Potenciação com números naturais

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Potenciação com números naturais

  1. 1. Potenciação com números naturais Ano Letivo 2014 Prof. Claudia Zandonai
  2. 2. Potenciação com números naturais Você conhece a lenda do xadrez?
  3. 3. Potenciação com números naturais O xadrez é um jogos mais antigos do mundo. Diz uma lenda que ele foi inventado, há muitos séculos, na Índia. Foi aí que... O Rei Sheram, entusiasmado com o novo jogo, resolveu recompensar Sessa, que era professor e o inventor do xadrez. “Eu desejaria recompensa–te pelo teu maravilhoso invento”, disse o rei, cumprimentando o professor Sessa.
  4. 4. “Gostaria de satisfazer o teu mais caro desejo”, continuou o rei. Sessa, na sua humildade, disse: “Majestade,eu gostaria de receber um grão de trigo pela primeira casa do tabuleiro de xadrez, dois grãos pela segunda, quatro grãos pela terceira, oito grãos pela quarta, e assim sucessivamente, até completar as 64 casas”. Admirado e até mesmo irritado pelo pedido tão modesto, o Rei Sheram solicitou aos seus sábios que calculassem o número de grãos e ordenou aos seus criados que entregassem A lenda do Xadrez
  5. 5. A lenda do Xadrez ...e ordenou aos seus criados que entregassem em um saco a recompensa pedida por Sessa. No dia seguinte, o Rei escutou apavorado um dos sábios dizer qual era esse número: 18 446 744 073 709 551 615 ...,ou seja, aproximadamente 18 quinquilões de grãos. Só para você ter uma idéia sobre esse número tão grande, basta dizer que se fosse plantado trigo em toda a superfície da Terra,
  6. 6. A lenda do Xadrez Iria demorar alguns séculos para produzir esse número de grãos! Como seria, então, os cálculos para obtenção desse número? Primeira casa: 1 grão Segunda casa:1x2 = 2 grãos Terceira casa: 1x2x2 = 4 grãos Quarta casa: 1x2x2x2= 8 grãos Quinta casa: 1x2x2x2x2 = 16 grãos Sexta casa: 1x2x2x2x2x2 = 32 grãos
  7. 7. A lenda do xadrez Sétima casa: 1x2x2x2x2x2x2 = 64 grãos Oitava casa: 1x2x2x2x2x2x2x2 = 128 grãos Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos E assim por diante. Somando todos os Resultados das 64 casa do tabuleiro de xadrez, encontraremos o número: 18 446 744 073 709 551 615
  8. 8. A lenda do xadrez Mas, será que não poderíamos escrever este número de maneira diferente? Vamos voltar... Primeira casa: 1 = 1 grão Segunda casa: 1x2 = 2 grãos ... ... Nona casa: 1x2x2x2x2x2x2x2x2 = 256 grãos
  9. 9. Potenciação com números naturais Tem número que se repete a cada nova casa do tabuleiro. Que número é esse? 2 Para indicar multiplicações com fatores iguais, o homem criou a potenciação. Assim, para indicar 2x2x2x2x2x2, por exemplo, usamos o símbolo 26 , denominado potência de base 2 e expoente 6.
  10. 10. Potenciação com números naturais Então: Símbolo Significado Leitura 27 2x2x2x2x2x2x2 Dois elevado na sétima potência 34 3x3x3x3 Três elevado na potência quatro 52 5x5 Cinco elevado na segunda potência 23 2x2x2 Dois elevado na terceira potência
  11. 11. Termos da Potênciação A potência an , sendo n um número natural maior que 1, significa: Nomenclatura 27 = 2x2x2x2x2x2x2 = 128 n iguaisfatoresn aaxaxaxa =    __      potênciaé oenteé baseé Então __128 exp__7 __2 :
  12. 12. Potenciação com números naturais Agora vamos pensar em quantos tataravós tem uma pessoa.
  13. 13. Potenciação com números naturais Analise o que acontece com a quantidade de ancestrais a partir da pessoa mais jovem. Eu: 1 Pais: 2 Avós: 2.2 = 4 Bisavós: 2.2.2 = 8 Trisavós:2.2.2=16 Tataravós:2.2.2.2=32 Uma pessoa tem 32 tataravós.
  14. 14. Potenciação com números naturais Note que, para calcular o número de ancestrais, usamos a multiplicação de fatores iguais. Para representar uma multiplicação em que todos os fatores são iguais, podemos usar a potenciação. Observe: 642 2222222 6 6 __6 = =    iguaisfatores xxxxx
  15. 15. Potenciação com números naturais Podemos representar o número de trisavós e de tataravós da situação anterior na forma de potência: Trisavós: Tataravós: 162 22222 4 4 __4 = =    iguaisfatores xxx 322 222222 5 5 __5 = =    iguaisfatores xxxx
  16. 16. Potenciação com números naturais De modo geral, na potenciação com númer naturais, a base é o fator que se repete na Multiplicação e o expoente indica quantas vezes esse fator se repete. Isso não vale para potências com expoente zero ou 1. • Quando o expoente é 1, a potência é igual à própria base. Exemplos: 21 = 2 151 = 15 361 = 36
