Value-ranges, Julius Caesar and Indeterminacy
Bruno Bentzen Aguiar¹
¹ Departamento de Filosofia, Estudante de Pós-Graduaçã...
• O problema Julius Ceasar
• A indeterminação
• O argumento da permutação
• A identificação trans-sortal
• O princípio da ...
• O problema Julius Ceasar
• A indeterminação
• O argumento da permutação
• A identificação trans-sortal
• O princípio da ...
O problema Julius Ceasar
• A tese de Frege que a aritmética é redutível à lógica, tem como parte
fundamental a definição d...
O problema Julius Ceasar
• A tese de Frege que a aritmética é redutível à lógica, tem como parte
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• Assim, definir o conceito de número é para Frege estabelecer que o imperador
romano Julius Caesar não é um número.
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• Vamos definir o conceito de número.
• Vamos introduzir um operador ‘o número de …’ (Nx:…x), definindo-o da
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• Mas e Julius Caesar? Ele é um número ou não?
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O problem...
• De acordo com Frege, a utilidade das equações repousa sobre a possibilidade
dos mesmos objetos serem denotados por nomes...
• Agora podemos perguntar se pode ser afirmado ou não.
• Mas não possuímos meios de identificar o conceito correspondente ...
• E porque não sabemos exatamente o significado desses nomes de números,
não temos como saber se algum deles se refere a J...
• Mas o que é o problema Julius Caesar?
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O problema Juliu...
• Mas o que é o problema Julius Caesar? Há aqui duas leituras possíveis:
• 1. O problema Julius Caesar pode ser visto como...
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• O argumento da permutação
• A identificação trans-sortal
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• Em Grundgesetze, extensões de conceitos são percurso de valores.
• Os percursos de valores são introduzidos através do A...
• Em outras palavras, vamos introduzir o operador ‘o percurso de valor de …‘
(ε’...(ε)) da seguinte maneira:
• Nós realmen...
• Em outras palavras, vamos introduzir o operador ‘o percurso de valor de …‘
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• Nós realmen...
• Novamente, os mesmos objetos podem ser denotados por nomes diferentes.
• O percurso de valor de f poderia ser denotado p...
• Agora podemos perguntar se pode ser afirmado ou não.
• Não possuímos meios de identificar a função correspondente de q p...
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O argumento da permutação
• Seja Δ uma atribuição de objects a termos de percurso de valores “ “
• Seja h uma permutação n...
• Seja Δ uma atribuição de objects a termos de percurso de valores “ “
• Seja h uma permutação não-trivial de todos objeto...
Atribuição Δ:
Axioma V: Verdadeiro Falso
O argumento da permutação
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h( ) h( ) h( ) h( )
O argumento da permutação
Atribuição Δ’:
Axioma V: Verdadeiro Falso
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O argumento da permutação
Axioma V: Verdadeiro Falso
Atribuição Δ’:
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Atribuição Δ:
Axioma V: Verdadeiro Falso
O argumento da permutação
Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bent...
• Portanto, a referência dos termos de percurso de valores é deixada
indeterminada pelo Axioma V
• Como resolver esta inde...
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• A identificação trans-sortal
• O princípio da ...
A identificação trans-sortal
• Segundo Frege, a indeterminação pode ser solucionada determinando para
cada função que valo...
A identificação trans-sortal
• A determinação das funções primivas se reduz à determinação da função
identidade.
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A identificação trans-sortal
• A teoria de Grundgesetze contém apenas nomes de percurso de valores ou
nomes de valores de ...
• A solução de Frege consiste em estipular e identificar os valores de verdade
com suas classes unitárias (percurso de val...
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• Mas e os outros objetos tais como a Lua, Julius Caesar?
Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguia...
• Mas e os outros objetos tais como a Lua, Julius Caesar?
A identificação trans-sortal deixa em aberto se Julius Caesar é ...
• Como resultado, não há determinação completa dos percurso de valores:
1. A identificação trans-sortal parece insuficient...
• Defendemos que não é bem assim.
