2 . . i7q+wãq = O Ec. Dif. Oscilaciones Carga _ qa) dr . q(t) = QO cos(ú)0t + (p) Carga en el condensador vs. Tiempo. (Soiución General Ec. Dif. ) i(I) = -Qoazo sin(a›0t + (p) Comente en ei circuito vs. Tiempo EMG (t) = ;LDTOF Energia Magnética E EMC, (t) = à-àkmr Energia , Eléctrica 1 1 1 , ' 12mm = ELI: = : EQ: Energia Total Ana/ ogías Mecânico-Eléctricas Variabies análogas ___ Prggiedades análogas BIoqge-Resorte lnductor-çgpacitor Bloqge-Resorte _ _ lnductor-Capacitcir_ X_(l) Gil) k . U2, fe_(t) _Í __ _ ñugacmíi) Iguales deformaciones en qzma¡ C2 resortes É * C' T L f "T _, iguales cargas qím f L. _,_. ._. AÊ en capacitores C110) = C120) Y iguales fuerzas _ "mí _› _ ”'f elásticas en resortes f : Í . VciÚ) w - Vmm L ! ij-umas gioifaj capaci
  3. 3. Caso 1.' Osci/ acfones Paralelas ¡gua! Frecuencía rm): .X0, costroi -i~p¡) x2 (I) = X o: cos(a›1 + p-z) ó' = p, - p, : Desfasaje : > xR(I) : XM ços(wt+pk) , con: XM z , /(X, ,, +X¡, ¡_cosã)2 + X0, sinaY X02 sínô J Paulina (m) = +t 'l «JR p' an [XogrXozcosã Caso 2.' Osci/ aciones Para/ elas Distínta Frecuencía x! (t) 3 XM 005ml¡ + (m i . _ _. ._3:~: :t"2:é: :~m~: ---Í x, (r) = X02 c0s(a›2l+p¡ ) , (si xo, = x02 = xo) 1 j l i i i *ma* : >x, ¡(t)= z'0,¡(r)cos(a›, t+p, ) , con: h _ - ' a 3 XM (I) = 2X0 cos(a›, t + p, ), . i E l m2 " wi 7,2 "901 a: =---- , = -~«- _. l 2 WI J Q 1 a), JLÍÊBL, , : $73.41 ÍÍ_ _o 2 2 . _kum a Caso 3.' Osci/ aciones Perpendicu/ ares Igual Frecuencía Y x(t) = X0 cos(a›t + px) y(I) = Yo cos(a›t + p, ) ô = p¡ - p, : Desfasaje :7(r)= x(r)í+y(z)j , con: 2 2 xfll-y-»ÊQ-cosõzsinzã r X0 o( XoYn ' Caso 4 OscI/ ac/ ones Pe/ pend/ 'culares Dist/ nta Frecuenc/ a Y x(r) = X0 cosüuxt +p. ) ia” i l “i y(I) z Yo cos(w, .t + p, .) " g g , l 's _ ~ x z 1% , l/ : ,› ? (1) : x(¡)i + y(I) i' i r Íi 'i i ' i _ a i Í as x. . , .i m. . _ --. A4 au_ _ n? c¡ : IG -al J? "JIJ a7 u¡ H5 9.x |
  4. 4. O Oscilaciones Armónicas Amoitiguadas Sistema BIoque-ResoifeAmortigiiador f, (t) = rv(t) Fuerza viscosa r d 2x E, - + 72;- + pá; = 0 Coeficiente de viscosidad [Kg/ s] Ec. Dif. Mov. Amortiguado m 's Coeficiente de amortiguamiento [ils] 2 _r 2 Caso 1: Amortiguamiento Fuerte (wã < ) a x(t) = AZ 2' coshü, [là-- pá Jr + BJ - - z 72 'Z' Caso 2: Amortiguamiento Crítico (a), = ›4~) : a x(t) = l 2 (A + Br) Caso 3: Amortíguamiento Débi/ m; > K4; ) lv . . , . 2 x(t)= X,, l 1 cos(co'r+p) Posicion vs. Tiempo. (Oscilaciones Armonicas Amortiguadas vs. Tiempo) (Ecuacion de mov) (Solucion general Ec. Dif Caso 3) 2 con af- a): -ZÀ Frecuencia angular amortiguada r, = Tiempo de relajación del movimiento 7 1.51M = Em! ” Energia mecânica promedio por ciclo Q = 5)- Factor de Calidad de un Sistema Débilmente Amortiguado 7 Circuito R-L-C l = R' v lt ' l ' t - VR( ) 1(r) o aie en e resis or , iiLj vRm 1 / + _ ' - E E' é + É. ? + 7 É + wãq : - O Ec. Dif_ Estado amortiguado C d" d¡ VcÍÍ) 5 L VLU) Z . Si (1102 > L :2 + °'“ “““““ '” 4 , ci(t) q(i) z Q0427' cos(ú›'t + p) Oscilaciones de q(t) vs. Tiempo #li . a/ogias ii/ ¡ecaniixoEléctricas Ç _____ __ (E 'iííbies__ããiííg§yã'fi f_ E” , j "E ' 'rã-cgãzékãdéêiáéíáüíãaà g f f_ _ _ Bloque-Resorte inductor-Capacitor- Bloque-Resoite inductor-Capacitoi g i_ Arnoitiguador _ _r *Resistorr __ M_ Arnortiguadorr_ Resigr f _V Í Í_ __M! )___ __ _E_ , V319 E _to _ o rw_ _s_ , _ R
