Projet de recherche et de synthèse effectué au cours de mon Master 2 à l'Université Paris-Dauphine

1. 1
Modélisation et résolution
des problèmes
d’aménagement des
installations
Charles FRAIMAN
1
, Vincent MICHAUX
2
1
charles.fraiman@gmail.com
2
vincent.michaux.pro@gmail.com
Résumé: Les problèmes d’aménagement des
installations (Facility Layout Problems) ont
originellement été formulés par Armour et Buffa en
1963 [1] : ils traitent de la disposition des
départements ou machines, par exemple, dans un
espace donné (entrepôt, usine de production, etc.).
Ce sont des problèmes d’optimisation cruciaux
puisque la disposition des installations est l’un des
facteurs clés dans l’amélioration de la performance
d’une entreprise. En effet, les coûts de
manutention représentent la majeure partie des
dépenses opérationnelles. Ainsi, les problèmes
d’aménagement des installations (machines,
postes de production d’une usine, etc.)
représentent un domaine de recherche très
présent dans la littérature scientifique. Notre travail
s’articule de la manière suivante : après une
section introductive, une deuxième section passe
en revue les différents types de formulation et de
résolution présentés dans notre corpus d’articles.
La troisième section approfondit une méthodologie
récente de résolution d’un Facility Layout Problem
particulier.
Mots-clés: Facility Layout Problem (FLP), Meta-
heuristiques, Quadratic Assignment Problems
(QAP), Algorithme génétique (GA), Pareto-
optimalité, Recherche locale (VNS).
1. Introduction
Grâce à une organisation et une disposition des
installations performante, il est possible de réduire
de moitié les coûts opérationnels liés à la
manutention de produits et de matière [8]. On
estime à 250 milliards de dollars la somme
dépensée chaque année par les entreprises
américaines sur les problèmes d’aménagement
des installations [2].
La résolution des problèmes d’aménagement des
installations, ou encore Facility Layout Problems
(FLP), permet de déterminer la disposition la plus
efficiente (selon un objectif prédéterminé) d’un
nombre donné d’installations sur le sol d’un
système productif. Ces installations peuvent être
des machines, des centres de charges ou encore
des départements d’une entreprise. Cette
disposition doit répondre à un ou plusieurs
objectifs définis par les preneurs de décisions et
est soumise à des contraintes. Les objectifs se
divisent en deux grandes catégories : les objectifs
quantitatifs tels que la minimisation des coûts de
manutention (Material Handling Costs, MH),
minimisation de l’espace inutile, etc. ; et les
objectifs qualitatifs tels que la minimisation des
mouvements dangereux ou encore une
maximisation de la sécurité. Quant aux
contraintes, elles peuvent être physiques
(exemple : deux machines occupent une certaine
superficie au sol et ne peuvent se chevaucher) ou
pratiques (exemple : le département des
expéditions des commandes doit être juxtaposé au
département de préparation des commandes). De
plus, les contraintes sont soit dures (non
chevauchement qui ne peuvent être non-
respectées) soit molles (contraintes de proximité
pouvant être relâchées).
2. Panorama des typologies de FLP et des
méthodes de résolution associées
Un schéma-bilan de cette partie est disponible en
annexe 1. Il reprend la structure des différents
problèmes de FLP rencontrés dans les articles lus.
2.1. Les grandes classes de FLP
Premièrement, la littérature distingue les
problèmes d’aménagement des installations aux
superficies égales (Equal Area Facility Layout
Problems, EA-FLP) des problèmes
d’aménagement des installations aux superficies
inégales (Unequal Area Facility Layout Problems,
UA-FLP). Dans le premier cas, chaque installation
a la même superficie ; il est ainsi possible
d’inverser deux emplacements sans modifier
l’agencement final mais en modifiant tout de même
la valeur de la fonction objectif. Dans le deuxième
cas, les installations n’ont pas la même superficie ;
il est alors impossible d’inverser deux
emplacements. Notons que la littérature
spécialisée traite majoritairement le cas des
problèmes aux superficies inégales car ils sont
plus proches des problématiques réelles.
Deuxièmement, il faut distinguer les problèmes
statiques (Static Layout Problems, SLP) des
problèmes dynamiques (Dynamic Layout
Problems, DLP). On s’intéresse ici à l’évolution
des flux de composants ou matières premières
transitant entre les différents départements sur une
période donnée. Si les flux ne changent pas sur
cette période, alors nous nous trouvons dans le
cas SLP et la solution finale est celle qui optimise
la valeur des fonctions objectifs définies. Si les flux
changent au cours de cette même période, nous
nous trouvons alors dans le cas DLP et la solution
finale à ce problème optimise à la fois la ou les
fonctions objectifs et minimise également les coûts
de réaménagement entre deux périodes où les flux
sont statiques [3]. Adopter un Dynamic Layout est
intéressant pour les entreprises produisant des
produits avec une demande saisonnière.
