1. ΑΡΧΗ 1Η ΕΛΙΔΑ
ΕΞΕΣΑΕΙ ΠΡΟΟΜΟΙΩΗ Γ' ΣΑΞΗ
ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΕΛΛΗΝΟΓΑΛΛΙΚΗ ΧΟΛΗ ΚΑΛΑΜΑΡΙ
ΔΕΤΣΕΡΑ 10 ΜΑΪΟΤ 2021
ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ
ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΙΜΟΤ
ΘΕΣΙΚΩΝ ΠΟΤΔΩΝ-ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΤΝΟΛΟ ΕΛΙΔΩΝ: ΣΕΕΡΙ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f θ οποία είναι ςυνεχισ ςε ζνα διάςτθμα Δ.
Να αποδείξετε ότι, αν
f x 0
ςε κάκε εςωτερικό ςθμείο x του Δ, τότε θ f
είναι γνθςίωσ αφξουςα ςε όλο το Δ.
Μονάδες 5
Α2. Ζςτω μια ςυνάρτθςθ f οριςμζνθ ςε ζνα διάςτθμα Δ. Ποιεσ είναι οι πικανζσ
κζςεισ ςθμείων καμπισ τθσ f;
Μονάδες 5
A3. Θεωριςτε τον παρακάτω ιςχυριςμό:
« Για κάκε ςυνεχι ςυνάρτθςθ f θ οποία ορίηεται ςε ζνα διάςτθμα Δ ιςχφει
ότι, αν ζχει κρίςιμα ςθμεία, τότε αυτά είναι κζςεισ τοπικών ακροτάτων».
α. Να χαρακτθρίςετε τθν παραπάνω πρόταςθ γράφοντασ ςτο τετράδιό ςασ,
το γράμμα Α , αν είναι αλθκισ, ι το γράμμα Λ , αν είναι λανκαςμζνθ.
Μονάδα 1
β. Να αιτιολογιςετε τθν απάντθςι ςασ ςτο ερώτθμα (α).
Μονάδες 4
ΣΕΛΟ 1Η ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ
2. ΑΡΧΗ 2Η ΕΛΙΔΑ
A4. Να χαρακτηρίςετε τισ προτάςεισ που ακολουθοφν, γράφοντασ ςτο τετράδιό
ςασ το γράμμα που αντιςτοιχεί ςε κάθε πρόταςη και δίπλα ςτο γράμμα τη
λζξη Σωστό, αν η πρόταςη είναι ςωςτή, ή Λάθος, αν η πρόταςη είναι
λανθαςμζνη.
α) 2
x 0
1
lim
x
για κάκε
.
β) Οι ρθτζσ ςυναρτιςεισ
x
Q x
, με βακμό του αρικμθτι Ρ(x) μεγαλφτερο
τουλάχιςτον κατά δφο του βακμοφ του παρονομαςτι, ζχουν πλάγιεσ
αςφμπτωτεσ.
γ) Αν
3
f x x 1
τότε
2
f 3 1
.
δ) Αν
f x ln x
και x
g x e
, τότε
1
g f x , x
x
.
ε) Αν
0
x x
lim | f x | 0
, τότε
0
x x
lim f x 0
Μονάδες 10
ΘΕΜΑ Β
Δίνονται οι ςυναρτιςεισ f, g με τφπουσ
f x ln 1 x
και x
g x e 1
αντίςτοιχα.
Β1. Να υπολογίςετε το
x
lim f x
και το
x
lim g x
.
Μονάδες 5
Β2. Να προςδιορίςετε τθ ςυνάρτθςθ g f
.
Μονάδες 5
Β3. Να αποδείξετε ότι θ ςυνάρτθςθ f αντιςτρζφεται και να βρείτε τθν
αντίςτροφι τθσ.
Μονάδες 5
ΣΕΛΟ 2Η ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ
3. ΑΡΧΗ 3Η ΕΛΙΔΑ
Β4. Να βρείτε τθν εξίςωςθ τθσ εφαπτομζνθσ τθσ γραφικισ παράςταςθσ τθσ g
θ οποία άγεται από το ςθμείο Α(1,1).
Μονάδες 5
Β5. Να ςχεδιάςετε ςτο ίδιο ςφςτθμα αξόνων τισ γραφικζσ παραςτάςεισ των
ςυναρτιςεων f ,g
.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ
Δίνεται θ ςυνάρτθςθ f με τφπο x
x
f x , x
1 e
.
Γ1. Να βρείτε τισ τιμζσ των παραμζτρων ,
, ώςτε θ ευκεία με εξίςωςθ
y 2x 1
να είναι πλάγια αςφμπτωτθ όταν x . Να αιτιολογιςετε τθν
απάντθςι ςασ.
Μονάδες 8
Αν α=2 και β=-1.
Γ2. Να αποδείξετε ότι θ γραφικι παράςταςθ τθσ f και θ αςφμπτωτθ ευκεία με
εξίςωςθ y 2x 1
ζχουν μοναδικό κοινό ςθμείο.
Μονάδες 4
Γ3. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικόσ , τζτοιοσ ώςτε θ ςυνάρτθςθ f να
παρουςιάηει ολικό μζγιςτο ςτο ξ.
Μονάδες 7
Γ4. Να λφςετε τθν εξίςωςθ
2 2
f x x 2 x f
, όπου ξ θ τιμι που
παρουςιάηει ολικό μζγιςτο θ f.
Μονάδες 6
ΣΕΛΟ 3Η ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ
4. ΑΡΧΗ 4Η ΕΛΙΔΑ
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται παραγωγίςιμθ ςυνάρτθςθ f :
θ οποία ζχει ςφνολο τιμών το
διάςτθμα
f 1 f 2 f 3
,
3
.
Δ1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ζνα τουλάχιςτον
0
x 1,3
τζτοιο ώςτε
0
3f x f 1 f 2 f 3
Μονάδες 5
Δ2. Να αποδείξετε ότι θ εξίςωςθ
f x 0
ζχει τουλάχιςτον μία λφςθ ςτο .
Μονάδες 5
Ζςτω θ f είναι γνθςίωσ φκίνουςα ςτο και ιςχφουν:
f 1 f 2 f 3 3
,
x x
lim f x , lim f x
Δ3. Να μελετιςετε τθν f ωσ προσ τθ μονοτονία και τθν κυρτότθτα.
Μονάδες 5
Δ4. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν
1 1,2
,
2 2,3
τζτοια ώςτε,
1 2
f f 3 f 2 1
.
Μονάδες 5
Δ5. Να βρείτε το πλικοσ των ριηών τθσ εξίςωςθσ
f x
e , >0
για κάκε
x.
Μονάδες 5
ΣΕΛΟ 4Η ΑΠΟ 4 ΕΛΙΔΕ