  5. 5. o Oscilaciones Armónicas Amoitiguadas Y ; uz-z _L R' y Forzadas Sistema BloqueResorte-Àmoiíiguado¡ têoizado f (t) = F0 cos(a›i) Fuerza del Foizador a) Frecuencía angular del forzador fm III/ III! !! e . j. -› dzx dx F X0) : í:- + 7; + pãx = -àcos(wt) ›, Ec. Dif. Mov. Amortiguado y Forzado L x(t) = xT(l)+x¡, (t) x, (t) Respuesta Transitoria. Se corresponde al movimiento amoitiguado (Casos 1, 2 ó 3) x, (t) Respuesta Permanente. Prevalece luego que se ha amortiguado x, (t) F . x(t)zx, ,(r)= w; sin(a›I-9) Posicion vs. Tiempo (Ecuación mov. ) (Oscilaciones na amortiguadas y foizadas) F v, (t) = Ê-, cosüot ~ 9) Velocidad vs. Tiempo - F _ . , . a X (t) = ,w ° sm(a›t 49) Aceleracion vs. Tiempo . k jg . . . . Z”, = r +) (ur - e = ZM Z lmpedancia mecanica del sistema a) . F0 2 wkgí razón de amplitud de fuerza aplicada por el foizador a | Zm(w)I = 7 = (r) + wm-- amplitud de Velocidad obtenida del bloque 0 k (om - ~ ' 9m) = 5_ z , an-i a) Atraso de la Velocidad oscilante obtenida del bloque 'i r respecto de Ia fuerza Oscilante aplicada por el foizador a = 0.7,, El sistema entra en estado de Resonancia 2 p” (t) z (t) um) = :icos(wr)cos(wi -0) potencia instantânea desarrollada por el foizador sobre el sistema bloque-resorte-amortiguador. 13,_ (ru) = %, -§'-, cos(9) Potencia mecânica promedio desarrollada por ciclo cos(i9) Factor de potencia f' P, ' *i* i JUL. i JH A , . = --- Reactancia Elastica À , _, = (om Reactancia marcial
  6. 6. Circuito R-L-C Serie Foizado i(t): . v(t) = V, cos(a›r) Voltaje de la fuente alterna ' Ã: j, // ;+~«_ . t Ç , dzq dq 2 Vo Va) w l L um -2-+7--+a)°q = ~cos(a›t) « . I_ _ dt dt L › . Ec. Dif. Estado amortiguado y forzado ~ + q(t) Vem q(t) = qi (t)_+ qptt) q, (t) Respuesta Transitoria. Se corresponde al movimiento amortiguado (Casos 1, 2 ó 3) q, (t) Respuesta Permanente. Prevalece luego que se ha amortiguado q, (r)_ q(t) z q , . (t) = É sin(a)t -9) Oscilaciones q(t) vs. Tiempo. Oscilaciones amortiguadas y a) forzadas de q(t) V i(t) = Z” cos(a›t -9) Comente vs. Tiempo Z, = R + ; (01 - = Z, Z” lmpedancia eléctrica del sistema a) V0 2 1 2_ razón de amplitud de voltaje aplicado por la fuente alterna | Ze (m) 2 T = (R) + “L “EE a amplitud de corriente obtenida del circuito 0 wL - -i- . . . @(60) = 5 _ z , an-i (oC Atraso de la corriente alterna obtenida del circuito "' R respecto del voltaje aplicado por la fuente alterna a; = p, EI sistema entra en estado de Resonancia 2 pE(t)= v(t). i(t) = -E°-cos(wt)cos(a›t~9) potencia instantânea desarrollada por la fuente de e voltaje sobre circuito RLC. --- V Z . P. (w) = l ° cos(9) Potencia eléctrica promedio desarrollada por ciclo " 2 [z, cos(9) Factor de potencia X , . = Reactancia Capacitiva X , _ = mL Reactancia lnductiva ru Analogias Mecânico-Eléctricas ____ íxlariablesíarjgalogas -_, . . _____ _ i Bio *seResorte , . i q” ° inouctor-Capacitor» i i j . . inducu. Capiacâtiui l Í Ampüoífatàacdor Resistor Serie Forzado 'micoorrfaudípjfàr I Resistor Serie Foizado l l? g fiíi _ _tio “ÍÍ í ; 'zm z. , _E l_ __ PMG). _ yet! )

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