U4_Estimación por intervalos de confianza y tipos de muestreo.pdf

1. Docente: Unidad: Estadística Aplicada a Los Negocios Estimación de intervalos de confianza y tipos de muestreo Fredy Vivanco Huaytara

2. Logro Importancia Al término de la unidad, el estudiante utiliza los diferentes tipos de distribuciones, modelos de estimación de parámetro puntual y por intervalos, y los tipos de muestreo para determinar el tamaño de la muestra en un contexto de investigación científica. Es importa describir las características generales de un universo de estudio, pero sin la necesidad de realizar el registro de datos a todos los elementos o unidades del conjunto o población, sino solo a una parte de esta llamada muestra, lo que permite economizar tiempo y dinero.

3. Contenido general • Estimaciones de intervalos de confianza • Muestreo y determinación del tamaño de la muestra

4. Estimaciones de intervalos de confianza • Estadística inferencial • Estimaciones de intervalos de confianza

5. Población (N) Estadísticos Parámetros Estadística Inferencial � 𝑿𝑿 𝑺𝑺𝟐𝟐 𝒑𝒑 𝜇𝜇 𝜎𝜎2 𝜋𝜋 Muestra (n) Estadística Inferencial

6. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜇𝜇) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜎𝜎2 ) 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜋𝜋) � 𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2 � 𝜋𝜋 = 𝑃𝑃 � 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 Estimador (𝜃𝜃 = ̂ 𝜃𝜃) Estadística Inferencial Consistente Eficiente Suficiente Proceso de utilizar información de una muestra (Estadísticos) para extraer conclusiones acerca de toda la población. Insesgado

7. Métodos de estimación: Estimación puntual: utilización de datos de la muestra para calcular un solo número para estimar el parámetro de interés. Estimación de intervalo: ofrece un intervalo de valores razonables dentro del cual se pretende que esté el parámetro de interés: θ(𝜇𝜇, 𝜎𝜎, 𝜋𝜋) Estadística Inferencial La inferencia estadística comprende 1. La estimación de parámetros (Estimación puntual y por intervalos) 2. Prueba de Hipótesis

8. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜇𝜇) 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜎𝜎2) 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃(𝜋𝜋) � 𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2 = �𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖 − � 𝑋𝑋 2 𝑛𝑛 − 1 � 𝜋𝜋 = 𝑃𝑃 = 𝑋𝑋 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑑𝑑 é𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑛𝑛 ̂ 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 = ∑𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑛𝑛 Estimación Puntual: Estadística Inferencial

9. Estadística Inferencial De la población de tallas de los estudiantes en La UTP año 2017, se extrae una muestra aleatoria de 8 alumnos, cuyos valores observados son: 1.50 1.6 1.58 1.45 1.52 1.68 1.62 1.55 . Halle un estimador puntual para la media, la varianza y la desviación estándar poblacionales. Solución: ̂ 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 = ∑𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑋𝑋𝑖𝑖 𝑛𝑛 = 1.5 + 1.6 + 1.58 + 1.45 + 1.52 + 1.68 + 1.62 + 1.55 8 = 1.56 𝑚𝑚𝑚𝑚 � 𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2 = �1 8 𝑋𝑋𝑖𝑖 − � 𝑋𝑋 2 𝑛𝑛 − 1 𝑆𝑆2 = 1.5 − 1.56 2 + 1.6 − 1.58 2 + ⋯ + 1.55 − 1.58 2 8 − 1 Media: Varianza = 0.0053 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 Estimación Puntual: Ejercicio

10. Estadística Inferencial Varianza 𝜎𝜎2 : � 𝜎𝜎2 = 𝑆𝑆2 = 0.0053 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 D𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸 𝜎𝜎: 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆2 𝑆𝑆 = 0.0053 𝑚𝑚𝑚𝑚 2 = 0.728 Estimación Puntual:

11. En lugar de indicar simplemente un único valor como estimación del parámetro poblacional θ(𝜇𝜇, 𝜎𝜎, 𝜋𝜋), lo que se hace es calcular un intervalo de valores en el que se tiene cierta probabilidad (confianza) de que se encuentre el verdadero valor de θ. Estadística Inferencial Estimación por intervalo de confianza Coeficiente o grado de confianza 𝑃𝑃( ̂ 𝜃𝜃 − 𝜀𝜀 < 𝜃𝜃 < ̂ 𝜃𝜃 + 𝜀𝜀) = 1 − 𝛼𝛼 Es decir, se puede garantizar con una probabilidad de 1-𝛼𝛼 que la muestra elegida contendrá el valor verdadero(𝜇𝜇, 𝜎𝜎, 𝜋𝜋) 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷(𝒑𝒑): 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝑛𝑛 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴( � 𝑋𝑋): 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝜀𝜀: (Error Estándar= EE)

12. Distribucion Muestral Media. ̅ 𝑥𝑥1 𝑛𝑛1 ̅ 𝑥𝑥1 𝑛𝑛1 ̅ 𝑥𝑥1 𝑛𝑛1 ̅ 𝑥𝑥1 𝑛𝑛1 Muestra1 Muestra2 Muestra3 Muestra 5 ) 𝑋𝑋~𝑁𝑁(𝜇𝜇, 𝜎𝜎2 � 𝑋𝑋~𝑁𝑁 𝜇𝜇, 𝜎𝜎 𝑛𝑛 n>30 Teorema Límite Central Estadística Inferencial Estimación por intervalo de confianza

