ΙΣΤΟΡΙΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ : ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ 2ο
20 epanaliptika themata_2020_2021_plus_lyseis
1. 20 επαναληπτικά θέματα
για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ΄ λυκείου
(τεύχος 8 – σχολικό έτος 2020-2021)
Γράφουν οι μαθηματικοί:
Λιτηερίνοσ Χριςτόδουλοσ
Μποφηασ Δθμιτρθσ
Πάτςθσ Ανδρζασ
Τρφφων Παφλοσ
ελεφκερθ διάκεςθ για εκπαιδευτικοφσ ςκοποφσ από:
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
Απαγορεφεται η όποιασ μορφήσ εμπορική χρήςη!
Τα πνευματικά δικαιώματα των θεμάτων
ανήκουν αποκλειςτικά ςτουσ δημιουργοφσ τουσ
ISBN: 973-613-5528-08-4
(Ν. 2121/93 και 2557/97).
2. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
1
Θέμα 1ο
Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην
0, , γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
0
f x γηα θάζε
0,
x
2
4
lim 4 ln 2 1
2
x
f x
x
H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα
1, κε
ln 1
f x f x x
H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα
0,1 κε 2
1 ln x
f x f x
x
Α. Να ππνινγηζηεί ην
2
f
Β. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f
Γ. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη:
i. αθξηβώο έλα
0,
o
x ώζηε 3
o
f x
ii. ηνπιάρηζηνλ έλα
1
,
2
o
x
ηέηνην ώζηε
2 2 1 11
o
x f
Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
2
x
g x e x x
.
Να δείμεηε όηη νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ ,
f g :
i. Σην δηάζηεκα
0,1 έρνπλ ηνπιάρηζηνλ έλα θνηλό ζεκείν.
ii. Γελ δέρνληαη θνηλή εθαπηνκέλε.
3. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
2
Θέμα 2ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε θαη κε ζπλερή 2ε
παξάγωγν ζην R , γηα ηελ
νπνία ηζρύεη:
2
1
x f x f x x
γηα θάζε x R
Ζ f
C εθάπηεηαη ηεο επζείαο : 2 1
y x
ζην ζεκείν
1, 1
f
Α. Να δεηρζεί όηη
1 3
f θαη
1 2
f
Β. Να δεηρζεί όηη
0 1
f f
Γ. Να απνδεηρζεί όηη ε f
C έρεη ηνπιάρηζηνλ έλα:
i. θνηλό ζεκείν κε ηελ επζεία (ε) ζην δηάζηεκα
1,0
.
ii. πηζαλό Σεκείν Κακπήο.
Γ. Να απνδείμεηε όηη, γηα θάζε
1,0 0,
x , ππάξρνπλ
1 2
, 1, x
ηέηνηα ώζηε
1 2 1
f f
Δ. Να ππνινγηζηεί ην όξην
2
2
1
8
lim
1 1
x
f x x
x x
ΣΤ. Δπηπιένλ δίλεηαη όηη:
0
f x
γηα θάζε 1
x
2 3
f
i. Να δεηρζεί όηη ε f
C είλαη θπξηή ζην δηάζηεκα
1,
ii. Να ππνινγηζηεί ην
lim
x
f x
iii. Να βξεζεί ην R
ώζηε ην όξην
2
1
lim
x
f x f x
f x f x
λα είλαη πξαγκαηηθόο αξηζκόο.
4. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
3
Θέμα 3ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R θαη κε ζπλερή 2ε
παξάγωγν, γηα ηελ
νπνία ηζρύνπλ:
0
f x
, γηα θάζε x R
4
1
lim
4 4
x
f x x
x
2
4 2
f x x
, γηα θάζε x R
Α. Να δεηρζεί όηη
4 2
f
Β. Να απνδεηρζεί όηη ε κνλαδηθή ξίδα ηεο εμίζωζεο 0
f x
είλαη ην 4
x
Γ.
i. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα
0,4
ηέηνην ώζηε 4
f
ii. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα
0,4
o
x ηέηνην ώζηε
o o
f x x
iii. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη θνίιε.
Γ. Να κειεηεζεί ε f ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα θαη λα βξεζεί ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο.
Δ. Να ιπζεί ε εμίζωζε:
3 0
4
f f x f x
ΣΤ. Να ππνινγηζηεί ην όξην
2 3
2
5 6 2021
lim
1
x
f f x x
x x
, γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ
R
5. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
4
Θέμα 4ο
Έζηω ζπλάξηεζε f , παξαγωγίζηκε ζην R, κε ηύπν:
2 , 0
ln , 0
x
e x x
f x
x x
, κε , , R
θαη 0
.
Δπηπιένλ δίλεηαη όηη ε αζύκπηωηε ηεο f
C ζην είλαη ν άμνλαο x x
.
Α. Να απνδείμεηε όηη 0
.
Β. Να βξείηε ηηο παξακέηξνπο α, β.
Γ. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην R.
Γ.
i. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηα θνίια θαη ηα ζεκεία θακπήο.
ii. Να απνδείμεηε όηη 2
2 0
x f x x x
γηα θάζε 0
x
Δ. Να απνδεηρζεί όηη ε εμίζωζε
2
0
f x f x f x
x x
έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα ζην
δηάζηεκα
0, , κε 0
.
ΣΤ. Να δεηρζεί όηη ηζρύεη:
2 2
2 1 1
3 2 ln 2 1
x x
x e e x
, γηα θάζε x R
Ε. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
ln ln 2
g x x x
, κε
0,2
x .
i. Να νξηζηεί ε ζπλάξηεζε g f
.
ii. Να δεηρζεί όηη ε g f
C ηέκλεη ηνλ άμνλα x x
ζε κνλαδηθό ζεκείν.
6. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
5
Θέμα 5ο
Έζηω ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ
0,
f
D γηα ηελ νπνία ηζρύεη:
0
f x , γηα θάζε
0,
x
2
2 f f x x f x
, γηα θάζε
0,
x
1 2
f
Α. Να δείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη ζηε ζπλέρεηα:
i. λα βξείηε ην
1
1
f
.
ii. λα ιπζεί ε εμίζωζε
2
ln 1
f x f x
e f x e f x f x
Β. Γίλεηαη επίζεο όηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην f
D κε ζπλερή πξώηε παξάγωγν.
i. Να δείμεηε όηη ε f δελ έρεη αθξόηαηα
ii. Να δείμεηε όηη ε f είλαη γλεζίωο θζίλνπζα
iii. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ κία εθαπηνκέλε ηεο f
C πνπ λα δηέξρεηαη από ην
ζεκείν
3,0
iv. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη αθξηβώο έλα
1,2
o
x ώζηε ην όξην
lim
o
x x
f x
f x x
λα κελ
ππάξρεη θαη ζηε ζπλέρεηα λα δείμεηε όηη 2
o
x
v. Να απνδείμεηε όηη ππάξρνπλ
1 2
, 1,2
x x ώζηε
1 2 1
f x f x
vi. Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε 1
f x x x x
, ζην δηάζηεκα ,
2
, έρεη κνλαδηθή
ξίδα.
7. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
6
Θέμα 6ο
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
4
ln 2
4
x
f x x x x
, κε πεδίν νξηζκνύ ην
0,
Α. Να δεηρζεί όηη ε γξαθηθή ηεο παξάζηαζε ηέκλεη ηνλ άμνλα x x
ζε κνλαδηθό ζεκείν κε
ηεηκεκέλε 2
o
x .
Β. Γίλεηαη όηη
2 2
ln 2
4
, κε 0
i. Να απνδεηρζεί όηη 1
.
ii. Να απνδεηρζεί όηη
3
4 4 1 ln 1 7
f
Γ. Σην δηάζηεκα
1, o
x λα δεηρζεί όηη:
i. Υπάξρεη κνλαδηθή εθαπηνκέλε (ε) ηεο f
C πνπ λα δηέξρεηαη από ην ζεκείν
2,0
ii. Ζ (ε) δελ έρεη άιια θνηλά ζεκεία κε ηε f
C .
iii. Ζ εμίζωζε
1
0
1
o
f x f x
x x x
έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ξίδα.
Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε g , νξηζκέλε ζην δηάζηεκα
0, , κε ηύπν
2
f x
g x e
.
i. Να κειεηεζεί ε g ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.
ii. Να δείμεηε όηη ε εμίζωζε
g x f e
έρεη αθξηβώο ηξεηο ιύζεηο.
iii. Να δείμεηε όηη ε g
C έρεη ηνπιάρηζηνλ έλα πηζαλό Σεκείν Κακπήο.
8. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
7
Θέμα 7ο
Έζηω ζπλάξηεζε 2 1
ln 2
2
f x x x
, κε πεδίν νξηζκνύ ην
0, .
Α. Από όιεο ηηο εθαπηόκελεο ηεο f
C λα βξεζεί ε
πνπ έρεη ην κηθξόηεξν ζπληειεζηή
δηεύζπλζεο.
Β. Να δεηρζεί όηη ε εμίζωζε 0
f x έρεη κνλαδηθή ξίδα o
x , κε 1
o
x .
Γ.
i. Να απνδεηρζεί όηη ε f αληηζηξέθεηαη θαη λα βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f
.
ii. Να ιπζεί ε αλίζωζε 1 2 3
ln 2 2 4
2
o
f x x x x
Γ. Θεωξώληαο όηη ε 1
f
είλαη ζπλερήο ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο, λα δεηρζεί όηη ε εμίζωζε
1
1 1
x f x
έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ξίδα ζην δηάζηεκα
3
0,
2
Δ. Έζηω ε ζπλάξηεζε g κε ηύπν ε
2
1
4
g x f x
x
.
i. Να βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο.
ii. Να κειεηεζεί ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ην είδνο ηωλ αθξνηάηωλ.
ΣΤ. Έζηω κεηαβιεηό ζεκείν Μ ηεο f
C πνπ ε ηεηκεκέλε ηνπ κεηαβάιιεηαη, ωο πξνο ην ρξόλν,
κε ξπζκό 0
x t
. Να βξεζνύλ ηα ζεκεία Μ γηα ηα νπνία ηζρύεη όηη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο
ηεηαγκέλεο είλαη πεληαπιάζηνο από απηόλ ηεο ηεηκεκέλεο.
9. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
8
Θέμα 8ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο
0,
f
D γηα ηελ
νπνία ηζρύεη:
2
1 2 0
g x f x f x
, γηα θάζε
0,
x
Έζηω, επίζεο, ζπλάξηεζε g κε πεδίν νξηζκνύ g
D R
γηα ηελ νπνία ηζρύεη:
1 1
g y x y g x g y x y
, γηα θάζε ,
x y R
1821 ln 1
g x x
, γηα θάζε
0,
x
Α. Να απνδείμεηε όηη ε g είλαη ζηαζεξή ζην R.
Β. Να δείμεηε όηη
1 1
g
Γ. Γίλεηαη επηπιένλ όηη
1 5
f θαη
1
3
2
f
i. Να δείμεηε όηη 2 1
4
f x x
x
, γηα θάζε
0,
x
ii. Να βξείηε ην Σύλνιν Τηκώλ ηεο f
Γ. Έζηω ηεηξάγωλν ΑΒΓΓ πιεπξάο 2 κε 0
. Σην κέζν Δ ηεο ΒΓ θαηαζθεπάδνπκε
νξζνγώλην ηξίγωλν ΔΓΕ ώζηε
3
2
2 2
.
Τα ζεκεία Γ, Γ, Ε είλαη ζπλεπζεηαθά.
i. Να βξείηε ηε ηηκή ηνπ
ώζηε ην Δκβαδόλ ηεο επηθάλεηαο
λα γίλεη ειάρηζην.
ii. Ζ κεηαβιεηή
κεηαβάιιεηαη κε ξπζκό 2cm/sec.
Γ
Α Β
Δ
Γ
Ε
10. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
9
Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 1 2
,
K K νξηζκέλεο ζην
0, κε ηύπν 3
1
4
ln 2
3
K
θαη
2
K
αληίζηνηρα.
Έζηω ζεκεία
1
, K
θαη
2
,K
θηλνύκελα ζηηο 1
K
C θαη 2
K
C αληίζηνηρα.
