1. Las matemáticas son fáciles Unidad
III
Funciones elementales y límites
Prof.: Christiam Huertas
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27/02/2012

2. Prof.: Christiam Huertas
1

3. UNIDAD
Funciones
elementales y
límites
III
Capítulo 1
Funciones elementales
Algunas funciones son de uso frecuente en matemáticas y otras áreas, por lo
que el conocimiento de sus principales características como dominio, rango y
gráfica, se hace indispensable.
1.1 Función constante
Es aquella función que asigna a todos los valores de su dominio un mismo valor
fijo; es decir, su rango está formado por un solo número.
Regla de correspondencia Gráfica
𝑌
( ) ,
𝑐
( )
( ) * +
𝑋
Su gráfica es una recta horizontal que corta al eje en el punto ( ).
Ejemplo 1
Grafique las siguientes funciones: ( ) , ( ) y ( ) .
Solución
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2

4. Gráfica de ( ) Gráfica de ( ) Gráfica de ( )
1.2 Función identidad
Es aquella función denotada por , cuyo dominio es y su gráfica es la recta
. Esta es la única función que actúa sobre todo número real y lo deja
igual.
Regla de correspondencia Gráfica
( )
( )
( )
La función identidad es creciente en
todo su dominio.
Ejemplo 2
Determine la gráfica de la función ( ) si ⟨ -.
Solución
Se quiere graficar la función identidad en el dominio ⟨ -.
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3

5. 1.3 Función valor absoluto
Es aquella función cuyo dominio es .
Regla de correspondencia Gráfica
( ) | |
( )
( ) , ⟩
Esta función tiene un cambio abrupto de dirección (una “esquina”) en el origen,
mientras que todas las demás funciones son “suaves” en sus dominios.
Ejemplo 3
Grafique la función ( ) | | si .
Solución
Se pide graficar la función valor absoluto en el dominio , ⟩.
1.4 Función lineal
Es aquella función cuyo dominio es . Su gráfica es una recta no horizontal.
La función lineal es creciente si su pendiente es positiva, y es decreciente si su
pendiente es negativa.
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4

6. Regla de correspondencia Gráfica
( )
𝑏
( )
( )
𝑏/𝑎
A se le llama pendiente de la recta y a la ordenada en el origen.
Ejemplo 4
Grafique las siguientes funciones: ( ) y ( ) .
Solución
Gráfica de ( ) Gráfica de ( )
1.4.1 Funciones definidas por partes
Hay funciones que se definen por la unión de otras funciones, como se muestra
en el siguiente ejemplo. Se les llama funciones definidas por partes o funciones
definidas a trozos.
Ejemplo 5
Dada la función definida por ( ) {
Se pide:
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5

7. Evaluar ( ), ( ) y ( ).
a.
b.
Hallar su dominio.
c.
Trazar su gráfica.
d.
Hallar su rango.
Solución
Tenga en cuenta que la función está definida por partes; en este caso está
compuesta de tres funciones:
( ) si . Es decir, su dominio es ( ) , ⟩
( ) si . Es decir, su dominio es ( ) , ⟩
( ) si . Es decir, su dominio es ( ) 〈 〉
a. Para hallar ( ) utilizamos : ( ) ( ) .
Para hallar ( ) utilizamos : ( ) .
Para hallar ( ) utilizamos : ( ) .
b. El dominio de la función esta formado por la unión de los dominios de
, y :
( ) ( ) ( ) ( )
, ⟩ , ⟩ 〈 〉
c. Esbozamos la gráfica de la función :
Gráfica de la función
d. Utilicemos el gráfico de la función para hallar su rango (proyectamos su
gráfica sobre el eje ):
( )
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8. 1.5 Función cuadrática
Es aquella función cuyo dominio es . La gráfica de esta función, denominada
parábola, tiene una propiedad de reflexión que es útil en la fabricación de faros
y discos de satélites.
Regla de correspondencia Gráfica
( )
( )
( ): depende del valor de .
Ejemplo 6
Gráfica de la función ( ) .