Pour finir, et ce point est au cœur des sujets de
recherches actuels, on distingue les problèmes

2. 2
mono-objectifs (une seule fonction objectif à
optimiser) des problèmes multi-objectifs (plusieurs
fonctions objectifs). Dans ce deuxième cas, on
peut soit appliquer une somme pondérée afin de
simplifier le problème ou alors continuer à
distinguer chaque fonction objectif et, in fine,
obtenir un jeu de solutions efficientes (des
solutions dites Pareto-optimales) : on parle alors
de Multi-Objective Optimization Problems (MOOP)
[2]. C’est alors aux preneurs de décisions de
choisir une solution parmi le jeu en fonction de
leurs préférences.
2.2. La modélisation des FLP
Les articles étudiés font état de deux catégories de
modélisation, les modèles discrets QAP (Quadratic
Assignement Problems) et les modèles MIP
(Mixed-Integer Programming).
Pour la modélisation discrète de type QAP, on
considère n installations et n emplacements. Pour
chaque paire d’emplacement on spécifie une
distance les séparant et pour chaque installation
on spécifie le flux la traversant. Le problème
revient alors à attribuer pour chaque emplacement
une installation, en minimisant la somme des
produits entre les distances séparant 2
emplacements et les flux correspondant. Pour la
modélisation de type MIP, la fonction objectif ainsi
que les contraintes sont linéaires. La fonction
objectif est de même nature qu’au cas précédent.
Notons qu’il peut être très difficile de linéariser
certaines contraintes et vice versa dans le cas
discret en QAP.
Équation 1 - Expression de la fonction objectif
(modélisation QAP)
.
Par exemple, dans le cas des DLP, une
modélisation discrète de type QAP permet de
générer de bonnes solutions en termes de
minimisation des coûts liés aux flux et au
réarrangement de l’espace mais elle génère de
très mauvaises solutions en termes de respect des
contraintes de superficie car difficilement
modélisable avec le formalisme QAP. A contrario,
un modèle linéaire sera performant sur les aspects
de superficies car favorable à la modélisation des
contraintes de respect des superficies mais
mauvais pour les coûts [1]. C’est alors aux
managers de procéder à un arbitrage pour retenir
le modèle le plus approprié à ses objectifs. L’article
[3] propose un modèle alternatif qui est une
combinaison des deux modèles précédents (QAP
et MIP). Notons que la modélisation QAP est la
plus répandue car plus adaptée aux problèmes de
large dimension.
2.3. Les méthodologies de résolution des
FLP
Maintenant que notre ou nos fonctions objectifs et
que nos contraintes sont énoncées, nous pouvons
alors nous attacher à la résolution de notre
problème. En fonction des cas, la littérature
scientifique nous propose des procédures exactes,
des heuristiques dédiées (non traitées ici car non
détaillées dans nos lectures) ou des méta-
heuristiques. Nous énoncerons ici uniquement les
cas traités dans notre corpus d’articles.
Les procédures exactes telles que le Branch-and-
Bound sont utilisées pour la résolution de modèles
linéaires (MILP) ou non-linéaires (MINLP) [1]. Ils
permettent d’obtenir un optimum global mais
généralement non réalisable car ils produisent des
solutions non applicables dans la réalité
(généralement, la géométrie des emplacements
proposée par la procédure résolution est trop
singulière). Il faut alors « masser » les solutions
(i.e. modifier « manuellement » les solutions
obtenues) pour les rendre applicables sur le
terrain. Attention, cette méthode n’est efficace que
pour des problèmes de petites tailles [4]. Pour un
temps de calcul raisonnable, la méthode de
Branch-and-Bound ne peut traiter que des FLP
ayant moins de vingt installations.
Les méta-heuristiques sont des algorithmes
d’optimisation applicables à beaucoup de
problèmes de nature combinatoire à l’inverse des
heuristiques dédiées. Elles vont orienter la
recherche vers une solution optimale. Toutefois, il
n’est pas garantit que la solution finale fournie par
l’algorithme soit l’optimal. Le but est d’explorer
l’espace de recherche de manière efficace en
partant d’une solution réalisable et en lui
appliquant des modifications de manière itérative.
Ces modifications sont définies par l’utilisateur.
Dans notre sélection d’articles nous avons
retrouvé les méta-heuristiques suivantes : les
algorithmes génétiques [2,5], l’algorithme du
« système fourmi » [6] ou encore l’algorithme du
recuit simulé [5].