13. µ Al calcular un intervalo de confianza al 95%, ello quiere decir que el 95% de las veces que repitamos el proceso de muestreo (y calculemos el estadístico), el verdadero valor del parámetro poblacional θ (𝜇𝜇, 𝜎𝜎, 𝜋𝜋) estará dentro de tal intervalo. Estadística Inferencial Estimación por intervalo de confianza Intervalo de confianza para una media población (𝝁𝝁) 1 − 𝛼𝛼 = 95%, 90%, 99% Interpretación 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴( � 𝑋𝑋): 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴( � 𝑋𝑋): 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑆𝑆 𝑛𝑛 � 𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑁𝑁 − 1

14. 𝑍𝑍𝛼𝛼 2 𝑍𝑍1− 𝛼𝛼 2 � 𝛼𝛼 2 � 𝛼𝛼 2 1 − 𝛼𝛼 𝑃𝑃 −𝑍𝑍1− 𝛼𝛼 2 ≤ ̅ 𝑥𝑥 − 𝜇𝜇 ⁄ 𝜎𝜎 𝑛𝑛 ≤ 𝑍𝑍1− 𝛼𝛼 2 = 1 − 𝛼𝛼 𝑃𝑃 ̅ 𝑥𝑥 − 𝑍𝑍1− 𝛼𝛼 2 � 𝜎𝜎 𝑛𝑛 ≤ 𝜇𝜇 ≤ ̅ 𝑥𝑥 + 𝑍𝑍1− 𝛼𝛼 2 � 𝜎𝜎 𝑛𝑛 = 1 − 𝛼𝛼 Coeficiente o grado de confianza Estadística Inferencial Estimación por intervalo de confianza Intervalo de confianza para una media población (𝝁𝝁)

15. 𝑃𝑃( ̂ 𝜃𝜃 − 𝜀𝜀 < 𝜃𝜃 < ̂ 𝜃𝜃 + 𝜀𝜀) = 1 − 𝛼𝛼 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para una media población (𝝁𝝁) 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 𝟏𝟏: Tamaño de la muestra 𝑛𝑛 ≥ 30 IC 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑛𝑛 ) 𝐼𝐼𝐼𝐼(𝜇𝜇 = � 𝑿𝑿 − 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑛𝑛 𝐿𝐿𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 ≤ 𝜇𝜇 ≤ � 𝑿𝑿 + 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑛𝑛 𝐿𝐿𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 IC 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ 𝑆𝑆 𝑛𝑛 Simplificado ó

16. IC 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 − 𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑆𝑆 𝑛𝑛 ≤ 𝜇𝜇 ≤ � 𝑋𝑋 + 𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑆𝑆 𝑛𝑛 IC 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 ± 𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑆𝑆 𝑛𝑛 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para una media población (𝝁𝝁) 𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪𝑪 2: Tamaño de la muestra 𝑛𝑛 < 30 Simplificado

17. Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para una media población (𝝁𝝁) Población Infinita 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴( � 𝑋𝑋): 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑆𝑆 𝑛𝑛 Población finita 𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴𝑴( � 𝑋𝑋): 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑆𝑆 𝑛𝑛 � 𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑁𝑁 − 1 Nivel confianza 𝒁𝒁𝟏𝟏− 𝜶𝜶 𝟐𝟐 90% 1.645 95% 1.96 98% 2.33 99% 2.58 Paso 1: Leer detenidamente y encontrar la variable de interés Paso 2: Identificar el tamaño de la muestra Paso 3: Encontrar los datos (𝑛𝑛, � 𝑋𝑋, 𝜎𝜎 = � 𝜎𝜎 = 𝑆𝑆) y el nivel de confianza

18. Para un estudio ambiental, en una ciudad se toma una muestra aleatoria de 35 casas y se calcula que el peso medio diario de basura producida es 3.160 kg. Por censos anteriores, se sabe que cada casa produce una cantidad de basura que tiene una desviación estandar de 0.9 kg. halle un intervalo de confianza del 95% para el peso medio total de basura producida por las casas de Lima. Asumir normalidad de la variable de interés. 𝑛𝑛 = 35 � 𝑋𝑋 = 3.160 Datos población 𝜎𝜎 = 0.9 Datos Muestra IC 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑛𝑛 Solución: IC µ = 3.160 ± 1.96 ⋅ 0.9 35 IC µ = 2.862 𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 3.458 𝑘𝑘𝑘𝑘 Se tiene un nivel de confianza del 95% que el peso total promedio de basura Producida en una casa durante un día esta en el intervalo 2.862 𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 3.458 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑍𝑍 1− 0.05 2 𝑍𝑍 0.975 =1.96 Reemplazando Estadística Inferencial Estimación Por intervalo para media (𝝁𝝁𝟏𝟏): Ejercicio n>30 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 𝑋𝑋:Peso de basura diario