1.6 Función cúbica
Es aquella función cuyo dominio es . Es una función creciente en el intervalo
〈 〉.
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7

9. Regla de correspondencia Gráfica
( )
( )
( )
El origen se denomina “punto de in-
flexión”, ya que, en ese punto, la grá-
fica cambia de curvatura.
Ejemplo 7
Determine la gráfica de la función ( ) en el dominio , ⟩.
Solución
Se pide graficar la función en el dominio , ⟩.
1.7 Función raíz cuadrada
Es aquella función cuyo dominio es el intervalo , ⟩.
Regla de correspondencia Gráfica
( ) √
( ) , ⟩
( ) , ⟩
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8

10. Ejemplo 8
Esboce la gráfica de la función ( ) √ si ⟨ -.
Solución
Se pide graficar la función raíz cuadrada en el dominio ⟨ -.
1.8 Función recíproca (o función inverso multiplicativo)
Es aquella función cuyo dominio es * +.
Regla de correspondencia Gráfica
( )
( ) * +
( ) * +
Esta curva, denominada hipérbola equilátera, también tiene una propiedad de
reflexión que es útil en discos de satélites.
Ejemplo 9
Determine la gráfica de la función ( ) si .
Solución
Se pide graficar la función inverso multiplicativo en el dominio 〈 〉.
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9

11. 1.9 Función logaritmo natural
Es aquella función cuyo dominio es todos los reales positivos ( ).
Regla de correspondencia Gráfica
( )
( )
( )
Esta función crece muy lentamente.
Ejemplo 10
Determine la gráfica de la función ( ) si .
Solución
Se pide graficar la función ( ) en el dominio .
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10

12. 1.10 Función exponencial
Es aquella función cuyo dominio es .
Regla de correspondencia Gráfica
( )
( )
( ) 〈 〉
El número es un número irracional (al igual que ) que aparece en una
variedad de aplicaciones. El uso de los símbolos y fue popularizado por el
gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).
Ejemplo 11
Determine la gráfica de la función ( ) si , -.
Solución
Se pide graficar la función ( ) en el dominio .
1.11 Función seno
Es aquella función cuyo dominio es . Como la función seno tiene periodo ,
se necesita graficarlo solo en el intervalo , -; el resto de la gráfica
consistirá en repeticiones de esta parte de la gráfica.
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13. Regla de correspondencia Gráfica
( ) 𝜋
( ) 𝜋
( ) , -
Ejemplo 12
Determine la gráfica de la función ( ) en el dominio , -.
Solución
Se pide graficar la función ( ) para , -.
1.12 Función coseno
Es aquella función cuyo dominio es . Como la función coseno también tiene
periodo , se necesita graficarlo solo en el intervalo , -; el resto de la
gráfica consistirá en repeticiones de esta parte de la gráfica.
Regla de correspondencia Gráfica
( )
( ) 𝜋 𝜋
( ) , -
Los extremos locales de la función coseno aparecen exactamente en los ceros
de la función seno, y viceversa.
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14. Ejemplo 13
Determine la gráfica de la función ( ) en el dominio , -.
Solución
Se pide graficar la función ( ) para , -.
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15. Capítulo 2
Función lineal
Es probable que las funciones que se usan con más frecuencia sean las
funciones lineales, cuyas gráficas son líneas rectas. Son aquellas que tienen una
tasa constante de aumento o disminución.
2.1 Función lineal
Una función es lineal si su pendiente, o tasa de cambio, es igual en cualquier
lugar. En una función que no es lineal, la tasa de cambio varía de punto a punto.
Una función lineal tiene la forma
( )
Su gráfica es una recta donde
 es la pendiente, o la razón de cambio de respecto a .
 es la ordenada en el origen o valor de cuando es cero.
Intersecciones
 Para encontrar la intersección de la gráfica con el eje , considere .
 Para hallar la intersección con el eje , hay que establecer .
Ejemplo 1
Calcule las intersecciones con los ejes e , si , y trace la
gráfica de la ecuación.
Solución
Para encontrar la intersección con el eje , hacemos en la ecuación.
La intersección con el eje es . /.
Para encontrar la intersección con el eje , hacemos en la ecuación.
( )
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16. La intersección con el eje es ( ).
Utilicemos los puntos de intersección . /y( ) para dibujar la gráfica.
Gráfica de
2.1.1 Pendiente de una recta
La pendiente de una recta que pasa por los puntos ( )y ( ) es
Ejemplo 2 Determinación de la pendiente de una recta que pasa por dos puntos
Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos ( )y ( ).
Solución
Puesto que dos puntos cualesquiera determinan una recta, solo una recta pasa
por esos dos puntos. De acuerdo con la definición, la pendiente es
Esto quiere decir que por cada 3 unidades que nos movamos hacia la derecha,
el desplazamiento vertical es de 2 unidades. La recta se ilustra en la figura.
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17. Gráfica de
𝑄( )
𝑃( )
2.1.2 Ecuación de la recta en la forma punto-pendiente
La ecuación de una recta con pendiente que pasa por el punto ( ) es
( )
Ejemplo 3
Determine la ecuación de la recta que pase por el punto ( ) y tenga
pendiente / .
Solución
El punto de paso es ( ) ( ) y la pendiente / .
Se sabe que la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente es
( )
Reemplazando los datos:
( ) ( )
Gráfica de
( )
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18. Ejemplo 4 Determinación de la ecuación de una recta por medio de dos puntos dados
Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos ( )y( ).
Solución
La pendiente de la recta es
( )
Aplicamos la ecuación de una recta en la forma punto-pendiente que pasa por
el punto ( ) ( ). Se sabe que la ecuación está dada por
( )
( ( ))
Ejemplo 5
La basura que se genera cada año en una cierta ciudad está en aumento. La
basura generada en toneladas, fue de 205,2 en 1990 y de 220,2 en 1998.
a) Suponiendo que la cantidad de basura generada en esta ciudad es una
función lineal del tiempo, encuentre una fórmula para esta función
calculando la ecuación de la recta que pase por estos dos puntos.
b) Use esta fórmula para pronosticar la cantidad de basura que será generada
en el año 2020.
Solución
a) Sea ( ) la cantidad de basura que se genera en el año . Como es una
función lineal, debe ser de la forma
( )
Como pasa por los puntos ( )y( ), la pendiente
de la recta es
/
Reemplazamos la pendiente en :
( )
Remplazamos el punto ( ) para hallar :
( )
La ecuación de la recta es ( )
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19. b) Para pronosticar la basura en el año 2020 sustituimos en la
ecuación de la recta, ( ) y calculamos :
( ) ( )
Esta fórmula pronostica que en el año 2020 habrá 261,45 toneladas de
basura.
2.1.3 Rectas paralelas
Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente.
Ejemplo 6 Determinación de la ecuación de una recta paralela a una recta dada
Determine la ecuación de la recta que pasa por el punto ( ) que es paralela a
la recta .
Solución
Primero escribimos la ecuación de la recta dada en la forma de pendiente y
ordenada en el origen.
Por lo que la recta tiene pendiente . Como la recta requerida es
paralela a la recta dada, tiene también pendiente . De acuerdo con la
ecuación de la recta en la forma punto-pendiente, obtenemos
( )
( ) ( ) ( )
Por lo tanto, la ecuación de la recta requerida es .
2.1.4 Rectas perpendiculares
Dos rectas con pendientes y son perpendiculares si y solo si
Es decir, sus pendientes son recíprocas y de signo contrario:
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20. Ejemplo 7 Determinación de la ecuación de una recta perpendicular a una recta dada
Determine la ecuación de la recta que es perpendicular a la recta
y que pasa por el origen.
Solución
Dando forma a la ecuación de la recta
Vemos que su pendiente es . Por consiguiente, la pendiente de una
perpendicular es la pendiente recíproca y de signo negativo, es decir, . Puesto
que la recta requerida pasa por ( ), la ecuación de la recta cuando se conoce
un punto y la pendiente es
( )
( )
Resumen de las formas de las ecuaciones lineales
Forma estándar
(Ni ni son 0)
Recta vertical
Pendiente indefinida; la intersecci-
ón con el eje es ( ).
