En ésta presentación se hablará sobre todo lo relacionado a las Transformaciones Lineales, su relación con las Matrices y ejercicios explicativos del Método de Gauss-Jordan.

1. Presentación sobre las
Transformaciones Lineales y
método de Gauss – Jordan
Estudiante: Carlos Morris
C.I: 24.391.937

2. Transformaciones Lineales
Las Transformaciones Lineales, también llamadas
Aplicaciones Lineales, es una función de espacios vectoriales
donde el objetivo es transformar un espacio vectorial en otro,
en el que asigna a cada vector v∈ V un vector único Tv∈ W y
que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α.
T(u + v) = Tu + Tv
Y
T(av) = aT (vav) = aTv
Suponiendo que se tienen dos vectores V y W, una
Aplicación Lineal se expresará de forma f (v) = W o sino
también T : V W, donde W es una Transformación Lineal de
V.

3. Transformaciones Lineales
• NÚCLEO: Sea T : V → W una transformación lineal. El
núcleo T es el subconjunto formado por todos los vectores
en V que se mapean a cero en W.
Ker(T) = {v ∈ V | T(v) = 0 ∈ W}.
• NULIDAD: Sean V, W espacios vectoriales sobre un campo
F y sea T ∈ L(V, W). La nulidad o N de T se define como la
dimensión del núcleo de T:
N(T) = dim(ker(T)).
• RANGO O IMAGEN: Sean V, W espacios vectoriales
sobre un campo F y sea T ∈ L(V, W). La imagen de T se
define como el conjunto de todos los valores de la
aplicación T: im(T) := { w ∈ W : ∃v ∈ V tal que w = T(v)}.
Es decir, de W formado por aquellos vectores que
provienen de algún vector de V.

4. Transformaciones Lineales
1.

5. Transformaciones Lineales
2.

6. Transformaciones Lineales
3.

7. Método de Gauss-Jordan
El método de Gauss - Jordan fue la continuación por parte
del geodesista alemán Willhelm Jordan (1842-1899) del trabajo
realizado por el matemático y físico alemán Carl Friederich
Gauss (1777-1855) sobre la resolución de un sistema de
ecuaciones, matrices e inversas. Sumando, restando,
multiplicando o dividiendo unas filas con otras para lograr
eliminar incógnitas.
X Y Z = T.E. (Términos Independientes)
Fila 1
Fila 2
Fila 3

8. Método de Gauss - Jordan
Consiste en emplear el mismo método de reducción del
sistema de ecuaciones, pero a diferencia del método de Gauss
donde se elimina una incógnita de las siguientes ecuaciones
de manera que la ecuación precedente siempre tenga mayor
número de incógnitas, en éste caso se eliminarán dos de cada
ecuación de manera que cada una dé directamente el valor de
cada incógnita. El resultado de esto será una matriz diagonal.
Se trabajará con ecuaciones de dos o hasta tres
incógnitas cada una (X, Y y Z), aunque puedan ser de mayor
cantidad, y con ellas se armará la matriz utilizando sólo sus
magnitudes y no las letras en sí.
En los próximos ejercicios, el primero lo explicaremos de
forma detallada y los dos posteriores de forma más directa.

9. Método de Gauss - Jordan
1) Ejercicio: Teniendo las ecuaciones:
Se ordena en matrices de modo que: Fila 1
Fila 2
Fila 3
Eliminamos el coeficiente de X de la Fila 2 sumando 3/2 veces la Fila 1 a
la misma Fila 2 y después sumamos la Fila 1 a la Fila 3.
[(-3, -1, 2) = -11] + 3/2 [(2, 1, -1) = 8]
[(-3, -1, 2) = -11] + [(3, 3/2, -3/2) = 12] [(0, 1/2, 1/2) = 1] Nueva Fila 2
[(-2, 1, 2) = -3] + [(2, 1, -1) = 8] [(0, 2, 1) = 5] Nueva Fila 3

10. Método de Gauss - Jordan
Ahora eliminamos Y de la Fila 1 restando 2 veces la Fila 2 a la Fila
1, y restando 4 veces la Fila 2 a la Fila 3 para eliminar Y.
[(2, 1, -1) = 8] – 2 [(0, 1/2, 1/2) = 1] [(2, 1, -1) = 8] - [(0, -1, -1) = -2]
[(2, 0, -2) = 6] Nueva Fila 1
[(0, 2, 1) = 5] – 4 [(0, 1/2, 1/2) = 1] [(0, 2, 1) = 5] - [(0, 2, 2)=-4]
[(0, 0, -1) = 1] Nueva Fila 3