• Neste trabalho pretendemos mostrar o contrário:
1. A identificação trans-sortal é conc...
• Para tais reconsiderações precisamos olhar as regras semânticas de
Grundgesetze.
O princípio da completa determinação
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• A identificação trans-sortal
• O princípio da ...
• Qual o tipo de determinação que Frege tem em mente?
As regras semânticas de Grundgesestze
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• De modo sucinto, as regras semânticas estabelecem que, se o nome de função
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• Finalmente, essa interpretação nos permite atingir nosso primeiro objetivo:
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• O princípio da ...
• As considerações anteriores são interessantes, mas não nos permitem atingir o
nosso segundo objetivo: concluir que não h...
• Não há problema Julius César para percurso de valores, pelo menos não
enquanto Julius Caesar está no domínio.
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• Essa interpretação, embora interessante, carece de evidências decisivas: Frege
não é claro sobre o domínio do sistema em...
• Em última análise, a querela sobre se há problema Julius Caesar para percurso
de valores parece repousar sob a querela “...
• 1. Podemos considerar o problema Julius Caesar como um complexo de
problemas de dimensão ontológica, epistemológica, lóg...
• 2. Podemos considerar o problema Julius Caesar como a questão de
demonstrar, e colocar além de quaisquer dúvidas, o fato...
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• A identificação trans-sortal
• O princípio da ...
• O compromisso de Frege com o princípio da completa determinação é
expresso em seu sistema através das regras semânticas ...
Obrigado!
Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
BENACERRAF, P. Frege: The Last Logicist (1981), reimpresso em DEMOPOULOS,
W (Ed). Frege’s Philosophy of Mathematics. Cambr...
______. The Interpretation of Frege’s Philosophy. London: Duckworth, and
Cambridge MA: Harvard University Press, 1981b.
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______. Die Grundlagen der Arithmetik: Eine logisch mathematische
Untersuchung ¨uber den Begriff der Zahl. Stuttgard: Phil...
______. On Concept and Object. Trad. de Geach e Black. In: Translations from the
Philosophical Writings of Gottlob Frege, ...
GREIMANN, D. What is Frege’s Julius Caesar Problem? Dialectica, v.57, n.3, p.
261-278, 2003.
HALE, B.; WRIGHT, C. To Bury ...
______. Grundgesetze der Arithmetic I x10. Philosophia Mathematica, v. 7, n. 3, p.
258-292, out. 1999.
______. Reading Fre...
MacBRIDE, F. More problematic than ever: the Julius Caesar Objection. In:
MacBRIDE; WRIGHT (Eds.). Identity and Modality, ...
QUINE, W.V.O. Two Dogmas of Empiricism. In: The Philosophical Review, v.60,
p.20-43, 1951. Reimpresso em From a Logical Po...
______. Logical Objects in Frege’s Grundgesetze, Section 10. In: RECK (Ed.). From
Frege to Wittgenstein, Oxford: Oxford Un...
STRAWSON, P. F. Truth. In: Proceedings of the Aristotelean Society, v.24, 1950.
TARSKI, A. Logic, Semantic, Metamathematic...
______. Is Hume’s Principle Analytic? In: Notre Dame Journal of Formal Logic, v.
40, n. 1, p. 6-30, 1999.