Recta horizontal
La pendiente es 0; la intersección
con el eje es ( ).
Forma pendiente-intercepto
La pendiente es ; la intersección
con el eje es ( ).
Forma punto-pendiente
( ) La pendiente es ; la recta pasa
por ( ).
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21. Capítulo 3
Función cuadrática
En el mundo de las comunicaciones y de la energía, la parábola está presente en
diversas formas. No es extraño hoy en día encontrarse con antenas parabólicas,
cocinas solares o estufas eléctricas de sección parabólica.
Por otra parte, las funciones cuadráticas, cuya representación gráfica es una
parábola, permiten modelar problemas y situaciones en que las funciones
lineales son insuficientes.
Una función cuadrática es una función de la forma
( )
donde , y son números reales y .
Ejemplo 1 Caso particular de una función cuadrática
En particular, si se toma y
, se obtiene la función cuadrática simple
( ) cuya gráfica es la parábola que
se dibujó anteriormente.
3.1 Forma estándar de una función cuadrática
Una función cuadrática ( ) se puede expresar en la forma
estándar
( ) ( )
completando el cuadrado. La gráfica de es una parábola con vértice ( ).
La parábola se abre hacia arriba si o hacia abajo si .
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22. 𝑘 é ( 𝑘)
𝑘 é ( 𝑘)
( ) ( ) , ( ) ( ) ,
Ejemplo 2 Forma estándar de una función cuadrática
Sea ( ) .
a) Exprese en forma estándar.
b) Esboce la gráfica de .
Solución
a) Puesto que el coeficiente de no es 1, se debe factorizar este coeficiente
a partir de los términos relacionados con antes de completar el
cuadrado.
( )
( )
.⏟ /
( )
La forma estándar es ( ) ( ) .
b) La forma estándar nos indica que el vértice de la parábola está en ( )y
la parábola se abre hacia arriba.
( )
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23. Ejemplo 3
Exprese la función cuadrática en la forma estándar, halle su vértice y sus
intersectos con el eje e y bosqueje su gráfica.
) ( ) ) ( )
) ( ) ) ( )
) ( ) ) ( )
Solución
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24. 3.2 Valor máximo o mínimo de una función cuadrática
Sea una función cuadrática con forma estándar ( ) ( ) . El
valor máximo o mínimo de ocurre en .
Si , entonces el valor mínimo de es ( ) .
Si , entonces el valor máximo de es ( ) .
Máximo
𝑘
𝑘
Mínimo
( ) ( ) , ( ) ( ) ,
Ejemplo 4 Valor mínimo de una función cuadrática
Considere la función cuadrática ( ) .
a) Exprese en la forma estándar.
b) Bosqueje la gráfica de .
c) Halle el valor mínimo de .
Solución
a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el
cuadrado.
( )
( )
( )
(( ) )
( )
b) La gráfica es una parábola que tiene su vértice en ( ) y abre hacia
arriba, como se muestra en la figura de abajo.
c) Puesto que el coeficiente de es positivo, tiene un valor mínimo. El
valor mínimo es ( ) .
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25. Gráfica de
Valor
mínimo
Ejemplo 5 Valor máximo de una función cuadrática
Considere la función cuadrática ( ) .
a) Exprese en la forma estándar.
b) Bosqueje la gráfica de .
c) Encuentre el valor máximo de .
Solución
a) Para expresar esta función cuadrática en la forma estándar, se completa el
cuadrado.
( )
. /
(. / )
. /
b) De la forma estándar se puede observar que la gráfica es una parábola que
abre hacia arriba y tiene vértice . /.
Como ayuda para trazar la gráfica, se encuentran las intersecciones. La
intersección con es ( ) . Para hallar las intersecciones con , se
establece ( ) y se resuelve dicha ecuación.
( )
( )( ) cuyas soluciones son: y
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26. Así, las intersecciones con el eje son y . La gráfica de
se muestra en la figura de abajo.
c) Puesto que el coeficiente de es negativo, tiene un valor máximo, que
es . / .