19. Se hizo una investigación sobre el peso de una rara clase de tortugas en peligro de extinción en la selva del Perú. Se toma una muestra de 20 especies, elegidos aleatoriamente, y se calculó un peso medio de 9.8525 kg y una desviación estándar de 0.0965. Calcular un intervalo de confianza con un 95% para el verdadero peso medio de las tortugas en peligro de extinción. 𝑛𝑛 = 20 � 𝑋𝑋 = 9.8525 𝑆𝑆 = 0.0965 Datos población 𝑁𝑁𝑁𝑁 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Datos Muestra Solución: IC µ = 9.8525 ± 2.093 ⋅ 0.0965 35 IC µ = 9.82 𝑘𝑘𝑘𝑘 , 9.89 𝑘𝑘𝑘𝑘 Se tiene un nivel de confianza del 95% que el verdadero peso promedio de las tortugas en peligro de extinción se encuentra en el intervalo 9.82 𝑘𝑘𝑘𝑘 9.89 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑇𝑇 1− 0.05 2 ,𝑛𝑛−1 𝑇𝑇 0.975,19 =2.093 Reemplazando IC 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 ± 𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 ⋅ 𝑆𝑆 𝑛𝑛 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo para media (𝝁𝝁𝟏𝟏): Ejercicio n<30 𝑋𝑋:Peso de una tortuga

20. Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para una media población (𝝁𝝁) 𝑇𝑇 1− 0.05 2 , 𝑛𝑛−1 𝑇𝑇 0.975, 19 =2.093

21. Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para una media población (𝝁𝝁) 𝑍𝑍 1− 0.05 2 = 𝑍𝑍 0.975 =1.96

22. Se desea estimar el peso medio de un lote de 10,000 muñecos navideños que un banco otorga a sus clientes. Para ello se selecciona una muestra aleatoria de 41 muñecos, la cual da una media de 200 gramos. Calcule e interprete intervalos de confianza del 95 % para el verdadero peso promedio. El proveedor de la totalidad de los muñecos estima que el peso medio tiene una desviación estándar de 25 gramos 𝑛𝑛 = 41 � 𝑋𝑋 = 200 Datos población 𝑁𝑁 = 10000 𝜎𝜎 = 25 Datos Muestra IC 𝜇𝜇 = � 𝑋𝑋 ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ 𝜎𝜎 𝑛𝑛 𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑁𝑁 − 1 Solución: IC µ = 200 ± 1.96 ⋅ 25 41 10000 − 41 10000 − 1 IC µ = 192.36 𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 267.64 𝑘𝑘𝑘𝑘 Se tiene un nivel de confianza del 95% que el verdadero peso promedio de los muñecos esta en el intervalo 192.36 𝑘𝑘𝑘𝑘 ; 267.64 𝑘𝑘𝑘𝑘 𝑍𝑍 1− 0.05 2 𝑍𝑍 0.975 =1.96 Reemplazando 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo para media (𝝁𝝁𝟏𝟏): Ejercicio n>30, población finita 𝑋𝑋:Peso de un muñeco navideño

23. IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = ( � 𝑋𝑋1− � 𝑋𝑋2) ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 𝜎𝜎1 2 𝑛𝑛1 + 𝜎𝜎2 2 𝑛𝑛2 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para diferencia de medias poblacionales (𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐) caso 1: varianza poblacional Conocida: (muestras >30) caso 2: varianza poblacional desconocida pero iguales σ1 2 = σ2 2 IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = � 𝑋𝑋1 − � 𝑋𝑋2 ±𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2 ,𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑆𝑆𝑃𝑃 2 1 𝑛𝑛1 + 1 𝑛𝑛2 𝐺𝐺𝐺𝐺 = 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 − 2 𝑆𝑆𝑃𝑃 2 = 𝑛𝑛1 − 1 𝑆𝑆1 2 + (𝑛𝑛2 − 1)𝑆𝑆2 2 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 − 2

24. Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para diferencia de medias poblacionales (𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐) caso 3: varianza poblacional desconocida pero iguales 𝜎𝜎1 2 ≠ 𝜎𝜎2 2 IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = ( � 𝑋𝑋1− � 𝑋𝑋2) ± 𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2,𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑠𝑠1 2 𝑛𝑛1 + 𝑆𝑆2 2 𝑛𝑛2 gl = 𝑠𝑠1 2 𝑛𝑛1 + 𝑆𝑆2 2 𝑛𝑛2 2 𝑠𝑠1 2 𝑛𝑛1 2 𝑛𝑛1 − 1 + 𝑆𝑆2 2 𝑛𝑛2 2 𝑛𝑛2 − 1

25. En un estudio para determinar el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B, se toma una muestra al azar de 200 hogares de A arrojando un gasto medio de S/. 250 y una desviación estándar de 15. Una muestra al azar de 180 hogares de la ciudad B da una gasto medio de 235 y una desviación estándar de 10. a) Determine un intervalo de confianza del 99 % para la diferencia del gasto medio en las ciudades A y B. b) ¿Es diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B? Datos población 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.99 𝛼𝛼 = 0.01 Datos Muestra 𝑍𝑍 1− 0.05 2 𝑍𝑍 0.995 =2.58 𝑋𝑋𝑋𝑋:Gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades… A 𝑛𝑛1 = 200 � 𝑋𝑋1 = 250 𝑆𝑆1 = 15 B 𝑛𝑛2 = 180 � 𝑋𝑋2 = 235 𝑆𝑆2 = 10 IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟓𝟓𝟓𝟓 − 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 ± 2.58 � 152 200 + 102 180 ⋅ 11.66 ≤ 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 ≤ 18.34 Con el 99% de confianza, la diferencia del gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B se encuentra entre S/. 11.66 y 18.34. IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = (� 𝑿𝑿𝟏𝟏−� 𝑿𝑿𝟐𝟐) ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 𝑆𝑆1 2 𝑛𝑛1 + 𝑆𝑆2 2 𝑛𝑛2 No hay Datos Estadística Inferencial Estimación Por intervalo para media(𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐): Ejercicio Solución a:

26. Responder a la pregunta ¿Es diferente el gasto medio mensual en arbitrios en las ciudades A y B? implica responder si ¿ A ≠ B? o también ¿A - B ≠ 0? Si apreciamos el intervalo de confianza construido en 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 no puede ser cero, es decir, el gasto medio mensual en arbitrios en ambas ciudades es diferente. 11.66 ≤ 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 ≤ 18.34 Si IC=(+,+), P(+ <µA - µB < +)=1-α Si IC=(-,-), P(- < µA - µB < - )=1-α Si IC=(-,+), P(- < µA - µB < +)=1-α µA > µB µA < µB µA = µB Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Solución b:

27. Un alumno de la UTP en su tesis pretende comparar el contenido de 𝐶𝐶𝐶𝐶2 que emanan 2 tipos de vehículos deportivos nuevos (Speeddy, Correcaminos), para ello toma 10 muestras en el primero y 8 en el segundo. En el primero encuentra un contenido medio de 3.1 PPM y 2.7 PPM y una desviación estandar de 0.5 y 0.7 respectivamente. Suponiendo que los conjuntos de datos provienen de muestras tomadas al azar de poblaciones normales con varianzas iguales, construya un intervalo de confianza del 95% para la diferencia real de contenido de 𝐶𝐶𝐶𝐶2. Estimación Por intervalo para media(𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐): Ejercicio Estadística Inferencial

28. Datos población 𝑁𝑁𝑁𝑁 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 Datos Muestra 𝑇𝑇 1− 0.05 2 ;𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑇𝑇 0.975,16 =2.12 𝑋𝑋𝑋𝑋:contenido de 𝐶𝐶𝐶𝐶2 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 2 𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣𝑣 Speedy 𝑛𝑛1 = 10 � 𝑋𝑋1 = 3.1 𝑆𝑆1 = 0.5 Correcaminos 𝑛𝑛2 = 8 � 𝑋𝑋2 = 2.7 𝑆𝑆2 = 0.7 IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = � 𝑿𝑿𝟏𝟏 −� 𝑿𝑿𝟐𝟐 ±𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2 ,𝐺𝐺𝐺𝐺 𝑆𝑆𝑃𝑃 2 1 𝑛𝑛1 + 1 𝑛𝑛2 IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 𝟑𝟑. 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐. 𝟕𝟕 ± 2.12 � 0.355 1 10 + 1 8 gl=10+8−2=16 𝑆𝑆𝑃𝑃 2 = �10 − 1)0.52 + (8 − 1)0.72 10 + 8 − 2 𝑆𝑆𝑃𝑃 2 = 0.355 −0,199 ≤ 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 ≤ 0.99 Con el 95% de confianza, la verdadera diferencia media del contenido de CO2 que eman los 2 vehiculos. encuentra entre -0.199 y 0.99. Estadística Inferencial Solución a:

29. En un estudio para determinar si hay diferencia en el salario semanal de los hombres y las mujeres de una gran empresa se toma una muestra de 18 hombres encontrándose un promedio de S/. 420 y una desviación estándar de S/. 50, mientras que en una muestra de 15 mujeres se encontró un promedio de S/. 360 y una desviación estándar de S/. 90. Se pide encontrar el intervalo de confianza del 95% para la diferencia de los salarios medios de hombres y mujeres. En dicho país se sabe que los sueldos medios semanales tienen una variabilidad diferente. Estimación Por intervalo para media(𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐): Ejercicio Estadística Inferencial

30. Datos población 𝜎𝜎1 2 ≠ 𝜎𝜎2 2 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 Datos Muestra 𝑇𝑇 1− 0.05 2 ;𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑇𝑇 0.975,21 =2.08 𝑋𝑋𝑋𝑋:Salario semanal de Hombres y mujeres Mujeres 𝑛𝑛2 = 15 � 𝑋𝑋2 = 360 𝑆𝑆2 = 90 Hombres 𝑛𝑛1 = 18 � 𝑋𝑋1 = 420 𝑆𝑆1 = 50 IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = 420 − 360 ± 2.08 � 502 18 + 902 15 5.804 ≤ 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 ≤ 114.2 La diferencia entre los salarios medios semanales de hombres y mujeres se encuentra comprendido entre S/. 5.804 y S/. 114.2 con el 95% de confianza. IC 𝝁𝝁𝟏𝟏 − 𝝁𝝁𝟐𝟐 = ( � 𝑋𝑋1− � 𝑋𝑋2) − 𝑇𝑇 1− 𝛼𝛼 2 ,𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑠𝑠1 2 𝑛𝑛1 + 𝑆𝑆2 2 𝑛𝑛2 gl = 502 18 + 902 15 2 502 18 2 18 − 1 + 902 15 2 15 − 1 gl = 20.98 = 21 Estadística Inferencial Solución a:

31. IC 𝝅𝝅 = 𝑝𝑝 ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ 𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝑛𝑛 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para proporción (𝝅𝝅) Población finita 𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 𝑃𝑃 : 𝐸𝐸𝐸𝐸 = 𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝑛𝑛 � 𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑁𝑁 − 1

