math_gen_epanalhptikes_eksetaseis_2015_themata_kai_lyseis

1. Μαθηματικά Γενικής Πιαδείας
ημερησίων Γενικών Λυκείων (ΓΕΛ)
επαναληπτικές εξετάσεις 2015
θέματα και λύσεις
Επιμέλεια Λύσεων: Χρήστος K. Λοΐζος
https://liveyourmaths.wordpress.com/

2. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΤΑΡΤΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)
ΘΕΜΑ Α
Α1. Για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα A και Β, να αποδείξετε ότι
     P A B P A P B . 
Μονάδες 7
Α2. Πότε μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται συνεχής;
Μονάδες 4
Α3. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας των
παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής X, αν x 0 , και πώς, αν x 0 ;
Μονάδες 4
Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση
είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού Α, τότε η συνάρτηση
f
g
έχει πάντοτε πεδίο ορισμού το Α.
β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει ότι
 f x 0'  για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα
στο Δ.
γ) Για τη σχετική συχνότητα if της τιμής ix μιας μεταβλητής X, ισχύει ότι
i0 f 1  .
δ) Η τυπική απόκλιση s των παρατηρήσεων μιας ποσοτικής μεταβλητής X είναι
μέτρο θέσης.
ε) Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω. Το ενδεχόμενο A B
πραγματοποιείται μόνο όταν τα Α, Β πραγματοποιούνται συγχρόνως.
Μονάδες 10

3. ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΘΕΜΑ Β
Δίνεται η συνάρτηση
3 2
f(x) αx βx 4, x    , της οποίας η γραφική παράσταση
εφάπτεται στον άξονα x x στο σημείο Α(-2,0).
Β1. Να αποδείξετε ότι α=1 και β=3.
Μονάδες 6
Β2. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
Μονάδες 7
Β3. Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη έχει
τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης.
Μονάδες 6
Β4. Να υπολογίσετε το όριο:
x 2 2
f (x)
lim
5x 1


Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Γ
Θεωρούμε ένα δείγμα ν συνδρομητών μιας εταιρείας κινητής τηλεφωνίας. Για τον μήνα
Μάιο, οι χρόνοι ομιλίας (σε ώρες) που έχουν χρεωθεί οι συνδρομητές του δείγματος έχουν
χωριστεί σε πέντε κλάσεις ίσου πλάτους. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις κάθε κλάσης είναι
ομοιόμορφα κατανεμημένες.
Δίνεται ότι:
 Η μικρότερη διάρκεια χρόνου ομιλίας που παρατηρήθηκε στο δείγμα είναι μηδέν.
 Το κέντρο της πέμπτης κλάσης είναι 18.
 Στο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων, η γωνία του κυκλικού τομέα που
αντιστοιχεί στην πέμπτη κλάση ισούται με 36ο
.
 31 2 4ΝΝ Ν Ν
4 9 15 18
   , όπου 1 2 3Ν , Ν , Ν και 4Ν είναι οι αθροιστικές συχνότητες της
1ης
, 2ης
, 3ης
και 4ης
κλάσης αντίστοιχα.
Γ1. Να αποδείξετε ότι το πλάτος c της κάθε κλάσης είναι 4.
Μονάδες 4
Γ2. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον Πίνακα Ι συμπληρωμένο, αιτιολογώντας την
απάντησή σας.

4. ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Πίνακας Ι
Μονάδες 10
Για τα ερωτήματα Γ3 και Γ4, δίνεται ότι 1 2 3 4f % 20, f % 25, f % 30, f % 15    και
5f % 10.
Γ3. Να βρείτε το ποσοστό των συνδρομητών του δείγματος οι οποίοι έχουν χρεωθεί
τουλάχιστον 3 ώρες και λιγότερες από 10 ώρες ομιλίας.
Μονάδες 5
Γ4. Υποθέτουμε ότι οι συνδρομητές της εταιρείας δικαιούνται κάθε μήνα μέχρι 4 ώρες
δωρεάν χρόνο ομιλίας. Έτσι, πληρώνουν μόνο για το χρόνο ομιλίας που τους έχει
χρεωθεί επιπλέον των 4 ωρών. Αφαιρούμε από το δείγμα τους συνδρομητές που
χρεώθηκαν λιγότερες από 4 ώρες. Να υπολογίσετε τη μέση τιμή του χρόνου (σε
ώρες) που πλήρωσαν οι υπόλοιποι συνδρομητές του δείγματος τον μήνα Μάιο.
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ Δ
Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ πλευράς 4. Θεωρούμε τα
εσωτερικά σημεία Κ, Λ, Μ και Ν των πλευρών ΑΒ, ΒΓ,
ΓΔ και ΔΑ αντίστοιχα, έτσι ώστε ΑΚ = ΒΛ = ΓΜ = ΔΝ = x,
όπως φαίνεται στο Σχήμα Ι.
Δ1. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του ΚΛΜΝ, ως
συνάρτηση του x, είναι:
 2
Ε(x) = 2(x 4x + 8), x 0, 4 . 
Μονάδες 4
Δ2. Να βρείτε την τιμή του x για την οποία το εμβαδόν Ε(x) γίνεται ελάχιστο.
Μονάδες 4
Κλάσεις
(σε ώρες)
Κεντρικές
τιμές
xi
Σχετικές
συχνότητες
fi%
[ , )
[ , )
[ , )
[ , )
[ , )
Σύνολο
x
Α
Ν
Δ
Λ
ΒΚ
Σχήμα Ι
ΓΜ
x
x
x

5. ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ – ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ
Δ3. Θεωρούμε τις τιμές i i iy E(x ), x (0,4), i 1, 2, 3, ..., 19   , έτσι ώστε:
 Τα ix , i 1, 2, 3, ..., 19 είναι διαφορετικά ανά δύο μεταξύ τους.
 Η μέση τιμή των ix , i 1, 2, 3, ..., 19 και η διάμεσός τους είναι ίσες με 2.
 Η μέση τιμή των iy , i 1, 2, 3, ..., 19 είναι ίση με 8,02.
α) Να βρείτε τη μέση τιμή των
2
ix , i 1, 2, 3, ..., 19 .
(Μονάδες 6)
β) Να βρείτε την τυπική απόκλιση xs των ix , i 1, 2, 3, ..., 19 και να εξετάσετε αν το
δείγμα τους είναι ομοιογενές.
Δίνεται ότι
2ν
iν
i 12 2
i
i 1
t
1
s t
ν ν


  
  
      
 
 
  

 , όπου it , i 1, 2, ..., ν είναι
παρατηρήσεις μιας μεταβλητής.
(Μονάδες 5)
γ) Επιλέγουμε τυχαία μία από τις τιμές ix , i 1, 2, 3, ..., 19 . Να βρείτε την
πιθανότητα των ενδεχομένων :
2
i iέτσι ώστεA { x , i 1, 2, 3, ..., 419, x }   ,
i iέτσι ώστεB { x , i 1, 2, 3, ..., 19, E(x 8 })   και
Γ: «Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα Α και Β».
(Μονάδες 6)
Μονάδες 17
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο
πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των
απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο
μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε
πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν
θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να
παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με
μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η
εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 18.00
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

6. https://liveyourmaths.wordpress.com/
ΘΕΜΑ Α
Α1. Θεωρία σχ. βιβλίου σελ. 150
Α2. Θεωρία σχ. βιβλίου σελ. 16
Α3. Θεωρία σχ. βιβλίου σελ. 96
Α4. α) Λάθος
β) Σωστή
γ) Σωστή
δ) Λάθος
ε) Λάθος
ΘΕΜΑ Β
Β1. Έχουμε τη συνάρτηση f(x) = ax3
+ βx2
− 4 , x ∈ ℝ. Αφού η f εφάπτεται στον x′x
τότε f′(−2) = 0 και εφόσον Α(−2,0) ∈ ℂ ⇔ f(−2) = 0. Δηλαδή προκύπτει το
σύστημα:
(Σ) = �
f′(−2) = 0
f(−2) = 0
Υπολογίζουμε την παράγωγοτης f.
Είναι f′(x) = (ax3
+ βx2
− 4)′
= 3ax2
+ 2βx.
Άρα f′(−2) = 0 ⇔ 3α(−2)2
+ 2β(−2) = 0 ⇔ 12α − 4β = 0 ⇔ 3α − β = 0
(1)
Επίσης f(−2) = 0 ⇔ α(−2)3
+ β(−2)2
− 4 = 0 ⇔
−8a + 4β − 4 = 0 ⇔ −2α + β = 1 (2)
Από (1) και (2) έχω: �
3α − β = 0
−2α + β = 1
� ⇒ α = 1 οπότε β = 3α = 3 ∙ 1 = 3 ⇔ β = 3

