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6 de Jun de 2022
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• 1. UNIVERSIDADCENTRALDELECUADOR FACULTADDEINGENIERÍAYCIENCIASAPLICADAS “SISTEMASDEINFORMACIÓN“ PROBABILIDADYESTADÍSTICA Docente: Matemático. Jorge Arroba INTEGRANTES:  Allauca Edwin  Caluguillin Andres  Inguillay Ariel  Martínez Fernando  Monteros Xavier  Pulupa Ximena Curso: SI3-001 2021 - 2022
• 2. 𝐸(𝑥) = ∑ 𝑋𝑖𝑃𝑖 𝑖 = (−0.71)(0.2) + (0.24)(0.5) + (0.61)(0.3) = 𝟎. 𝟏𝟔 𝐸(𝑥2) = ∑ 𝑋𝑖2 𝑃𝑖 𝑖 = (−0.71)²(0.2) + (0.24)²(0.5) + (0.61)²(0.3) = 0.24 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 0.24 − (0.16)2 = 𝟎. 𝟐𝟐 𝐸(𝑦) = ∑ 𝑌𝑖𝑃𝑖 𝑖 = (2)(0.3) + (4)(0.1) + (5)(0.2) + (6)(0.4) = 𝟒. 𝟒 𝐸(𝑦2) = ∑ 𝑌𝑖2 𝑃𝑖 𝑖 = (2)2 (0.3) + (4)2 (0.1) + (5)2 (0.2) + (6)²(0.4) = 22.2 𝑉𝑎𝑟(𝑦) = 22.2 − (4.4)2 = 𝟐. 𝟖𝟒 E(x-2) =8 E((x+1) ²) =120 E(x)-E (2) =8 => 2+8=10 E(x²+2x+1) =120 E(x²) +2E(x)+E (1) =120 E(x²) =99 Var(x)=99-(10) ²=-1 No existe una v.a.x porque la varianza debe ser mayor a 0.
• 3. a) E(s) = E(x)+E(y)+E(z) Var(s)= Var(x)+Var(y)+Var(z) E(s)= u+u+u Var(s)=3𝜎² E(s)=3u b) E(T)=E(3x) =3E(x)=3u Var(T)=Var(3x) = (3𝜎²)² = 9𝜎² c) E(A)=𝐸 ( 𝑥+𝑦+𝑧 3 ) = 1 3 𝐸(3𝑢) = 𝑢 Var(A)= 1 3 𝑉𝑎𝑟(𝑠) = 𝜎² 3 𝑎) 𝑓(𝑥) { 1 3 , 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 4 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = 1 3 ( 𝑥2 2 )| 4 1 = 2.5 𝐸(𝑥²) = ∫ 𝑥²𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = 1 3 ( 𝑥3 3 )| 4 1 = 7 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 = 7 − (2.5)2 = 0.75 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √0.75 = 0.87
• 4. 𝑏) 𝑓(𝑥) {𝑥 − 1 2 , 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ( 𝑥3 3 − 𝑥2 4 )| 2 1 = 1.58 𝐸(𝑥²) = ∫ 𝑥²𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ( 𝑥4 4 − 𝑥3 6 )| 2 1 = 2.58 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 = 2.58 − (1.58)2 = 0.076 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √0.076 = 0.28 𝑐) 𝑓(𝑥) { 2𝑥, 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 1 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ( 2𝑥3 3 )| 1 0 = 0.66 𝐸(𝑥²) = ∫ 𝑥²𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ( 2𝑥4 4 )| 1 0 = 0.5 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 = 0.5 − (0.66)2 = 0.064 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √0.064 = 0.25 𝑑) 𝑓(𝑥) {− 3 22 (𝑥2 + 8𝑥 + 12), 𝑠𝑖 − 5 < 𝑥 ≤ −3 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = (− 3 22 ( 𝑥4 4 + 8𝑥3 3 + 6𝑥))| −3 −5 = −4 𝐸(𝑥²) = ∫ 𝑥²𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = (− 3 22 ( 𝑥5 5 + 2𝑥4 + 4𝑥3 ))| −3 −5 = −= 16.31 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 = 16.31 − (−4)2 = 0.31 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √0.31 = 0.55 𝑒) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 +∞ −∞ ∫ 𝑐 𝑥 𝑑𝑥 2 1 = 𝑐𝑙𝑛(𝑥)| 2 1 = 𝑐(ln(2) − ln(1)) = 𝑐(0.69) 1 = 𝑐(0.69) → 𝒄 = 𝟏. 𝟒𝟓