32. Estadística Inferencial En una muestra aleatoria de 600 compradores de un centro comercial, se encontró que 360 están a favor de que se construya un ascensor adicional. Calcule e interprete un intervalo del 95% de confianza para la proporción verdadera de compradores que quieren se construya un ascensor adicional Estimación Por intervalo para una proporción (𝜋𝜋): Ejercicio

33. 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝝅𝝅 = 𝒑𝒑 ± 𝑍𝑍(1− 𝛼𝛼 2 ) . 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝) 𝑛𝑛 𝑛𝑛 = 600 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 360 600 = 0.6 Datos población 𝑁𝑁𝑁𝑁 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 Datos Muestra 𝑍𝑍 1− 0.05 2 𝑍𝑍 0.975 =1.96 𝑋𝑋: 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑎𝑎 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐: 𝑋𝑋=360 p = proporción muestral de compradores que están a favor.. 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜋𝜋 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 ± 1,96. 0,6(0,4) 600 0,561 ≤ 𝜋𝜋 ≤ 0,639 con un 95% de confianza la verdadera proporción (porcentaje) de compradores que quieren que se construya un segundo ascensor en el centro comercial, se encuentra entre 0.561 y 0.639 (56.1% y 63.9%). Estadística Inferencial 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 Solución :

34. Estadística Inferencial De un área de la ciudad en la que habitan 500 familias se extrae una muestra aleatoria de 50 familias, obteniéndose los siguientes datos sobre el número de hijos por familia: Hijos por familia 0 1 2 3 4 5 familias 20 10 7 6 4 3 Calcule e interprete intervalos de confianza del 90 % para estimar La proporción de familias con menos de 2 hijos en el área. Estimación Por intervalo para una proporción (𝜋𝜋): Ejercicio

35. 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜋𝜋 = 𝑝𝑝 ± 𝑍𝑍(1− 𝛼𝛼 2 ) . 𝑝𝑝(1 − 𝑝𝑝) 𝑛𝑛 𝑁𝑁 − 𝑛𝑛 𝑁𝑁 − 1 𝑛𝑛 = 50 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑛𝑛 = 30 50 = 0.6 Datos población 𝑁𝑁 = 500 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.90 𝛼𝛼 = 0.1 Datos Muestra 𝑍𝑍 1− 0.1 2 𝑍𝑍 0.95 =1.645 𝑋𝑋:familias con menos de 2 hijos , 𝑋𝑋=30 p = proporción muestral familias con menos 2 hijos 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜋𝜋 = 0,6 ± 1,645. 0,6(0,4) 600 500 − 50 499 0,551 ≤ 𝜋𝜋 ≤ 0,65 con un 90% de confianza la verdadera proporción (porcentaje) de familias con menos de 2 hijos se encuentra entre 55,1% y 65% Estadística Inferencial Solución :

36. IC 𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2 = 𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 ± 𝑍𝑍 1− 𝛼𝛼 2 ⋅ ) 𝑃𝑃1(1 − 𝑝𝑝1 𝑛𝑛1 + ) 𝑃𝑃2(1 − 𝑝𝑝2 𝑛𝑛2 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para la diferencia de proporción (𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2)

37. Estadística Inferencial Una empresa de estudios de mercado quiere estimar las proporciones de hombres y mujeres que conocen un producto promocionado a escala nacional. en una muestra aleatoria de 100 hombres y 200 mujeres se determina que 20 hombres y 60 mujeres están familiarizados con el artículo indicado. a) Calcular el intervalo de confianza de 95 % para la diferencia de proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto. b) Son iguales las proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto?. Estimación Por intervalo para diferencia proporciones (𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2): Ejercicio

38. Datos población 𝑁𝑁𝑁𝑁 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 Datos Muestra 𝑍𝑍 1− 0.05 2 𝑍𝑍 0.975 =1.96 𝑋𝑋𝑋𝑋: h𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑜𝑜 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 p = proporción de h𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑜𝑜 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 −0,2009 ≤ 𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2 ≤ 0,0009 Con el 95% de confianza, la diferencia de proporciones verdadera de hombres y de mujeres que conocen el producto, está entre -0.2009 y 0.0009. Hombres 𝑛𝑛1 = 100 𝑝𝑝1 = 20 100 𝑝𝑝1 = 0,2 Mujeres 𝑛𝑛2 = 200 𝑝𝑝2 = 60 200 𝑝𝑝2 = 0,3 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2 = 𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 ± 𝑍𝑍(1− 𝛼𝛼 2 ) . 𝑃𝑃1(1 − 𝑃𝑃1) 𝑛𝑛1 + 𝑃𝑃2(1 − 𝑃𝑃2) 𝑛𝑛2 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2 = 0,2 − 0,3 ± 1,96. 0,2 (0,8) 100 + 0,3 (0,7) 200 Solución a : Estadística inferencial Solución b : Son iguales las proporciones de hombres y mujeres que conocen el producto?. Rpta: SI

39. Estadística inferencial Se entrevistaron dos grupos de mujeres de una tienda muy famosa respecto a su nivel de satisfacción por la nuevas prendas de vestir importadas de China. El 20% de las mujeres menores a 50 años , de una muestra aleatoria de 300, estuvieron satisfechas, mientras que el 27% de las mujeres mayores a 50 años, de una muestra de 200, estuvieron satisfechas. Calcule e interprete un intervalo del 99 % de confianza para la diferencia entre las verdaderas proporciones de mujeres menores de 50 años y las de 50 años a más que estuvieron satisfechas por las prendas chinas. Estimación Por intervalo para diferencia proporciones (𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2): Ejercicio