7. https://liveyourmaths.wordpress.com/
Β2. Τελικά έχουμε τη συνάρτηση f(x) = x3
+ 3x2
− 4. Αναζητούμε τη μονοτονία της f και
έχουμε: f′(x) = 3x2
+ 6x, f′(x) = 0 ⇔ 3x2
+ 6x = 0 ⇔ 3x(x + 2) = 0 ⇔ x =
0 ή x = −2.
f′(x) > 0 ⇔ 3x2
+ 6x > 0 ⇔ x ∈ (−∞,−2) ∪ (0, +∞)
f′(x) < 0 ⇔ 3x2
+ 6x < 0 ⇔ x ∈ (−2,0)
Συνεπώς σχηματίζουμε τον πίνακα μεταβολώνκαι έχουμε:
Η συνάρτηση fείναιγνησίωςαύξουσαστο(−∞, −2]καιστο[0,+∞), ενώείναιγνησίως
φθίνουσα στο [−2,0].
Στις θέσεις x0 = −2 και x1 = 0 η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο
αντιστοίχως. Οι τιμές αυτές είναι: f(−2) = 0 και f(0) = −4
Β3. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f είναι
f′(x) = 3x2
+ 6x. Εξετάζουμε πού η f ελαχιστοποιείται.
Θέτω g(x) = f′(x) = 3x2
+ 6x, τότε g′(x) = 6x + 6 ή g′(x) = 6(x + 1). Είναι
g′(x) = 0 ⇔ x = −1. g′(x) > 0 ⇔ x > −1 και g′(x) < 0 ⇔ x < −1
Σχηματίζουμε τον πίνακαμεταβολών:
Άρα η g ελαχιστοποιείται στη θέση x0 = −1. Συνεπώς το ζητούμενο σημείο είναι:
Μ�−1,f(−1)� αφού f(−1) = 1 ∙ (−1)3
+ 3(−1)2
− 4 = −1 + 3 − 4 = −2.
Δηλαδή Μ(−1, −2)
Β4. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο:
lim
x→−2
f′(x)
√x2+1−√5
= lim
x→−2
3x2+6x
√x2+1−√5
=
0
0
(απροσδιόριστη μορφή) (1)
Με τη χρήση της ταυτότητας α2
− β2
= (α − β)(α + β) εάν θέσουμε �
α = √x2 + 1
β = √5
Άρα: �√x2 + 1�
2
− �√5�
2
= �√x2 + 1 − √5� ∙ �√x2 + 1 + √5� ⇔ √x2 + 1 − √5 =

