Un vector es un segmento de recta dirigido que tiene origen, módulo, dirección y sentido. Varios vectores son linealmente independientes si ninguno puede escribirse como una combinación lineal de los otros. Dos vectores son dependientes si son paralelos o sus componentes son proporcionales. Tres vectores son independientes si no están contenidos en el mismo plano.

1. EVIDENCIA DE APRENDIZAJE: VECTORES
ALGEBRA LINEAL
CESAR SALAS FLORES
UNIDAD 1

2. VECTORES • Origen O también denominado Punto de
aplicación. Es el punto exacto sobre el que
actúa el vector.
• Módulo: Es la longitud o tamaño del vector.
Para hallarla es preciso conocer el origen y
el extremo del vector, pues para saber cuál
es el módulo del vector, debemos medir
desde su origen hasta su extremo.
• Dirección: Viene dada por la orientación en
el espacio de la recta que lo contiene.
• Sentido: Se indica mediante una punta de
flecha situada en el extremo del vector,
indicando hacia qué lado de la línea de
acción se dirige el vector.
Un vector es todo
segmento de recta
dirigido en el
espacio. Cada
vector posee unas
características que
son:

3. VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES
• Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de
ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.
• Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y
sus componentes no son proporcionales.
• Ejemplo: Determinar si son linealmente dependientes o
independientes los vectores.:
3
2
=
1
3
3 ∙ 3 ≠ 2 ∙ 1 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

4. Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores.
Ejemplo:
u = (2, 3, 1), v = (1, 0, 1,), w = (0, 3, -1)
a = (2, 3, 1,) b = (1, 0, 1,) c = (0, 3, -1) = (0, 0, 0)
r = 2 n = 3 Sistema Compatible Indeterminado
El sistema tienen infinitas soluciones, por tanto los vectores son
linealmente dependientes.

5. Vectores linealmente dependientes
Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente
dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al
vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación
lineal.
Propiedades:
1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de
ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.
2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.
3. Dos vectores libres del plano u = (u1, u2) y v = (v1, v2) son linealmente dependientes
si sus componentes son proporcionales.

6. Ejemplo: Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes
los vectores.
u = (3,k, 6) v = (-2, 1, k +3) w = (1, k + 2, 4)
Escribir u como combinación lineal de v y w, siendo k el valor calculado
Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que
forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.
12 + k² + 3k +12k + 24 –(-6 – 8k +3k² +15k +18) = 0
k² -4k -12 = 0 k = -2 k= 6
(3, -2, -6) = a (-2, 1, 1) + b (1, 0, 4) (3, -2, -6) = -2ª + b, a, + 4b)
a = -2 b= -1
u = -2v -w

7. Vectores Independientes y dependientes de forma
geométrica
dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta
definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en
otras palabras este debe generar un área.
Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el
mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación
lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por
estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen.

8. El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de
todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio
vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta
vectorial dirigido por este vector. El espacio generado por dos
vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil
comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el
menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se
le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores
son independientes, el espacio generado es de dimensión n(dimensión
en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un
plano...)

9. En el espacio tridimensional usual:
Ejemplo:
• u y j son dependientes por tener la misma dirección.
• u y v son independientes y definen el plano P.
• u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.
• u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una
combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al
plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.
Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son
dependientes ya que o = 0 ·k