Circuitos combinatorios y algebra boole, concepto y ejemplos

1. Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Porlamar
Sección: Saia – Estructura Discreta y Grafos
Ingeniería en Sistemas
Circuitos
Combinatorios Y
Algebra Booleana
Realizado Por: Juan Velásquez C.I: 23.770.791
Porlamar 13 de Agosto de 2016

2. Circuitos Combinatorios
Un circuito combinatorio es un arreglo de compuertas lógicas con un
conjunto de entradas y salidas.
Está representado por una función booleana y sigue las reglas del algebra de
Boole. Los circuitos combinatorios se pueden definir como la realización
física de una función booleana. La aplicación básica del algebra de Boole
son los circuitos combinatorios.
Se utilizan para resolver problemas en los cuales se requiere de una
combinación especifica de algunas entradas para obtener otras salidas
determinadas.
Pueden describirse mediante una tabla de verdad que muestre la relación
binaria entre las n variables de entradas y las m variables de salidas. Puede
especificarse también con m funciones booleanas, una por cada variable de
salida.

3. Propiedades de los Circuitos
Combinatorios

5. Ejemplo de Circuito
Combinatorio
Para obtener un circuito combinacional óptimo, se sigue el proceso general siguiente:
1.- Dado el enunciado del problema, establecemos su "tabla de verdad".
2.- A partir de esta tabla, obtenemos la función canónica en minterms o en
maxterms.
3.- A continuación simplificamos dicha función, bien en forma algebráica (aplicando
teoremas y postulados del Algrebra de Boole) o bien mediante la aplicación de
métodos tabulares sencillos (métodos de Karnauh o de McCluskey).
4.- Finalmente, realizamos la función simplificada mediante las oportunas puertas
lógicas.

6. Método de Karnaugh
Es un método tabular gráfico que se basa en los llamados "mapas de Karnaugh",
consistentes en una tabla de cuadros, cada uno de los cuales representa un término
canónico. Estos cuadros están distribuidos de tal modo que cualquiera dos de ellos
contiguos físicamente, corresponden a términos canónicos adyacentes.
Ejemplo:
f4 (d,c,b,a) = 34 (1,3,7,8,11,13,15)
Simplificando por minterm, es...
f4 (d,c,b,a) = dcba + dca + dca + ba = dcba + a(dÅc+b)
Pasando a maxterms...
f4 (d,c,b,a) = J4 (1,3,5,6,9,10,11,13,15)
Simplificando por maxterm es...
f4 (d,c,b,a) = (d+a)(c+a)(d+c+b)(b+a)(d+c+b+a) = (dcb+a)(d+c+b)(d+c+b+a)

7. Algebra Booleana
Álgebra de Boole (también llamada álgebra booleana), Es una estructura
algebraica que esquematiza las operaciones lógicas:
 Y, O, NO y SI (AND, OR, NOT, IF).
Así como el conjunto de operaciones:
 Unión
 Intersección
 Complemento

8. Propiedades de Algebra
Booleana
Un sistema de elementos B y dos operaciones binarias cerradas (·) y (+) se denomina
ALGEBRA de BOOLE siempre y cuando se cumplan las siguientes propiedades:
1.- Propiedad conmutativa:
A + B = B + A
A · B = B · A
2. Propiedad distributiva:
A·(B+C) = A·B + A·C
A + B·C = (A+B)·(A+C)
3. Elementos neutros diferentes
A + 0 = A
A · 1 = A
4. Siempre existe el complemento de A, denominado A’
A + A’ = 1
A · A’ = 0

9. Ejemplo de Ejercicio Funciones
Booleanas
1.-Demostrar que cada aserción o identidad algebraica deducible de los
postulados del álgebra de Boole sigue siendo válida si las operaciones " + " y " .
" y los elementos identidad (1 y 0) se intercambian entre si.
Tomando los postulados (a) de Huntigton e intercambiando en ellos los
operadores y elementos identidad resulta:
Respuesta :
Tomando los postulados (a) de Huntigton e intercambiando en ellos los operadores
y elementos identidad resulta:

10. 1 a) a + b = b + a ⇔ a . b = b . a
(
1
b
2 a) a + 0 = a ⇔ a . 1 = a
(
2
b
3 a) a + (b . c) = (a + b) . (a + c) ⇔ a . (b + c) = (a .b) + (a . c)
(
b
4 a) a + a’ = 1 ⇔ a . a’ = 0
(
4
b
Es decir, que a partir de los postulados (a) se obtienen los postulados (b).
Esto demuestra lo que nos habíamos propuesto.

11. 2.- Demostrar que para todos los elementos a, b, c de un álgebra de Boole
se verifican los siguientes teoremas:
Idempotencia: a + a = a ; a . a = a
Elemento unidad: a + 1 = 1 ; a . 0 = 0
Absorción : a + (a . b) = a ; a . (a + b) = a
Asociatividad: a + (b + c) = (a + b) + c ; a . (b . c) = (a . b) . c
Complemento único: El elemento a' asociado al a es único
Involución: (a')' = a
En cualquier álgebra
booleana:
0' = 1 ; 1' = 0
Leyes de Morgan (a + b)' = a' . b' ; (a . b)' = a' + b'
Relación de orden: si a ≤ b ⇒ a' + b = 1 ; si a ≤ b ⇒ a' . b = 0
Sobre conjuntos: Cada álgebra booleana que pueda formarse es isomorfa al álgebra de conjuntos.