8. https://liveyourmaths.wordpress.com/
x2+1−5
√x2+1+√5
=
x2−4
√x2+1+√5
(2)
Αντικαθιστούμε την (2) στην (1) και έχουμε:
lim
x→−2
3x2
+ 6x
x2 − 4
√x2 + 1 + √5
= lim
x→−2
3x(x + 2) ∙ �√x2 + 1 + √5�
(x − 2)(x + 2)
= lim
x→−2
3x�√x2 + 1 + √5�
(x − 2)
=
−6(√5 + √5)
−2 − 2
=
−6 ∙ 2√5
−4
= 3√5
Άρα lim
x→−2
f΄(x)
√x2+1−√5
= 3√5
ΘΕΜΑ Γ
Γ1. Έστω α η πρώτη τιμή (χαμηλότερη) στο δείγμα μου και c το πλάτοςτης κάθε κλάσης.
Τότε η 1η κλάση είναι: [α, α + c)
H 2η κλάση είναι: [α + c, a + 2c)
H 3η κλάση είναι: [α + 2c,a + 3c)
H 4η κλάση είναι: [α + 3c,a + 4c)
H 5η κλάση είναι: [α + 4c,a + 5c)
Αφού η μικρότερη διάρκεια χρόνου ομιλίας που παρατηρήθηκε στο δείγμα είναι 0, τότε
α = 0. Επειδή το κέντρο της 5ης κλάσης είναι 18, τότε
x5 =
4c + 5c
2
⇔
9c
2
= 18 ⇔ 9c = 36 ⇔ c = 4
Γ2. Από τα δεδομένα έχουμε ότι α5 = 360°f5 ⇔ 36° = 360°f5 ⇔ f5 =
36°
360°
⇔ f5 = 0,1
ή f5% = 10
Επίσης ισχύει:
Ν1
4
=
Ν2
9
=
Ν3
15
=
Ν4
18
= κ > 0, τότε:
Ν1 = ν1 = 4κ (1)
Ν2 = 9κ ⇔ ν1 + ν2 = 9κ (2)
Ν3 = 15κ ⇔ ν1 + ν2 + ν3 = 15κ (3)
Ν4 = ν1 + ν2 + ν3 + ν4 = 18κ (4)

9. https://liveyourmaths.wordpress.com/
Επίσης ισχύει
� fi
5
i=1
= 1 ⇔ f1 + f2 + f3 + f4 + f5 = 1 ⇔ f1 + f2 + f3 + f4 + 0,1 = 1 ⇔
f1 + f2 + f3 + f4 = 0,9 ⇔
ν1 + ν2 + ν3 + ν4
ν
= 0,9 ⇔
18κ
ν
= 0,9 ⇔ 18 ∙
κ
ν
=
9
10
⇔
2 ∙ 9 ∙
κ
ν
=
9
10
⇔ ν = 20κ (5)
Οπότε από (1) ν1 = 4κ ⇔
ν1
ν
= 4
κ
ν
= f1 =
1
20
⇔ f1 = 0,2 ή f1% = 20. Επίσης,
ν1 + ν2 = 9κ ⇔
ν1 + ν2
ν
= 9
κ
ν
⇔ f1 + f2 = 9
1
20
⇔ 0,2 + f2 =
9
20
⇔ f2 =
9
20
−
4
20
ή f2 =
5
20
=
1
4
ή f2% = 25
Ομοίως ν1 + ν2 + ν3 = 15κ ⇔
ν1+ν2+ν3
ν
= 15
κ
ν
⇔
ν1
ν
+
ν2
ν
+
ν3
ν
= 15
κ
ν
⇔
f1 + f2 + f3 = 15
1
20
⇔ f3 =
15
20
−
20
100
−
25
100
= 0,3 ή f3% = 30
Τελικά: f1 + f2 + f3 + f4 = 18
κ
ν
⇔ 0,2 + 0,25 + 0,3 + f4 =
18
20
⇔
f4 = 0,9 − 0,75 = 0,15 ή f4% = 15
Κατά συνέπεια, ο πίνακας συμπληρωμένος είναι:
Κλάσεις
(σε ώρες)
Κεντρικές τιμές
𝑥𝑥𝑖𝑖
Σχετικές συχνότητες
𝑓𝑓𝑖𝑖%
[0,4) 2 25
[4,8) 6 25
[8,12) 10 30
[12,16) 14 15
[16,20) 18 10
Σύνολο 100
Επίσης, οι κεντρικές τιμές προκύπτουν από τον τύπο:
x1 =
0 + 4
2
= 2
x2 =
4 + 8
2
= 6
x3 =
8 + 12
2
= 10
x4 =
12 + 16
2
= 14
x5 =
16 + 20
2
= 18

