La méthode matricielle

1. Etudier la structure suivante par la méthode de flexibilité
SOLUTION
Nous allons résoudre le présent problème en suivant la procédure
ci-après :
1. Détermination du degré d’hyperstaticité
Nous constatons que notre structure est trois fois hyperstatique,
d’où nous adoptons pour le système isostatique fondamental (SIF)
suivant :
E
D
C
B
A
𝑃2
𝑃1
5m
5m
10m
Dans notre cas nous avons ∶ 𝑃1 = 11kN
𝑃2 = 12𝑘𝑁

2. 2. Matrice de flexibilité des éléments : les portées étant
chacune de 5𝑚 de longueur
𝑓1 = 𝑓2 = 𝑓3 = 𝑓4 = 𝑓5 = 𝑓6 = 𝑓7 = 𝑓8 =
𝑙
6𝐸𝐼
× ⌊
2 2
1 1
⌋⌊
𝑞𝑖
𝑞 𝑗
⌋ =
5
6𝐸𝐼
× ⌊
2 2
1 1
⌋ ⌊
𝑞𝑖
𝑞 𝑗
⌋
3. Matrice de flexibilité des éléments composés
𝑓𝑐 =
5
6𝐸𝐼
[
2 1
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
1 2] [
𝑞1
𝑞2
𝑞3
𝑞4
𝑞5
𝑞6
𝑞7
𝑞8]
4. Matrice de transformation
Nous aurons une matrice de huit lignes et huit colonnes
a. Première colonne 𝑊1 = 1
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻
𝑅 𝐸𝑉
D
B
13𝑘𝑁
8
7
654
32
1
5m
10m
E
D
C
B
A
13𝑘𝑁
13𝑘𝑁
5m
8
7
6543
2
1
5m
10m
E
D
C
B
A
13𝑘𝑁
5m

3. b. Deuxième colonne 𝑊2 = 1
c. Troisième colonne 𝑅 𝐸𝑉 = 1
E
DC
B
𝑀𝐴
𝑅 𝐴𝑉
𝑅 𝐴𝐻
𝑊1 = 1 𝑊1 = 1
E
D
CB
𝑀𝐴
𝑅 𝐴𝑉
𝑅 𝐴𝐻
𝑊2 = 1
∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑊1 + 𝑅 𝐴𝐻 = 0
𝑑′
𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝐻 = −𝑊1 = −1 (←)
∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝑉 = 0
𝑀𝐴 + 5 × 𝑊1 = 0 𝑑′
𝑜𝑢 𝑀𝐴 = −5 × 𝑊1 = −5
Ce qui nous donne :
𝑀𝐴 = −5; 𝑀 𝐵 = 𝑀 𝐶 = 𝑀 𝐷 = 𝑀 𝐸 = 0
D’où :
𝑞1 = −5;
𝑞2 = 𝑞3 = 𝑞4 = 𝑞5 = 𝑞6 = 𝑞7 = 𝑞8 = 0
∑ 𝑌 = 0 ∶ −𝑊2 + 𝑅 𝐴𝑉 = 0 𝑑′
𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝐻
= 𝑊2 = 1 (→)
∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝐻 = 0
𝑀𝐴 + 5 × 𝑊2 = 0 𝑑′
𝑜𝑢 𝑀𝐴 = −5 × 𝑊2
= −5
Ce qui nous donne :
𝑀𝐴 = −5; 𝑀 𝐵 = −5; 𝑀 𝐶 = 𝑀 𝐷 = 𝑀 𝐸 = 0
D’où :
𝑞1 = −5; 𝑞2 = −5; 𝑞3 = −5; 𝑞4 = 𝑞5
= 𝑞6 = 𝑞7 = 𝑞8 = 0
∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐸𝑉 + 𝑅 𝐴𝑉 = 0
𝑑′
𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝑉 = −𝑅 𝐸𝑉 = −1 (←)
∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝐻 = 0
𝑀𝐴 − 10 × 𝑅 𝐸𝑉 = 0

4. d. Quatrième colonne 𝑀 𝐸 = 1
e. Cinquième colonne 𝑅 𝐸𝐻 = 1
𝑅 𝐸𝑉 = 1
E
D
CB
𝑀𝐴
𝑅 𝐴𝑉
𝑅 𝐴𝐻
𝑀 𝐸 =1
E
DCB
𝑀𝐴
𝑅 𝐴𝑉
𝑅 𝐴𝐻
∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝐻 = 0
∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝑉 = 0
𝑀𝐴 = 1
Ce qui nous donne :
𝑀𝐴 = 𝑀 𝐵 = 𝑀 𝐶 = 𝑀 𝐷 = 𝑀 𝐸 = 1
D’où :
𝑞1 = 𝑞2 = 𝑞3 = 𝑞4 = 𝑞5 = 𝑞6 = 𝑞7
= 𝑞8 = 1
∑ 𝑋 = 0 ∶ 𝑅 𝐸𝐻 − 𝑅 𝐴𝐻 = 0
𝑑′
𝑜𝑢 𝑅 𝐴𝐻 = 𝑅 𝐸𝐻 = 1 (→)
∑ 𝑌 = 0 ∶ 𝑅 𝐴𝑉 = 0
𝑀𝐴 = 0
Ce qui nous donne :