Να δείμεηε όηη ηε ρξνληθή ζηηγκή o
t , πνπ ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Μ είλαη ίζνο κε
απηόλ ηεο ηεηαγκέλεο ηνπ Ν, ην εκβαδόλ
είλαη ίζν κε 3 η. κνλάδεο.
11. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
10
Θέμα 9ο
Έζηω νη ζπλερείο ζπλαξηήζεηο ,
f g , κε πεδίν νξηζκνύ ην R , γηα ηηο νπνίεο ηζρύνπλ:
f x x
, γηα θάζε x R
1
0
1
x
f x x
e x f x
, 0
2 ln 1 , 0
f x x
g x
x x x
Α. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f
Β. Να δείμεηε όηη:
i. Ζ εμίζωζε 0
g x έρεη αθξηβώο δύν ιύζεηο 1 2
,
, κε 1 2
0
ii. Γελ ηζρύνπλ γηα ηελ g νη πξνϋπνζέζεηο ηνπ ζεωξήκαηνο Rolle ζην δηάζηεκα
1 2
,
iii. Ζ εμίζωζε
1 2 2
2 1 2021
g
x x x x
έρεη κία ηνπιάρηζηνλ ζεηηθή ιύζε γηα θάζε
R
Γ. Να δείμεηε όηη δελ ππάξρνπλ ζεκεία ηεο g
C πνπ λα δέρνληαη παξάιιειεο εθαπηόκελεο.
Γ. Να ιπζνύλ νη αληζώζεηο:
i.
2
2 2
x x x
e e
ii.
2 2
2 2 2 2 2
3 2 1 1
x x x x x x
x x e e e e
Δ. Έζηω F ζπλάξηεζε νξηζκέλε ζην R , κε
F x f x
γηα θάζε x R
. Να απνδείμεηε όηη
ε εμίζωζε 2
2 1821
F x x
έρεη ην πνιύ κία ξίδα.
12. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
11
Θέμα 10ο
Έζηω ζπλερήο ζπλάξηεζε f , κε πεδίν νξηζκνύ ην
0, , γηα ηελ νπνία ηζρύεη:
2
3
2
2 ln
3
x
f x x x x
γηα θάζε 0
x
Καη επηπιένλ όηη
3
2
3
lim
1
x
f f x x
x
, κε 0
Α. Να δεηρζεί όηη
f f
Β. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f
Γ. Να απνδείμεηε όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα
1,2
ηέηνην ώζηε:
2 2 2
2 1 2ln 1
f x f x
, γηα θάζε x R
.
Γ.
i. Να δεηρζεί όηη ε f αληηζηξέθεηαη. Σηε ζπλέρεηα, εάλ γλωξίδνπκε όηη 1
f
ζπλερήο ζην
1
f
D , λα βξεζεί ην πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f
D , ην είδνο ηεο κνλνηνλίαο ηεο θαη ην ζύλνιν
ηηκώλ ηεο.
ii. Να ππνινγηζηνύλ ηα όξηα: α)
0
lim
x
f x
x
β)
1
0
lim
x
f x
γ)
1
0
lim
x
f x x
f x
iii. Να δεηρζεί όηη ε f
C ηέκλεη ηελ επζεία y x
ζε αθξηβώο δύν ζεκεία
iv. Υπνζέηνληαο όηη ε 1
f
είλαη παξαγωγίζηκε, λα δεηρζεί όηη ππάξρεη εθαπηνκέλε ηεο 1
f
C
πνπ είλαη παξάιιειε ζηελ y x
Δ. Έζηω
, y
x
κεηαβιεηό ζεκείν ηεο f
C . Ζ ηεηκεκέλε ηνπ Μ απμάλεηαη θαηά 3 / sec
cm . Αλ
ηα ζεκεία Ν, Ξ είλαη νη πξνβνιέο ηνπ Μ ζηνπο άμνλεο x x
θαη y y
αληίζηνηρα θαη Ο ε αξρή ηωλ
αμόλωλ, λα βξεζεί ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ Δκβαδνύ ΟΝΜΞ ηε ρξνληθή ζηηγκή θαηά ηελ νπνία
ην Μ δηέξρεηαη από ην
4
1,
3
.
13. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
12
Θέμα 11ο
Σην παξαθάηω ζρήκα δίλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο
3
f x αx βx 1, x R
α,β R
θαζώο θαη ε εθαπηνκέλε ηεο ζην ζεκείν
2 3 2 3
A ,f .
3 3
Α. Να βξείηε ηηο ζπληεηαγκέλεο ηνπ ζεκείνπ B
Β. Να απνδείμεηε όηη α 1
θαη β 3
Γ. Να βξείηε ηα ζεκεία θακπήο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο ζπλάξηεζεο f
Γ. Δίλαη ζωζηόο ν ηζρπξηζκόο:
«ε επζεία y 3x 1
δηαπεξλά ηελ γξαθηθή παξάζηαζε ηεο ζπλάξηεζεο f » ;
14. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
13
Θέμα 12ο
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
2
x x π π
f x ευx e 2x, x , .
2 2 2
Α. Να απνδείμεηε όηη ε f αληηζηξέθεηαη.
Β. Να βξείηε ην πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f .
Γ. Να ππνινγίζεηε ηα όξηα:
i.
x 0
2 1
x f x .
lim
ii.
x 0 2
ημx
.
x f x 1
lim
Γ. Να ιύζεηε ηελ εμίζωζε:
x 2 π π
2 ημx 2 συνx e x συνx 4 x συνx 2 συνx, x , .
2 2
Δ. Έζηω
π π
α, β ,
2 2
ηέηνηα ώζηε ευα ευβ 0.
Να βξείηε ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο:
4 2
x x f α 1 f β 1 0.
15. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
14
Θέμα 13ο
Θεωξνύκε πνιπωλπκηθή ζπλάξηεζε f ν οστού
βαζκνύ
ν 2
γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
f 0 0
f 0
x
e ex
γηα θάζε x 0
6 ημ ν 2 3ν
Α. Να απνδείμεηε όηη
f 0 1
Β. Να απνδείμεηε όηη ν 2
Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 1
g x x x
, κε 1
x .