• 5. 𝑓(𝑥) { 𝑐 𝑥 , 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2 0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ∫ 𝑥 ∗ 1.45 𝑥 𝑑𝑥 2 1 = 1.45(𝑥)| 2 1 = 1.45(2 − 1) = 𝟏. 𝟒𝟓 𝐸(𝑥²) = ∫ 𝑥²𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ −∞ = ∫ 𝑥² ∗ 1.45 𝑥 𝑑𝑥 2 1 = 1.45( 𝑥2 2 )| 2 1 = 1.45 (2 − 1 2 ) = 𝟐. 𝟏𝟖 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 = 2.18 − (1.45)2 = 𝟎. 𝟐𝟐 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) = √0.22 = 𝟎. 𝟒𝟕
• 6. 9. Halle la varianza de una variable aleatoria Z que solo puede tomar dos valores, el uno el doble del otro, con la misma probabilidad, si se sabe que E(Z) = 0.9 11. Una variable aleatoria X puede tomar tres valores 𝒙𝟏 = −𝟏, 𝒙𝟐 = 𝟎 𝒚 𝒙𝟑 = 𝟏. Si se conocen las esperanzas matemáticas E(X)=0.1y E(X^2) =0.8, encuentre las probabilidades P1, P2 y P3, de los valores X1, X2 y X3, respectivamente.
• 8. 15. Un estudiante rinde una prueba consistente en 2 problemas de elección múltiple. La primera tienes 3 posibles respuestas y la segunda 5. El estudiante escoge las respuestas al azar. Encuentre: a) La ley que describe el número de respuestas correctas X del estudiante: b) El número esperado, E(X) de respuesta correcta c) La varianza Var(X)
• 9. 17.- Una persona participa en un concurso de la televisión. Le hacen una pregunta con 5 respuestas (solo una es verdadera) si acierta, gana 10 000. Si falla le vuelven hacer otra pregunta con tres posibles respuestas de las cuales solo una es verdadera. Si acierta, gana 1000 y si falla se le vuelve hacer otra pregunta con solo dos respuestas si acierta, entonces no gana nada y si falla pierde 500. El juego termina cuando la persona acierta o después de fallar la tercera pregunta. a) Indique cuál es el espacio muestral; Ω = {V, FV, FFV, FFF} b) Calcule la probabilidad de que dé una respuesta correcta; Pregunta : 1 2 3 V = {V, FV, FFV} Pr(V) = 3 4 c) Halle la ganancia esperada; X 10 000 1000 0 P 1 5 1 3 1 2 𝐸(𝑥) = 10 000 ( 1 5 ) − 1000 ( 1 3 ) − 0 ( 1 2 ) 𝐸(𝑥) = 1666.67 d) Halle la esperanza y la varianza de Ia variable aleatoria que describe el número de preguntas realizadas al concursante. 𝐸(𝑥) = 1 ( 1 4 ) + 2 ( 1 4 ) + 3 ( 1 4 ) 𝐸(𝑥) = 1 4 + 1 2 + 3 4 = 3 2 Varianza 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 = 7 2 − 9 4 = 5 4 19.- Si Roberto termina sus estudios en junio, podrá disfrutar de una beca para poder realizar un curso de especialización con todos los gastos pagados. Si aprueba en septiembre, la beca sólo le cubrirá el 40% de los gastos. Si no consigue aprobar, también realizará el curso, pero abonando 50000 dólares, que es lo que cuesta. Roberto sabe que la probabilidad de aprobar en junio es sólo de un 10%, mientras que la de aprobar en septiembre es de un 40%. a) Halle la distribución de probabilidad del costo del curso de especialización;
• 10. X 0 30 000 50 000 P 1 10 4 10 5 10 b) Determine el valor esperado de dicha variable. 𝐸(𝑥) = 30 000 ( 4 10 ) + 50 000 ( 5 10 ) 𝐸(𝑥) = 37000 21.- Un portafolio de inversión sigue el siguiente esquema probabilístico. Calcule Ia esperanza y la desviación estándar de la ganancia de una inversión en este portafolio. X -200 -150 -50 50 150 250 350 450 550 650 P 0.0102 0.0346 0.0860 0.1542 0.2123 0.2123 0.1542 0.0860 0.0346 0.0156 E(x) = (−200 × 0.0102) + (−150 × 0.0346) + (−50 × 0.0860) + (50 × 0.1542) + (150 × 0.2123) + (250 × 0.2123) + (350 × 0.1542) + (450 × 0.0860) + (550 × 0.0346) + (650 × 0.0156) E(x) = 202.94 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟(𝑥) 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 32369.14 𝜎 = √32369.14 𝝈 = 𝟏𝟕𝟗. 𝟗𝟏 23.- EI espesor del recubrimiento de unos cables tiene función de densidad 600 𝑥2 , con 100 𝑢𝑚 < 𝑥 < 200 𝑢𝑚 a) Determine la media y la varianza del espesor del recubrimiento;  𝐸(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 100 −∞ +∞ −∞ + ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 +∞ 200 200 100 = ∫ 𝑥 ( 600 𝑥2 ) 𝑑𝑥 = 600(ln 𝑥) ∫ = 600 (ln 200 − ln 100) 200 100 200 100 = 600 (ln 200 100 ) = 600 × ln 2 = 415.88  𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥2 ( 600 𝑥2 )𝑑𝑥 200 100
• 11. 𝐸(𝑥2) = (600 𝑥) ∫ = (600 × 200) − (600 × 100) = 120000 − 60000 = 60000 200 100 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥2) − (𝐸(𝑥)) 2 = 60000 − (180.6)2 = 27383.6 𝜎 = √𝑉𝑎𝑟 (𝑥) 𝜎 = √165.48 b) Si el costo del recubrimiento es de 0.5 dólares por micrómetro de espesor, ¿cuál es el costo medio por recubrir los cables? 𝐸(0.5𝑥) = ∫ 0.5𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0.5 ∫ 𝑥 600 𝑥2 𝑑𝑥 200 100 +∞ −∞ = 0.5 ∫ 600 𝑥 200 100 𝑑𝑥 = \$ 90.30
• 12. 23. EI espesor del recubrimiento de unos cables tiene función de densidad 𝟔𝟎𝟎 𝒙𝟐 , con 100 μm <x < 200 μm. a) Determine la media y la varianza del espesor del recubrimiento; b) Si el costo del recubrimiento es de 0.5 dólares por micrómetro de espesor, ¿cuál es el costo medio por recubrir los cables?
• 13. 25. La longitud de ciertos gusanos se distribuye según la función de densidad 𝒇(𝒙) = { 𝟑 𝟒 (𝒙 − 𝟏)(𝟑 − 𝒙); 𝒔𝒊 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟑 𝟎 , 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓𝒂𝒓𝒊𝒐 } a) Calcule la esperanza y la varianza de la longitud de los gusanos
