Números reales y plano Numérico

1. NUMEROS REALES Y PLANOS
NUMERICOS
Estudiante: Cirielis Rojas
Sección: 0114

2. Índice
• Definición de conjuntos.
• Operaciones con conjuntos
•Números reales
•Conjunto de números reales
• Desigualdades
• Valor absoluto
• •Desigualdades con valor absoluto

3. Definición de conjuntos
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que
todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para
los números naturales, si se considera la propiedad de
ser un número primo, el conjunto de los números
primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

4. Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por
nada más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista
de elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir
elementos repetidos no define un conjunto nuevo. Un conjunto está
formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden
es irrelevante.
O implícita, dando una o varias características que determinan si un
elemento dado esta o no en el conjunto

5. . Los números se clasifican según la porción del universo que abarquen,
por eso se dividen en varios conjuntos bien definidos por una serie de
características:
Números naturales N = {0, 1, 2, 3, 4…}: abarca el cero y los números
enteros positivos.
Números enteros Z = {… -3, -2, -1, N}: abarca el conjunto N y los
números enteros negativos.
Números racionales Q = {… -½, -¼, Z, +½, +¼}: abarca el conjunto Z y
los números fraccionarios positivos y negativos.
Números irracionales I = {π, e, √2}: comprende los números cuya raíz
cuadrada no se puede obtener exacta, y tienen una infinidad de
decimales.
Números reales R = {Q, I}: comprende los números racionales y los
irracionales

6. Números imaginarios i = {i, 2i, 3i, 4i}: abarca todos los números que
multipliquen al factor i, que tiene un valor de √–1, que es imposible de
calcular y por eso se expresa así y no pertenece a ningún otro conjunto
sino que crea uno aparte.
Números complejos C = {R, i}: contiene a los números reales y a los
números imaginarios. Además a los números complejos que son la
combinación de Real + imaginario.

7. Operaciones con conjunto
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar
otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir
pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la
unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los
elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún
elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el
siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la
unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma
uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.

8. Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la
unión de estos conjuntos será A∪B=
{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se
tendría lo siguiente:

9. Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que
tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no
periódica. Por ejemplo
3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
1/3 es un número real y a que 1/3 = 0,3333333333333….
* 2es un número real ya que 2=
1,4142135623730950488016887242097

10. Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c
y otros tienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números
que tienen expansión decimal periódica se llaman números Racionales
(denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no
periódica se llaman Irracionales (denotados por I). En consecuencia a, b
y c son números racionales y d, e, f y g son números irracionales. Como
puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros
tienen expansión decimal no periódica d, e, f y g. Los números que
tienen expansión decimal periódica se llaman números Racionales
(denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no
periódica se llaman Irracionales (denotados por I)

11. Conjunto de números
reales
De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números
reales se define como la unión de dos tipos de números, a saber; los
números racionales, los números irracionales. A su vez, los números
racionales se clasifican en
Números Naturales (N)
, los que usamos para contar. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5,
6, 7, 8, 9, 10, 11, …

12. desigualdades
Las inecuaciones son desigualdades algebraicas en la que sus dos
miembros se relacionan por uno de estos signos:< Menor que
2x − 1 < 7≤
Menor o igual que
2x − 1 ≤ 7
> Mayor que
2x − 1 > 7
≥
Mayor o igual que
2x − 1 ≥ 7

13. Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de
ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se
encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha. Un ejemplo
sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces
nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”

14. Las desigualdades matemáticas se utilizan para expresar la relación
que existe entre dos valores distintos. Muchas veces, este tipo de
expresiones pueden contener valores incógnitos, lo que las convierte
en una inecuación que debe resolverse mediante un procedimiento
matemático.

15. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y
físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede
generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son
los , anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.

16. El valor absoluto puede ser explorado ya sea numérica o gráficamente.
Numéricamente, el valor absoluto se indica encerrando el número,
variable o expresión dentro de barras verticales, así:
|20|
|x|
|4n − 9|

17. Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre
positivo o cero. Si el valor original ya es positivo o cero, el valor absoluto
es el mismo. Si el valor original es negativo, simplemente nos
deshacemos del signo. Por ejemplo, el valor absoluto de 5 es 5. El valor
absoluto de -5 es también 5.Ejemplo
Valor Valor absoluto
5 5
-5 5

18. Desigualdades con valor
absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un
signo de valor absoluto con una variable dentro.
La desigualdad significa que la distancia entre y es menor que 4
Así, x > -3 y x < 3. El conjunto solución es {x l -3 < , x E R}

19. Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función
valor absoluto, así como también con los signos de valor absoluto. Por
ejemplo, la expresión ∣xl +5∣>2∣x+5∣>2 es una desigualdad con
valor absoluto que contiene un signo “mayor que”.
Tenemos cuatro símbolos de desigualdades diferentes: mayor que (>),
menor que(<), mayor o igual que (≥) y menor o igual que (≤).

20. EJEMPLOS
Las siguientes son desigualdades con valor
absoluto:
∣xl+1∣<3∣x+1∣<3
∣xl−2∣≥5∣x−2∣≥5
∣xl+5∣>1∣x+5∣>1