Prosomoiwsh kalamari sarafis_maios_2021

1. ΑΡΧΗ 1Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΕΞΕΣΑ΢ΕΙ΢ ΠΡΟ΢ΟΜΟΙΩ΢Η΢ Γ' ΣΑΞΗ΢
ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ΢ ΢ΧΟΛΗ΢ ΚΑΛΑΜΑΡΙ
ΔΕΤΣΕΡΑ 10 ΜΑΪΟΤ 2021
ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
ΟΜΑΔΑ΢ ΠΡΟ΢ΑΝΑΣΟΛΙ΢ΜΟΤ
ΘΕΣΙΚΩΝ ΢ΠΟΤΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ΢ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ΢
΢ΤΝΟΛΟ ΢ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕ΢΢ΕΡΙ΢ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ.
Να αποδείξετε ότι, αν  
f x 0
  ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε θ f
είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε όλο το Δ.
Μονάδες 5
Α2. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Ποιεσ είναι οι πικανζσ
κζςεισ ςθμείων καμπισ τθσ f;
Μονάδες 5
A3. Θεωριςτε τον παρακάτω ιςχυριςμό:
« Για κάκε ςυνεχι ςυνάρτθςθ f θ οποία ορίηεται ςε ζνα διάςτθμα Δ ιςχφει
ότι, αν ζχει κρίςιμα ςθμεία, τότε αυτά είναι κζςεισ τοπικών ακροτάτων».
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ,
το γράμμα Α , αν είναι αλθκισ, ι το γράμμα Λ , αν είναι λανκαςμζνθ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ ςτο ερώτθμα (α).
Μονάδες 4
ΣΕΛΟ΢ 1Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢

2. ΑΡΧΗ 2Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
A4. Να χαρακτηρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουθοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό
ςασ το γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάθε πρόταςη και δίπλα ςτο γράμμα τη
λζξη Σωστό, αν η πρόταςη είναι ςωςτή, ή Λάθος, αν η πρόταςη είναι
λανθαςμζνη.
α) 2
x 0
1
lim
x 

  για κάκε 
 .
β) Οι ρθτζσ ςυναρτιςεισ
 
 
x
Q x

, με βακμό του αρικμθτι Ρ(x) μεγαλφτερο
τουλάχιςτον κατά δφο του βακμοφ του παρονομαςτι, ζχουν πλάγιεσ
αςφμπτωτεσ.
γ) Αν    
3
f x x 1
   τότε    
2
f 3 1
      .
δ) Αν  
f x ln x
 και   x
g x e
 , τότε   
1
g f x , x
x

 
  .
ε) Αν  
0
x x
lim | f x | 0

 , τότε  
0
x x
lim f x 0


Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f, g με τφπουσ    
f x ln 1 x
  και   x
g x e 1

 
αντίςτοιχα.
Β1. Να υπολογίςετε το  
x
lim f x

και το  
x
lim g x

.
Μονάδες 5
Β2. Να προςδιορίςετε τθ ςυνάρτθςθ g f
 .
Μονάδες 5
Β3. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f αντιςτρζφεται και να βρείτε τθν
αντίςτροφι τθσ.
Μονάδες 5
ΣΕΛΟ΢ 2Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢

3. ΑΡΧΗ 3Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
Β4. Να βρείτε τθν εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ g
θ οποία άγεται από το ςθμείο Α(1,1).
Μονάδες 5
Β5. Να ςχεδιάςετε ςτο ίδιο ςφςτθμα αξόνων τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των
ςυναρτιςεων f ,g
 .
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f με τφπο   x
x
f x , x
1 e
 
 

.
Γ1. Να βρείτε τισ τιμζσ των παραμζτρων ,
 , ώςτε θ ευκεία με εξίςωςθ
y 2x 1
  να είναι πλάγια αςφμπτωτθ όταν x . Να αιτιολογιςετε τθν
απάντθςι ςασ.
Μονάδες 8
Αν α=2 και β=-1.
Γ2. Να αποδείξετε ότι θ γραφικι παράςταςθ τθσ f και θ αςφμπτωτθ ευκεία με
εξίςωςθ y 2x 1
  ζχουν μοναδικό κοινό ςθμείο.
Μονάδες 4
Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικόσ , τζτοιοσ ώςτε θ ςυνάρτθςθ f να
παρουςιάηει ολικό μζγιςτο ςτο ξ.
Μονάδες 7
Γ4. Να λφςετε τθν εξίςωςθ    
2 2
f x x 2 x f
       , όπου ξ θ τιμι που
παρουςιάηει ολικό μζγιςτο θ f.
Μονάδες 6
ΣΕΛΟ΢ 3Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢

4. ΑΡΧΗ 4Η΢ ΢ΕΛΙΔΑ΢
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f : 
  θ οποία ζχει ςφνολο τιμών το
διάςτθμα
     
f 1 f 2 f 3
,
3
 
 

 
 
.
Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζνα τουλάχιςτον  
0
x 1,3
 τζτοιο ώςτε
       
0
3f x f 1 f 2 f 3
  
Μονάδες 5
Δ2. Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ  
f x 0
  ζχει τουλάχιςτον μία λφςθ ςτο .
Μονάδες 5
Ζςτω θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο  και ιςχφουν:
     
f 1 f 2 f 3 3
   ,    
x x
lim f x , lim f x
 
   
Δ3. Να μελετιςετε τθν f ωσ προσ τθ μονοτονία και τθν κυρτότθτα.
Μονάδες 5
Δ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν  
1 1,2
  ,  
2 2,3
  τζτοια ώςτε,
     
 
1 2
f f 3 f 2 1
 
     .
Μονάδες 5
Δ5. Να βρείτε το πλικοσ των ριηών τθσ εξίςωςθσ  
f x
e , >0
   για κάκε
x.
Μονάδες 5
ΣΕΛΟ΢ 4Η΢ ΑΠΟ 4 ΢ΕΛΙΔΕ΢