40. Mujeres <50 𝑛𝑛1 = 300 𝑝𝑝1 = 0,2 Mujeres >50 𝑛𝑛2 = 200 𝑝𝑝2 = 0,27 Datos población 𝑁𝑁𝑁𝑁 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.99 𝛼𝛼 = 0.01 Datos Muestra 𝑍𝑍 1− 0.01 2 𝑍𝑍 0.995 =2.58 P= proporción de clientes satisfechas Interpretación: la diferencia de proporciones de mujeres menores de 50 años y las de 50 años a más que mostraron satisfacción por las prendas chinas, está entre -0.17 y 0.03 con el 99% de confianza. 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2 = 𝑃𝑃1 − 𝑃𝑃2 ± 𝑍𝑍(1− 𝛼𝛼 2 ) . 𝑃𝑃1(1 − 𝑃𝑃1) 𝑛𝑛1 + 𝑃𝑃2(1 − 𝑃𝑃2) 𝑛𝑛2 𝐼𝐼𝐼𝐼 𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2 = 0,2 − 0,27 ± 2,58. 0,2 (0,8) 300 + 0,27 (0,73) 200 −0,17 ≤ 𝜋𝜋1 − 𝜋𝜋2 ≤ 0,03 Estadística Inferencial Solución :

41. IC 𝜎𝜎2 = (𝑛𝑛 − 1)𝑆𝑆2 𝑋𝑋2 1− 𝛼𝛼 2,𝑛𝑛−1 ≤ 𝜎𝜎2 ≤ (𝑛𝑛 − 1)𝑆𝑆2 𝑋𝑋2 𝛼𝛼 2,𝑛𝑛−1 Estadística Inferencial Estimación Por intervalo Intervalo de confianza para la varianza (𝝈𝝈𝟐𝟐) Distribución Ji- Cuadrada

42. En una muestra aleatoria de 25 estudiantes el promedio de tiempo de estudio para el examen final de un determinado curso es 5.2 horas y una desviación estándar de 3.1 horas. Calcule e interprete un intervalo del 95% para la desviación estándar del tiempo en horas de estudio para el examen final de dicho curso Estudiantes 𝑛𝑛 = 25 � 𝑋𝑋 = 5.2 𝑆𝑆 = 3.1 Datos población 𝑁𝑁𝑁𝑁 ℎ𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 1 − 𝛼𝛼 = 0.95 𝛼𝛼 = 0.05 Datos Muestra 𝑋𝑋; 𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒 ℎ𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 con una confianza del 95% la desviación estándar del tiempo de estudio esta comprendido de 2.42 a 4.31 horas IC 𝜎𝜎2 = (𝑛𝑛 − 1)𝑆𝑆2 𝑋𝑋2 1− 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 ≤ 𝜎𝜎2 ≤ (𝑛𝑛 − 1)𝑆𝑆2 𝑋𝑋2 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 𝑋𝑋2 1− 𝛼𝛼 2,𝑛𝑛−1 = 𝑋𝑋2 0.975,24 =39.4 𝑋𝑋2 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 =𝑋𝑋2 0.025,24 = 12.4 IC 𝜎𝜎2 = (25 − 1)3.12 39.4 ≤ 𝜎𝜎2≤ (25 − 1)3.12 12.4 IC 𝜎𝜎2 = 5.85 ≤ 𝜎𝜎2 ≤ 18.6 IC 𝜎𝜎 = 2.42 ≤ 𝜎𝜎 ≤ 4.31 Solución : Estadística Inferencial Estimación por intervalo para varianza 𝜎𝜎2: Ejercicio

43. 𝑋𝑋2 1− 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 = 𝑋𝑋2 0.975,24 =39.4 𝑋𝑋2 𝛼𝛼 2 ,𝑛𝑛−1 =𝑋𝑋2 0.025,24 = 12.4 Estadística Inferencial Estimación por intervalo para varianza 𝜎𝜎2: Ejercicio

44. Muestreo y determinación del tamaño de la muestra • Tamaño de la muestra • Muestreo

45. Tamaño de muestra Estadística Inferencial 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀: 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍2 � 𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝐸𝐸2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷: 𝐸𝐸 = 𝑝𝑝 − 𝜋𝜋 Para la Proporción Población Infinita Población finita 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁𝑍𝑍2 𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝐸𝐸2 𝑁𝑁 − 1 + 𝑍𝑍2𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) Donde: n = el tamaño de la muestra, N = tamaño de la población. 𝑝𝑝 = Proporción poblacional o muestral. (P=0.5 ni no es conocido) Z : NC=90% Z=1,645, NC=95% Z=1,96 , NC=99% Z=2.58 𝐸𝐸 = Límite aceptable de error muestral Varia del 1% (0,01) y 9% (0,09), valor que queda a criterio del encuestador.

