Este documento presenta una introducción a los sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas, incluyendo definiciones, fórmulas de transformación entre sistemas y ejemplos. Explica que los sistemas de coordenadas permiten definir unívocamente la posición de puntos en un espacio, y que es posible transformar entre sistemas. Luego profundiza en cada sistema, describiendo sus componentes y cómo calcular las coordenadas.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Sede: Barcelona
Escuela: Ing. Industrial
Presentado por: Claudia Bolívar
26.564.288
Barcelona, 20/11/2020

2. Como sabemos el algebra vectorial y el calculo diferencial son ramas que conectan
temas como el de las funciones, mayormente funciones de varias variables.
A continuación se estudiara de forma objetiva los conceptos relaciones con el tema de
las funciones de varias variables, incluyendo temas como: Sistema de Coordenadas
Cartesianas, Sistema de Coordenadas Cilíndricas, Sistema de Coordenadas Esféricas.
Para empezar debemos aclarar que existen varios tipos de sistemas de coordenadas,
pero en general se pueden definir como un conjunto de valores y puntos que
permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un espacio euclideo
o mas generalmente variedad diferencial .
Debemos tener en cuenta que existe la posibilidad de transformar de ciertos sistemas
de coordenadas a otros y en el presente trabajo aprenderemos como y la utilidad de
esta herramienta.

3. En geometría, un sistema de coordenadas es un
sistema que utiliza uno o más números
(coordenadas) para determinar unívocamente la
posición de un punto u objeto geométrico. El
orden en que se escriben las coordenadas es
significativo y a veces se las identifica por su
posición en una tupla ordenada; también se las
puede representar con letras, como por ejemplo
«la coordenada-x».
El estudio de los sistemas de coordenadas es
objeto de la geometría analítica, permite formular
los problemas geométricos de forma "numérica".
TUPLA: en matemáticas, si n es un número natural, entonces una n-upla, también llamada n-
tupla, es una secuencia o lista ordenada finita de n objetos, y estos elementos se dice que son
sus componentes.

4. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
En un espacio euclídeo un sistema de coordenadas cartesianas se define por dos o
tres ejes ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un
sistema bidimensional o tridimensional (análogamente en se pueden definir
sistemas n-dimensionales). El valor de cada una de las coordenadas de un punto
(A) es igual a la proyección ortogonal del vector de posición de dicho punto
sobre un eje determinado:
Cada uno de los ejes está definido por
un vector director y por el origen de
coordenadas. Por ejemplo, el eje x está definido
por el origen de coordenadas (O) y un vector
( ) tal que:
El valor de la coordenada x de un punto es igual a la proyección ortogonal del vector
de posición de dicho punto sobre el eje x.

5. SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS
El sistema de coordenadas cilíndricas,
se usa para representar los puntos de
un espacio euclídeo tridimensional.
Resulta especialmente útil en
problemas con simetría axial. Este
sistema de coordenadas es una
generalización del sistema de
coordenadas polares del plano
euclídeo, al que se añade un tercer eje
de referencia ortogonal a los otros dos.
La primera coordenada es la distancia
existente entre el eje Z y el punto, la
segunda es el ángulo que forman el eje
X y la recta que pasa por ambos
puntos, mientras que la tercera es la
coordenada z que determina la altura
del cilindro.

6. SISTEMA DE COORDENADAS ESFERICAS
Al igual que las coordenadas
cilíndricas, el sistema de coordenadas
esféricas se usa en espacios
euclidianos tridimensionales. Este
sistema de coordenadas esféricas está
formado por tres ejes mutuamente
ortogonales que se cortan en el origen.
La primera coordenada es la distancia
entre el origen y el punto, siendo las
otras dos los ángulos que es necesario
girar para alcanzar la posición del
punto.

7. TRANSFORMACION DE COORDENADAS ENTRE CARTESIANAS Y CILINDRICAS
P (X,Y,Z) P (r, , z)
Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas.
Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada z, es la misma
Mientras que las coordenadas e constituyen los catetos de un triángulo
rectángulo de hipotenusa , por lo que
De aquí se tienen las relaciones inversas:

8. TRANSFORMACION DE COORDENADAS ENTRE CILINDRICAS Y ESFERICAS
Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En
primer lugar, la coordenada es la misma en los dos sistemas. El resto de
coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo
Y con las correspondientes relaciones inversas
TRANSFORMACION DE COORDENADAS ENTRE CARTESIANAS Y ESFERICAS
Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.

