El documento explica los sistemas de ecuaciones paramétricas, que permiten representar curvas y superficies mediante valores que varían un parámetro. También describe cómo pasar de ecuaciones paramétricas a ecuaciones cartesianas eliminando el parámetro. Además, incluye fórmulas para calcular la longitud de un arco paramétrico y explica cómo representar el movimiento de una partícula en el plano a través de funciones vectoriales paramétricas.

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria
Instituto Universitario Politécnico Santiago Mariño
Barcelona edo/Anzoátegui
Bachiller:
Araujo, Carlos
C.I: 24504690

2. INTRODUCCIÓN
En matemáticas, un sistema de ecuaciones paramétricas permite representar una curva o superficie en el plano o
en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de números reales, mediante una variable,
llamada parámetro, considerando cada coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro.
Un ejemplo simple de la cinemática, es cuando se usa un parámetro de tiempo para determinar la posición y
la velocidad de un móvil.
En el uso estándar del sistema de coordenadas, una o dos variables (dependiendo de si se utilizan dos o tres
dimensiones respectivamente) son consideradas como variables independientes, mientras que la restante es la
Variable dependiente, con el valor de la misma siendo equivalente al de la imagen de la función cuando los
restantes valores son sus parámetros. Así por ejemplo la expresión de un punto cualquiera (x,y) equivale a la
expresión (x,f(x)).
Esta representación tiene la limitación de requerir que la curva sea una función de X en Y, es decir que todos los
valores X tengan un valor y sólo un valor correspondiente en Y. No todas las curvas cumplen con dicha condición.
Para poder trabajar con la misma como si se tratara de una función, lo que se hace es elegir un dominio y una
imagen diferentes, en donde la misma sí sea función. Para hacer esto, tanto X como Y son considerados
variables dependientes, cuyo resultado surge de una tercera variable (sin representación gráfica) conocida como
parámetro.

3. El álgebra vectorial es una rama de las matemáticas encargada de estudiar sistemas de
ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones
lineales. Se relaciona con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones
diferenciales, análisis funcional, investigación de operaciones, gráficas
computacionales, entre otras.
Otra de las áreas que ha adoptado el álgebra lineal es la física, ya que a través de esta
se ha logrado desarrollar el estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el
uso de vectores. Esto ha hecho posible una mejor comprensión del universo.
Álgebra vectorial
El álgebra vectorial se originó del estudio de los cuaterniones (extensión de los números
reales) 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana promovida por Gibbs y
Heaviside, quienes se dieron cuenta de que los vectores servirían de instrumento para
representar varios fenómenos físicos.
El álgebra vectorial es estudiada a través de tres fundamentos:
• Geométricamente
•Analíticamente
•Axiomáticamente

4. Expresar una recta en forma vectorial, paramétricas, continua y general en el espacio.
Ejemplos de cómo pasar de unas ecuaciones a otras.
Las ecuaciones paramétricas x = t 2 − 2t y = t + 1 con t real, definen una curva
plana. Describir y graficar la curva para los siguientes casos: a) si t ∈ (−∞, +∞); b) si
t ∈ [0, 4]. En este ejemplo tenemos f(t) = t 2 − 2t, g(t) = t + 1. a) A cada valor del
parámetro t ∈ R, le corresponde un punto sobre la curva. Por ejemplo, para t = 0 se
tiene x = f(0) = 0 e y = g(0) = 1, o sea que el punto de la curva correspondiente a t =
0 es (0, 1). Podemos así evaluar x e y para varios valores del parámetro, por
ejemplo asignar a t los valores −2, −1, 1, 2, 3, 4, y luego situar los puntos (x, y) =
(f(t), g(t)) en el plano. Si unimos estos puntos para producir una curva continua
obtenemos la Figura 2(a), en la que las flechas indican el sentido en el que se van
generando los puntos de la curva a medida que t aumenta su valor (indique el valor
de t que corresponde a cada punto marcado en la curva).

5. Desarrollamos la ecuación vectorial de la recta R expresada en componentes:
Que son las conocidas como ecuaciones paramétricas de la recta.