10. https://liveyourmaths.wordpress.com/
Γ3. Η 3η ώρα βρίσκεται στην 1η κλάση
Η 10η ώρα βρίσκεται στα μέσα της 3ης κλάσης.
Με την θεώρηση ότι οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένεςμέσα στις
κλάσεις, το ζητούμενο ποσοστό είναι:
1
4
f1% + f2% +
1
2
f3% =
1
4
20 + 25 +
1
2
30 = 5% + 25% + 15% = 45%
Άρα το ποσοστό των συνδρομητών του δείγματος οι οποίοιέχουν χρεωθεί τουλάχιστον 3
ώρες και λιγότερες από 10 ώρες είναι 45%.
Γ4. Εφόσον δεν μας ενδιαφέρουν οι συνδρομητές στο δείγμα που χρεώθηκανλιγότερες από 4
ώρες, αγνοούμε την 1η κλάση του πίνακα. Άρα έχουμε τον παρακάτω πίνακα:
Κλάσεις
(σε ώρες)
Κεντρικές τιμές
𝑥𝑥𝑖𝑖
Σχετικές συχνότητες
𝑓𝑓𝑖𝑖%
[4,8) 6 25
[8,12) 10 30
[12,16) 14 15
[16,20) 18 10
Σύνολο
Συνεπώς η μέση τιμή του χρόνου μετά τις 4 ώρες είναι:
x� =
1
ν′
� xiνi
5
i=2
όπου ν′
= ν2 + ν3 + ν4 + ν5 = ν − ν1 ⇔ ν′
= ν − ν1
Άρα x� =
1
ν−ν1
(x2ν2 + x3ν3 + x4ν4 + x5ν5) (1)
Όμως ν = 20κ από σχέση (5) του ερωτήματος Γ2 και ν1 = 4κ από σχέση (1) του
ερωτήματος Γ2. Οπότε: ν′
= ν − ν1 = 20κ − 4κ = 16κ ⇔ ν′
= 16κ (2)
Επίσης, ν2 = 9κ − 4κ = 5κ ⇔ ν2 = 5κ
Είναι ν3 = 15κ − ν1 − ν2 = 15κ − 4κ − 5κ = 6κ ⇔ ν3 = 6κ
Ομοίως ν4 = 18κ − ν1 − ν2 − ν3 = 18κ − 4κ − 6κ − 5κ = 3κ ⇔ ν4 = 3κ
Τελικά, ν5 = 2κ. Άρα:
x� =
1
16κ
(6 ∙ 5κ + 10 ∙ 6κ + 14 ∙ 3κ + 18 ∙ 2κ) =

11. https://liveyourmaths.wordpress.com/
=
1
16κ
∙ κ(30 + 60 + 42 + 36) =
168
16
= 10,5
Συνεπώς, ο μέσος πληρωμένος χρόνος μετά τις 4 ώρες είναι 10,5 − 4 = 6,5 ώρες
ΘΕΜΑ Δ
Δ1.
Είναι ΑΒΓΔ τετράγωνο και ΑΚ = ΒΛ = ΜΓ = ΔΝ = x.
Συγκρίνω τα τρίγωνα ΝΑΚ, ΚΛΒ, ΜΓΛ και ΝΔΜ τα οποία είναι ίσα διότι
ΑΚ = ΒΛ = ΜΓ = ΔΝ = x, ΑΝ = ΒΚ = ΓΛ = ΔΜ = 4 − x και Α� = Β� = Γ� = Δ� =
90° (από κριτήριο ισότητας τριγώνων).
Γνωρίζουμε ότι ΑΚ�Β = 180° ⇔ ΑΚ�Ν + ΝΚ�Λ + ΛΚ�Β = 180° ή
ΑΚ�Ν + ΝΚ�Λ + ΚΝ�Α = 180° (αφού ΛΚ�Β = ΚΝ�Α, ισότητα τριγώνων) οπότε
ΑΚ�Ν + ΚΝ�Α + ΝΚ�Λ = 180° και επειδή ΑΚ�Ν + ΚΝ�Α = 90°, έχουμε:
90° + ΝΚ�Λ = 180° ⇔ ΝΚ�Λ = 90° (1)
Συνεπώς το ΚΛΜΝ είναι ορθογώνιο(σχέση (1)) και ρόμβος αφού όλες του οι πλευρές
είναι ίσες (από τα ίσα τρίγωνα). Οπότε ΚΛΜΝ είναι τετράγωνο. Άρα το ζητούμενο
εμβαδόν είναι (ΚΛΜΝ) = ΚΛ2
(2)
Όμως, ΚΛ είναι η υποτείνουσα στο τρίγωνο ΚΒΛ (αφού Β� = 90°). Εφαρμόζοντας το
πυθαγόρειο θεώρημα στο εν λόγω τρίγωνο, έχουμε:
ΚΛ2
= ΚΒ2
+ ΒΛ2
⇔ ΚΛ2
= (4 − x)2
+ x2
= 16 − 8x + x2
+ x2
ή
ΚΛ2
= 2x2
− 8x + 16 ή ΚΛ2
= 2(x2
− 4x + 8) (3)
Από (2) και (3) έχω: Ε(x) = 2(x2
− 4x + 8) , (αφού 4 − x > 0 ⇔ x < 4 και x > 0).