Δπηπιένλ γλωξίδνπκε όηη:
ε f είλαη άξηηα
x
f 1 2
2 1
x ημ e
f x 1
lim
i. Να απνδείμεηε όηη 2
1
f x x
, γηα θάζε x R
.
ii. Να νξίζεηε ηε g f
iii. Να κειεηήζεηε ηε g f
ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.
iv. Να βξείηε ηελ θακππιόηεηα θαη ηηο αζύκπηωηεο ηεο g f
v. Με ηα ζηνηρεία πνπ βξήθαηε λα θάλεηε πξόρεηξε ράξαμε ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο
g f
16. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
15
Θέμα 14ο
Έζηω ζπλάξηεζε
: 0,
f R
, κε ηύπν
ln x
f x x
x
, κε , , R
.
Οη αζύκπηωηεο ηεο f
C είλαη ε επζεία 2 3
y x
θαη ν άμνλαο y y
.
Α.
i. Να απνδεηρζεί όηη 0
ii. Να ππνινγηζηνύλ ηα ,
Β. Αλ ε f έρεη αθξόηαην ζην 1
o
x , λα βξεζεί ν ηύπνο ηεο
Γ. Να ιπζεί ε εμίζωζε: 2
2
x
f x
ζην
0,
Γ. Γηα 1
x , λα ιπζεί ε αλίζωζε 2
2
4ln ln 2
2 4
x x
x x
x x
Δ. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα
1
,1
2
o
x
όπνπ ε εθαπηνκέλε ηεο f
C , ζην
,
o o
x f x
, λα δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ
0,0
.
ΣΤ. Έζηω ζπλάξηεζε g κε ηύπν
2
g x f x
, κε
0,
x .
i. Να δεηρζεί όηη έρεη ηξία αθξόηαηα, δύν ΤΔ θαη έλα ΤΜ.
ii. Να ππνινγηζηεί ην όξην
lim
2
x
x
g x g x
17. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
16
Θέμα 15ο
Έζηω ζπλάξηεζε f κε πεδίν νξηζκνύ ην
0, , δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην
0, , γηα
ηελ νπνία ηζρύεη
2
2 4 3
f x f x x x
γηα θάζε 0
x .
Α. Να δεηρζεί όηη ε f
C δελ έρεη ζεκεία θακπήο.
Β. Να δεηρζεί όηη ε f είλαη «1-1».
Γ. Δπηπιένλ δίλεηαη όηη
2
6
lim
2 5 4
x
f x
x x
θαη
0
lim
0 3
x
x
f f x
Να δείμεηε όηη:
i. 0
f x , γηα θάζε 0
x
ii. 0
6
f
iii. ν ηύπνο ηεο f είλαη
3 , 0
0 , 0
x x
f x
f x
iv. ε f είλαη ζπλερήο ζην 0
o
x
Γ. Έζηω ζεκείν
0,6
ηνπ άμνλα y y
.
i. Να βξεζεί ην ζεκείν ηεο f
C πνπ έρεη ηε κηθξόηεξε απόζηαζε από ην Α.
ii. Έζηω Β ην ζεκείν ηνπ παξαπάλω εξωηήκαηνο. Να δεηρζεί όηη ε εθαπηνκέλε ζην Α είλαη
θάζεηε ζηελ ΑΒ.
iii. Έζηω κεηαβιεηό ζεκείν Μ ηεο f
C ηνπ νπνίνπ ε ηεηκεκέλε κεηαβάιιεηαη κε ζηαζεξό
ξπζκό
x t
. Να δεηρζεί όηη ν ξπζκόο κεηαβνιήο ηνπ Δκβαδνύ ηνπ ηξηγώλνπ ΟΑΜ είλαη
ζηαζεξόο.
18. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
17
Δ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 6 9
g x x x
, κε πεδίν νξηζκνύ ην
3
,
2
.
i. Να βξεζεί ε ζπλάξηεζε 1
f
αληίζηξνθε ηεο f
ii. Να νξηζηεί ε ζπλάξηεζε
1
6 9
f x
k x
x x
iii. Να εμεηαζηεί αλ g k
. Σηελ πεξίπηωζε πνπ g k
, λα πξνζδηνξηζηεί ην κεγαιύηεξν
ππνζύλνιν ηνπ R ώζηε g k
19. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
18
Θέμα 16ο
Έζηω ζπλάξηεζε f , δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R, γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:
2
2
2
lim 1
4
x
f x x
x
0 4 2 2
f f
θαη ε ζπλάξηεζε
4
, 2
2
8 , 2
f x
x
x
g x
x
Α. Να δεηρζεί όηη ε ζπλάξηεζε g είλαη ζπλερήο ζην δηάζηεκα
0,2 .
Β. Να δεηρζεί όηη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην δηάζηεκα
0,2 κε
2
2 4
2
f x x f x
g x
x
Γ. Να δεηρζεί όηη ππάξρεη
0,2
ηέηνην ώζηε
4
2
f
f
Γ. Να δεηρζεί όηη ε f δελ είλαη «1-1»
Δ. Δπηπιένλ δίλεηαη όηη ε f είλαη θπξηή.
i. Να δεηρζεί όηη ε f
C έρεη αθξηβώο έλα ζεκείν θακπήο ζην δηάζηεκα
0,2 .
ii. Να κειεηεζεί ε g ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα ζην δηάζηεκα
0,2 .
iii. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε
8
h x
x
, κε *
x R
θαη ηνπ εξωηήκαηνο Γ. Να δεηρζεί όηη ε
εμίζωζε
f x h x
έρεη αθξηβώο κία ιύζε ζην δηάζηεκα
0,2 .
20. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
19
Θέμα 17ο
Έζηω ζπλάξηεζε
g : 0, 0,
γηα ηελ νπνία ηζρύεη
ln 1 1
x
g g x g x e x
, γηα θάζε 0
x .
Α. Να δείμεηε όηη ε g αληηζηξέθεηαη.