9. Y sus correspondientes relaciones inversas
1.-Estructura
2.-Formulas (reglas)

10. 3.-Ejercicio 4.-Resolución
5.-Respuesta
1.-Estructura
2.-Formulas (reglas)

11. 3.-Ejercicio
4.-Resolución
5.-Respuesta

12. La simetría es una característica presente en numerosas
ramas de las matemáticas, y por lo tanto no se limita
como pudiera parecer a primera vista a la geometría. Es
un tipo de invarianza: la propiedad de que un objeto
matemático permanece sin cambios bajo un determina
do conjunto de operaciones o transformaciones.
Dado un objeto estructurado X de cualquier tipo, una simetría es una aplicación del
objeto sobre sí mismo que conserva su estructura. Esto puede ocurrir de muchas
maneras; por ejemplo, si X es un conjunto sin estructura adicional, una simetría es
una aplicación biyectiva de un conjunto sobre sí mismo, dando lugar a un grupo de
permutaciones. Si el objeto X es un conjunto de puntos en el plano con su
estructura métrica o cualquier otro espacio métrico, una simetría es un función
biyectiva del conjunto en sí mismo que conserva la distancia entre cada par de
puntos (es decir, es una isometría).
En general, cada tipo de estructura en matemáticas tendrá su propio tipo de
simetría.

13. •De rotación. Es el giro que experimenta todo motivo
de manera repetitiva hasta que finaliza consiguiendo
la posición idéntica que tenía al principio.
•De abatimiento. En este caso lo que se logra es dos
partes iguales de un objeto concreto tras llevarse a
cabo un giro de 180º de una con respecto a la otra.
•De traslación. Este es el término que se utiliza para
referirse al conjunto de repeticiones que lleva a cabo
un objeto a una distancia siempre idéntica del eje y
durante una línea que puede estar colocada en
cualquier posición.
•De ampliación. Se emplea para dejar patente que dos
partes de un todo son semejantes y es que tienen la
misma forma pero no un tamaño igual.
•Bilateral. Es la que permite que se obtenga un retrato
bilateral que tiene como espina dorsal un eje de
simetría. A los lados de este aparecen formas iguales a
la misma distancia de él que serán las que permitan
crear ese citado retrato.

14. Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer
conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la
definición matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una
variable independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún
parámetro y una variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que
sufre y está definido por una expresión algebraica que funge como regla.
Se puede entender a una función como una máquina por la que entra algo y sale
algo diferente, procesado:

15. La imagen anterior lo ilustra perfectamente. La función genera resultados para y =
f(x) dependiendo el valor que tome x. En el mundo real, estas funciones describen
fenómenos que dependen de solo una variable. Por ejemplo, en cinemática, la rama
de la física que estudia el movimiento sin preocuparse por las causas que lo
provocan, la posición de un objeto se define por funciones que varían respecto al
tiempo t. Son funciones de una única variable dependiente. Sin embargo, existen
fenómenos de la naturaleza cuyo comportamiento no depende únicamente de un
solo factor. Estas son funciones de varias variables.
Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la
misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable
dependiente estará regida por más de una variables independiente. Es muy común
trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de
relación es más compleja puesto que el valor de z depende no solo del valor de x o
de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un valor de z.

16. Casi por impulso, se tiende a graficar una función para observar su comportamiento
y entenderlo con más claridad. Las funciones de varias variables no están exentas de
ello. El problema es que no todas las funciones de varias variables se pueden
graficar. De hecho, el máximo número de variables que permite graficar es de tres
variables. ¿Por qué? Pues porque dimensionalmente no se pueden observar más de
tres variables interactuando entre sí, o al menos no gráficamente. Un ejemplo de
como se ve una función de tres variables es el siguiente:
Sí, un paraboloide es una función de tres variables. Varias superficies
tridimencionales son funciones de tres variables. Los planos, paraboloides, etcétera.
Pero, no todas las gráficas en tercera dimensión son funciones. ¿Cómo saberlo?
Aplicando la prueba de la recta vertical. Tanto en funciones de dos variables como
de tres, la recta vertical sirve para demostrar que una gráfica no es función. Una
esfera, por ejemplo, no es función puesto que no pasa dicha prueba; esto significa
que a un mismo punto coordenados (x, y) le corresponden dos valores de z. Rompe
con la definición de función.

