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Aula 2 multiplicação e divisão

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  1. 1. Matemática Básica, por Diesson Costa. Quer interagir conosco, mande suas dúvidas, questões e seus comentários para o e-mail: diessonsaga@gmail.com Aula 2 - Multiplicação e Divisão. Multiplicar, já fazemos essa operação Matemática no ventre de nossas mães quando ainda nem andamos, sim nossas células constantemente, aumenta de uma maneira exponecial que contar somando já não basta, por isso multipli- camos. Todo mundo sabe que 2 + 2 = 4, também podemos fazer 2 x 2 = 4 ( multiplicamos). Se quero faze uma cálculo tipo: por dia ganho R$ 50,00 com pan‡etagem quanto ganho em uma semana ? Podemos somar, uma semana possui 7 dias (considerando que ele trabalhe no sábado e no domingo), logo somamos o número 50 sete vezes ou ,sim- plesmente, para facilitar nossa vida mutiplicamos. Matemáticamente, podemos fazer (50+50+50+50+50+50+50) ou multiplicamos (50 x 7). Deu para perceber como a multiplicação facilta nosso dia a dia. Vamos as propriedades da multiplicação. 1) Comutatividade Você já deve ter ouvido falar a máxima frase: a ordem dos fatores não altera o produto. Mas o que isso quer dizer vamos analisar. Se temos: 2x4 = 8 beleza então será que alterando os fatores tenho o mesmo produto ? Sim. 4 x 2 = 8. Pronto, como diz a frase, a ordem dos fatores não altera o produto. Ou simplesmente, a x b = b x a 2) Associatividade Ao associarmos algumas parcelas o total não tem alterações. Vamos analisar o exemplo abaixo: (7 . 4) . 5 = 4 . (5 . 7) Lembrando que:quando temos uma expressão envolvendo parênteses, deve- mos realizar primeiramente as operações contidas em seu inseridas no parênteses, então temos que a expressão da esquerda é equivalente a expressão da direita: 28 . 5 = 4 . 35 Como podemos observar, o fato de associarmos algumas parcelas não cau- sou variação no total, pois continuamos com o mesmo valor antes e depois da igualdade Em outras palavras: (a . b) . c = a . (b . c) 1
  2. 2. 3) Existência de Elemento Neutro: O elemento neutro na multiplicação é o número 1, pois qualquer número natural multiplicado por 1 é esse próprio número natural. Por exemplo: 8 x 1 = 8 e 1 x 8 = 8 Em outras palavras, a x 1= 1 x a 4) Distributividade : Lembrando que: podemos utilizar também o ponto …nal (.) para simbolizar a operação de multiplicação. 2 . (5+6) = (2.5) + (2.6) =) 2 . (11) = 10 + 12 =) 22 = 22. Em outras palavras: um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z). 5) Elemento oposto : O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x. 6) Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y. Divisão. O que é dividir, para quem tem irmão ou é …lho caçula já sabe disso a muito tempo sempre tem que dividir, ou em outras palavras repartir o pão. Se temos 12 salgados e quero distribuir igualmente entre três pessoas como procedo? Simplesmente, divido. 12 salgados para 3 pessoas, ou seja, cada um …cará com 4 salgados pos 4 x 3 = 12. Lembrando que a divisão é a operação inversa da multiplicação. D= d.q + r (Algoritmo de Euclides), essa é a equação de uma divisão seja ela qual for. O D se chama divisor, o d se chama dividendo, o q se chama quociente e o r se chama resto. Exemplo: 4 = 2 . 2 + 0 Quando o resto é igual á zero dizemos que a divisão é exata. Quando isso não ocorre é por que a divisão é inexata. Exemplos 12 = 2.6 + 0 13 = 2.6 + 1 2
  3. 3. Propriedades da Divisão com números naturais Fechamento: Esta propriedade não é satisfeita pela divisão, pois, por exem- plo, 1 dividido por 2 não pertence aos conjunto dos números naturais. Associatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois (15 : 5) : 3 é difer- ente de (3 : 5) :15, por exemplo. Existência de Elemento Neutro: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 é 2, mas 1 dividido por 2 não pertence aos naturais. Comutatividade: Esta propriedade não é satisfeita, pois, por exemplo, 2 dividido por 1 é diferente de 1 dividido por 2, o qual nem pertence aos naturais. Critérios de divisão ou divisibilidade Bem são noções de divisão que facilita na hora em que se quer dividir tipo 35 é divisível por 5 pois todo número terminado em 0 ou em 5 é divisível por 5. Divisibilidade por 1 Todo número inteiro é divisível por 1. Divisibilidade por 2 Um número é divisível por 2 se o seu último dígito é divisível por dois, isto é, se o número termina em um número par. Divisibilidade por 3 Um número é divisível por 3 quando a soma dos valores dos dígitos do número natural tem como resultado um outro número divisível por 3 Divisibilidade por 4 O número é divisível por 4 quando: O penúltimo número for par e o último terminar em 0, 4 ou 8. O penúltimo número for ímpar e o último terminar em 2 ou 6. Divisibilidade por 5 Um número é divisível por 5 quando o último algarismo for 0 ou 5. Divisibilidade por 6 Qualquer número é divisível por 6 quando for divisível por 2 e por 3 ao mesmo tempo Divisibilidade por 7 Um número é divisível por 7 quando a diferença entre o dobro do último algarismo e o número formado pelos demais algarismos resulta um número 3
  4. 4. divisível por 7 Exemplo: 41909 é divisível por 7 conforme podemos conferir: 9+9=18 4190-18=4172 2+2=4 417-4=413 3+3=6 41-6=35 que dividido por 7 é igual a 5. Temos vários outros critérios para números e suas divisões não iremos nos aprofundar no assunto, a…nal esse material tem a …nalidade de ser básico o que não impede de recomentar um livro para aprofundamento, Leiam Teoria dos números do Plínio, SBM. Exercícios: 1) Calcule o valor das expressões abaixo a) 2 .6 + 7.8 b) 2.0 +7.2 + 2.7 c) 89 + 2 . 89 +3 d) 75 -7 + 2. 7 .5 2) Em um banheiro tem uma parede com 15 …leiras com 10 azulejos e outra parede com 13 …leiras com 10. Quantos azulejo tem no banheiro? 3) Qual é o resultado da multiplicação de 63 por 12 ? 4) Tendo somente uma nota de R$ 20,00, comprei um saquinho de pipoca por R$ 2,75, um suco por R$ 2,00 e quatro balas por R$ 0,50. Quanto devo receber de troco? 5) Uma escola recebeu 150 cadernos. Contando somente com a distribuição para os alunos do período da tarde foram 50% dos cadernos. Quantos sobraram? 6) Qual o resultado da subtração 907 de 3.153. 7) Uma mamadeira tem a capacidade de 250 ml. Com um litro de leite, é possível preparar quantas mamadeiras? 8) Uma rodovia …cou interditada por 2 meses. Quantas semanas ela …cou interditada? 9) Uma festa teve uma duração de 2 horas e 10 minutos. Qual foi a duração da festa? 10) Maria mede um metro e meio. Qual a altura dela em centímetros? 4

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