1. 1

2. MAPA DE NAVEGACIÓN
LOGARITMOS
Índice
Objetivos
específicos
Ejemplos
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
Objetivo 1
Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
Objetivos y Teoría
Ejercicios
resueltos

3.  Objetivo general.
 Objetivos Específicos
 Ejemplos
 Ejercicios Resueltos
3
Inicio

4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
1.-Reconocerás las necesidades que motivaron el descubrimiento de los
logaritmos y valorarás su importancia y utilidad en el desarrollo de las
matemáticas aplicadas (Este objetivo no se desarrolla en la
Presentación. Puedes verlo en los Apuntes correspondientes a esta
Unidad).
2.- Reconocerás la definición de logaritmo.
3.- Recordarás la diferencia entre los logaritmos naturales
y los logaritmos base diez.
4.- Recordarás las propiedades generales de los logaritmos. 4

5. 5.-Recordarás las leyes de las operaciones con
logaritmos.
6.-Recordarás el procedimiento para cambiar
logaritmos de una base a otra.
7.-Resolverás ecuaciones que involucren logaritmos.
8.-Aplicarás logaritmos en la resolución de problemas
de casos reales.
5
Índice

6. Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
6
Índice

7. Objetivo 2
Objetivo 3
Objetivo 4
Objetivo 5
Objetivo 6
Objetivo 7
Objetivo 8
7
Índice

8. Al terminar esta Unidad comprenderás la
importancia histórica de los logaritmos y resolverás
ejercicios y problemas en los que apliques los
logaritmos y sus leyes.
8
Índice

9. OBJETIVO 2
La definición de logaritmo es la siguiente:
Para todos los números positivos a, donde ,
En palabras, el logaritmo del número x en la base
a es el exponente al que debe elevarse la base a
para obtener el número x.
9
1
a 
log significa y
a
y x a x
 

10. En la expresión la palabra log es una abreviatura
de la palabra logaritmo, la letra a representa la
base y la letra x representa el número cuyo
logaritmo se desea obtener.
Por ejemplo, escribir significa . Aquí, el logaritmo
es 2, la base es 10 y el número cuyo logaritmo se
desea es 100. En otras palabras, el logaritmo 2 es
el exponente al que hay que elevar la base, 10,
para obtener el número 100.
10

11. la siguiente figura se ilustra la relación entre la
notación de logaritmos y la notación exponencial:
Logaritmo Número
Exponente
Base Número
Base
11
loga
y x

y
x a

Objetivos
específicos

12. OBJETIVO 2 .- EJEMPLOS
Las siguientes expresiones exponenciales y logarítmicas son equivalentes:
0
10
10 1 log 1 0
 
1.)
2
4
4 16 log 16 2
 
2.)
5
1
2
1 1 1
log 5
2 32 32
 
 
 
 
3.)
2
5
1 1
log 2 5
25 25

  
4.)
4
3
log 81 4 3 81
 
5.)
12

13. IDENTIDADES
 Como consecuencias de la definición de logaritmo,
se pueden deducir estas identidades:

 Si a > 0 y a ≠ 1, entonces

1.)
2.)
13
log x
a a x

log
( 0)
a x
a x x
 

14. EJEMPLOS IDENTIDADES
14
5
6
log 6 5

1.)
6
log 6x
x

2.)
3
log 7
3 7

3.)
 
5
log
5 0
x
x x
 
4.)
Ejemplos

15. OBJETIVO 2.- EJERCICIOS RESUELTOS
15
a.) Escribe la forma logarítmica de las expresiones dadas en forma exponencial.
1.) 6
2 64

La base es 2 y el exponente es 6, por lo que 2
log 64 6

2.)
3
1 1
5 125
 

 
 
La base es 1
5
y el exponente es 3, de modo que 1
5
1
log 3
125

3.) 4 1
2
16


La base es 2 y el exponente es – 4, así que 2
1
log 4
16
 

16. 16
b.) Escribe la forma exponencial de las expresiones dadas en forma logarítmica.
4.) 6
log 36 2

La base es 6 y el logaritmo es 2, por lo que 2
6 36

5.) 3
log 243 5

La base es 3 y el logaritmo es 5, así que 5
3 243

6.) 1
3
1
log 4
81

La base es 1
3
y el logaritmo es 4, de modo que
4
1 1
3 81
 

 
 