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  1. 1. Value-ranges, Julius Caesar and Indeterminacy Bruno Bentzen Aguiar¹ ¹ Departamento de Filosofia, Estudante de Pós-Graduação Universidade Federal de Pernambuco b.bentzen@hotmail.com Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar Defesa de Dissertação:
  2. 2. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  3. 3. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  4. 4. O problema Julius Ceasar • A tese de Frege que a aritmética é redutível à lógica, tem como parte fundamental a definição do conceito de número em termos puramente lógicos. Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  5. 5. O problema Julius Ceasar • A tese de Frege que a aritmética é redutível à lógica, tem como parte fundamental a definição do conceito de número em termos puramente lógicos. • Princípio da completa determinação: Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar Deve-se determinar para cada objeto se ele cai sob um conceito ou não; um termo conceitual que não respeita este requerimento em seu referente, não têm referente. (Ns, p.133)
  6. 6. • Assim, definir o conceito de número é para Frege estabelecer que o imperador romano Julius Caesar não é um número. Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar
  7. 7. • Vamos definir o conceito de número. • Vamos introduzir um operador ‘o número de …’ (Nx:…x), definindo-o da seguinte forma: Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar (Princípio de Hume)
  8. 8. • Mas e Julius Caesar? Ele é um número ou não? Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar
  9. 9. • De acordo com Frege, a utilidade das equações repousa sobre a possibilidade dos mesmos objetos serem denotados por nomes diferentes. • Assim, o número de F (‘Nx:Fx’) poderia ser denotado por, digamos, ‘q’: Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar
  10. 10. • Agora podemos perguntar se pode ser afirmado ou não. • Mas não possuímos meios de identificar o conceito correspondente de q para aplicar nosso critério de identidade Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar
  11. 11. • E porque não sabemos exatamente o significado desses nomes de números, não temos como saber se algum deles se refere a Julius Caesar. • A solução do problema é definir números como extensões de conceitos. Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar
  12. 12. • Mas o que é o problema Julius Caesar? Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar
  13. 13. • Mas o que é o problema Julius Caesar? Há aqui duas leituras possíveis: • 1. O problema Julius Caesar pode ser visto como um complexo de problemas de dimensão ontológica, epistemológica, lógica e semântica, onde a dimensão semântica é a mais básica. (pp.29-35) • 2. Alternativamente, o problema também pode ser visto como a questão de demonstrar, e colocar além de quaisquer dúvidas, o fato de que números são objetos lógicos. (pp.34-35) Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O problema Julius Ceasar
  14. 14. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  15. 15. • Em Grundgesetze, extensões de conceitos são percurso de valores. • Os percursos de valores são introduzidos através do Axioma V. A indeterminação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  16. 16. • Em outras palavras, vamos introduzir o operador ‘o percurso de valor de …‘ (ε’...(ε)) da seguinte maneira: • Nós realmente sabemos o que seus termos singulares resultantes significam? Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar (Axioma V) A indeterminação
  17. 17. • Em outras palavras, vamos introduzir o operador ‘o percurso de valor de …‘ (ε’...(ε)) da seguinte maneira: • Nós realmente sabemos o que seus termos singulares resultantes significam? • Não sabemos! Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar (Axioma V) A indeterminação
  18. 18. • Novamente, os mesmos objetos podem ser denotados por nomes diferentes. • O percurso de valor de f poderia ser denotado por, digamos, q Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar A indeterminação
  19. 19. • Agora podemos perguntar se pode ser afirmado ou não. • Não possuímos meios de identificar a função correspondente de q para aplicar nosso critério de identidade Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar A indeterminação