46. El área de calidad de una embotelladora, quiere determinar la proporción de reclamos sobre el sabor de sus bebidas, para ello desea determinar la muestra de clientes necesarios con una confianza del 99% si desea cometer un error máximo del 5%. Por estudios pilotos se sabe que 4 de cada 10 clientes presentan reclamos por el sabor. N=Infinito 𝑍𝑍 = 2.58 𝑝𝑝 = 0.4 𝐸𝐸 = 0.05 n = 2.582 � 0.4(0.6) 0.052 = 369 clientes 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍2 � 𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝐸𝐸2 Dato: Tamaño de muestra Estadística Inferencial Para la Proporción Ejercicio Solución

47. En un hotel, saben que el nivel de satisfacción de sus clientes ronda el 90% y quieren realizar un estudio para ver si la nueva gestión de limpiezas ha sido de su agrado. ¿Cuál sería el tamaño necesario para la muestra, si el total de clientes del hotel es de 10 000? Suponga un nivel de confianza para los resultados del estudio del 95% y un error máximo permitido del 5%. N=10 000 𝑍𝑍 = 1,96 𝑝𝑝 = 0.9, q=0.1 𝐸𝐸 = 0.05 Dato: Tamaño de muestra Estadística Inferencial Para la Proporción 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁𝑍𝑍2 𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝐸𝐸2 𝑁𝑁 − 1 + 𝑍𝑍2𝑃𝑃(1 − 𝑃𝑃) 𝑛𝑛 = 10000 1.962 (0.9)(0.1) 0.052(10000 − 1) +1.962 (0.9)(0.1) 𝑛𝑛 = 136.42, 𝑛𝑛 = 137 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 Ejercicio Solución

48. Tamaño de muestra Estadística Inferencial 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀: 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍2 � 𝜎𝜎2 𝐸𝐸2 𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷: 𝐸𝐸 = � 𝑋𝑋 − 𝜇𝜇 Para la media Población Infinita Población finita 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁𝜎𝜎2𝑍𝑍2 𝑁𝑁 − 1 𝐸𝐸2 + 𝜎𝜎2𝑍𝑍2 Donde: n = el tamaño de la muestra, N = tamaño de la población. 𝜎𝜎 = Desviación estándar de la población o S muestra piloto. Z : NC=90% Z=1,645, NC=95% Z=1,96 , NC=99% Z=2.58 𝐸𝐸 = Límite aceptable de error muestral

49. Se hace un estudio de mercado, Para estimar la venta promedio mensual de una nueva marca de gaseosas en las tiendas, ¿Qué tamaño de muestra debe tomarse, si se desea que ̅ 𝑥𝑥 difiera de µ en menos de S/. 30, con el 95 % de confianza?. En una encuesta piloto previo a un conjunto de tiendas se obtuvo una desviación estándar de 120 soles. N = infinito 𝑍𝑍 = 1.96 𝑆𝑆 = 120 𝐸𝐸 = 30 n = 1.962 � 1202 302 = 61 tiendas 𝑛𝑛 = 𝑍𝑍2 � 𝜎𝜎2 𝐸𝐸2 Dato: Tamaño de muestra Estadística Inferencial Para la media Ejercicio Solución

50. Calcular el tamaño de la muestra de una población de 500 piezas de microchips, con la finalidad de conocer la longitud media de estas, a razón de que el gerente de calidad sospecha que esta longitud no cumple con las especificaciones. Use un nivel de confianza del 95% y un error 0.05 cm y una desviación estándar de 0.5 𝑁𝑁 = 500 𝑍𝑍 = 1.96 𝜎𝜎2 = 0.5 𝐸𝐸 = 0.05 Dato: Tamaño de muestra Estadística Inferencial Para la media 𝑛𝑛 = 𝑁𝑁𝜎𝜎2 𝑍𝑍2 𝐸𝐸2 𝑁𝑁 − 1 + 𝜎𝜎2𝑍𝑍2 𝑛𝑛 = 500 � 0,52 � 1,962 0,052 500 − 1 + 0,52 � 1,962 𝑛𝑛 = 500 � 0,52 � 1,962 0,052 500 − 1 + 0,52 � 1,962 = 217.49 = 218 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 Ejercicio Solución

51. Población (N) Estadísticos Parámetros Muestra (n) Estadística Inferencial Muestreo El muestreo es el proceso de seleccionar un conjunto de individuos de una población con el fin de estudiarlos y poder caracterizar el total de la población Tipos de muestreo

52. Tipos de muestreo • De Conveniencia. • Por Cuotas. • Por Bola de nieve • Aleatorio simple. • Aleatorio sistemático. • Aleatorio estratificado. • Por Conglomerados. Muestreo Probabilístico Muestreo no Probabilístico Se basan en el principio de la equiprobabilidad, es decir todos los individuos tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar parte de una muestra.  Representatividad  GeneralizaciónEstadísti ca Inferencial Estadística Inferencial  La muestra no es representativa  No permite realizar inferencias para la población bajo investigación.