  17. 17. Potenciação com números naturais • Quando o expoente é zero e a base da potência é diferente de zero, a potência é igual a 1. Exemplos: 20 = 1 150 = 1 360 = 1
  18. 18. Potenciação com números naturais Quadrado de um número As potências de expoente 2 podem ser representadas geometricamente. Veja alguns exemplos:
  19. 19. Potenciação com números naturais Por causa da sua representação geométrica, as potências de expoente 2(quadrado) têm nomes especiais. • 1²: “um ao quadrado” ou “quadrado de um” • 2²: “dois ao quadrado” ou “quadrado de dois” • 3²: “três ao quadrado” ou “quadrado de três” • 4²: “quatro ao quadrado” ou quadrado de quatro”. • n²: “n-ésimo ao quadrado”
  20. 20. Potenciação com números naturais Cubo de um número As potências de expoente 3 também podem ser representadas geometricamente. Veja os exemplos:
  21. 21. Potenciação com números naturais Da mesma forma que as potências de expoente 2, essas potências também recebem nomes especiais. Veja como lemos as potências dos exemplos: • 1³: “um ao cubo” ou “cubo de 1”; • 2³: “dois ao cubo” ou “cubo de 2”; • 3³: “ três ao cubo” ou “cubo de 3”.
  22. 22. Potenciação com números naturais Quando o expoente de uma potência é diferente de 2 ou 3, não é possível representá- la geometricamente. Por esse motivo, não há um nome especial para tais potências. Veja como lemos algumas delas: • 74 : “sete elevado à quarta potência”; • 1020: “ dez elevado à vigésima potência”; • 5117: “cinquenta e um elevado a décima sétima potência”.
  23. 23. Aplicações de potenciação ♯ Juliana precisa organizar todas as pastas de seu escritório. Sabendo que no escritório há 4 armários, que em cada armário há 4 gavetas e que em cada gaveta há 4 pastas, quantas pastas ela vai organizar? ♯ Observe como Joana organizou seus documentos no computador e resolva o problema.
  24. 24. Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois, para cada uma dessas pastas, ela abriu outras 3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou 3 documentos. Qual é a quantidade de documentos que Joana tem? Expresse a resposta na forma de potencia.
  25. 25. Aplicações da Potenciação ♯ Observe a imagem de uma colônia de Bactérias Escherichia coli(E.Coli), colorida artificialmente, imagem ampliada 2.680 vezes.
  26. 26. A reprodução de bactéria e a Matemática Ao observarmos a reprodução das bactérias,biólogos e matemáticos perceberam que o crescimento das bactérias, como na imagem,é um fenômeno biológico onde a representação matemática pode ser feita por uma lei exponencial, ou seja, que utiliza a potenciação. A reprodução das bactérias é, de modo geral é assexuada; ocorre por cissiparidade ou bipartição – processo em que as bactérias se reproduzem em virtude de uma divisão muito rápida.
  27. 27. A primeira bactéria se divide em duas. Depois duas se dividem em duas resultando quatro bactérias-, e cada uma dessas quatro bactérias também se divide em duas partes e assim sucessivamente, desde que existam condições biológicas e ambientais. Esse processo é um dos fatores importantes e responsáveis pelo enorme sucesso biológico das bactérias.
  28. 28. Exemplo 1 Considerando que o número de bactérias em certa cultura cresce 10 vezes a cada 1 Hora. A amostra inicial dessa cultura tinha 100 bactérias. a) Quantas bactérias haverá nessa cultura após 1 hora? E após 4 horas? b) Após um dia inteiro, haverá mais de 100 trilhões de bactérias? Explique.
  29. 29. Exercício 1 Observe como Joana organizou seus documentos no computador e resolva o problema. Joana abriu três pastas: A, B e C. Depois, para cada uma dessas pastas, ela abriu outras 3(a,b e c)e, dentro de cada uma delas, colocou 3 documentos. Qual é a quantidade de documentos que Joana tem? Expresse a resposta na forma de potencia.
  30. 30. Resolução                              3 2 1 3 2 1 3 2 1 c b a A B C                              3 2 1 3 2 1 3 2 1 c b a                              3 2 1 3 2 1 3 2 1 c b a 33 = 3 x 3 x 3 = 27
  31. 31. Resolução: a) Amostra inicial : 100 bactérias Após 1 hora: 100 x 10 = 1000 Após 2 horas: 1000 x 10 = 10000 Após 3 horas: 10000x10= 100000 Após 4 horas: 100000x10=1000000 b)Após 24 hs: 100x1024 = 1000000000000 00000000000000 bactérias

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