Gráfica de
Valor máximo
Valor máximo o mínimo de una
función cuadrática
El valor máximo o mínimo de una función cuadrática ( )
ocurre en
Si , entonces el valor mínimo es . /.
Si , entonces el valor máximo es . /.
Ejemplo 6 Hallar valores máximos y mínimos de funciones cuadráticas
Halle el valor máximo y mínimo de cada función cuadrática.
) ( ) ) ( )
Solución
a) Esta es una función cuadrática con y . Por lo tanto, el valor
máximo o mínimo ocurre en
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27. Puesto que , la función tiene el valor mínimo
( ) ( ) ( )
b) Esta es una función cuadrática con y . Así, el valor máximo
o mínimo ocurre en
( )
Puesto que , la función tiene el valor máximo
( ) ( ) ( )
Ejemplo 7
Un fabricante puede producir discos de video digital (DVD) a un costo de S/. 2
por DVD. Los DVD se han estado vendiendo a S/. 5 la unidad, y a ese precio,
los consumidores han estado comprando 4000 DVD al mes. El fabricante
planea aumentar el precio de los DVD y estima que por cada S/. 1 de aumento
en el precio, se venderán 400 DVD menos cada mes.
a) Exprese la utilidad mensual del fabricante como una función del precio al
cual se vendieron los DVD.
b) Dibuje la gráfica de la función de utilidad. ¿Qué precio corresponde a la
utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima?
Solución
a) Comience planteando la relación deseada con palabras:
( )( )
b)
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28. Capítulo 4
Límite de una función
El problema de límites de funciones aparece de la necesidad de dar un signifi-
cado a expresiones que están descritas en forma indeterminada, por ejemplo
expresiones como , o . Casos como estos lo encontramos en las funciones
( )
( ) ( )
cuando queremos calcular ( ) o ( ). Los
procedimientos que utilizaremos para dar un sentido
a estas expresiones es llamado límites de funciones
que estudiaremos a continuación.
Como dato histórico se tiene que:
Al principio del siglo XIX, el cálculo había
demostrado ya su valor y no cabía duda acerca de la
validez de sus resultados. Sin embargo, no fue sino
hasta que se publicó el trabajo de Augustin Cauchy,
matemático francés (1789-1857) que se contó con
una definición formal de límite.
4.1 Valores indeterminados
Una de las operaciones prohibidas en la aritmética es la división por cero. Esto
porque no produce un resultado coherente.
Ejemplo 1 Ejemplos de expresiones indeterminadas
Supongamos que , de aquí se obtiene que , lo que es falso.
Si suponemos que , (donde el símbolo denota al infinito) tenemos que
,
Recordemos que no es un número real, pues si fuese se tendría que
lo que también es falso.
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29. Por tanto las operaciones
no están definidas. El objetivo es dar un sentido a estas expresiones
indeterminadas.
Ejemplo 2
A qué valor se aproxima la función cuando esta próximo a .
( )
Solución
No podemos evaluar la función en el punto , porque ( ) es un valor
indeterminado; pero podemos estudiar a que valor la función se aproxima
cuando esta próximo a 1.
Sabemos que ( )( ). Luego,
( )( )
( ) ( )
Esto es válido, ya que . Por tanto, si esta próximo a 1, ( ) está
próximo a 2, sin ser igual a 2. Por tanto, el valor de ( ) es indeterminado,
pero se aproxima a 2 cuando se aproxima a 1.
Ejemplo 3
A qué valor se aproxima la función cuando se aproxima a 1.
( )
Solución
Nuevamente tenemos una expresión indeterminada, ( ) . Nos interesa el
valor al cual se aproxima cuando se aproxima a 1.
Como el numerador y denominador se anulan cuando , quiere decir que
es una raíz de y de . Por tanto podemos escribir:
( )( ), ( )( )
Luego,
( )( )
( )
( )( )
Podemos simplificar la expresión solamente si , portanto
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30. ( )
Así, ( ) se aproxima a cuando se aproxima a 1.
4.2 Límites
El valor al cual se aproxima la función ( ) cuando se aproxima hacia ,
será llamada límite de cuando esta próximo de .