6. Un ejemplo:

7. Para el caso (a), cuando el parámetro varía entre [0,1], el rango de x es [1,2] y el de
y es [-1,1]. Sólo con este hecho se puede ajustar la elección a la gráfica paramétrica
número III. Para verificar si es compatible la elección se observa que la parte
superior de la curva es obtenida cuando se varía el parámetro entre [0,1/2] y se
alcanza un máximo para el valor de 1/4. La parte inferior se traza cuando el
parámetro varía entre [1/2,1] y el mínimo se alcanza para el valor de 3/4. Ya no hay
duda de la elección. La expresión funcional de x es x(t) = -4t2 + 4t + 1 y la de y es
y(t) = sen(2πt).
Gráfico de ecuaciones paramétricas

8. Ecuación paramétrica y cartesiana del
plano en el espacio
Intersecciones de planos en el espacio
Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del espacio (x, y, z) que
satisfacen la ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en ecuación
paramétrica:
•Se igualan las coordenadas
•Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente
•Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal en variables x, y,
z
•Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada valor del
parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z + λp + μq
c) λ=0, μ=0
d) λ=0, μ=1
e) λ=2, μ=2
A partir de la ecuación vectorial del plano II, escribimos las ecuaciones como un sistema
de inecuaciones, y se resuelve de modo que se eliminen los parámetros λ y μ, y así
obtener la ecuación cartesiana de un plano cuya forma general es: Ax+By+Cz+D=0
Considera la ecuación: (x,y,z)=(2,1,-2)+λ(1,3,1)+ μ(4,0,1). Para los segmentos. valores
de λ y μ determina los puntos. en el espacio que corresponden en el plano
Por lo tanto la ecuación cartesiana del plano es 5x - 5y + z = -3

9. Si una curva suave C está dada por x=f(t) y y=g(t) y C no se corta a sí misma en el
intervalo (excepto quizá en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese
intervalo está dada por:

12. El movimiento de una partícula en el plano está definido por la siguiente función
vectorial: ~r1(t) = (4 cost, 4 sen t), 0 ≤ t ≤ 2π Graficar la curva imaginaria que
describe la partícula al moverse, indicando los puntos inicial y final así como el
sentido del recorrido. b) Si el movimiento está representado por ~r2(t) = (−4
sen(2t), 4 cos(2t)), con 0 ≤ t ≤ 2π, ¿cuál es la curva determinada? Compare con el
caso
Las funciones componentes son x1(t) = 4 cost e y1(t) = 4 sen t. Si para algunos valores
de t situamos en el plano los puntos P (x1(t), y1(t)), o sea P (4 cost, 4 sen t), su
ubicación parece indicarnos que la curva es una circunferencia (evalúe ~r1(t) en t = π 4
, π 2 , π, 3π 2 ). Si eliminamos el parámetro t entre las ecuaciones x = x1(t), y = y1(t),
obtenemos la ecuación cartesiana de la curva. Para ello, en este caso conviene sumar
las componentes al cuadrado para eliminar el parámetro, entonces queda: x 2 + y 2 =
[x1(t)]2 + [y1(t)]2 = (4 cost) 2 + (4 sen t) 2 = 16 cos2 t + 16 sen2 t = 16(cos2 t + sen2 t) =
16 luego x 2 + y 2 = 42 . Vemos así que el punto P (x1(t), y1(t)), con t ∈ [0, 2π], está en
la circunferencia de radio 4 centrada en el origen. Notar que en este ejemplo el
parámetro t corresponde al ángulo entre el semieje +x y el vector −−→OP, como se ve
en la Figura 4(a). El punto inicial de la curva es A1(4, 0); a medida que el parámetro
aumenta desde 0 hasta 2π, el punto P (4 cost, 4 sen t) da una vuelta a la circunferencia
en sentido “antihorario”, esto es contrario al movimiento de las agujas de un reloj.

13. Si eliminamos el parámetro como hicimos en el inciso anterior, tenemos: x 2 + y 2 =
[x2(t)]2 + [y2(t)]2 = [−4 sen(2t)]2 + [4 cos(2t)]2 = 16 sen2 (2t) + 16 cos2 (2t) = 16 luego x
2 + y 2 = 42 . O sea que la gráfica de la curva nuevamente es la circunferencia de radio
4 centrada en el origen. Notar que ahora el parámetro t corresponde a la mitad del
ángulo entre el semieje +y y el vector −−→OP, como se ve en la Figura 4(b). La curva
parametrizada por ~r2(t) comienza en A2(0, 4) y termina en ese mismo punto después
de haber girado dos veces sobre la circunferencia en sentido antihorario

