ALGEBRA LINEAL

1. 1
ALGEBRA LINEAL
PROBLEMAS RESUELTOS
Valores Propios y Vectores Propios. Polinomio característico. Diagonalización
1. Respecto a la transformación lineal XX:T 

































22112211
21121211
2221
1211
2221
1211
T;IR/X ij
El polinomio característico es:
a) 22234

b) 222 234

c) 22234

d) 2234

e) Ninguno de los polinomios anteriores.
DESARROLLO:
Obtengamos una matriz asociada a la transformación lineal ( Por conveniencia con respecto a las
bases canónicas):
Sea































10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
B , entonces:
 



























1001
101
0110
0011
1001
1001
0110
0011
pAT
           11211111 222
 p
  22222 23443322
 p
La respuesta es el literal a.
2. Identifique la proposición falsa:
a) Si A no es invertible, entonces 0 es un valor propio de A .
VERDADERO
Sabemos que la matriz A no es invertible cuando 0)det( A , pero:
   IAp   det , entonces   0)det(0  Ap , lo cual quiere decir que 0 es una
raíz del polinomio característico, por lo tanto constituye un valor propio de A .
b) Si











400
023
012
A , entonces 16 es un valor característico de 2
A .
VERDADERO
Conocemos que si  es un valor propio de una matriz A , entonces
2
 es un valor propio de
2
A . Esto nos permite calcular directamente los valores propios de A y a partir de estos valores
hallar los valores propios de
2
A :

2. 2
       



 



 43422
400
023
012
p
        414344 22
 p es un valor propio de A , por lo
tanto 162
 es un valor propio de
2
A .
c) Si A es semejante a B , entonces sus polinomios característicos son iguales.
VERDADERO
Si A es semejante a B , entonces existe una matriz P tal que BPPA 1
 , por lo tanto:
       PPBPPIBPPIApA
111
detdetdet 
 
               BA pIBPIBPPIBPp  
detdetdetdetdet 11
d) Dada

















1000
5100
6710
8901
A , entonces los valores característicos de A son: 8, -8, 1 y -1.
FALSO
      




 




 1111
1000
5100
6710
8901
p
      2,12,111
22
 mamap 
e) Ninguna de las proposiciones anteriores.
3. Sea 22 PP:T  una transformación lineal definida por:
      2
20110
2
210 52323 xaxaaaaxaxaaT  . Entonces es cierto que:
a) 12
x es un vector característico de T correspondiente al valor característico 1 .
FALSO
Si dicho vector es característico, debería cumplirse que   vvT  , pero:
    113251 222
 xxxxT
b) La representación matricial de T respecto a la base canónica es diagonalizable.
VERDADERO
Obtengamos los valores y vectores propios de la transformación:
Sea  1,,2
xxB  , una base de 2P , entonces:
     435
320
230
005
320
230
005
2
















 



pAT

3. 3
      1,12,5515 21  mamap 
5 :
  

































 0/0110
220
220
000
5 zy
z
y
x
zy 
2
21 1 xvxv 
1 :









































 00/00
110
001
220
220
004
5 zyx
z
y
x
zyx 
13  xv , por lo tanto si es diagonalizable ya que existen tres vectores propios linealmente
independientes.
c) 1, -1 y 5 son los valores propios de T .
FALSO
Los valores propios son: 1,12,5 21  mama  .
d) La representación matricial de T respecto a la base  x;x;xP  11 2
2 es una matriz
diagonal.
VERDADERO
Dicha base está formada por los vectores propios de la transformación lineal.
e) Ninguna de las anteriores.
4. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
a) La matriz














4917
91125
6919
A no es diagonalizable.
VERDADERO:
      



 8141119
4917
91125
6919




p
            25539371519111722561534259 2
   22810222547737157032851938176 232

          21211231254
2223
 
1,22,1 21  mama  , por lo tanto para que la matriz sea diagonalizable debe
cumplirse que     211   mamg .

4. 4
1 :













 













 















5917
430
236
5917
91225
236
5917
91225
6918
221
11 6253
1
LLL
LL
zyzxLLLLLL
3
4
430
606
430
430
236
121331 617








 













  
    1dim 11   mg , por lo cual la matriz no es diagonalizable.
b) Si 







21
01
A , entonces 






10241023
0110
A .
FALSO:
En este problema podríamos proceder a realizar las multiplicaciones, pero aquello sería
un proceso largo, más aún si el exponente fuera aún mayor. Entonces supongamos que la matriz
A es diagonalizable, o sea existe una matriz diagonal D tal que:
ACCD 1
  1
 CDCA , por lo tanto:   11212 
 CDCCDCCDCA
122 
 CCDA , y en general tenemos que:
1
 CCDA nn
, siempre y cuando la matriz A sea
diagonalizable, entonces el problema se reduce a encontrar los valores y vectores propios de la
matriz A , teniendo en cuenta que elevar una matriz diagonal a una potencia, consiste tan sólo en
elevar a los elementos de su diagonal a dicha potencia.
     21021
21
01
21 


 


p
1 :












 1
1
11
00
1v
2 :














1
0
01
01
2v  


















 
20
01
11
01
11
01 1
DCC










































 11
01
10240
01
11
01
11
01
20
01
11
01
21
01
1010

























 10241023
01
11
01
10241
01
21
01
10

5. 5
c) El subespacio de 3
IR





















 IRt,s;
t
ts
s
W 22 es un espacio característico de











324
202
423
A corresponde al valor propio 1 .
VERDADERO:
Al subespacio W lo podemos escribir como
































1
2
0
,
0
2
1
LW , lo cual quiere decir que
los vectores






















1
2
0
0
2
1
son vectores propios asociados al valor propio 1 , por lo tanto
debería cumplirse que:
   

































































1
2
0
1
1
2
0
324
202
423
0
2
1
1
0
2
1
324
202
423
, lo cual si se satisface,
por lo tanto la afirmación es verdadera.
d) Si














112
123
411
A , entonces 0652 23
 IAAA .
VERDADERO:
Obtengamos el polinomio característico de A :
        1241311
112
123
411
2




 



p
  065248131 23232
 p
  652 23
 p , pero la expresión 0652 23
 IAAA equivale a   0Ap ,
lo cual se satisface ya que toda matriz satisface su polinomio característico.
e) Ninguna de las anteriores.
5. Sea A una matriz nn diagonalizable. Demuestre que nAdet  321 , donde
n,,,  321 son los valores característicos de A .
Desarrollo:
Sea    IAaaap n
n
n
  
 det... 01
1
1 , el polinomio característico de A,
entonces     00det apA  , pero sabemos que para cualquier polinomio su término
independiente "" 0a es igual al producto de sus raíces, o sea:

6. 6
na  ...210  , donde n ...21 son las raíces de  p ( por ende los valores propios de A ), por
lo tanto   naA  ...det 210  .
6. Sea VV:T  una transformación lineal cualquiera. Sean 1 y 2 , dos valores característicos
distintos de T . Si 1y y 2y son dos vectores característicos correspondientes a 1 y 2
respectivamente, demuestre que el vector 21 yyz  no es un vector característico de T .
DESARROLLO:
Para que el vector 21 yyz  sea un vector propio de T , debería existir un valor  , tal que
  zzT  , valor que vamos a demostrar que no existe, entonces:
        22112121 yyyTyTyyTzT   , pero debería cumplirse que
   2121 yyyyT   , lo cual solo se cumpliría si 2121 yy   . Pero como aquello
contradice las hipótesis, concluimos que el valor  no existe, por lo tanto la afirmación es
verdadera.
7. Si A es una matriz invertible y    IAdetp  es un polinomio característico; probar que el
polinomio característico de 1
A es:       1
det
1
det 1
p
A
IA
n

.
DESARROLLO:
          











 
IAApAAApIAp


1
detdetdet 11
          











 
IAApIAAp
n




1
detdet
1
detdet 11
 
 
 A
pIA n
det
111
det 1

 







, sea


1
' ,    
 A
pIA
n
det
1
'
1
''det 1









y podemos decir que '  , entonces:    
  








1
det
1
det 1
p
A
IA
n
.
8. Considérese el operador lineal: 33
RR:T  tal que   AXXT  donde











3332
2322
1312
3
2
1
aa
aa
aa
A y 3
RX  . Los tres vectores propios del operador lineal son:
   011110 21 ,,x,,,x  y  1013  ,,x
a) Determine la regla de correspondencia de T .
b) Obtenga la dimensión del complemento ortogonal del Ker T .
DESARROLLO:
Por comodidad supongamos que:











fc
eb
da
A
3
2
1
. Entonces como los vectores propios de la
transformación son:    011110 21 ,,x,,,x  y  1013  ,,x , podemos decir que:

7. 7
      333222111 xxTxxTxxT   , lo cual implica que:

































































