17. Las funciones de varias variables también se someten a un rango y dominio, tal y
como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la idea es la misma. El
dominio es el conjunto de valores que puede tomar el argumento de la función sin
que esta se indefina. El rango es el conjunto de valores reales que toma la función z en
función del dominio.
El proceso para encontrar el dominio es similar a el caso de funciones de dos
variables, pero ahora se debe encontrar en función de la relación entre las variables
del argumento. Es decir, el dominio depende de como interactúan estas variables. Por
ejemplo:
Esta función es muy simple. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que
ambas variables pueden tomar cualquier valor de los números reales, puesto que la
función f jamás se indefinirá. La manera formal de escribirlo es:

18. De tal manera que el rango de la función es el conjunto de valores toma f o z, que en
realidad son todos los reales, pues nunca se indefine:
En funciones de varias variables, es posible graficar el dominio. Esto da una idea de
los valores que toman x y y en un plano, en el caso de una función de tres variables.
Para la función anterior, el gráfico del dominio es el siguiente:
Lo anterior se entiende como que un tapiz de puntos. Todos los valores de x y
de y son permitidos, y es por eso que se marca todo el plano cartesiano, en dos
dimensiones solamente.

19. Para el siguiente ejemplo de función:
Esta función es algo más compleja. Existe una raíz que afecta al argumento. El método
para encontrar dominios no es siempre el mismo. En este caso, se sabe que argumento
de una raíz cuadrada no puede ser negativo, por lo que el dominio queda de la
siguiente forma:
Es bastante simple de anotar para cualquier caso. Este dominio es el conjunto de
puntos que simplemente no indefinen a la función f. La imagen se encuentra
evaluando a la función desde el punto en que comienza a definirse y el punto donde
se alcanza el valor máximo de f, si es que lo hay:
Valor máximo
Valor mínimo

20. Ahora se escribe la imagen:
El dominio gráfico de la función se haya encontrando una gráfica bidimensional que
sirva de frontera para la indefinición y evaluando un punto por dentro y otro por
fuera y así determinar que región indefinie a f y cual no.
Esta función resulta ser una semiesfera que abarca al eje z positivo. La
circunferencia que describe a la mitad es justamente la frontera del dominio.

21. El último dominio que se puede graficar es el de una función de cuatro variables. En
estos caso, el dominio es una gráfica tridimensional. Por ejemplo:
El dominio se encuentra de la misma forma. Aunque la función tenga tres variables en
su argumento, existe un conjunto de valores que probablemente indefinan a f. La raíz
cuadrada del denominador no puede ser igual a 0. Así mismo, su argumento no
puede ser negativo. Por la conjunción de ambas condiciones se tiene que el dominio
es:
La gráfica del dominio está en tres dimensiones:
El gráfico es pues una esfera. Es importante notar
que la superficie está punteada pues solo el
"contenido" es parte del dominio. Si las variables del
argumento de la función tomaran valores de un
punto de la superficie, f se indefiniría.

22. Como consecuencia de lo expuesto podemos decir que las funciones de varias
variables son muy importantes y que poseen una gran cantidad de usos en distintas
ramas de la matemáticas, el conocimiento adquirido en este trabajo será de gran
provecho tanto en el uso de las matemáticas como en muchas otras áreas de la
ingeniera.
A lo largo de esta presentación aprendimos la estructura de cada sistema de
coordenadas expuestos y así mismo diferenciarlos y transformarlos según nuestro
requerimiento en el momento.
No olvidemos también lo importante que resulta ser la simetría en el área de las
matemáticas aplicadas a la ingeniera ya que en general, cada tipo de estructura en
matemáticas tendrá su propio tipo de simetría.

23. • Elaboradores de Wikipedia. (2020a, noviembre 13). Simetría. Wikipedia, la
enciclopedia libre. https://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADa
• Elaboradores de Wikipedia. (2020b, noviembre 17). Sistema de coordenadas.
Wikipedia, la enciclopedia libre.
https://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas
• Funciones de varias variables - Diario de Cálculo Vectorial. (s. f.). Diario de Cálculo
Vectorial. Recuperado 19 de noviembre de 2020, de
https://sites.google.com/site/calculovectorialhakim/funciones-de-varias-
variables

24. Maculet, A. (2020, 11 noviembre). Simetría: qué es en matemáticas y ejercicios. Smartick.
https://www.smartick.es/blog/matematicas/geometria/simetria/
SISTEMAS COORDENADOS - GEOMETRIA ANALITICA. (s. f.). Geometría
Analítica. Recuperado 19 de noviembre de 2020, de
https://sites.google.com/site/maritareas/unidad-1/sistemas-cordenados

25. https://www.youtube.com/watch?v=yGMjw8C9z-Y&ab_channel=ProfeMarcoAyala
https://www.youtube.com/watch?v=XkKXfu3PDw8&t=272s&ab_channel=ProfeMarcoAyala
https://www.youtube.com/watch?v=ERisW0OBWkY&ab_channel=ProfeMarcoAyala