12. https://liveyourmaths.wordpress.com/
Όμως 0 < x < 4 αφού το x κινείται κατά της πλευράς του αρχικού τετραγώνου.
Άρα Ε(x) = 2(x2
− 4x + 8) , x ∈ (0,4)
Δ2. Υπολογίζουμε την πρώτη παράγωγοτου εμβαδού
Ε′
(x) = [2(x2
− 4x + 8)]′
= 2(2x − 4) = 4(x − 2)
Οπότε Ε′
(x) = 4(x − 2) , x ∈ (0,4)
Ε′(x) = 0 ⇔ 4(x − 2) = 0 ⇔ x = 2
Ε′(x) > 0 ⇔ 4(x − 2) > 0 ⇔ x > 2
Ε′(x) < 0 ⇔ 4(x − 2) < 0 ⇔ x < 2
Σχηματίζουμε τον πίνακαμεταβολών:
Συνεπώς, η συνάρτηση του εμβαδού ελαχιστοποιείταιγια x0 = 2. Η ελάχιστη τιμή είναι:
Ε(2) = 2(4 − 8 + 8) = 8 ή Ε(2) = 8.
Δ3. α) Έχουμε yi = E(xi), xi ∈ (0,4) για i = 1,2,3,… ,19 με x1 ≠ x2 ≠ ⋯ ≠ x9. Εφόσον η
μέση τιμή των 𝑥𝑥𝑖𝑖 , i = 1,2,3,…,19 είναι 2, τότε x� =
1
19
∑ xi
19
i=1 (1)
Εάν παρατάξουμε τις παρατηρήσεις xi ,i = 1,2,3,… ,19 σε αύξουσα σειρά, έχουμε:
x1 < x2 < x3 < ⋯ < x19 η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση, δηλαδή αυτή που
αφήνει το 50% κάτω – πάνω από την τιμή αυτή.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση δ = x10 = 2 (2)
Επίσης είναι y� =
1
19
∑ yi
19
i=1 =
1
19
∑ E(xi)19
i=1 ⇒
1
19
∑ E(xi)19
i=1 = 8,02 (3)
Θέλουμε να βρούμε το x2���. Από τη σχέση του εμβαδού στο Δ2 ερώτημα, έχουμε:
E(xi) = 2(xi
2
− 4xi + 8). Οπότε θα είναι:
E(x1) = 2(x1
2
− 4x1 + 8)
E(x2) = 2(x2
2
− 4x2 + 8)
.
.
.
E(x19) = 2(x19
2
− 4x19 + 8)⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
+ ⇒