1
0
1
1
0
1
3
2
1
0
1
1
0
1
1
3
2
1
1
1
0
1
1
0
3
2
1
321 
fc
eb
da
fc
eb
da
fc
eb
da








1
1
0


fc
eb
da









3
2
1
2
2
c
b
a











3
2
1
3
3


f
e
d





1
0
fb
da
  3 ba   4 fd 











4
3
1
0
fd
ba
fb
da
0
2
6
3
2
1
3
4
1
42
2
4
2
1
4
3
1
3
2
1









































f
e
d
c
b
a
dd
df
fd
df
fb
fd
db
fb
da
, por lo tanto la
regla de correspondencia de la transformación viene dada por:

































 










zyx
zyx
zyx
z
y
x
z
y
x
T
333
242
333
242
111
, luego el núcleo de T es  






















1
0
1
LTNu , lo
cual implica que:    1dim TKer , y sabiendo que
       3dimdimdim  
VTKerTKer , podemos concluir que    2dim 
TKer .
9. Sea V el espacio vectorial:  IR,,/xexsenV x
 y T es el operador segunda
derivada 2
DT  . Encuentre los valores y vectores característicos de T .
DESARROLLO:
Obtengamos la matriz asociada a la transformación con respecto a la base   xexsenB x
,,











000
010
001
TA , y como podemos notar esta matriz es una matriz DIAGONAL, por lo tanto la
base que utilizamos para obtenerla debe estar formada por los vectores propios de la transformación,
entonces:  xsenv 1 , asociado a 11  ,
x
ev 2 , asociado a 12  , xv 3 , asociado a
03  .

8. 8
10. Sea A que pertenece a las matrices nn y  nk,,, k  321 sus correspondientes valores
característicos, sea  una constante cualquiera; pruebe que los valores característicos de A son
k,,,  321
DESARROLLO:
Si i es un valor propio de A , entonces debe existir un vector iv , tal que: iii vAv  ,
ki ...,2,1 . Multiplicando por  ambos lados de esta ecuación, tenemos iii vAv   
    iii vvA   , lo cual quiere decir que el escalar i es un valor propio de la matriz A , para
ki ,...,2,1 .
11. Sea













500
032
023
A
a) ¿Es la matriz A ortogonalmente diagonalizable? Justifique su respuesta.
DESARROLLO:
Si, ya que la matriz A es simétrica.
b) Determine la multiplicidad algebraica de cada uno de los valores característicos de A y describa
los correspondientes espacios característicos.
DESARROLLO:
        



 155565
500
032
023
2




p
1,12,5 21  mama  .
5 :
2,
1
0
0
0
1
1
/
000
022
022
215 
























































mgvvyx
z
y
x

1 :
1,
0
1
1
0/
400
022
022
35 













































mgvzyx
z
y
x

c) Si A fuese diagonalizable, encuentre la matriz Q tal que AQQD T
 , sea una matriz diagonal.
DESARROLLO:
Dicha matriz Q ortogonal, está formada por los vectores propios de A ortonormalizados, por
lo tanto:

9. 9

















010
2
1
0
2
1
2
1
0
2
1
Q
d) Escriba la matriz D .
DESARROLLO:
Esta matriz está formada por los valores propios de la matriz, dependiendo su orden de la matriz
Q , entonces:











100
050
005
D
12. Sea 2
3
PR:T  una transformación lineal, donde  k,j,iB 1 y  2
2 1 x,x,B  son bases de
3
R y 2P respectivamente. Si se conoce que:
 
 
  2
2
81
99
99
xxikT
xxkjT
xjiT



a) Encuentre la representación matricial de T con respecto a las bases 1B y 2B .
DESARROLLO:
Encontremos primeramente      kTjTiT ,, :
   
   
   
   
   
   
   
 
 
 
 
































2
2
2
2
2
2
2
2
2
544
454
445
544
99
8
99
99
81
99
99
xxkT
xxjT
xxiT
xxkT
kTxxjT
xxjTkT
xxkTjT
jTxiT
xxiTkT
xxkTjT
xjTiT
por lo tanto la matriz asociada a la transformación es:













544
454
445
TA
b) ¿Es diagonalizable ortogonalmente la matriz encontrada en a)?
DESARROLLO:
Si es diagonalizable, y en este caso no es necesario obtener los vectores propios para saberlo, ya
que esta matriz es simétrica ( las matrices simétricas siempre son diagonalizables ).
c) Si su respuesta a la pregunta anterior es afirmativa, encuentre la matriz Q que diagonalice
ortogonalmente a la matriz encontrada en a).
DESARROLLO:

10. 10
Encontremos los vectores propios de la matriz:
          3999169105
544
454
445
2




 



p
3 :



































 




















3
1
3
1
3
1
1
1
1
110
101
211
121
844
484
448
11 uv
zy
zx
9 :
 



































1
0
1
0
1
1
111
444
444
444
32 vvzyx
Debemos ortonormalizar los vectores









 












1
0
1
0
1
1
32 vv , por lo tanto:
 






















































































6
2
6
1
6
1
2
1
1
1
2
1
2
1
0
1
1
1
2
1
1
0
1
',
0
2
1
2
1
332 uvu
Entonces la matriz que diagonaliza ortogonalmente la matriz TA , es:



















6
2
0
3
1
6
1
2
1
3
1
6
1
2
1
3
1
Q
d) ¿Representa T un isomorfismo? Justifique su respuesta.
DESARROLLO:
Si representa un isomorfismo, sin embargo no hace falta probarlo. Esto se debe a que
los valores propios de la matriz asociada a la transformación son todos diferentes de cero, lo cual
implica que la dicha matriz es invertible. Si la matriz asociada a la transformación es invertible,
entonces también lo es la transformación lineal, por lo tanto constituye un isomorfismo.
NOTA:      100010001 ,,k;,,j;,,i 

11. 11
13. La matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a A donde











402
022
223
A es:
a)




















2
1
2
1
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
d)













22100
02210
001
b)










600
030
000
e)




















3
1
3
2
3
2
23
4
23
1
23
1
0
2
1
2
1
c)


















3
2
3
2
3
1
3
1
3
2
3
2
3
2
3
1
3
2
DESARROLLO:
      25424
402
022
223
2




 



p
        036189189 223
p
3,6,0 321  
0 :












































3
1
3
2
3
2
2
2
210
201
011
201
402
022
223
1u
zy
zx
6 :























































3
2
3
1
3
2
2
120
101
120
240
101
202
042
223
2uz
y
zx

12. 12
3







































3
2
3
2
3
1
2
110
102
102
012
220
3u
zy
z
x
, por lo tanto la matriz que
diagonaliza ortogonalmente a la matriz A , es:




















3
2
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3
2
Q , matriz que no es igual pero equivale a la matriz del literal c).
14. Determine la matriz Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:













122
212
221
A
DESARROLLO:
        6221451
122
212
221
2




 



p
     221,221,37232113 321
223
 p
3 :




































 0
2
1
2
1
0100
011
222
222
222
1u
z
yx
221






































2
2
10
211
2222240
211
2222
22222
22222


































2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
10
2
2
01
2u
zy
zx

13. 13
221
 :

































2
2
10
211
2222240
211
2222
22222
22222


































2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
10
2
2
01
3u
zy
zx
, por lo tanto la matriz que diagonaliza
ortogonalmente a la matriz A , es :



















2
2
2
2
0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
Q
15. Identifique la proposición falsa:
a) La ecuación 4525 22
 yxyx no representa ningún lugar geométrico en el plano real.
VERDADERO:
A esta forma cuadrática la podemos representar como: 4
51
15




















y
x
y
x
, entonces
diagonalicemos la matriz:
    
4
6
462410
51
15
2
12











p , por lo tanto la
forma cuadrática la podemos escribir como:     4'4'6
22
 yx , por lo tanto esta ecuación
no representa un lugar geométrico en el plano real.
b) La ecuación 36563 22
 yxyx representa una elipse en el plano.
VERDADERO:
 
104
104
68
53
33
36
53
33
2
12






























p
y
x
y
x
, por lo tanto tenemos:       36'104'104
22
 yx , lo cual representa una elipse.
c) La ecuación cuadrática 07656 22
 yxyx representa una hipérbola en el plano.
VERDADERO:

14. 14
  
















2
13
2
13
4
169
4
25
36
6
2
5
2
5
6
2
1
22





p
    7'
2
13
'
2
13 22
 yx , ecuación que describe una hipérbola.
d) La ecuación cuadrática en las nuevas variables z,y,x  de 0222 222
 zyzxzyxyx
es:       110 222
 zyx .
FALSO:
        2221
111
111
111
2




 



p
           
1
2
2
1222222
3
2
1
22







p
       0''2'2
222
 zyx , ecuación que representa un cono.
e) Ninguna de las proposiciones anteriores.