• 14. b) Si para un estudio se consideran aquellios ejemplares que tenga una longitud entre 1.7 cm y 2.4 cm, calcule el porcentaje de gusanos que tienen esta características
• 15. a) 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞ 𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞ 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥) − (𝐸(𝑥)) 2 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 3 1 𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 3 1 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 0.2 𝐸(𝑥) = 2 𝐸(𝑥2) = 4.2 b) Pr(1.7 ≤ 𝑥 ≤ 2.4) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 3 4 (𝑥 − 1)(3 − 𝑥)𝑑𝑥 2.4 1.7 2.4 1.7 Pr(1.7 ≤ 𝑥 ≤ 2.4) = 0.50225 a) Pr(𝑥 > 60) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 60 0 Pr(𝑥 > 60) = ∫ 1 20𝜋 𝑠𝑒𝑛( 𝑥 10𝜋 )𝑑𝑥 60 0 1 20𝜋 ∫ 𝑠𝑒𝑛( 𝑥 10𝜋 )𝑑𝑥 60 0 Pr(𝑥 > 60) = 0.666
• 16. b) 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞ ∫ 𝑥 ∗ 10𝜋2 0 1 20𝜋 𝑠𝑒𝑛( 𝑥 10𝜋 )𝑑𝑥 1 20𝜋 ∫ 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛( 𝑥 10𝜋 )𝑑𝑥 10𝜋2 0 𝑢 = 𝑥 10𝜋 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 10𝜋 1 20𝜋 ∫ 𝑥 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑢) ∗ 10𝜋 𝑑𝑢 10𝜋2 0 = 5𝜋2 = 49.34 c) 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝐸(𝑥) − (𝐸(𝑥)) 2 𝐸(𝑥2) = ∫ 𝑥2 ∗ 10𝜋2 0 1 20𝜋 𝑠𝑒𝑛( 𝑥 10𝜋 )𝑑𝑥 50𝜋4 − 200𝜋2 = 2896,53 2896,53 − (49,34)2 𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 = 462,09 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛𝑑𝑎𝑟 = √462,09 = 21,49
• 17. a) ∑(1 − 𝛼)2 𝛼𝑥 => (1 − 𝛼)2 ∑ 𝛼𝑥 = ∞ 𝑥=0 (1 − 𝛼)2 ( 1 1 − 𝛼 ) ∞ 𝑥=0 (1 − 𝛼) => (1 − 𝛼) 𝛼𝜖(𝑃, 1) => 1 − 0 = 1 => 1 − 1 = 0 b) 𝐸(𝑥) = ∫ 𝑥 +∞ 0 (1 − 𝛼)2 𝛼𝑥 𝑑𝑥 => ∫ 𝑥(1 − 2 ∝ +∝2) ∝𝑥 𝑑𝑥 +∞ 0 ∫ 𝑥( +∞ 0 𝛼𝑥 − 2𝛼𝑥+1 + 𝛼𝑥+2 )𝑑𝑥 => ∫ 𝑥 +∞ 0 𝛼𝑥 − 2𝑥𝛼𝑥+1 + 𝑥𝛼𝑥+2 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝛼𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥𝛼𝑥+1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥𝛼𝑥+2 𝑑𝑥 𝑥𝛼𝑥+1 𝑥 + 1 − 2 𝑥𝛼𝑥+2 𝑥 + 2 + 𝑥𝛼𝑥+3 𝑥 + 3 lim 𝑥=∞ 𝑥𝛼𝑥+1 𝑥 + 1 − 2lim 𝑥=∞ 𝑥𝛼𝑥+2 𝑥 + 2 + lim 𝑥=∞ 𝑥𝛼𝑥+3 𝑥 + 3 lim 𝑥=∞ 𝑥𝛼𝑥+1 𝑥 𝑥 + 1 𝑥 − 2lim 𝑥=∞ 𝑥𝛼𝑥+2 𝑥 𝑥 + 2 𝑥 + lim 𝑥=∞ 𝑥𝛼𝑥+3 𝑥 𝑥 + 3 𝑥 𝛼∞ 1 1 + 1 ∞ − 2 𝛼∞ 1 1 + 2 ∞ + 𝛼∞ 1 1 + 3 ∞ = 0 − 2(0) + 0 = 0 𝐸(𝑥) = 0
• 18. 31. Dadas las variables aleatorias independientes X y Y, cuyas funciones de densidad son: Calcule: 33. las variables aleatorias X1, X2, …, Xn, Y1, Y2, …, Yn son independientes. Pongamos Sn=X1+X2+…+Xn; Tn=X1Y1+X2Y2+…+XnYn Halle: 𝑬(𝑺𝒏 );
• 20. 35. Sean X y Y dos variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con f.g.m(M(t). demuestre que 𝑀𝑥+𝑦(𝑡) = 𝑀𝑥(𝑡)𝑀𝑦(𝑡) y que 𝑀𝑥−𝑦(𝑡) = 𝑀𝑥(𝑡)𝑀𝑦(−𝑡) Se muestra la existencia de 𝑀𝑥(𝑡) Con Genera la existencia de la misma forma con 𝑀𝑥+𝑦(𝑡) = 𝑀𝑥(𝑡)𝑀𝑦(𝑡) Para Obtener 𝑀𝑥−𝑦(𝑡) = 𝑀𝑥(𝑡)𝑀𝑦(−𝑡)