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PLATÃOPLATÃO
ZENOZENO
PTOLOMEUPTOLOMEU
Cubo
Terra
Tetraedr
o
Fogo
Octaedro
Ar
Icosaedro
Água
Dodecaedr
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O Universo
DUALIDADEDUALIDADE
Qualquer um dos cinco poliedros regulares pode serQualquer um dos cinco poliedros regulares pode ser
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tetraedro truncadotetraedro truncado
cubo truncadocubo truncado
POLIEDROS DE ARQUIMEDESPOLIEDROS DE ARQUIMEDES
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RombicuboctaedroRombicuboctaedro
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Da mesma forma, se aplicarmos esse "truncamento mo...
Cubo achatadoCubo achatado Dodecaedro achatadoDodecaedro achatado
Estes não podem ser obtidos por truncamentos desse tipo....
Sólidos de Arquimedes v a f3 f4 f5 f6 f8 f10
Tetraedro truncado 12 18 4 - - 4 - -
Cubo truncado 24 36 8 - - - 6 -
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Os sólidos de Platão
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Os sólidos de Platão

  1. 1. • Discípulo de SócratesDiscípulo de Sócrates • Juntou-se a EuclidesJuntou-se a Euclides • Política e Filosofia PolíticaPolítica e Filosofia Política • Fundou AcademiaFundou Academia
  2. 2. PLATÃOPLATÃO ZENOZENO PTOLOMEUPTOLOMEU
  3. 3. Cubo Terra
  4. 4. Tetraedr o Fogo
  5. 5. Octaedro Ar
  6. 6. Icosaedro Água
  7. 7. Dodecaedr o O Universo
  8. 8. DUALIDADEDUALIDADE Qualquer um dos cinco poliedros regulares pode serQualquer um dos cinco poliedros regulares pode ser inscrito numa superfície esférica. O fato surpreendente é que, aoinscrito numa superfície esférica. O fato surpreendente é que, ao imaginarmos o plano tangente à respectiva superfície esférica emimaginarmos o plano tangente à respectiva superfície esférica em cada um dos vértices e tomarmos esses planos como os planos dascada um dos vértices e tomarmos esses planos como os planos das faces de um novo poliedro, este será também platônico. Logo,faces de um novo poliedro, este será também platônico. Logo, podemos verificar que, ao partirmos de um tetraedro, obtemos umpodemos verificar que, ao partirmos de um tetraedro, obtemos um novo tetraedro. Se partirmos de um cubo, obtemos um octaedro enovo tetraedro. Se partirmos de um cubo, obtemos um octaedro e vice-versa. Finalmente, partindo de um dodecaedro, obtemos umvice-versa. Finalmente, partindo de um dodecaedro, obtemos um icosaedro e vice-versa. Dizemos então que o cubo e o octaedro,icosaedro e vice-versa. Dizemos então que o cubo e o octaedro, assim como o dodecaedro e o icosaedro, sãoassim como o dodecaedro e o icosaedro, são poliedros duaispoliedros duais.. Além disso, o tetraedro é dual de si próprio.Além disso, o tetraedro é dual de si próprio.
  9. 9. tetraedro truncadotetraedro truncado cubo truncadocubo truncado POLIEDROS DE ARQUIMEDESPOLIEDROS DE ARQUIMEDES octaedro truncadooctaedro truncado
  10. 10. dodecaedro truncadododecaedro truncado icosaedro truncadoicosaedro truncado
  11. 11. cuboctaedrocuboctaedro IcosidodaedroIcosidodaedro cuboctaedro truncadocuboctaedro truncado Icosidodaedro truncadoIcosidodaedro truncado
  12. 12. RombicuboctaedroRombicuboctaedro RombicosidodecaedroRombicosidodecaedro Da mesma forma, se aplicarmos esse "truncamento modificado"Da mesma forma, se aplicarmos esse "truncamento modificado" (ou seja, truncar e depois substituir os retângulos por quadrados)(ou seja, truncar e depois substituir os retângulos por quadrados) aos dois últimos sólidos que apresentamos, obteremos osaos dois últimos sólidos que apresentamos, obteremos os seguintes poliedros:seguintes poliedros:
  13. 13. Cubo achatadoCubo achatado Dodecaedro achatadoDodecaedro achatado Estes não podem ser obtidos por truncamentos desse tipo. A característica maisEstes não podem ser obtidos por truncamentos desse tipo. A característica mais surpreendente desses dois poliedros é que eles não têm planos de simetria. Porsurpreendente desses dois poliedros é que eles não têm planos de simetria. Por outro lado, cada um deles possui duas formas, onde cada uma é imagem deoutro lado, cada um deles possui duas formas, onde cada uma é imagem de espelho da outra.espelho da outra.
  14. 14. Sólidos de Arquimedes v a f3 f4 f5 f6 f8 f10 Tetraedro truncado 12 18 4 - - 4 - - Cubo truncado 24 36 8 - - - 6 - Octaedro truncado 24 36 - 6 - 8 - - Cuboctaedro 12 24 8 6 - - - - Rombicuboctaedro 24 48 8 18 - - - - Cuboctaedro truncado 48 72 - 12 - 8 6 - Cubo achatado 24 60 32 6 - - - - Dodecaedro truncado 60 90 20 - - - - 12 Icosaedro truncado 60 90 - - 12 20 - - Icosidodecaedro 30 60 20 - 12 - - - Rombicosidodecaedro 60 120 20 30 12 - - - Icosidodecaedro truncado 120 180 - 30 - 20 - 12 Dodecaedro achatado 60 150 80 - 12 - - -

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