13. https://liveyourmaths.wordpress.com/
E(x1)+ E(x2)+ ⋯+ E(x19) =
= 2(x1
2
− 4x1 + 8) + 2(x2
2
− 4x2 + 8) + ⋯ + 2(x19
2
− 4x19 + 8) ⇒
� E(xi)
19
i=1
= �[2(x1
2
− 4x1 + 8) + 2(x2
2
− 4x2 + 8) + ⋯ + 2(x19
2
− 4x19 + 8)]
19
i=1
⇒
� E(xi)
19
i=1
= 2 ∙ (x1
2
− 4x1 + 8 + x2
2
− 4x2 + 8 + ⋯+ x19
2
− 4x19 + 8) ⇔
� E(xi)
19
i=1
= 2 ∙ [x1
2
+ x2
2
+ ⋯+ x19
2
− 4(x1 + x2 + ⋯ + x19)+ 8 + 8 + ⋯+ 8]
� E(xi)
19
i=1
= 2 ∙ �� xi
2
19
i=1
− 4 � xi + 8 ∙ 19
19
i=1
� ⇒
1
2
� E(xi)
19
i=1
= � xi
2
19
i=1
− 4 � xi + 8 ∙ 19
19
i=1
⇒
1
2
∙
1
19
� E(xi)
19
i=1
=
1
19
� xi
2
19
i=1
−
4
19
� xi + 8
19
i=1
⇔
Από την (1) και την (3) έχουμε:
1
2
∙ 8,02 =
1
19
� xi
2
− 4x�
19
i=1
+ 8 ⇔ 4,01 = x2��� − 4 ∙ 2 + 8 ⇒ x2��� = 4,01
β) Είναι:
Sx
2
=
1
19
�� xi
2
19
i=1
−
(∑ xi
19
i=1 )2
19
� =
1
19
� xi
2
19
i=1
− �
∑ xi
19
i=1
19
�
2
=
1
19
� xi
2
19
i=1
− x2���
ή Sx
2
= x2��� − x�2
. Από α) ερώτημα έχω: Sx
2
= 4,01 − 22
= 4,01 − 4 = 0,01
ή Sx
2
= 0,01 ⇔ Sx
2
=
1
100
⇔ Sx =
1
10
⇔ Sx = 0,1
Ο συντελεστής μεταβλητότητας είναι CV =
Sx
|x�|
αφού x� > 0 , τότε

14. https://liveyourmaths.wordpress.com/
CV =
0,1
2
=
1
10
2
1
=
1
20
= 0,05
Άρα CV = 0,05 < 0,1 , συνεπώς το δείγμα είναι ομοιογενές.
γ) Αρχικά θα βρούμε τα στοιχεία του ενδεχομένου Α.
Είναι: Α:{xi , i = 1,2,3,…,19 ∶ xi
2
≥ 4}
δηλαδή xi
2
≥ 4 ⇔ |xi| ≥ 2 ⇔ �
xi ≥ 2
ή
xi ≤ −2
αφού όμως
0 < x1 < x2 < x3 < ⋯ < x10 = 2 < x11 < x12 < ⋯ < x19 < 4
αφού εξ’ υποθέσεως είναι δ = x10 = 2
Συνεπώς Α = {x10 < x11 < ⋯ < x19}
Συνεπώς η ζητούμενη πιθανότητα είναι Ρ(Α) =
Ν(Α)
Ν(Ω)
δηλαδή Ρ(Α) =
10
19
Επίσης, για το ενδεχόμενο Β = {xi ,i = 1,2,3,…,19 ∶ Ε(xi) ≤ 8}
Δηλαδή 2(xi
2
− 4xi + 8) ≤ 8 ⇔ xi
2
− 4xi + 8 ≤ 4 ⇔ xi
2
− 4xi + 4 ≤ 0 ⇔
(xi − 2)2
≤ 0 ⇔ xi − 2 = δ . Άρα Β = {x10}. Οπότε η πιθανότητα του Β είναι:
Ρ(Β) =
Ν(Β)
Ν(Ω)
=
1
19
⇔ Ρ(Β) =
1
19
Τέλος, τοενδεχόμενοΓ είναιΓ′
= (Α ∪ Β)′
⇒ Ρ(Γ) = Ρ[(Α ∪ Β)′] = 1 − Ρ(Α ∪ Β) ⇒
Ρ(Γ) = 1 − Ρ(Α ∪ Β) (1)
Αλλά Ρ(Α ∪ Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) − Ρ(Α ∩ Β) (2)
Όμως Α ∩ Β = {x10}, δηλαδή Ρ(Α ∩ Β) =
1
19
αφού Ρ(Α ∩ Β) =
Ν(Α∩Β)
Ν(Ω)
Από σχέση (2) έχουμε: Ρ(Α ∪ Β) =
10
19
+
1
19
−
1
19
=
10
19
Τελικά η ζητούμενη πιθανότητα είναι: Ρ(Γ) = 1 −
10
19
=
19−10
19
=
9
19
⇒ Ρ(Γ) =
9
19
Επιμέλεια λύσεων: Χρήστος Κ. Λοΐζος
MSc Μαθηματικός