Β. Γίλεηαη, επίζεο, όηη ε g είλαη παξαγωγίζηκε ζην
0, κε
0 0
g
i. Να δείμεηε όηη ε g δελ έρεη αθξόηαηα ζην δηάζηεκα
0,
ii. Να βξείηε ηελ εθαπηνκέλε ηεο g
C ζην 0
o
x
iii. Να ππνινγίζεηε ην όξην:
lim
x
g g x
iv. Να απνδείμεηε όηη ε εμίζωζε
1821
g g x έρεη ηνπιάρηζηνλ κία ιύζε o
x , κε
0,
o
x
v. Να δείμεηε όηη ππάξρεη
0, o
x
ώζηε:
1
1821
1
o
x g e
Γ. Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε f κε ηύπν 3 2
2 3
f x x x
ζην R .
i. Να κειεηήζεηε ηελ f ωο πξνο ηε κνλνηνλία θαη ηα αθξόηαηα.
ii. Να ιπζεί ε αλίζωζε:
2 3
3 2
2 2
2 1 3 ln3 3 1 2 ln3
g x e g g x g x e g g x
iii. Να βξεζνύλ νη ηηκέο ηνπ R
ώζηε ε εμίζωζε
g g x f
λα είλαη αδύλαηε.
21. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
20
Θέμα 18ο
Γίλεηαη ε ζπλάξηεζε 3
1
x
g x e x
, κε πεδίν νξηζκνύ όιν ην R .
Έζηω επίζεο ζπλάξηεζε f νξηζκέλε ζην
0, .
Ηζρύεη όηη
3 3
2 3
ln 2 1
x x
g f x x e x x x
, γηα θάζε
0,
x
Α. Να κειεηεζεί ε g ωο πξνο ηε κνλνηνλία.
Β. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f
Γ. Αλ ηζρύεη όηη
f f
, κε 0
, λα απνδεηρζεί όηη 1
Γ. Να βξεζεί ην πιήζνο ηωλ ξηδώλ ηεο εμίζωζεο 1
f x g
γηα ηηο δηάθνξεο ηηκέο ηνπ
R
Δ.
i. Να απνδεηρζεί όηη
f x g x
γηα θάζε
0,
x
ii. Να δεηρζεί όηη γηα θάζε 1
x ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα
1, x
ηέηνην ώζηε
2
1
2 1
e g
f g f g
e x
ΣΤ. Να απνδεηρζεί όηη ππάξρεη κνλαδηθό
0,
o
x όπνπ νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο ηωλ
ζπλαξηήζεωλ ,
f g έρνπλ παξάιιειεο εθαπηόκελεο.
22. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
21
Θέμα 19ο
Έζηω ζπλάξηεζε f δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην πεδίν νξηζκνύ ηεο πνπ είλαη ην R .
Α. Να δείμεηε όηη
0
lim
h
f x f x h
f x
h
, γηα θάζε x R
Β. Δπηπιένλ, γηα θάζε x R
, ηζρύεη όηη
2
0
2
lim 2
6
h
f x h f x f x h
x
h
Γίλεηαη επίζεο όηη ε επζεία : 4
y
εθάπηεηαη ηεο f
C ζην ζεκείν
1, 1
f
.
Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο f .
Γ. Αλ ν ηύπνο ηεο f είλαη: 3 2
6 9
f x x x x
i. Να δείμεηε όηη ε f έρεη αθξηβώο έλα ηνπηθό κέγηζην, έλα ηνπηθό ειάρηζην θαη έλα ζεκείν
θακπήο.
ii. Να δείμεηε όηη ηα ζεκεία Α (ηνπηθό κέγηζην), Β (ηνπηθό ειάρηζην) θαη Σ (ζεκείν θακπήο)
είλαη ζπλεπζεηαθά θαη επηπιένλ όηη ην Σ είλαη ην κέζνλ ηνπ επζύγξακκνπ ηκήκαηνο ΑΒ.
iii. Να βξείηε από κία θαηάιιειε ηηκή γηα ηηο παξακέηξνπο , R
ώζηε λα ηζρύεη όηη
0
f x f x x
γηα θάζε 2
x
Γ. Έζηω ζπλάξηεζε g , κε ηύπν
1
g x
f x
, γηα θάζε
0,3
R .
i. Να βξείηε ηηο αζύκπηωηεο ηεο g
C
ii. Να βξείηε ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο g
iii. Να κειεηήζεηε ηε g ωο πξνο ηα θνίια
iv. Να ζρεδηάζεηε πξόρεηξε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g
23. Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
20 Επαμαληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυμσης της Γ λυκείου (έτος 2021)
22
Θέμα 20ο
Έζηω ε ζπλάξηεζε f ζπλερήο ζην
0,
f
D θαη κε ηύπν
, 0,9 9,
3
, 9
g x
x
x
f x
x
θαη ε ζπλάξηεζε g δύν θνξέο παξαγωγίζηκε ζην R κε
9 1
g θαη
9 0
g .
Α. Να δείμεηε όηη
9 0
g θαη 6
Β. Να εμεηάζεηε αλ ην
9, 9
f
είλαη θξίζηκν ζεκείν ηεο f
Γ. Γίλνληαη νη ζπλαξηήζεηο 3
w x x
θαη
6
g w x x
, κε 0
x .
i. Να βξεζεί ν ηύπνο ηεο g
ii. Να εμεηάζεηε αλ f w
Γ. Γίλεηαη ζεκείν
0,21
ηνπ άμνλα y y
. Έζηω επίζεο ζεκείν
,
x f x
πνπ θηλείηαη
πάλω ζηε f
C , μεθηλώληαο από ηε ζέζε
1,4 , κε ξπζκό κεηαβνιήο ηεηκεκέλεο
1 / sec
x t cm
.
i. Να βξείηε ην ζεκείν Μ ηεο f
C πνπ έρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ην Α.
ii. Να βξείηε ηε ρξνληθή ζηηγκή o
t πνπ ην Μ απέρεη ηελ ειάρηζηε απόζηαζε από ην Α.
iii.
ε πξνβνιή ηνπ πάλω ζηνλ άμνλα x x
θαη
0,0
ε αξρή ηωλ αμόλωλ. Να βξείηε
ην ξπζκό κεηαβνιήο ηνπ Δκβαδνύ ηνπ ηξαπεδίνπ
ηε ρξνληθή ζηηγκή πνπ ε
εθαπηνκέλε ηεο f
C ζην Μ είλαη θάζεηε ζηελ ΑΜ.
24. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 0
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq
ςwωψerβνtyuσiopasdρfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι
qπσπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghσj
klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz
xcvbnmςγqwφertyuioςδφpγρaηsόρ
ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert
λκοθξyuiύαςφdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf
ghjklzxcηvbnαςφδmqwertαςδyuiopa
sdfαςδφγθμκxcvυξςφbnmςφγqwθeξ
τςδφrtyuφγσοιopaαςδφsdfghjklzxcv
αςδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgαςργκο
ϊτbnmqwertyςδφγuiopasςδφγdfghjk
lzxςδδγςφγcvbnmqwertyuioβκςλπp
asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε
ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
Πρόχειρεσ - Ενδεικτικέσ Λύςεισ
(θέματα 1-10)
20 Επαναληπτικά Θέματα (2020–2021)
Τεύχος 8
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
25. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 1
Θέμα 1ο
26. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 2
27. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 3
28. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 4
29. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 5
30. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 6
Θέμα 2ο
31. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 7
32. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 8
33. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 9
34. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 10
35. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 11
36. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 12
Θέμα 3ο
37. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 13
38. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 14
39. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 15
40. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 16
41. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 17
42. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 18
Θέμα 4ο
43. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 19
44. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 20
45. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 21
46. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 22
47. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 23
48. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 24
Θέμα 5ο
49. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 25
50. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 26
51. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 27
52. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 28
53. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 29
54. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 30
55. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 31
56. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 32
Θέμα 6ο
57. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 33
58. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 34
59. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 35
60. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 36
61. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 37
62. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 38
63. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 39
64. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 40
Θέμα 7ο
65. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 41
66. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 42
67. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 43
68. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 44
69. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 45
Θέμα 8ο
70. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 46
71. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 47
72. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 48
73. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 49
74. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 50
75. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 51
Θέμα 9ο
76. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 52
77. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 53
78. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 54
79. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 55
80. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 56
81. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 57
82. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 58
83. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 59
84. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 60
Θέμα 10ο
85. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 61
86. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 62
87. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 63
88. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 64
89. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 65
90. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 66
91. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λύςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 67
92. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 0
qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq
ςwωψerβνtyuσiopasdρfghjklzxcvbn
mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι
qπσπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghσj
klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz
xcvbnmςγqwφertyuioςδφpγρaηsόρ
ωυdfghjργklαzxcvbnβφδγωmζqwert
λκοθξyuiύαςφdfghjklzxcvbnmqwerty
uiopaβsdfghjklzxcεrυtγyεuνiιoαpasdf
ghjklzxcηvbnαςφδmqwertαςδyuiopa
sdfαςδφγθμκxcvυξςφbnmςφγqwθeξ
τςδφrtyuφγσοιopaαςδφsdfghjklzxcv
αςδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgαςργκο
ϊτbnmqwertyςδφγuiopasςδφγdfghjk
lzxςδδγςφγcvbnmqwertyuioβκςλπp
asdfghjklzxcvbnmqwertyuiopasdγαε
ορlzxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ
Πρόχειρεσ - Ενδεικτικέσ Λύςεισ
(θέματα 11-20)
20 Επαναληπτικά Θέματα (2020–2021)
Τεύχος 8
Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!
93. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 1
Θέμα 11ο
α) Επεηδή 3
f 0 α 0 β 0 1 1,
ζπκπεξαίλνπκε όηη ην ζεκείν B έρεη ζπληεηαγκέλεο
B 0,1 .
β) Από ην ζρήκα βιέπνπκε όηη ε f παξνπζηάδεη ηνπηθό αθξόηαην (κέγηζην) ζην 1.
Επηπιένλ ην 1
είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ πεδίνπ νξηζκνύ ηεο f,πνπ είλαη ην ' θαη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 1.
Άξα από ην ζεώξεκα Fermat πξνθύπηεη όηη
f 1 0.
Όκωο
3 2
f x αx βx 1 3αx β,
άξα
2
f 1 3α 1 β 3α β.
Από ηα παξαπάλω πξνθύπηεη όηη
3α β 0 1
Επίζεο από ηελ εθαπηνκέλε ηνπ ζρήκαηνο ζπκπεξαίλνπκε όηη
2
0
2 3 2 3 2 3
f εθ45 1 f 1 3α β 1 4α β 1 2
3 3 3
Από ηηο ζρέζεηο
1 , 2 πξνθύπηεη ην ζύζηεκα
3α β 0
,
4α β 1
από ην νπνίν βξίζθνπκε α 1
θαη
β 3.
γ) Γηα α 1
θαη β 3
έρνπκε 3
f x x 3x 1, x
' .
Η f είλαη δύν θνξέο παξαγωγίζηκε, κε
f x 6x.
Γηα θάζε x ' έρνπκε
f x 0 6x 0 x 0,
f x 0 6x 0 x 0,
f x 0 6x 0 x 0.
Άξα ε ζπλάξηεζε f αιιάδεη πξόζεκν εθαηέξωζελ ηνπ 0 θαη νξίδεηαη εθαπηνκέλε ηεο γξαθηθήο
παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν
0,f 0 (δηόηη ε f είλαη παξαγωγίζηκε ζην 0 ). Άξα ε f παξνπζηάδεη
θακπή ζην 0.
Επεηδή γηα θάζε x 0
ηζρύεη
f x 0,
ην παξαπάλω ζεκείν θακπήο είλαη κνλαδηθό.
94. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 2
δ) Η εμίζωζε ηεο εθαπηνκέλεο ηεο γξαθηθήο παξάζηαζεο ηεο f ζην ζεκείν
B 0,1 είλαη ε:
y 1 f 0 x 0 y 3x 1.
Ο ηζρπξηζκόο είλαη ζωζηόο, δηόηη όπωο είδακε ε f παξνπζηάδεη θακπή ζην 0.
95. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 3
Θέμα 12ο
α. H f είλαη παξαγωγίζηκε ζην
π π
,
2 2
κε:
2 x 2 x
f x 1 εθ x e x 2 εθ x e x 1 0
γηα θάζε
π π
x ,0 0,
2 2
δηόηη x
e x 1
γηα θάζε
π π
x ,0 0,
2 2
θαη 2
εθ x 0
γηα θάζε
π π
x ,0 0, .
2 2
Επεηδή ε f είλαη ζπλερήο ζην 0 είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην
π π
,
2 2
άξα 1 1
, άξα αληηζηξέθεηαη.
β. Τν πεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f
είλαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο f.
Επεηδή ε f είλαη ζπλερήο θαη γλεζίωο αύμνπζα ζην
π π
,
2 2
έρνπκε:
π π
f , , R
2 2
δηόηη
x
π
2
ζπλx 0
lim
θαη ζπλx 0
γηα θάζε
π π
x ,
2 2
ζπλεπώο
x
π
2
1
ζπλx
lim
επνκέλωο
x x
π π
2 2
1
εθx εκx
ζπλx
lim lim
άξα
x
π
2
f x .
lim
x
π
2
ζπλx 0
lim
θαη ζπλx 0
γηα θάζε
π π
x ,
2 2
ζπλεπώο
x
π
2
1
.
ζπλx
lim
επνκέλωο
x x
π π
2 2
1
εθx εκx
ζπλx
lim lim
άξα
x
π
2
f x .
lim
Σπλεπώο 1
f
D R
.
γ.
i. Toπεδίν νξηζκνύ ηεο 1
f
είλαη ην R θαη ην ζύλνιν ηηκώλ ηεο είλαη ην πεδίν νξηζκνύ ηεο f δειαδή
ην
π π
, .
2 2
Σπλεπώο γηα θάζε x R
ηζρύεη:
96. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 4
2
x 0
1 2 2 1 2
π π π π
f x x x f x x
2 2 2 2
= >
Επεηδή
x 0 x 0
2 2
π π
x x 0
2 2
lim lim
από ην θξηηήξην παξεκβνιήο πξνθύπηεη:
x 0
2 1
x f x 0.
lim
ii. Γηα θάζε
π
x 0,
2
έρνπκε:
π π
f ,
2 2
x 0 f x f 0 f x 1 0
=>
1
Άξα
x f x 1 0
γηα θάζε
π
x 0, .
2
Γηα θάζε
π
x ,0
2
έρνπκε:
π π
f ,
2 2
x 0 f x f 0 f x 1 0
=>
1
Άξα
x f x 1 0
γηα θάζε
π
x ,0 .
2
Σπλεπώο γηα θάζε
π π
x ,0 0,
2 2
έρνπκε
x f x 1 0
θαη επεηδή
x 0
x f x 1 0
lim
ηειηθά
x 0
1
.
x f x 1
lim
Επνκέλωο ην δεηνύκελν όξην γίλεηαη:
x 0 x 0
2
εκx εκx 1
.
x
x f x 1 x f x 1
lim lim
δ. Γηα θάζε
π π
x ,
2 2
έρνπκε:
ζπλx 0
x 2 x 2
π π
f:1 1 ,
2 2 2
x
π π
x,0 ,
2 2
2 εκx 2 ζπλx e x ζπλx 4 x ζπλx 2 ζπλx 2 εθx 2 e x 4 x 2
x
εθx e 2 x 1 f x f 0 x 0.
2
97. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 5
ε. Γλωξίδνπκε όηη εθx 0
γηα θάζε
π
x 0,
2
,εθx 0
γηα θάζε
π
x ,0
2
θαη εθ0 0.
Επεηδή εθα εθβ 0
έρνπκε
π π π π
α 0 β ή β 0 α .
2 2 2 2
Έζηω
π π
α 0 β .
2 2
Τόηε έρνπκε:
π π
f ,
2 2
π π
α 0 β f α f 0 f β f α 1 f β .
2 2
=>
1
Δειαδή
f α 1 f β 1 0.
Η εμίζωζε
4 2
x x f α 1 f β 1 0
1 αλ ζέζνπκε 2
x y
γίλεηαη
2
y y f α 1 f β 1 0
2 ε νπνία έρεη ζεηηθή δηαθξίλνπζα δηόηη:
Δ 1 4 1 f α 1 f β 1 0.
Άξα έρεη δύν ξίδεο άληζεο.
Αλ 1 2
y ,y είλαη νη ξίδεο ηεο
2 από ηνπο ηύπνπο ηνπ vietta έρνπκε όηη
1 2
y y f α 1 f β 1 0.
Επνκέλωο ε
2 έρεη κία ξίδα αξλεηηθή θαη κηα ζεηηθή. Έζηω 1
y 0
θαη 2
y 0
Τόηε ε
1 γίλεηαη 2 2
1 2 1 1
x y ή x y x y ή x y
δηόηη ε 2
2
x y
είλαη αδύλαηε.
Άξα ε εμίζωζε
4 2
x x f α 1 f β 1 0.
έρεη δύν αθξηβώο ξίδεο.
Αλάινγα εξγαδόκαζηε αλ
π π
β 0 α .
2 2
98. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 6
Θέμα 13ο
Α) Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε
ζ : 0, R
κε ηύπν
f 0
x
ζ x e ex
Η ζ είλαη παξαγωγίζηκε ζην
0, κε παξάγωγν
f 0 f 0 f 0
f 0 0
f 0 f 0 1
x x x
ζ x e ex e x e f 0 x e e
=
Δίλεηαη όκωο όηη
ζ 1 0
ζ x 0 ζ x ζ 1
> γηα θάζε x 0
Άξα:
ε ζ παξνπζηάδεη αθξόηαην ζην 1
ην 1 είλαη εζωηεξηθό ζεκείν ηνπ δηαζηήκαηνο
0, θαη
ε ζ είλαη παξαγωγίζηκε ζην 1
νπόηε από ην ζεώξεκα Fermat ζα έρνπκε:
ζ 1 0 f 0 e e 0 f 0 1
Β) Θεωξνύκε ηε ζπλάξηεζε w: R R
κε ηύπν
w x 6 εκ x 2 3x
Η w είλαη παξαγωγίζηκε ζην R κε παξάγωγν
w x ζπλ x 2 3 0
γηα θάζε x R
Άξα ε w είλαη γλεζίωο θζίλνπζα ζην R
Αλ ήηαλ λ 2
ηόηε
w λ w 2 0 6 εκ λ 2 3λ 0 6 εκ λ 2 3λ,
ην νπνίν είλαη άηνπν από ππόζεζε.