11. Método de Gauss - Jordan
Para finalmente eliminar Z de la Fila 1 restando 2 veces la
Fila 3 a la Fila 1, y sumando 1/2 veces la Fila 3 a la Fila 2
para eliminar Z. Dando el siguiente resultado:
[(2, 0, -2) = 6] – 2 [(0, 0, -1) = 1] [(2, 0, -2) = 6] - [(0, 0, 2) = -2]
[(2, 0, 0) = 4] Nueva Fila 1
[(0, 1/2, 1/2) = 1] + 1/2 [(0, 0, -1) = 1]
[(0, 1/2, 1/2) = 1] + [(0, 0, -1/2) = 1/2]
[(0, 1/2, 0) = 3/2] Nueva Fila 2

12. Método de Gauss - Jordan
Entonces quedará la siguiente matriz resultante:
De la que se puede simplificar multiplicando la Fila 1 por 1/2, la Fila
2 por 2 y la Fila 3 por 1, dará el siguiente resultado:
Dando los valores de las incógnitas directamente. Siendo X = 2; Y = 3;
Z = -1.

13. Método de Gauss - Jordan
2) Ejercicio:
X = -1 Y = 3

14. Método de Gauss - Jordan
• Ejercicio 3: Dado el sistema de ecuaciones
ax + by + z = 1
A x + aby + z = b Se pide:
x + by + az = 1 .
Calculemos la matriz inversa (A)^(-1)utilizando el método de
Gauss-Jordan de la matriz para a = 2 y b = 1. Elegimos como matriz A
la matriz del sistema original:

15. Relación de las Matrices y
Transformaciones Lineales
Si bien las transformaciones lineales pueden estudiarse sin hacer referencia
alguna a las matrices, un cálculo efectivo de las mismas exige el conocimiento de
dichas bases.
Cualquier transformación lineal T: V ® W puede representarse mediante una
matriz: T(x) = A x. La matriz A dependerá de las bases elegidas para V y W. La
matriz de una transformación lineal queda determinada cuando se conocen una
base ordenada de V, una base ordenada de W y los transformados de la base de V,
en la base de W.
Supongamos que V y W son espacios vectoriales de dimensión finita y que T :
V → W es una transformación lineal. Si fijamos bases en V y en W, podemos
identificar estos espacios con k n y k m respectivamente, donde n = dim(V ) y m =
dim(W). De esa forma, la transformación lineal T se identifica con un elemento de
Hom(k n , k m), que a su vez, se identifica con una matriz de n columnas y m filas, o
sea con un elemento de Mm×n(k).
Ejemplo: Supongamos que en el plano x-y la transformación de matriz A
lleva a cada vector a su reflejo tomando como espejo el eje x. Encontrar la matriz
A, usando como base de R2el conjunto {(1, 0), (0, 1)}.
A) Transformado de (1, 0) = (1, 0)
Transformado de (0, 1) = (0, -1)
Entonces la matriz la matriz de la transformación es:

16. Conclusión
Luego de haber estudiado todo lo referente a las
Aplicaciones Lineales, su relación con las matrices y el método
de resolución de sistemas de ecuaciones mediante la
eliminación de incógnitas Gauss – Jordan, podemos
determinar su gran importancia en la aplicación en la Álgebra
Lineal siendo los temas de mayor envergadura ya que abarcan
casi todo lo relacionado y enseñado en dicha cátedra.

17. Bibliografía
• Título: Aplicación Lineal. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal
• Título: Carl Friedrich Gauss. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gauss
• Título: Eliminación de Gauss-Jordan. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Eliminaci%C3%B3n_de_Gaus
s-Jordan

18. Bibliografía
• Título: Matriz de una Transformación Lineal. Lugar de
publicación: Buenos Aires, Argentina. Recuperado de:
http://www.frsn.utn.edu.ar/gie/tl/matriz.html
• Título: Núcleo e Imagen de una Transformación Lineal.
Lugar de Publicación: México DF, México. Recuperado de:
http://cb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-17.pdf
• Título: Núcleo en Transformaciones Lineales. Lugar de
Publicación: Quito, Ecuador. Recuperado de:
https://es.slideshare.net/erika7529/ncleo-en-
transformaciones-lineales

19. Bibliografía
• Título: Transformaciones Lineales. Lugar de Publicación:
Quito, Ecuador. Recuperado de:
https://es.slideshare.net/algebralineal/transformaciones-
lineales-4784959
• Título: Wilhelm Jordan. Recuperado de:
https://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordan