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Matematicas iii
 TEMA 1: TEOREMA DE PITAGORAS
 Probó una propiedad interesante de los triángulos rectángulos de la sumas de los cuadrados de
los catetos, los lados que forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del
triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.
 En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrado
de los catetos.
 Formula
 EJERCICIOS :
 Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden y .
 Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada
cateto).
Sabemos que
 Por el teorema de Pitágoras, sabemos que
 Sustituimos en la ecuación los valores conocidos (a y b), obteniendo:
 Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz), por
tanto,
 Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24. No indicamos la unidad de medida (mm,
cm, dm, m…) ya que no se indica en el enunciado.
 Binomio al Cuadrado: Un binomio al cuadrado (suma) es igual es
igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del
primero por el segundo más el cuadrado segundo.
 (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2
 (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9
 Binomio de resta al cuadrado: Un binomio al cuadrado (resta) es igual
es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del
primero por el segundo, más el cuadrado segundo
 (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2
 (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9
 · Binomio Conjugado: el producto de binomios conjugados, es
decir las sumas de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es
igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la
segunda. en otras palabras se cumple la formula:

 Binomio con Termino Común: producto de dos binomios con un término común Dos binomios con un término
en común serían ( 8x +3) (8x – 1); el término común es 8x y los términos no comunes son +3 y –1.El producto
de dos binomios con un término en común, es posible realizar lo mediante la multiplicación de polinomios o por
medio de la siguiente regla: Primero se saca el cuadrado del término común) Se hace la suma de los términos
no comunes y se multiplica por el término común) Se multiplican los términos no comunes, ejemplos:1.- ( 7x +9)
(7x – 14)= 49x^2 -35 x – 126
 a) El cuadrado del término común.
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
 b) La suma de los términos no comunes por el término común.
 (9-14) (7x) = (-5) (7x) = -35x
 c) Se multiplican los términos no comunes.
 (9) (-14) = -126
 Binomio al Cubo: es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el
triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 +
b3(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 == x3 + 9x2 + 27x + 27
 Binomio de resta al cubo: Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del
cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del
segundo.
 (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 == 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27
 Ejemplos (x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8


ROTACIÓN : Un cuerpo rota todo sus puntos giran alrededor de un mismo eje
(llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular , en este caso el eje de
rotación es perpendicular a la pantalla del computador y pasa por el punto 0
 TRASLACIÓN: Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven
paralelamente y con la misma velocidad tal como se ilustra en la figura
 SIMETRIA: es la línea que divide una figura en dos partes simétricas. En la figura
de abajo, la línea roja (d) que divide al triángulo ABC.
Otra definición para Simetría sería: Proporción adecuada de las partes de un todo.
Correspondencia de posición, forma y dimensiones de las partes de un cuerpo o
una figura a uno y otro lado de un plano transversal (bilateral) o alrededor de un
punto o un eje (radial).
 SIMETRÍA CENTRAL: La simetría central pasa cuando cada parte tiene otra
que le corresponde: a la misma distancia del punto central pero en la dirección
contraria.(NOTA: es lo mismo que la "simetría radial de orden 2")
Nota: la simetría central a veces se llama simetría con respecto al origen,
porque el "origen" es el punto central alrededor del que hay simetría.
 SIMETRÍA AXIAL: Es toda aquella simetría que se produce alrededor de un
eje. Es decir, aquella que tiene lugar cuando los semiplanos que se toman a
partir de un mencionado eje, al que contienen, presentan idénticas
características.En la simetría axial se produce el mismo fenómeno que se da
al reflejar cualquier objeto en un espejo.A los puntos que pertenecen a la
figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, A’ es homólogo de A,
B’ es homólogo de B, y C’ es homólogo de C. Además, las distancias
existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias
entre los puntos de la figura simétrica
 La fórmula general para resolverlas es
 Ejemplo: Resuelve la ecuación
 En el ejemplo los coeficientes son
 Aplicamos la fórmula
 Las soluciones son:
 Es un expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo
producto es igual a la expresión propuesta

La factorización puede considerarse como la operación inversa
ala multiplicación .
 Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a
los términos multiplicados entre si dan como producto ls primera
expresión x3 + x2 = x2 (x + 1)la raíces son: x = 0 y x = −12. 2x4 +
4x2 = 2x2 (x2 + 2)Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio,
x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar
la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es
irreducible.3. x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) ·
(x − b)La raíces son x = a y x = b
 Primer teorema
 Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si
tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales
recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:
 Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos
semejantes.
 Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :
 Dado un triángulo ABC , si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene
otro triángulo AB'C' , cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC .

 Lo que se traduce en la fórmula
 La trigonometría , enfocada en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en
topografía, navegación y astronomía.
 Etimológicamente, trigón significa triángulo, y metrón , medida. Por lo tanto, trigonometría se puede
definir como "medida de triángulos"
 Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer
sus elementos. Para ello, veamos la figura de arriba:
 Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.
 Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un
cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.
 Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con
los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.
 Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.
 Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra
enfrente de este.
 Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:
 Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden
representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea;
o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos
 Función seno
f(x) = sen x
Dominio: Erre
Recorrido: [−1, 1]
Período: Propiedades
Continuidad: Continua en Propiedades
Impar: sen(−x) = −sen x
 Función coseno
f(x) = cos x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1]
Período:
Continuidad: Continua en
Par: cos(−x) = cos x
 Función tangente
f(x) = tg x
Dominio:
Recorrido:
Continuidad: Continua en
Período:
Impar: tg(−x) = −tg x
 Función cotangente
f(x) = cotg x
Dominio:
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Continuidad: Continua en
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Impar: cotg(−x) = −cotg x
 Función secante
f(x) = sec x
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Período:
Continuidad: Continua en
Par: sec(−x) = sec x
 Función cosecante
f(x) = cosec x
Dominio:
Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞)
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Continuidad: Continua en
Impar: cosec(−x) = −cosec x
 El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométricas
 PERIMETRO: La palabra viene del griego peri (alrededor) y metro (medida). El término puede ser utilizado tanto para
la distancia o longitud, como para la longitud del contorno de una forma. El perímetro de un círculo se llama longitud de
la circunferencia. La mitad del perímetro es el semiperímetro .Calcular el perímetro tiene considerables aplicaciones
prácticas. El perímetro se puede utilizar para calcular la longitud de la valla requerida para rodear un patio o jardín

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  • 2.  TEMA 1: TEOREMA DE PITAGORAS  Probó una propiedad interesante de los triángulos rectángulos de la sumas de los cuadrados de los catetos, los lados que forman el ángulo recto, es igual al cuadrado de la hipotenusa del triángulo, el lado opuesto al ángulo recto.  En todo triangulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrado de los catetos.  Formula  EJERCICIOS :  Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos lados miden y .  Llamamos a los catetos a y b y a la hipotenusa h (no importa el nombre que le demos a cada cateto). Sabemos que  Por el teorema de Pitágoras, sabemos que  Sustituimos en la ecuación los valores conocidos (a y b), obteniendo:  Recordamos que el cuadrado de una raíz cuadrada es su radicando (lo de dentro de la raíz), por tanto,  Por tanto, la hipotenusa mide aproximadamente 2.24. No indicamos la unidad de medida (mm, cm, dm, m…) ya que no se indica en el enunciado.