  20. 20. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  21. 21. O argumento da permutação • Seja Δ uma atribuição de objects a termos de percurso de valores “ “ • Seja h uma permutação não-trivial de todos objetos. Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  22. 22. • Seja Δ uma atribuição de objects a termos de percurso de valores “ “ • Seja h uma permutação não-trivial de todos objetos. • Agora considere uma atribuição similar Δ’ exceto que: • Para cada objeto a atribuído por Δ a um termo de percurso de valor, Δ’ irá atribuir h(a) como alternativa. • Logo: Δ’ é diferente de Δ, mas ambos são equiconsistentes com o Axioma V. O argumento da permutação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  23. 23. Atribuição Δ: Axioma V: Verdadeiro Falso O argumento da permutação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  24. 24. h( ) h( ) h( ) h( ) O argumento da permutação Atribuição Δ’: Axioma V: Verdadeiro Falso Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  25. 25. O argumento da permutação Axioma V: Verdadeiro Falso Atribuição Δ’: Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  26. 26. Atribuição Δ: Axioma V: Verdadeiro Falso O argumento da permutação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  27. 27. • Portanto, a referência dos termos de percurso de valores é deixada indeterminada pelo Axioma V • Como resolver esta indeterminação? O argumento da permutação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  28. 28. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  29. 29. A identificação trans-sortal • Segundo Frege, a indeterminação pode ser solucionada determinando para cada função que valores essa função possui para percurso de valores como argumentos. Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  30. 30. A identificação trans-sortal • A determinação das funções primivas se reduz à determinação da função identidade. Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  31. 31. A identificação trans-sortal • A teoria de Grundgesetze contém apenas nomes de percurso de valores ou nomes de valores de verdade . (pp.58-62) • Logo, uma indeterminação apenas poderia ocorrer em uma sentença de identidade entre objetos denotados por esses dois termos. Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  32. 32. • A solução de Frege consiste em estipular e identificar os valores de verdade com suas classes unitárias (percurso de valores): • Assim cada objeto denotável pelos termos da teoria são percurso de valores A identificação trans-sortal Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  33. 33. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  34. 34. • Mas e os outros objetos tais como a Lua, Julius Caesar? Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O princípio da completa determinação
  35. 35. • Mas e os outros objetos tais como a Lua, Julius Caesar? A identificação trans-sortal deixa em aberto se Julius Caesar é um percurso de valores ou não (Parsons, 1965; Dummett, 1981b; Wright, 1983; Ricketts, 1997; Heck, 1997, 1999a, 2005; Schirn, 2001). Júlio César Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar O princípio da completa determinação
  36. 36. • Como resultado, não há determinação completa dos percurso de valores: 1. A identificação trans-sortal parece insuficiente, violando o princípio da completa determinação. 2. O problema Julius Caesar ressurge para os percursos de valores. O princípio da completa determinação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  37. 37. • Defendemos que não é bem assim. • Neste trabalho pretendemos mostrar o contrário: 1. A identificação trans-sortal é conciliável com o princípio da completa determinação. 2. Não há problema Julius Caesar para percurso de valores. O princípio da completa determinação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  38. 38. • Para tais reconsiderações precisamos olhar as regras semânticas de Grundgesetze. O princípio da completa determinação Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  39. 39. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  40. 40. • Qual o tipo de determinação que Frege tem em mente? As regras semânticas de Grundgesestze Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar Aqui, novamente, da mesma forma que as leis da lógica pressupõe conceitos com fronteiras nítidas e, portanto, também definições completas de nomes de funções, como o sinal de adição. No volume I expressamos isso da seguinte forma: cada nome de função deve ter uma referência. Assim todas as definições condicionais e qualquer procedimento parcial de definição, deve ser rejeitado. Cada símbolo deve ser completamente definido de uma só vez, de modo que, como se diz, ele adquira uma referência. (Gg II, x65)
  41. 41. • De modo sucinto, as regras semânticas estabelecem que, se o nome de função F(x) tem referência, então F(Δ) deve ter referência também, para todo nome Δ que lhe sirva como argumento. As regras semânticas de Grundgesestze Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  42. 42. • Assim: As regras semânticas de Grundgesestze Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar Pai de (x) Maria João Pedro
  43. 43. • Assim: As regras semânticas de Grundgesestze Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar Δ Γ ...