53. Tipos de muestreo • Aleatorio simple. Muestreo Probabilístico Estadística Inferencial Paso1: Definir Marco Muestral ( lista total de las unidades de análisis N) Paso2: Determinar el tamaño de la muestra(n) Paso3: Generar números aleatorios a fin de elegir las unidades de análisis  Población N = 54 viviendas  Muestra n = 18  Fracción muestral p = n / N = 18 / 54 = 1/3  Cada vivienda tiene probabilidad de selección 1/3  Se seleccionan 18 números aleatorios entre 1 y 54  Se seleccionan las viviendas correspondientes Ejemplo:

54. Tipos de muestreo Muestreo Probabilístico Estadística Inferencial • Aleatorio sistemático. Paso1: Definir el marco muestral, listado poblacional de las unidades de análisis Paso2: Determinar el tamaño de la muestra(n) Paso3: Definir el intervalo de salto; P=N/n Paso4: Elegir un número aleatorio( de inicio) entre 1 y P por ejemplo r Seleccionar las unidades r, r+p, r+2p, r+3p

55. Tipos de muestreo Muestreo Probabilístico Estadística Inferencial • Aleatorio sistemático. Ejemplo: Seleccionar muestra de n = 20 empresas de lista de N = 500 empresas ● Esto significa que 1 de cada 25 empresas de la población se seleccionará ( intervalo de salto 500/20 =25) ● Utilizando # al azar seleccionamos un número entre 1 y 25. ● Suponga que el # seleccionado es 7. ● Entonces la 1ra empresa. Seleccionada es el # 7 lista. ● Las otras 19 empresas de la muestra se obtienen sumando al 7 el intervalo de selección 25. ● Es decir: 07, 32, 57 , ..........

56. N2 Estrato 2 (Empresas medianas) Estrato 3 (Empresas pequeñas) Estrato 1 (Empresas grandes) Poblacion Estratos N1 N3 n1 n2 n3 Estadística Inferencial Muestreo Probabilístico Aleatorio estratificado. 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞𝑞, 𝑁𝑁 = 𝑁𝑁1 + 𝑁𝑁2 + 𝑁𝑁3 ⇒ 𝑁𝑁 = � ℎ=1 𝐿𝐿 𝑁𝑁ℎ 𝑛𝑛 = 𝑛𝑛1 + 𝑛𝑛2 + 𝑛𝑛3 ⇒ 𝑛𝑛 = � ℎ=1 𝐿𝐿 𝑛𝑛ℎ

57. Tipos de muestreo Muestreo Probabilístico Estadística Inferencial • Por Conglomerados. La población podría estar muy dispersa geográficamente o aparecer en cúmulos naturales, como las escuelas, hospitales, manzanas, familias. El muestreo por conglomerados se utiliza en la práctica debido a que es más barato y conveniente obtener muestras por conglomerados que al azar entre la población. Se entiende la población como jerarquía de unidades • personas viven en viviendas • viviendas constituyen manzanas • muchas manzanas hacen una ciudad

58. Tipos de muestreo Muestreo Probabilístico Estadística Inferencial • Por Conglomerados. Número de niños por manzana Las 3510 manzanas de una ciudad se localizan en 90 poblados (urbanizaciones, AAHH y conjuntos habitacionales). El número de manzanas en las diferentes urbanizaciones, AA.HH., C.H. no es el mismo . Se selecciona una muestra aleatoria simple de 15 poblados y se determina el # de niños por manzana.

59. Tipos de Muestreo Muestreo no Probabilístico Estadística Inferencial Por Cuotas. Se asienta generalmente sobre la base de un buen conocimiento de los estratos de la población y/o de los individuos más "representativos" o "adecuados" para los fines de la investigación. En este tipo de muestreo se fijan unas "cuotas" que consisten en un número de individuos que reúnen unas determinadas condiciones, por ejemplo: 20 individuos de 25 a 40 años, de sexo femenino y residentes en Gijón. Una vez determinada la cuota se eligen los primeros que se encuentren que cumplan esas características. Este método se utiliza mucho en las encuestas de opinión.

60. Tipos de muestreo Muestreo no Probabilístico Estadística Inferencial • Por Bola de nieve Se localiza a algunos individuos, los cuales conducen a otros, y estos a otros, y así hasta conseguir una muestra suficiente. Este tipo se emplea muy frecuentemente cuando se hacen estudios con poblaciones "marginales", delincuentes, sectas, determinados tipos de enfermos, etc.

61. Tipos de muestreo De Conveniencia. Muestreo no Probabilístico Estadística Inferencial Una muestra por conveniencia podría consistir en dirigirme a 3 universidades cercanas, simplemente porque están en la población en la que reside el encuestador, y encuestar a unos cuantos individuos que acepten participar al salir de las aulas por la mañana. Suele traducir en una gran facilidad operativa y en bajos costes de muestreo,

62. Muestreo Probabilístico Muestreo no Probabilístico Tipos de muestreo Estadística Inferencial Ventajas:  Tiene fundamento estadístico matemático.  Es más representativo, porque es más exacto.  El error con el que se trabaja es menor y es posible decidir con que error trabajar. Desventajas:  Es costoso.  Requiere el conocimiento previo del universo. Ventajas:  Es menos costoso.  De selección más simple.  No requiere conocimiento previo del universo.  No requiere tener identifi- cadas las unidades de análisis. Desventajas:  Se trabaja con un error desconocido.  No se puede calcular el error.  Es menos representativo.

63. Conclusiones 1. Estimaciones de intervalos de confianza La estimación de un intervalo para la media se puede encontrar a través de una distribución norma (n>30) y a través de una distribución T(n<30) La distribución normal se usa encontrar un intervalo de confianza para la proporción La distribución ji-cuadrado se usa encontrar un intervalo de confianza para la varianza 2. Determinación del tamaño de la muestra y Muestreo Los tipos de muestreo son los probabilísticos y los no probabilísticos, y el calculo del tamaño de la muestra está en función de una población finita o infinita.

64. Gracias Docente: Fredy Vivanco Huaytara

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