  • 3.  Binomio al Cuadrado: Un binomio al cuadrado (suma) es igual es igual al cuadrado del primer término, más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado segundo.  (a + b)2 = a2 + 2 · a · b + b2  (x + 3)2 = x 2 + 2 · x ·3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9  Binomio de resta al cuadrado: Un binomio al cuadrado (resta) es igual es igual al cuadrado del primer término, menos el doble producto del primero por el segundo, más el cuadrado segundo  (a − b)2 = a2 − 2 · a · b + b2  (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x2 − 12 x + 9  · Binomio Conjugado: el producto de binomios conjugados, es decir las sumas de dos cantidades multiplicadas por su diferencia es igual al cuadrado de la primera cantidad menos el cuadrado de la segunda. en otras palabras se cumple la formula: 
  • 4.  Binomio con Termino Común: producto de dos binomios con un término común Dos binomios con un término en común serían ( 8x +3) (8x – 1); el término común es 8x y los términos no comunes son +3 y –1.El producto de dos binomios con un término en común, es posible realizar lo mediante la multiplicación de polinomios o por medio de la siguiente regla: Primero se saca el cuadrado del término común) Se hace la suma de los términos no comunes y se multiplica por el término común) Se multiplican los términos no comunes, ejemplos:1.- ( 7x +9) (7x – 14)= 49x^2 -35 x – 126  a) El cuadrado del término común.  (7x)2= (7x) (7x) = 49x^2   b) La suma de los términos no comunes por el término común.  (9-14) (7x) = (-5) (7x) = -35x  c) Se multiplican los términos no comunes.  (9) (-14) = -126  Binomio al Cubo: es igual al cubo del primero, más el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.(a + b)3 = a3 + 3 · a2 · b + 3 · a · b2 + b3(x + 3)3 = x 3 + 3 · x2 · 3 + 3 · x· 32 + 33 == x3 + 9x2 + 27x + 27  Binomio de resta al cubo: Un binomio al cubo (resta) es igual al cubo del primero, menos el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubo del segundo.  (a − b)3 = a3 − 3 · a2 · b + 3 · a · b2 − b3(2x − 3)3 = (2x)3 − 3 · (2x)2 ·3 + 3 · 2x· 32 − 33 == 8x 3 − 36 x2 + 54 x − 27  Ejemplos (x + 2)3 = x3 + 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8 
  • 5.  ROTACIÓN : Un cuerpo rota todo sus puntos giran alrededor de un mismo eje (llamado eje de rotación) con la misma velocidad angular , en este caso el eje de rotación es perpendicular a la pantalla del computador y pasa por el punto 0  TRASLACIÓN: Un cuerpo se traslada cuando todos sus puntos se mueven paralelamente y con la misma velocidad tal como se ilustra en la figura  SIMETRIA: es la línea que divide una figura en dos partes simétricas. En la figura de abajo, la línea roja (d) que divide al triángulo ABC. Otra definición para Simetría sería: Proporción adecuada de las partes de un todo. Correspondencia de posición, forma y dimensiones de las partes de un cuerpo o una figura a uno y otro lado de un plano transversal (bilateral) o alrededor de un punto o un eje (radial).
  • 6.  SIMETRÍA CENTRAL: La simetría central pasa cuando cada parte tiene otra que le corresponde: a la misma distancia del punto central pero en la dirección contraria.(NOTA: es lo mismo que la "simetría radial de orden 2") Nota: la simetría central a veces se llama simetría con respecto al origen, porque el "origen" es el punto central alrededor del que hay simetría.  SIMETRÍA AXIAL: Es toda aquella simetría que se produce alrededor de un eje. Es decir, aquella que tiene lugar cuando los semiplanos que se toman a partir de un mencionado eje, al que contienen, presentan idénticas características.En la simetría axial se produce el mismo fenómeno que se da al reflejar cualquier objeto en un espejo.A los puntos que pertenecen a la figura simétrica se les llama puntos homólogos, es decir, A’ es homólogo de A, B’ es homólogo de B, y C’ es homólogo de C. Además, las distancias existentes entre los puntos de la figura original son iguales que las distancias entre los puntos de la figura simétrica
  • 7.  La fórmula general para resolverlas es  Ejemplo: Resuelve la ecuación  En el ejemplo los coeficientes son  Aplicamos la fórmula  Las soluciones son:
  • 8.  Es un expresión algebraica es hallar dos o más factores cuyo producto es igual a la expresión propuesta  La factorización puede considerarse como la operación inversa ala multiplicación .  Se llaman factores o divisores de una expresión algebraica a los términos multiplicados entre si dan como producto ls primera expresión x3 + x2 = x2 (x + 1)la raíces son: x = 0 y x = −12. 2x4 + 4x2 = 2x2 (x2 + 2)Sólo tiene una raíz x = 0; ya que el polinomio, x2 + 2, no tiene ningún valor que lo anule; debido a que al estar la x al cuadrado siempre dará un número positivo, por tanto es irreducible.3. x2 − ax − bx + ab = x (x − a) − b (x − a) = (x − a) · (x − b)La raíces son x = a y x = b
  • 9.  Primer teorema  Como definición previa al enunciado del teorema, es necesario establecer que dos triángulos son semejantes si tienen los ángulos correspondientes iguales y sus lados son proporcionales entre si. El primer teorema de Tales recoge uno de los postulados más básicos de la geometría, a saber, que:  Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.  Entonces, veamos el primer Teorema de Tales en un triángulo :  Dado un triángulo ABC , si se traza un segmento paralelo, B'C', a uno de los lados del triángulo, se obtiene otro triángulo AB'C' , cuyos lados son proporcionales a los del triángulo ABC .   Lo que se traduce en la fórmula
  • 10.  La trigonometría , enfocada en sus inicios solo al estudio de los triángulos, se utilizó durante siglos en topografía, navegación y astronomía.  Etimológicamente, trigón significa triángulo, y metrón , medida. Por lo tanto, trigonometría se puede definir como "medida de triángulos"  Para establecer las razones trigonométricas, en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos. Para ello, veamos la figura de arriba:  Los ángulos con vértice en A y C son agudos, el ángulo con vértice en B es recto.  Este triángulo se caracteriza por que los lados de los ángulos agudos (α y γ) son la hipotenusa y un cateto, y los lados del ángulo recto (β) son los catetos.  Cada uno de los ángulos agudos del triángulo, uno de cuyos lados es la hipotenusa, se relaciona con los catetos, que pueden ser cateto opuesto al ángulo o cateto adyacente al ángulo.  Cateto adyacente es aquel que forma parte del ángulo al cual se hace referencia.  Cateto opuesto es el lado que no forma parte del ángulo que se toma como referencia y se encuentra enfrente de este.  Con los siguientes ejemplos, veamos lo dicho:  Por convención, como vemos en los ejemplos, los trazos que son lados del triángulo se pueden representar con las letras mayúsculas correspondientes a sus dos extremos, coronadas con una línea; o bien, con una letra minúscula enfrentando a la correspondiente mayúscula de los ángulos
  • 11.  Función seno f(x) = sen x Dominio: Erre Recorrido: [−1, 1] Período: Propiedades Continuidad: Continua en Propiedades Impar: sen(−x) = −sen x  Función coseno f(x) = cos x Dominio: Recorrido: [−1, 1] Período: Continuidad: Continua en Par: cos(−x) = cos x  Función tangente f(x) = tg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Período: Impar: tg(−x) = −tg x
  • 12.  Función cotangente f(x) = cotg x Dominio: Recorrido: Continuidad: Continua en Período: Impar: cotg(−x) = −cotg x  Función secante f(x) = sec x Dominio: Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞) Período: Continuidad: Continua en Par: sec(−x) = sec x  Función cosecante f(x) = cosec x Dominio: Recorrido: (− ∞, −1] [1, ∞) Período: Continuidad: Continua en Impar: cosec(−x) = −cosec x
  • 13.  El área es la medida de la región o superficie encerrada por de una figura geométricas  PERIMETRO: La palabra viene del griego peri (alrededor) y metro (medida). El término puede ser utilizado tanto para la distancia o longitud, como para la longitud del contorno de una forma. El perímetro de un círculo se llama longitud de la circunferencia. La mitad del perímetro es el semiperímetro .Calcular el perímetro tiene considerables aplicaciones prácticas. El perímetro se puede utilizar para calcular la longitud de la valla requerida para rodear un patio o jardín