Άξα πξάγκαηη λ 2.
Γ)
99. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 7
i. Επεηδή εf είλαη πνιπώλπκν νπ
2 βαζκνύ κε
f 0 1
, ζα ηζρύεη όηη:
2
f x αx βx 1
, γηα θάπνηα α,β' κε α 0
Η f όκωο είλαη άξηηα, άξα
f 1 f 1 α β 1 α β 1 β 0.
Οπόηε 2
f x αx 1
γηα θάπνην α 0.
Επηπιένλ έρνπκε:
x x x
2
f 1 2 2 2
2
2
1
εκ
1 1 1 αx
e x εκ x εκ .
1
f x 1 αx α
αx
lim lim lim
Θέηνληαο 2
1
u
αx
είλαη
x
0
u 0 u
lim
, άξα
0
x u u
2
2
1
εκ
εκu
αx
1
1 u
αx
lim lim
νπόηε:
u 0
f 1 2 f 1 2 α 1
1 εκu 1 1 1 1
e 1 e e 1
α u α α α α
lim
Η εμίζωζε x 1 1
e
x
αλ έρεη ξίδα, ηόηε ζα είλαη ζεηηθή αθνύ x 1
e 0
Γηα ηε ζπλάξηεζε
k : 0, R
κε ηύπν x 1 1
k x e
x
έρνπκε όηη:
είλαη γλεζίωο αύμνπζα ζην
0, αθνύ x 1
2
1
k x e 0
x
k 1 0.
Άξα ε εμίζωζε
k x 0
έρεη κνλαδηθή ζεηηθή ξίδα ην 1.
100. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 8
Έηζη από ηε ζρέζε
1 πξνθύπηεη όηη α 1
θαη άξα 2
f x x 1, x R
.
ii.
1,
g
D άρα
2
/ / 1 1
g f f g
D x D f x D x R x R
με τφπο: 2 2 2
1 1 1 1
g f x x x x x
Άρα
2
2
1 , 0
1 , 0
x x x
g f x
x x x
iii. Η g f
είναι ςυνεχήσ ςτο R ωσ ςφνθεςη ςυνεχών.
Η g f
είλαη παξαγωγίζηκε ζην *
R κε ηύπν
2
2 2
2
2
2
1
1 , 0 , 0
1 1
1
1 , 0 , 0
1 1
x x x
x x
x x
g f x g f x
x x x
x x
x x
Είλαη πξνθαλέο όηη 2
1 0
x
Έηζη έρνπκε: 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
x x x x x x x x x
Άρα
2
1 0
x x
ςυνεπώσ 0
g f x
ςτο
,0
άρα g f
γνηςίωσ αφξουςα ςτο διάςτημα
,0
και επιπλζον
2
1 0
x x
ςυνεπώσ 0
g f x
ςτο
0,
άρα g f
γνηςίωσ φθίνουςα ςτο διάςτημα
0,
Σπλεπώο εκθαλίδεη νιηθό κέγηζην ζην 0
x ην
0 1
g f
iv. Αζύμπηωηες:
Αζύκπηωηε ζην . Θα εμεηάζνπκε αλ έρεη νξηδόληηα.
2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
lim 1 lim lim lim
1
1 1 1
x x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x
101. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 9
1
2
1
lim 0
1
1 1
x x
x
x
x
Άξα ε επζεία 0
y νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο g f
C ζην
Αζύκπηωηε ζην . Θα εμεηάζνπκε αλ έρεη νξηδόληηα.
2 2
2
2 2
2
1 1 1 1
lim 1 lim lim lim
1
1 1 1
x x x x
x x x x
x x
x x x x x x
x
1
2
1
lim 0
1
1 1
x x
x
x
x
Άξα ε επζεία 0
y νξηδόληηα αζύκπηωηε ηεο g f
C ζην
Καμπυλόηηηα:
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2
2
2
1
1 1
, 0 , 0
1 1 1
1
1 , 0
1 1 1
, 0
1
x
x x
x x x
x x x
g f x g f x
x
x x x
x x x
x
x
Άξα επεηδή 0
g f x
γηα θάζε
,0
x θαη g f
ζπλερήο ζην
,0
πξνθύπηεη όηη g f
θπξηή ζην
,0
Επηπιένλ επεηδή 0
g f x
γηα θάζε
0,
x θαη g f
ζπλερήο ζην
0, πξνθύπηεη όηη
g f
θπξηή ζην
0,
v. Με ηα παξαπάλω ζηνηρεία ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο g f
ζα είλαη
102. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 10
103. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 11
Θέμα 14ο
104. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 12
105. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 13
106. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 14
107. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 15
108. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 16
109. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 17
Θέμα 15ο
110. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 18
111. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 19
112. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 20
113. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 21
114. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 22
115. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 23
116. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 24
117. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 25
Θέμα 16ο
118. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 26
119. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 27
120. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 28
121. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 29
122. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 30
Θέμα 17ο
123. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 31
124. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 32
125. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 33
126. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 34
127. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 35
128. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 36
129. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 37
130. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 38
Θέμα 18ο
131. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 39
132. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 40
133. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 41
134. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 42
135. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 43
Θέμα 19ο
136. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 44
137. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 45
138. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 46
139. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 47
140. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 48
141. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 49
142. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 50
143. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 51
144. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 52
Θέμα 20ο
145. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 53
146. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 54
147. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 55
148. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 56
149. «Μαθηματικά για το τελευταίο θρανίο!»
Πρόχειρεσ – Ενδεικτικζσ Λφςεισ για τα: «20 Επαναληπτικά Θζματα (τεύχος 8)»
maths4people.blogspot.gr (ςχολική χρονιά 2020 – 2021) 57