5. Ce qui nous donne la matrice de transformation [ 𝐵] suivante :
[ 𝐵] =
[
−5 −5
0 −5
−10
−10
1 0
1 5
0 −5
0 0
−10
−5
1 5
1 5
0 0
0
0
0
0
0
0
−5
0
0
0
1 5
1
1
1
5
5
0]
5. Matrice de flexibilité de la structure
Nous savons que cette matrice est donnée par l’expression :[ 𝐹] = [ 𝐵] 𝑇[ 𝑓𝐶][ 𝐵]
Il vient que :
[ 𝐹] =
5
6𝐸𝐼
×
[
−5 0 0
−5 −5 −5
−10
1
0
−10
1
5
−10
1
5
0 0 0
0 0 0
−5
1
5
−5
1
5
0
1
5
0 0
0 0
0
1
5
0
1
0]
×
[
2 1
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
2 1
1 2]
×
[
−5 −5
0 −5
−10
−10
1 0
1 5
0 −5
0 0
−10
−5
1 5
1 5
0 0
0
0
0
0
0
0
−5
0
0
0
1 5
1
1
1
5
5
0]
𝑅 𝐸𝐻 = 1
E
D
CB
𝑀𝐴
𝑅 𝐴𝑉
𝑅 𝐴𝐻

6. [ 𝐹] =
5
6𝐸𝐼
×
[
−5 0 0
−5 −5 −5
−10
1
0
−10
1
5
−10
1
5
0 0 0
0 0 0
−5
1
5
−5
1
5
0
1
5
0 0
0 0
0
1
5
0
1
0]
×
[
−10 −15
−5 −15
−30
−30
3 5
3 10
0 −10
0 −5
−25
−20
3 15
3 15
0 0
0
0
0
0
0
0
−10
−5
0
0
3 15
3
3
3
15
10
5 ]
[ 𝐹] =
5
6𝐸𝐼
×
[
50 75 150 −15 −25
75 200 425 −45 −150
150
−15
−25
425
−45
−150
1000 −120 −450
−120 24 90
−450 90 400 ]
[
∆1
∆2
∆3
∆4
∆5]
=
5
6𝐸𝐼
×
[
50 75 150 −15 −25
75 200 425 −45 −150
150
−15
−25
425
−45
−150
1000 −120 −450
−120 24 90
−450 90 400 ]
×
[
𝑊1
𝑊2
𝑅 𝐸𝑉
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻]
Pour notre structure vue les conditions aux appuis, les déplacements aux
encastrements sont nuls :∆3= ∆4= ∆5= 0
[
∆1
∆2
0
0
0 ]
=
5
6𝐸𝐼
×
[
50 75 150 −15 −25
75 200 425 −45 −150
150
−15
−25
425
−45
−150
1000 −120 −450
−120 24 90
−450 90 400 ]
×
[
𝑊1
𝑊2
𝑅 𝐸𝑉
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻]
Ce qui nous permet d’écrire :
[
0
0
0
] =
5
6𝐸𝐼
× {[
150 425
−15 −45
−25 −150
] × [
𝑊1
𝑊2
] + [
1000 −120 −450
−120 24 90
−450 90 400
] × [
𝑅 𝐸𝑉
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻
]}
Dans notre cas, comme mon nom c’est Kasereka Lukumbuka, K=11 et L=12
nous avons : 𝑊1 = 11𝑘𝑁 𝑒𝑡 𝑊2 = 12𝑘𝑁
− [
6750
−705
−2075
] = [
1000 −120 −450
−120 24 90
−450 90 400
] × [
𝑅 𝐸𝑉
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻
]
[
𝑅 𝐸𝑉
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻
] = − [
1000 −120 −450
−120 24 90
−450 90 400
]
−1
× [
6750
−705
−2075
]
[
𝑅 𝐸𝑉
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻
] = − {
1
600000
[
1500 7500 0
7500 197500 −36000
0 −36000 9600
] × [
6750
−705
−2075
]}

7. [
𝑅 𝐸𝑉
𝑀 𝐸
𝑅 𝐸𝐻
] = [
−8,0625
23,1875
−9,1
]
Donc nous avons :
{
𝑤1 = 11𝐾𝑁
𝑊2 = 12𝐾𝑁
𝑅 𝐸𝑉 = −8,0625
𝑀 𝐸 = 23,1875
𝑅 𝐸𝐻 = −9,1
Ainsi il vient que [ 𝑞] = [ 𝐵] × [ 𝑤]
[
𝑞1
𝑞2
𝑞3
𝑞4
𝑞5
𝑞6
𝑞7
𝑞8]
=
[
−5 −5
0 −5
−10
−10
1 0
1 5
0 −5
0 0
−10
−5
1 5
1 5
0 0
0
0
0
0
0
0
−5
0
0
0
1 5
1
1
1
5
5
0]
×
[
11
12
−8,0625
23,1875
−9,1 ]
[
𝑞1
𝑞2
𝑞3
𝑞4
𝑞5
𝑞6
𝑞7
𝑞8]
=
[
−11,1875
−1,6875
−1,6875
18
18
−22,3125
−22,3125
23,1875 ]
Nous résumons les résultats trouvés ci-haut dans un diagramme des
moments :