  44. 44. • As regras semânticas de Grundgesetze podem ser vistas como incorporando o princípio da completa determinação no sistema (Greimann, 2003). • As regras semânticas são elaboradas linguisticamente, e, o princípio da completa determinação, ontologicamente. • Essa interpretação permite conciliar a identificação trans-sortal com o principío da completa determinação As regras semânticas de Grundgesestze Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  45. 45. • Finalmente, essa interpretação nos permite atingir nosso primeiro objetivo: conciliar a identificação trans-sortal com o principío da completa determinação. As regras semânticas de Grundgesestze Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  46. 46. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  47. 47. • As considerações anteriores são interessantes, mas não nos permitem atingir o nosso segundo objetivo: concluir que não há problema Julius César para percurso de valores. Julius Caesar e os percursos de valores Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  48. 48. • Não há problema Julius César para percurso de valores, pelo menos não enquanto Julius Caesar está no domínio. • Propor que Frege tem em mente um domínio restrito a percurso de valores e valores de verdade apenas (Ruffino, 2002). Julius Caesar e os percursos de valores Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  49. 49. • Essa interpretação, embora interessante, carece de evidências decisivas: Frege não é claro sobre o domínio do sistema em nenhuma parte do livro. • É melhor procurar outra alternativa. Julius Caesar e os percursos de valores Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  50. 50. • Em última análise, a querela sobre se há problema Julius Caesar para percurso de valores parece repousar sob a querela “o que é o problema Julius Caesar”. • Aqui há duas opções. Julius Caesar e os percursos de valores Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  51. 51. • 1. Podemos considerar o problema Julius Caesar como um complexo de problemas de dimensão ontológica, epistemológica, lógica e semântica, onde a dimensão semântica é a mais básica: • Neste caso o problema persiste para os percursos de valores, uma vez que Frege não estabelece que Julius Caesar não é o referente de um dos nomes de percurso de valores. Julius Caesar e os percursos de valores Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  52. 52. • 2. Podemos considerar o problema Julius Caesar como a questão de demonstrar, e colocar além de quaisquer dúvidas, o fato de que números são objetos lógicos: • Nesse caso, não há mais problema Julius Caesar, uma vez que para Frege percurso de valores são objetos fundamentalmente lógicos. Julius Caesar e os percursos de valores Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  53. 53. • O problema Julius Ceasar • A indeterminação • O argumento da permutação • A identificação trans-sortal • O princípio da completa determinação • As regras semânticas de Grundgesetze • Julius Caesar e os percurso de valores • Considerações finais Parte reconstrutiva Parte argumentativa Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  54. 54. • O compromisso de Frege com o princípio da completa determinação é expresso em seu sistema através das regras semânticas de Grundgesetze. • O problema Julius Caesar é apenas a preocupação em obter a certeza de que números sejam objetos lógicos. Considerações finais Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  55. 55. Obrigado! Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  56. 56. BENACERRAF, P. Frege: The Last Logicist (1981), reimpresso em DEMOPOULOS, W (Ed). Frege’s Philosophy of Mathematics. Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. p.41-67, 1995. ______. What Numbers Could not be. In: Philosophical Review, 74, p.47-73, 1965. BURGE, T. Frege on Extensions of Concepts, From 1884 to 1903. In: Philosophical Review, v. 93, n. 1, p.3-34, 1984. COOK, R.T., EBERT, P.A. Abstraction and Identity. In: Dialectica. v. 59, p. 121-39, jun 2005. DUMMETT, M. Frege: Philosophy of Language. U.K: Duckworth, 1981a. Frege: Philosophy of Mathematics. London: Duckworth, and Cambridge: Harvard University Press, 1991. ______. Frege as a Realist. In: Inquiry. v. 19, p. 455-68, 1976. Referências Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
  57. 57. ______. The Interpretation of Frege’s Philosophy. London: Duckworth, and Cambridge MA: Harvard University Press, 1981b. DE QUEIROZ, R., DE OLIVEIRA, A., GABBAY, D. The Functional Interpretation of Logical Deduction. London: Imperial College Press / World Scientific, 2011. EWEN, W. Carl Stumpf und Gottlob Frege. Konigshausen & Neumann: Wurzburg, 2008. FREGE, G. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Georg Olms: Verlag, 1971. ______. Begriffsschrift, a formula language, modeled upon that of arithmetic, for pure thought. Trad. de Bauer-Mengelberg. In: HEIJENOORT, J. From Frege to Gödel, Cambridge, Mass.: Harvard University Press, 1967, p.124-125. 1902. Referências Value-ranges, Julius Caesar and IndeterminacyBruno Bentzen Aguiar
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