17. 17
c.) Escribe en forma exponencial y determina el valor de la incógnita.
7.) 5
log 25
y 
En forma exponencial: 5 25
y

Como 2
5 25
 , entonces 2
y 
8.) 2 log 16
a

En forma exponencial: 2
16
a 
Como 2
4 16
 , queda 4
a 
9.) 1
2
3 log x

En forma exponencial:
3
1
2
x
 

 
 
Entonces,
1
8
x 
Ejercicios
resueltos

18. OBJETIVO 3
Los logaritmos de base 10 se conocen como
logaritmos comunes o logaritmos de Briggs,
Éste es el sistema de logaritmos que se utiliza,
principalmente, para realizar operaciones
aritméticas.
18

19. En este tipo de logaritmos los números como 10,
100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001, etcétera, es decir las
potencias de diez, tienen como logaritmos a
números enteros, y cualquier otro número tiene
como logaritmo a un número entero más una
fracción. El logaritmo común de x se denota como
.
19
log x
Objetivos
específicos

20. OBJETIVO 3.- EJEMPLOS
20
1.) log100 2

2.) log0.0001 4
 
3.) log5 0 0.698970...
 
4.) log0.5 1 0.698970...
  

21. A la parte entera de un logaritmo común se le
conoce como característica y a la parte fraccionaria
como mantisa.
21

22. Otro sistema de logaritmos, muy importante por su
uso, es el de los logaritmos naturales, o logaritmos
neperianos, que tiene como base el número
irracional e = 2.71828.... ; el logaritmo natural de x
se representa por ln x.
22

23. EJEMPLOS
ln 1
e
1.)
5
ln 5
e 
2.)
ln6 1.791759...

3.)
ln0.6 0.510823...

4.)
23
Como es de esperarse, en este tipo de logaritmos los
números que tienen logaritmos enteros son las potencias
de e.

24. Los logaritmos naturales se generaron para el
estudio de cuestiones teóricas en el cálculo
diferencial e integral, y para la descripción de
fenómenos naturales,
24

25. por ejemplo, para determinar la longitud de la
trayectoria de un proyectil; la cantidad de trabajo
hecho por un gas que se expande; el tiempo que
requiere un objeto caliente para enfriarse a una
temperatura dada; el tiempo necesario para que
una colonia de bacterias crezca a un tamaño dado,
entre otras muchas. 25
Ejemplos

26. OBJETIVO 3.- EJERCICIOS RESUELTOS
26
Con ayuda de unas tablas o una calculadora, encuentra los logaritmos comunes y los
logaritmos naturales de los números que se proponen:
1.) 3
log3 0.477121...

ln3 1.098612...

2.) 300
log300 2.477121...

ln3 5.703782...


27. 27
1
3.)
30
1
log 1.477121...
30
 
1
ln 3.401197...
30
 
4.) 30,000
log30,000 4.477121...

ln30,000 10.308953...

Ejercicios
resueltos

28. OBJETIVO 4
Las propiedades generales de cualquier sistema
de logaritmos son:
1. La base tiene que ser un número positivo
diferente de 1.
2. El cero y los números negativos no tienen
logaritmo.
3. El logaritmo de la base es 1.
28

29. 4. El logaritmo de 1 es cero.
5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo
positivo.
6. Los números comprendidos entre cero y 1 tienen
logaritmo negativo.
29

30. En el cálculo avanzado, con la introducción de los
números complejos y las funciones que tienen
dominios complejos, algunas de estas restricciones
desaparecen, pero se anotan aquí para fines
prácticos de nivel básico.
30
Objetivos
específicos

31. OBJETIVO 4.- EJEMPLOS
31
4 11
1.) log log no existen, porque las bases son negativas.
x y a
 
   
2
2.) ln 34 log 0.75 no existen puesto que son números negativos.
y
 
7 15 0.443
3.) log 7 1, log 15 1, log 0.443 1
  
3 5
7
4.) log1 ln1 log 1 log 1 0
   
5.) log67 1.826075..., log321 2.506505, ln92.1 4.522875...
  