Les algorithmes génétiques opèrent par « bonds »
successifs et utilisent une représentation
chromosomique de l’aménagement des
installations. Une description plus complète vous
est proposée en section 3. La principale
information à retenir sur les algorithmes
génétiques est qu’ils sont très performants : ils
sont robustes (performances similaires
indépendamment de la nature du problème),
efficients (donne une solution optimale ou quasi-

3. 3
optimale), efficaces (prennent généralement moins
de temps de calculs que la plupart des autres
méta-heuristiques pour converger quand on les
appliques sur des instances de référence) [2].
L’algorithme du « système fourmi » est un
algorithme très prometteur qui s’inspire du
comportement des fourmis qui sont à la recherche
du chemin le plus court pour atteindre leur source
de nourriture.
Pour finir, l’algorithme du recuit simulé s’inspire du
procédé de traitement thermique des métaux du
même nom. Cet algorithme se base sur le principe
que chauffer un métal et le laisser refroidir
doucement permet d’obtenir une meilleure
configuration des atomes. Ainsi, les propriétés du
métal en question sont meilleures. On applique ce
principe à une solution aléatoire du FLP afin
d’obtenir une solution finale la plus proche de
l’optimum possible.
3. Revue détaillée : l’algorithme génétique
hybride appliqué au FLP multi-objectifs
avec superficies inégales
La section 2 met en évidence que les méthodes
exactes ne s’appliquent qu’aux problèmes de
petites tailles. Les industriels, par exemple, se
tournent alors vers d’autres méthodes de
résolution afin de traiter des problèmes plus
grands mais non moins réels. C’est le cas des
algorithmes génétiques.
Les algorithmes génétiques sont des algorithmes
d'optimisation s'appuyant sur des techniques
dérivées de la génétique et de l'évolution naturelle.
Son but est de faire évoluer une population pour
en améliorer les individus. Et c'est donc, à chaque
génération (ou itération), un ensemble d'individus
qui sera mis en avant et non un individu particulier.
Nous obtiendrons donc un ensemble de solutions
pour notre problème et pas une solution unique.
Ces techniques s’appliquent sur des
chromosomes, représentant dans notre cas des
aménagements des installations. La section 4 sera
consacrée à la traduction d’une représentation
chromosomique en aménagement réel des
installations.
Les algorithmes génétiques fonctionnement de
manière itérative, et nous pouvons découper
chacune des itérations en trois parties.
La première partie consiste à générer de manière
aléatoire la population de chromosomes. Ce
mécanisme doit être capable de produire une
population d'individus non homogène qui servira
de base pour les générations futures. Le choix de
la population initiale est important car il peut rendre
plus ou moins rapide la convergence vers
l'optimum global. Dans le cas où l'on ne connaît
rien du problème à résoudre, il est essentiel que la
population initiale soit répartie sur tout le domaine
de recherche.
La deuxième partie vise à évaluer les différents
chromosomes. Une fois que la population initiale a
été créée, nous allons en sortir les individus les
plus prometteurs, ceux qui vont participer à
l'amélioration de notre population. Dans le cadre
de nos problèmes multi-objectifs, une simple note
ne peut pas être donnée à chaque chromosome. Il
est donc intéressant de construire un front de
Pareto avec les solutions les plus efficientes [5].
La troisième étape a pour objectif de créer de
nouveaux individus à partir d’opérations
génétiques élémentaires. Nous pouvons par
exemple citer le croisement [5] ou la mutation [5].
A ce moment là, nous obtenons un nouveau jeu de
chromosomes et le processus peut être réitéré.
Ces algorithmes permettent en effet de dépasser
les contraintes de tailles des méthodes exactes
mais peuvent, en contre partie, converger vers des
optima locaux. Même avec un nombre conséquent
d’itérations, nous ne pouvons qu’être sûrs que
nous nous sommes approchés de la solution
optimale.
Afin de sortir de cet optimum local et de poursuivre
les itérations de l’algorithme génétique, quelques
études [5], [2] ont couplé l’algorithme génétique
avec un algorithme de recherche locale, la
recherche à voisinage variable, Variable
Neighborhood Search (VNS).
La recherche à voisinage variable est un type de
recherche locale, dans le sens où elle consiste
également à passer d'une solution à une autre
dans l'espace des solutions candidates (l'espace
de recherche) jusqu'à ce qu'une solution
considérée comme optimale soit trouvée ou que le
temps imparti soit dépassé. La recherche type
VNS diffère d’une recherche locale classique
puisqu’une perturbation aléatoire est émise (et
permet de changer aléatoirement de voisins) avant
la mise en place d’une recherche locale.
L’objectif principal de l’article étudié [5] dans cette
section est de comparer le temps de calcul et les
résultats obtenus en coût MH et score CR
(Closeness Rating : objectif qualitatif ; si des
installations partagent les mêmes ressources, elles
doivent alors se trouver très proches ; le but est
donc de maximiser cet indicateur) de trois
algorithmes différents pour un même problème
d’aménagement donné. L’algorithme génétique
« classique » est en effet comparé à un algorithme
génétique hybridé avec une recherche locale et à
un algorithme génétique hybridé avec une
recherche locale adaptée de type VNS.