Notación
( )
Ejemplo 4
De los ejemplos anteriores, encontramos que
Ejemplo 5
Calcule el límite
Solución
Tenemos que calcular el valor al cual la función
( )
se aproxima, cuando esta próximo a 2. Para esto observamos que
( )( )( )
( )( )
Luego,
( )( )( ) ( )( )
( )
( )( )
( )( )
Así, ( ) se aproxima a cuando esta próximo de 2, sin ser igual a 2.
Por tanto tenemos que
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31. Ejemplo 6
Calcule el siguiente límite.
√ √
Solución
La diferencia puede ser escrita como una diferencia de cuadrados de la
siguiente forma
(√ ) (√ ) (√ √ )(√ √ )
Luego,
√ √ √ √
(√ √ )(√ √ ) √ √
Por tanto tenemos que
√ √
√ √ √
Ejemplo 7
Calcule el límite
( )
Solución
De acuerdo con nuestra definición conceptual, tenemos que calcular a que
valor se aproxima la función ( ) cuando se aproxima a cero.
En este caso es simple verificar que ( ) se aproxima a 1 cuando se
aproxima a cero. Por tanto tenemos que
( )
Ejemplo 8
Calcule el siguiente límite.
Solución
Tenemos una fracción donde el numerador y denominador son iguales a cero,
lo que crea una indeterminación. Recuerde que
( )( ), ( )( )
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32. Sustituyendo estas expresiones en la fracción obtenemos
( )( )
( )( )
Por tanto, tomando límite cuando , esto es tomando valores de
próximos de 1 sin ser igual a 1 obtenemos
Luego, cuando esta próximo de 1, ( ) esta próximo de .
4.3 Límites al infinito
Muchas veces escuchamos hablar sobre la grandeza de algunos valores. Por
ejemplo que fulano es millonario. Esta expresión quiere decir que Fulano tiene
mucho dinero. No sabemos cuánto, solo se sabe que el dinero que tiene Fulano
es mucho. En Matemática tenemos una expresión parecida para indicar que una
cantidad es muy grande, esta expresión es llamada infinito, y denotada como .
Este es el símbolo que usamos en matemática para expresar grandeza. Decir que
es un número grande, es equivalente a decir que se aproxima al infinito, o
en símbolos: .
En esta sección estudiaremos el comportamiento de una función ( )
cuando toma valores muy grandes.
Ejemplo 9
Considere la función
( )
Queremos saber cómo se comporta cuando es grande. De una simple
inspección obtenemos:
En la medida que crece, tenemos que ( ) esta más próximo de cero. Así
tenemos que
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33. Con este límite podemos conocer muchos otros. Veamos los siguientes
ejemplos.
Ejemplo 10
Calcule el siguiente límite.
Solución
Por el momento el único límite al infinito que conocemos es
Para calcular el limite pedido dividimos numerador y denominador por y
obtenemos
Calculando el limite cuando obtenemos
Por lo tanto, cuando crece, el valor de ( ) se aproxima a 3.
Ejemplo 11
Calcule el valor del siguiente límite.
Solución
La idea es aplicar el límite . Podemos hacer esto si dividimos
numerador y denominador por , así tenemos
Es simple verificar que
para cualquier valor de .
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34. Por lo tanto
Ejemplo 12
Si se siembra cierto cultivo en una tierra donde el nivel de nitrógeno es ,
entonces el volumen de la cosecha, puede modelarse con la función de
Michaelis-Menten
( )
donde y son constantes positivas. ¿Qué le sucede a la cosecha cuando el
nivel de nitrógeno se incrementa indefinidamente?
Solución
Se desea calcular
( )
Por tanto, el volumen de la cosecha tiende al valor de la constante cuando el
nivel del nitrógeno aumenta indefinidamente. Por esta razón, recibe el
nombre de cosecha máxima alcanzable.
Ejemplo 13
El gerente de una empresa determina que el costo total de producir unidades
de un producto dado se puede modelar por la función
( ) ( )
( )
( ) ( )
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35. Prof.: Christiam Huertas
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