2
6.) ln0.79 0.235722..., log 0.176091..., ln0.443 0.814186...
3
     
Ejemplos

32. OBJETIVO 4. EJERCICIOS RESUELTOS
32
Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0
si ése es su valor, y una P si es positivo (diferente
de 1) o una N si es negativo.
 
1.) ln0
 
X
 
5
2.) log 73
 
P
   
2
3
3.) log
4

 
X

33. Escribe una X si el logaritmo no existe, un 1 o un 0 si
ése es su valor, y una P si es positivo (diferente de
1) o una N si es negativo.
33
 
12
4.) log 12
 
1
 
9
5.) log 1

 
X
 
1
6.) log 18
 
X
   
3
7.) log 0.11
 
N
Ejercicios
resueltos

34. OBJETIVO 5. RECORDARÁS LAS LEYES DE LAS OPERACIONES
CON LOGARITMOS.
Ley del producto:
En cualquier sistema de logaritmos, para los
números positivos x, y se cumple que
Ley del cociente:
En cualquier sistema de logaritmos, para los números
positivos x, y se cumple que
34
log log log
a a a
x y xy
 
log log log
a a a
x
x y
y
 

35. Ley de la potencia:
 En cualquier sistema de logaritmos, para el número
positivo x y para cualquier número n, se cumple
que
Las demostraciones de estas leyes son sencillas si
se recurre a la notación exponencial. Por ejemplo,
para demostrar la regla del cociente basta
considerar que si
35
 
log log n
a a
n x x

log , y log
a a
x p y q
 

36. Entonces
como:
resulta que:
Las otras dos leyes se demuestran en forma similar y
su aplicación es directa.
36
y
p q
a x a y
 
p
p q
q
x a
a
y a

 
log
log log log
x
p q
y
x
x y
y
 
 
Objetivos
específicos

37. OBJETIVO 5.- EJEMPLOS
37
 
4 4 4 4
log 3 log 5 log 3 5 log 15
  
1.)
6 6 6
7
log log 7 log 8
8
 
2.)
ln ln 4 ln
4
x
x
 
   
 
3.)
   
5 5 5
12
log log 12 log 3
3
x
x y
y
 
 
 
 
4.)
   
5 5 5 5
log 12 log log 3 log
x y
   
5 5 5 5
log 12 log log 3 log
x y
   

38. 38
 
3
2 2 2
3log 5 log 5 log 125
 
5.)
   
3
3 2
2
4
log log 4 log
y
y x
x
 
6.)
   
3 2
log4 log log
y x
  
 
log4 3log 2log
y x
  
log 4 3log 2log
y x
  
Ejemplos

39. OBJETIVO 5 EJERCICIOS RESUELTOS
a.) Demuestra la ley del producto para los logaritmos.
39
log
log
p
a
q
a
x p x a
y q y a
  
  
p q p q
xy a a a 
 
log log log
xy p q x y
    

40. b.) Aplica las leyes de los logaritmos para desarrollar
las siguientes expresiones:
40
3
1.) log
2
x
x 
 
3 3
log log 2
x x
  
2
9
2.) log 4x
  9
2 log 4
x
 
5
3.) log 12
 
1
2
5
log 12

5
1
log 12
2


41. 41
 
4
4.) log 2 3 7

 
4log 2 3 7
 
 
4 log2 log3 log7
  
2
3
2
5.) log
2
x
y
 
 
 
2
3
2
log
2
x
y
 
  
 
2
2
log
3 2
x
y
 
  
 
 
2 2
2
log log 2
3
x y
 
 
2 2 2
2
log log 2 log
3
x y
  

42. c.)Aplica las leyes de los logaritmos para reducir las
expresiones:
42
6.) 2 log 2 log
x y

2 2
log log
x y
 
2 2
log x y

7.) ln ln ln
a b c
 
 
ln ln ln
a b c
  
ln ln
a bc
 
ln
a
bc
 
  
 

43. 43
3 3
2 3
8.) log log
5 5
a b

3
2
5 5
3 3
log log
a b
 
3
2
5 5
3
log a b

 
1
2 3 5
3
log a b

5 2 3
3
log a b

 
7 7
9.) log log 3
x y
 
7
log
3
x y


10.) log 2log log
x y z
 
2
log log log
x y z
  
2
log
xz
y


44. d.) Sabiendo que log 2 = 0.301030...; log 3 =
0.477121...; log 5 = 0.698970... y log 7 =
0.845098...; calcula, utilizando sólo estos valores,
los siguientes logaritmos:
44
11.) log 4
2log 2

 
2 0.301030...

0.602060...


45. 45
12.) log 42
 
log42 log 2 3 7

log2 log3 log7
  
     
0.301030... 0.477121... 0.845098...
  
1.623249...

13.) log 2.5
5
log2.5 log
2

log5 log2
 
0.698970... 0.301030...
 
0.397940...

3
14.) log
7
3 1 3
log log
7 2 7

 
1
log3 log7
2
 
 
1
0.477121... 0.845098...
2
 
 
1
0.367977...
2
 
0.183989...
 
Ejercicios
resueltos

46. OBJETIVO 6 RECORDARÁS EL PROCEDIMIENTO PARA
CAMBIAR LOGARITMOS DE UNA BASE A OTRA.
El concepto de cambio de base se deriva de la
definición de logaritmo.
Para entender mejor el procedimiento se presenta
un ejemplo: Se trata de encontrar el logaritmo de
39 en base 2, a partir de su logaritmo en base 10.
Para ello, se plantea la incógnita a encontrar, x:
46
2
log 39
x 

47. o, por la definición de logaritmo
al aplicar el logaritmo (base 10) en la expresión
anterior y tomando en cuenta la ley de la potencia,
se obtiene
y resulta que:
47
2 39
x

 
log 2 log 2 log39
x
x
 
log 39
log 2
x 

48. 48
de donde se puede encontrar x con ayuda de tablas o de una calculadora,
log39 1.591065...
5.285402...
log2 0.301030...
x  
de modo que
2
log 39 5.285402...

El procedimiento anterior se puede generalizar fácilmente para mostrar que:
log
log
log
a
b
a
x
x
b

que es la expresión que permite encontrar el logaritmo de un número x en la base b si se
conocen el logaritmo de ese mismo número y el de b, en cualquier otra base.
Objetivos
específicos

49. OBJETIVO 6.- EJEMPLOS
1.) Para obtener , sabiendo que , se aplica la fórmula
indicada:
2.) Para obtener log 0.35, sabiendo que ln 0.35 = –
0.049822... y ln 10 = 2.302585..., de acuerdo con la
fórmula dada se calcula:
49
3
7
3
log 81 4
log 81 2.258300...
log 7 1.771244...
  
ln 0.35 1.049822...
log 0.35 0.455932...
ln10 2.302585...

   

50. 3.) Para obtener ln 5.76, sabiendo que log 5.76 =
0.760422... y log e = 0.434294..., se procede igual
que en los casos anteriores:
50
log 5.76 0.760422...
ln 5.76 1.750938...
log 0.434294...
e
  
Ejemplos

51. OBJETIVO 6.- EJERCICIOS
51
Obtén los valores de los logaritmos que se solicitan, a partir de los que se dan.
2
1.) log 5 si log5 0.698970... y log2 0.301030...
 
2
log5
log 5
log2

0.698970...
0.301030...

2.321929...


52. 52
2.) ln72 si log72 1.857333... y log 0.434294...
e
 
log72
ln 72
loge

1.857333...
0.434294...

4.276666...

5 3 3
3
3.) log 14 si log 7 1.771244..., log 2 0.630930...
y log 5 1.464974...
 

3
5
3
log 14
log 14
log 5

3 3
3
log 7 log 2
log 5


1.771244... 0.630930...
1.464974...


2.402174...
1.464974...

1.464974...

Ejercicios
resueltos

53. OBJETIVO 7. - RESOLVERÁS ECUACIONES QUE
INVOLUCREN LOGARITMOS.
Para resolver este tipo de ecuaciones, generalmente
se deben aplicar las leyes de los logaritmos para
que la incógnita aparezca en un único logaritmo y,
luego, recurrir a la definición de logaritmo para
eliminar a éste.
53

54. El resto del procedimiento consiste en resolver la
ecuación resultante en forma usual. Sin embargo,
es necesario cuidar que la solución obtenida
respete las propiedades de los logaritmos,
particularmente la de que no existen logaritmos de
números negativos ni el logaritmo de cero.
54
Objetivos
específicos

55. OBJETIVO 7.- EJEMPLOS
55
1.) Para obtener el valor de x en la ecuación
se aplican las leyes de logaritmos para dejar:
log 4 3log 2 4log3
x  
3 4
log 4 log 2 log3
x  
   
3 4
log 2 3 log 8 81
 
log 4 log 648
x 

56. entonces, al tomar la definición de logaritmo queda
y, de aquí:
56
4 648
10 10
x

4 648
x 
648
162
4
x  

57. 57
2.) Para obtener el valor de x en la ecuación
2 2
log 3log 2
x x
 
se aplican las leyes de logaritmos y:
3
2 2
log log 2
x x
 
2 3
log 2
x
x

2 2
1
log 2
x

de acuerdo con la definición de logaritmo:
2
2
1
2 4
x
 
2
1 4x

2 1
4
x 

58. 58
A partir de esta última expresión se podrían obtener dos valores para x:
1 1
o
2 2
x x
  
pero el valor negativo no se puede aceptar, puesto que en la ecuación original se
tiene 2
log x y, como se indicó anteriormente, los números negativos no tienen
logaritmos. Por lo tanto, la solución es:
1
2
x 

59. 59
3.) Para obtener el valor de x en la ecuación
 
 
2
ln 2 4
2
ln 4
x
x



se reescribe
   
2
ln 2 4 2 ln 4
x x
  
 
 
se aplica la ley de la potencia
   
2
2
ln 2 4 ln 4
x x
  
y la definición de logaritmo para obtener que:
   
2 2
2 4 4
x x
e e
 


60. 60
entonces
   
2
2
2 4 4
x x
  
2 2
2 4 8 16
x x x
   
2
8 20 0
x x
  
De esta última se ecuación se obtiene que 2 o 10
x x
   , pero ninguno de
los dos valores puede aceptarse porque en la ecuación original el divisor
 
ln 4
x , quedaría como    
ln 2 o ln 14
  . Por tanto, la ecuación no tiene
solución (en los números reales).

61. 61
   
2
2
2 4 4
x x
  
2 2
2 4 8 16
x x x
   
2
8 20 0
x x
  
De esta última se ecuación se obtiene que 2 o 10
x x
  , pero ninguno de
los dos valores puede aceptarse porque en la ecuación original el divisor
 
ln 4
x , quedaría como    
ln 2 o ln 14
  . Por tanto, la ecuación no tiene
solución (en los números reales).
Ejemplos

62. OBJETIVO 7.- EJERCICIOS RESUELTOS
62
 
1.) log 2 4 2
x 
2
2 4 10 100
x  
2 100 4 104
x  
52
x

63. 63
   
2.) log 1 log log 9
y y y
   
   
log 1 log 9
y y y
  
   
log 1 log 9 0
y y y
   
 
 
1
log 0
9
y y
y



 
 
0
1
10 1
9
y y
y

 

   
1 9
y y y
  
2
9
y y y
  
2
9 0
y  
3 o 3
y y
  
pero la solución negativa no puede aceptarse, de modo que 3
y 

64. 64
 
3.) log 1 log 1 log 4
x x x
    
     
1 1
log 1 log 1 log 4
2 2
x x x
    
     
log 1 2log 1 log 4
x x x
    
     
2
log 1 log 1 log 4
x x x
    
 
 
 
2
1
log 1 log
4
x
x
x

 

 
2
1
1
4
x
x
x

 

    
2
1 4 1
x x x
   
2 2
3 4 2 1
x x x x
    
5
x 
Ejercicios
resueltos

65. OBJETIVO 8. APLICARÁS LOGARITMOS EN LA
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE CASOS
65
Ejercicios Resueltos
1.) Para determinar la edad de una roca, la ciencia ha
desarrollado una técnica basada en la
concentración de cierto material radiactivo en su
interior. Cuanto más joven es la roca, mayor
concentración de material radiactivo se encuentra
en ella. La ecuación que relaciona la concentración
del material con la edad de la roca es:
  3 t
C x k



66. donde representa la concentración del material
radiactivo encontrada en la roca, t la edad de la
roca (medida en cientos de años) y k la
concentración del elemento en el momento de
formarse la roca.
Suponiendo que k = 4500:
a.) ¿Qué edad tendrá una roca que tiene una
concentración de 1500 del material radiactivo?
b.) ¿Qué edad tendría que tener una roca para que
ya no tuviera el material radiactivo?
66

67. 67
Si se aplican logaritmos a la ecuación dada se obtiene:
   
ln ln 3 ln3 ln
t t
C x k k
 
  
 
 
   
ln ln3 ln
C x t k
 
 
 
que sería la ecuación escrita en forma logarítmica.
De esta manera, en el inciso a.), al sustituir los valores de  
C x y de k queda:
ln1500 ln3 ln4500
t
 
ln3 ln4500 ln1500
t  

68. 68
4500
ln ln3
1500
 
1
t
 
De modo que la edad de la roca es de 100 años (puesto que t = 1 y el tiempo se
mide en cientos de años).
Para el inciso b.), el material radiactivo se acabaría cuando su concentración
llegara a cero, lo que significaría que:
 
ln0 ln3 ln
t k
  
Pero el logaritmo de cero no existe, de modo que la ecuación no tiene solución,
por lo que, teóricamente, siempre quedaría un resto (mínimo) de material
radiactivo.

69. 69
2.) Si se invierte un capital a una tasa fija y los intereses se capitalizan
periódicamente, es decir que se suman al capital y la suma obtenida se
reinvierte con la misma tasa por otro período igual, el capital original se
incrementa con la fórmula del interés compuesto, según la cual, después de n
períodos se tiene:
 
1
n
f i
C c r
 
donde f
C es el capital acumulado, i
c es el capital inicial y r es la tasa de
interés.

70. 70
En cuántos años se logrará que un capital de $ 10,000.00 invertido a una tasa
del 3.5% anual se incremente hasta $ 11,475.00?
Solución:
Al convertir la fórmula del interés compuesto a su forma logarítmica se tiene:
 
log log 1
n
f i
C c r
 
 
log log 1
n
i
c r
  
 
log log log 1
f i
C c n r
  

71. 71
Entonces, si 11,475, 10,000 y 0.035
f i
C c r
   , al sustituir valores queda:
 
log11,475 log10,000 log 1 0.035
n
  
y, resolviendo para n:
 
log 1.035 log11,475 log10,000
n  
11,475
log log1.1475
10,000
 
 
 
 
log1.1475
4
log1.035
n  
Por lo que tendrán que transcurrir 4 años para obtener la cantidad deseada.

72. 72
3.) Si un objeto que está a una temperatura dada se saca a la intemperie, el objeto
se calienta si la temperatura ambiente es mayor y se enfría en el caso contrario.
La ley del enfriamiento de Newton, que explica el cambio de temperatura del
cuerpo es:
k t
T Q Ce
 
donde T es la temperatura del objeto después de un tiempo, t, medido en
minutos, Q es la temperatura a la intemperie y C y k son constantes que
dependen de las características del objeto y de su temperatura inicial. Si para
una taza de café C = 80 y k = – 0.069315, ¿cuánto tiempo hay que esperar para
que el café esté a 60º C si la temperatura ambiente es de 20º C?

73. 73
Solución:
Si se convierte la ecuación a la forma logarítmica se obtiene:
k t
T Q Ce
 
k t
T Q
e
C

 

 
 
ln ln k t
T Q
e
C

 

 
 
ln
kt e

ln
T Q
k t
C

 

 
 
en donde se ha escogido utilizar logaritmos naturales para aprovechar que
ln 1
e  .

74. 74
Entonces, si 60 y 20,
T Q
  al sustituir valores queda:
60 20
ln 0.069315
80
t

 
 
 
 
y, resolviendo para t:
40
ln ln0.5 0.069315
80
t
 
  
 
 
ln0.5
0.069315
t 

0.69315
10
0.069315

 

De modo que hay que esperar 10 minutos para que el café esté a 60º C
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