12. Respuesta:
En los casos que precede solo demostraremos una parte de cada teorema,
deduciendo la otra del principio de dualidad.
Idempotencia
Por los axiomas 4b y 2a tenemos :
a + 0 = a + (a . a' ) = a
y aplicando el axioma 3 a :
a + (a . a' ) = (a + a) . (a + a') = a
Finalmente, por los axiomas 4 a y 2 b :
(a + a) . (a + a') = (a + a) . 1 = a + a = a
Demostrado
Elemento unidad
Partiendo del axioma 2 b y aplicando también los axiomas 3 a, 2 b y 4 a, tenemos :
1 + a = 1 . (1 + a) = (a + a') . (1 + a) = a + a' . 1 = a + a' = 1
Demostrado.

13. Absorción
Aplicando los axiomas 2b y 3b, el teorema anterior y el axioma 3b de nuevo
a + a.b = a.l + a.b = a(l + b) = a.l = a
Demostrado
Asociatividad
Para este teorema demostraremos antes que se cumple:
a[(a + b) + c] = [(a + b) + c]a = a
Esto es : (por el postulado 3b) :
a[(a+b) + c] = a(a+b) + a.c = a + a.c = a = [(a+b) + c]a
donde hemos aplicado reiteradamente el teorema de absorción y finalmente el
axioma de conmutatividad.

14. Con el anterior resultado supongamos que se tiene:
x = [(a+b) + c] . [a + (b + c)]
aplicando los axiomas de distributividad nos queda :
[(a+b)+c]a+[(a+b)+c].(b+c)=a+[(a+b)+c].(b.c)
donde hemos aplicado el resultado anterior. Aplicando de nuevo la distributividad,
e1resultado anterior y el teorema de absorción :
a+[(a+b)+c].b+[(a+b)+c].c=•=a+b+[(a+b)+c].c=a+(b+c)
Por otro lado, aplicando los axiomas de distributividad, el resultado anterior y el
teorema de absorción, tenemos también :
x=[(a+b)+c].[a+(b+c)]==(a+b)[a+(b+c)]+c[a+(b+c)]==(a+b)[a+(b+c)]+c==a[a+(b+c
)]+b[a+(b+c)]+c=(a+b)+c
Por todo ello, teniendo en cuenta la propiedad transitiva de la igualdad:
a + (b + c) = (a + b) + c
Demostrado.

15. Elemento único
Para demostrar que el complemento definido por el postulado 4 es único, supongamos
que existen dos elementos a'1 y a'2 que lo satisfacen. Esto es :
a + a'1 = 1 ;a + a'2 = 1 ; a.a'1 = 0 ; a.a'2 = 0
por los postulados 2b y 3b tendremos :
a′2=1.a′2=(a+a′1).a′2=a.a′2+a′1.a′2=0+a′1.a′2=•=a.a′1+a′1.a′2=(a+a′2).a′1=1.a′1+a′1
Demostrado.
Involución
Para demostrar el teorema de involución tenemos :
(a')' . a' = 0 ; (a')' + a' = 1
a . a' = 0 ; a + a' = 1
en consecuencia, tanto (a')' como a son complementos de a' por lo que, teniendo en
cuenta el teorema anterior, se deberá cumplir :
(a')' = a
Demostrado.

16. Propiedad de los elementos identidad de un álgebra de Boole
Teniendo en cuenta los axiomas 2 y 4 :
1' = 1' . 1 = 0 ; 0' = 0'+ 0 = 1
Demostrado.
Leyes de Morgan
Para demostrar las leyes de Morgan tenemos en cuenta que el complementario de
cualquier elemento de un álgebra de Boole es único. Tenemos :
(a+b)⋅(aˉ⋅bˉ)=a⋅(aˉ⋅bˉ)+b⋅(aˉ⋅bˉ)=•=(a⋅aˉ)⋅bˉ+(b⋅bˉ)⋅a=0+0=0
donde hemos aplicado el axioma de distributividad y el de conmutatividad y los
teoremas de asociatividad y elemento unidad.
(a+b)+(aˉ⋅bˉ)=(a+b+aˉ)⋅(a+b+bˉ)= =[(a+aˉ)+b]⋅[a+(b+bˉ)]=(1+b)⋅(a+1)=1
donde hemos aplicado los axiomas de distributividad conmutatividad y
complementación y el teorema del elemento unidad.
Puesto que (aˉ⋅bˉ) cumple los axiomas requeridos para ser el complementario de
(a+b) y éste debe ser único, hemos llegado donde queríamos.
Demostrado.

17. Relación de orden
Veamos ahora si la ecuación a' + b = 1 define una relación de orden :
Reflexiva : ∀a∈B⇒a′+a=1⇒aRa
Antisimétrica : Si a′+a=1∧a′+b=1⇒a=b por el complemento único.
Transitiva : Si aRb⇒a′+b=1ya′ es el complementario de b y si bRc⇒b′+c=1 y c es
el complementario de b'
De lo anterior se deduce:
c = b ⇒ a' + c = 1 ⇒ a R c
La implicación recíproca (a ≤ b ⇒ a' + b = 1 ) es trivial.
Demostrado

18. Sobre conjuntos
Para demostrar el último apartado consideramos las relaciones:
∩↔′⋅′;∪↔′+′;∅↔0;E↔1;C(S)↔S′
con esta transformación se comprueba fácilmente que el álgebra de conjuntos cumple
los postulados de Huntington y, en consecuencia, es un álgebra de Boole.
Demostrado.