14. Dibuje la curva definida por las ecuaciones paramétricas x = t 2 , y = t + 1, -q 6 t 6 q.
Solución Elaboramos una pequeña tabla de valores (tabla 11.1), graficamos los
puntos (x, y) y trazamos una curva suave que pase por ellos (figura 11.2). A cada valor
de t corresponde un punto (x, y) sobre la curva; por ejemplo, a t = 1 le corresponde el
punto (1, 2) registrado en la tabla 11.1. Si pensamos que la curva es la trayectoria de
una partícula en movimiento, entonces, la partícula se desplaza a lo largo de la curva
en la dirección de las echas que se muestran en la gura 11.2. Si bien los intervalos de
tiempo son iguales en la tabla, los puntos consecutivos trazados a lo largo de la curva
no están a las mismas distancias sobre el arco de la curva. La razón es que la
partícula reduce su velocidad mientras se aproxima al eje y a lo largo de la rama
inferior de la curva conforme t aumenta, y luego acelera después de alcanzar el eje y
en (0, 1) desplazándose a lo largo de la rama superior. Como el intervalo de valores
para t está compuesto por números reales, no existe un punto inicial ni uno nal de la
curva. n

15. Si x y y están expresadas como funciones x = f(t), y =
g(t) en un intervalo I de valores t, entonces, el
conjunto de puntos (x, y) = (f(t), g(t)) de- nido por
estas ecuaciones es una curva paramétrica. Las
ecuaciones son ecuaciones paramétricas de la curva

16. Un arco es una parte de la circunferencia de un círculo.[1] La longitud de un arco es la
distancia de un extremo al otro. Para encontrar la longitud de un arco, debes conocer un
poco sobre la geometría de un círculo. Debido a que el arco es una parte de la
circunferencia, si conoces qué fracción de 360 grados comprende el ángulo central del
arco, podrás encontrar fácilmente la longitud.
donde ”r” es igual al radio del círculo
Reemplaza la longitud del radio en la fórmula. Se te debe haber
dado esta información o debes poder medir la longitud. Asegúrate
de reemplazar la variable ”r” por este valor.
•Por ejemplo, si el radio del círculo mide 10 cm, la fórmula se verá
así:

17. Reemplaza en la fórmula el valor del ángulo central del arco. Se te
debe haber dado esta información o debes poder medir el ángulo. Al
usar esta fórmula, asegúrate de trabajar con grados y no con radianes.
Reemplaza el ángulo alpha por la medida del ángulo central en la
fórmula.
•Por ejemplo, si el ángulo central del arco mide 135 grados, la fórmula
se verá así:
Multiplica el radio por 2/pi. Si no vas a usar una
calculadora,
Divide el ángulo central del arco entre 360.
Debido a que un círculo tiene 360 grados en
total, este cálculo te da la fracción del círculo
que representa el arco. Usando esta
información, puedes encontrar qué fracción de
la circunferencia representa la longitud del
arco.

18. La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional consiste en
n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente o
parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del
espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma

19. Ecuaciones paramétricas de la recta conocidos un punto y un vector director
Las ecuaciones paramétricas de cualquier recta r se obtienen por medio de la
siguiente expresión:
{x=a1+λ⋅v1y=a2+λ⋅v2 λ∈R
Donde:
x e y son las coordenadas de cualquier punto P(x,y) de la recta.
a1 y a2 son las coordenadas de un punto conocido de la recta A(a1,a2).
v1 y v2 son las componentes de un vector director v→=(v1,v2) de r.
λ es un valor real que determina cada coordenada P(x,y) dependiendo del valor que
se le asigne.
Cualquier recta r que puedas dibujar sobre una hoja de papel puede ser
determinada analíticamente por medio de punto A que forme parte de dicha recta
y una dirección que se puede expresar mediante un vector no nulo v→ .

20. Como puedes observar en la figura r se trata de
una recta que pasa por el punto A y cuya
dirección viene dada por el vector v→.
El vector encargado de determinar la dirección de la recta recibe el nombre de
vector director y como podrás imaginar este no es único ya que cualquier vector
paralelo a este nos sirve también para determinar la dirección de la recta. De esta
forma, si v→ es un vector director de la recta r, también lo serán cualquier múltiplo
de v→ (λ⋅v→ λ∈R).

21. Las ecuaciones paramétricas como observamos tienen varios usos en
diferentes campos de las geociencias, y nos permiten infinidad soluciones, y
en un futuro gracias a las ecuaciones paramétricas podemos hacer varios
cálculos en la vida cotidiana ya sea para la mejora de la vida de toda una
ciudad como la facilitación de otra.
CONCLUSIÓN

22. ANEXOS
• https://www.youtube.com/watch?v=UVqs1dat91g
•
https://www.youtube.com/watch?v=26
0mM5wkQR4

23. • https://www.youtube.com/watch?v=gWz1HHNiaVQ