L’adaptation de la recherche locale réside dans le
fait de ne s’exécuter que lorsque l’algorithme
génétique converge. La deuxième configuration

4. 4
itère, quant à elle, la recherche locale à chaque
itération de l’algorithme génétique. Cette solution
permet toujours de sortir l’algorithme génétique
d’un optimum local mais allonge considérablement
les temps de calculs.
Enfin, l’analyse des résultats de comparaison entre
les configurations doit distinguer les problèmes de
petites tailles (inférieurs à une quinzaine
d’installations) des problèmes de plus grandes
tailles.
Pour les petits problèmes, les résultats en termes
de coût MH et de score CR sont sensiblement les
mêmes. En revanche, la troisième configuration
permet de trouver la solution optimale après
sensiblement moins d’itérations. Pour un problème
de quatorze unités, 70% des solutions optimales
sont trouvées après 60% des itérations totales.
Pour ce même taux d’itérations, un algorithme
génétique standard n’en trouve aucune [5].
En ce qui concerne les problèmes de plus grandes
tailles, la recherche adaptée diminue
drastiquement le temps de calcul face à une
recherche locale à chaque itération de l’algorithme
génétique. Les coûts MH et score CR sont
sensiblement meilleurs avec une recherche
adaptée que sans recherche locale.
4. Représentation chromosomique d’un
aménagement d’installations
Maintenant que la technique d’hybridation de
l’algorithme génétique avec une recherche locale
de type VNS vient d’être décrite, il convient de
décrire la représentation des solutions
d’aménagement adaptée pour cette technique.
Un chromosome est représenté en trois parties. La
première représente le séquencement des
installations (un numéro est préalablement attribué
à chaque installation). La seconde décrit le
séquencement des séparations et la dernière
attribue l’orientation des séparations. Les deux
premières parties sont représentées par des
entiers tandis que la dernière ne contient que des
booléens. Une séparation de type 0 correspond à
une séparation horizontale, le type 1
correspondant à une séparation verticale. Un
exemple de représentation chromosomique est
donné dans le tableau 1.
Tableau 1 - Représentation chromosomique d'un
problème à 7 installations
2 6 3 4 5 0 1 4 3 2 1 0 5 0 0 1 1 1 0
Une deuxième étape consiste à traduire ce
chromosome en arbre de séparation. A chaque
itération, l’entier dans la séquence des séparations
détermine la position de coupure du chromosome
dans la séquence des installations. En parallèle, le
booléen dans la séquence d’orientation des
séparations détermine l’orientation de cette
séparation. La tête de lecture peut alors passer au
deuxième entier de la séquence des opérations.
Le nœud de l’arbre explicite l’orientation de la
séparation tandis que les feuilles indiquent les
numéros attribués aux installations. La figure 1
donne le résultat de cette représentation.
Figure 1 - Représentation en arbre du problème
A noter que pour une séparation verticale,
respectivement horizontale, la séquence à droite
de la séparation chromosomique sera à gauche,
respectivement en bas, de la séparation concrète.
Lors de la dernière étape, la tête de lecture
commence par lire le nœud racine et sépare
suivant l’orientation considérée. Elle itère ensuite
jusqu’à atteindre l’ensemble des branches de
l’arbre. La figure 2 illustre le résultat de cette
lecture.
Figure 2 - Représentation concrète de l'aménagement
5. Conclusion
Ce document présente une synthèse des travaux
de modélisation et de résolution des problèmes
d’agencement des installations rencontrés dans
nos lectures. La résolution de ces problèmes
complexes permet aux organisations industrielles
de réduire de moitié leurs dépenses
opérationnelles. En effet, les coûts de manutention
représentent une partie dominante des dépenses
liées aux opérations et la résolution des FLP
permet d’optimiser le parcours des flux dans une
structure productive.
Les méthodologies de résolution des FLP peuvent
intégrer une procédure d'amélioration de
recherche locale ou non, et leur nombre ne peut
que continuer d'augmenter à ce rythme puisque
les experts continuent à explorer de nouveaux
outils (i.e. algorithmes) encore jamais utilisé pour
la résolution de FLP.
Dans le cadre de notre revue détaillée, les
résultats soulignent la compétitivité de cette
approche en termes de temps de calcul (les
résultats sont détaillés dans la section 3). Elle offre
un large choix d’alternatives et permet au décideur

5. 5
d’être flexible et de prendre de meilleures
décisions en réponse aux contraintes
conjoncturelles.
Bibliographie
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[8] M. Rosenblatt, A distance assignment
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6. 6
Annexe 1