LECTURA DERIVADA D UNA FUNCIÓN .pdf

APRENDE EN CASA 4
MATERIA: CÁLCULO DIFERENCIAL
BLOQUE 2
TEMA: DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
SÉPTIMA LECTURA
DEFINICIÓN Y DERIVADAS ALGEBRÁICAS
Hallar la derivada de una función es poner en práctica un procedimiento fundamental del cálculo diferencial
que permite observar cómo cambia una cantidad o una variable con respecto a otra en diversos eventos de
tipo físico, químico, biológico, económico incluso sociológico que son representados a través de un modelo
matemático.
En el siglo XVII surgió la necesidad de establecer la manera en que varía una cantidad con respecto a otra, fue
Isacc Newton quien en su afán por resolver el problema de la tangente a una curva, halló en 1665 un algoritmo
para derivar funciones algebraicas, se basó en el concepto de fluxión, expresión que para el significaba la
velocidad con que una variable “fluye” (varía) con el tiempo.
Diez años más tarde Leibniz, en sus investigaciones, aplicó un carácter geométrico y trató a la derivada como
un cociente de incrementos hallando correspondencia, con la pendiente de la recta tangente a una curva en
un punto dado.
DEFINICIÓN DE LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO
Desde el punto de vista de la geometría analítica, la
pendiente de una recta con puntos:
P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 )
Se define como: m=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
Si expresamos:
∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 como la diferencia de abscisas
∆𝑦 = 𝑦2 − 𝑦1 como la diferencia de ordenadas
Entonces podemos establecer que
m=
∆𝑦
∆𝑥
(cociente de incrementos)
expresión que se lee:
“razón de cambio de y con respecto a x”
Si decimos que 𝑓 es una función tal que 𝑦 = 𝑓(𝑥)
y P1 (x1 , y1 ) y P2 (x2 , y2 ) son puntos de 𝒇
entonces de la expresión:
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
Se tiene que al sustituir 𝑦 = 𝑓(𝑥) da:
∆𝒚
∆𝒙
=
𝒇(𝒙𝟐)−𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟐−𝒙𝟏
(Algoritmo de Newton)
definiéndose la Razón de Cambio Promedio de " 𝑦 "
con respecto a “x” .
Ahora bien, si 𝑦 = 𝑓(𝑥) representa una función
definida en todos los puntos del intervalo (𝒙,𝒚)
podemos precisar la Razón de Cambio Instantáneo
de la función en x mediante la expresión:
lim
∆𝑥→0
∆𝑦
∆𝑥
𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙𝟐) − 𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Ahora como ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 y 𝑥2 = 𝑥1 + ∆x
Podemos establecer que
𝑓′(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
Con lo cual se concluye que la razón de cambio
instantáneo de dos variables relacionadas es la
derivada de una función si existe el límite.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA.
Desde el punto de vista geométrico, la derivada es la pendiente de la recta tangente obtenida en un punto de
la gráfica de una función. A continuación la demostración:
De acuerdo con la gráfica, se tiene la función:
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Las coordenadas del punto P son: (𝑥1, 𝑦1)
Las coordenadas del punto Q son:
((𝑥1 + ∆𝑥, 𝑦1 + ∆𝑦)
La recta tangente es aquella que solo toca un punto
de la gráfica, que en este caso se muestra que es el
punto 𝑃(𝑥1, 𝑦1) .
La derivada de la función es la pendiente de la recta
tangente obtenida en el punto P de la gráfica de la
función.
Para lograr la recta tangente, se parte de una recta que se interseca en dos puntos de la gráfica de un función:
En la gráfica:
La recta que toca dos puntos de una curva se
llama Secante.
Puede observarse que:
A medida que ∆𝑥 va disminuyendo los puntos
por donde pasa la recta secante, se van
acercando ocasionando que cambie de posición.
La posición de ∆y cambió, se desplazó hacia
abajo, acercándose a ∆x.

Siguiendo con este proceso, al disminuir el
incremento ∆𝑥 de tal manera que se aproxima
a cero (∆𝑥 → 0) entonces los dos puntos (∆x y
∆y) se juntan en el límite de tal forma que la
recta secante se convierte en recta tangente al
pasar por un solo punto de la gráfica de la
función.
Así, la derivada de la función en un punto, es el
valor de la tangente del ángulo que la recta
tangente forma con el eje de las abscisas:
𝑓′(𝑥) = tan 𝛼
Finalmente se comprueba que:
𝑓′(𝑥) = tan 𝛼
𝑠𝑖: 𝑚 = tan 𝛼
y m=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
entonces:
tan 𝛼 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
=
∆𝑦
∆𝑥
Ahora también la:
tan 𝛼 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙𝟐) − 𝒇(𝒙𝟏)
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
Por lo tanto como ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 despejando
𝑥2 = 𝑥1 + ∆x
si hacemos:
𝑓(𝑥2) = 𝑓(𝑥 + ∆𝑥) 𝑦 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥)
Se puede concluir que al sustituir estos valores se
obtendría:
𝑓′(𝑥) = tan 𝛼 = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
= 𝒎
Que es la fórmula general que define la derivada
de una función.
Conclusión: La derivada es el resultado de un
límite y representa el valor de la pendiente de
la recta tangente al gráfico de una función.

CON BASE EN LO ANTERIORMENTE EXPUESTO, ES POSIBLE DECIR QUE: CUANDO SE DETERMINA EN UNA
FUNCIÓN 𝑓(𝑥) SU DERIVADA INDICADA COMO 𝑓′(𝑥), LO QUE REALMENTE SE ENCUENTRA ES LA
ECUACIÓN QUE REPRESENTA GEOMÉTRICAMENTE LA PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE EN UN PUNTO
DADO 𝑷[𝒙, 𝒇(𝒙)], ESTO SE HACE APLICANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA EXPRESADA DE LA SIGUIENTE
MANERA:
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
PARA EXPRESAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: 𝒚 = 𝒙 ó 𝒇(𝒙) = 𝒙 SE HAN ADOPTADO DIFERENTES
SÍMBOLOS, ENTRE LOS CUALES SE CITAN LOS SIGUIENTES:
𝒚′ 𝒇′(𝒙) 𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒅𝒇(𝒙)
𝒅𝒙
𝑫𝑿
EJERCICIO 1:
DE ACUERDO CON LA SIGUIENTE FUNCIÓN 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 2 DETERMINA:
a) LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
b) EL VALOR DE LA PENDIENTE EN EL PUNTO (−3, 12).
SOLUCIÓN:
1) SE DETERMINA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EMPLEANDO SU DEFINICIÓN DADA POR:
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
2) SE APLICA EN LA FORMULA: LA FUNCIÓN
MAS SU INCREMENTO MENOS LA FUNCIÓN
DADA:
∆𝒙→𝟎
[𝟑(𝒙 + ∆𝒙)𝟐
− 𝟐] − (𝟑𝒙𝟐
− 𝟐)
∆𝒙
SE SUSTITUYE EN LA DEFINICIÓN DE DERIVADA:
PRIMERO: LA FUNCIÓN MAS SU INCREMENTO:
[𝟑(𝒙 + ∆𝒙)𝟐
− 𝟐]
DONDE EXISTA 𝑥, SE LE AGREGARÁ SU INCREMENTO
EXPRESADO POR ∆x o sea: 𝒙 + ∆𝒙
SEGUNDO: SE RESTA LA FUNCIÓN DADA ES DECIR:
(𝟑𝒙𝟐
− 𝟐)
3) SE DESARROLLA EL BINOMIO
∆𝒙→𝟎
[𝟑(𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙∆𝒙 + ∆𝒙𝟐
) − 𝟐] − (𝟑𝒙𝟐
− 𝟐)
∆𝒙
Pasos para desarrollar un binomio al cuadrado:
 El primer término al cuadrado
 (+) o (−) el doble del primer término por el
segundo término.
 (+) el cuadrado del segundo término.
4) SE MULTIPLICA Y SE ELIMINAN PARÉNTESIS:
∆𝒙→𝟎
𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙∆𝒙 + 𝟑∆𝒙𝟐
− 𝟐 − 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟐
∆𝒙
EN LA FUNCIÓN MAS SU INCREMENTO SE HACEN
LAS OPERACIONES SIGUIENTES:
SE MULTIPLICA 3 POR EL BINOMIO
DESARROLLADO:
𝟑(𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙∆𝒙 + ∆𝒙𝟐
) = 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙∆𝒙 + 𝟑∆𝒙𝟐
A ESTE VALOR DE ACUERDO CON LA FUNCIÓN SE LE
ESTÁN RESTANDO DOS UNIDADES:
= 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙∆𝒙 + 𝟑∆𝒙𝟐
− 𝟐
EN LA SEGUNDA PARTE: MENOS LA FUNCIÓN
DADA SE QUITA EL PARÉNTESIS Y SE REALIZAN LAS
OPERACIONES DE SIGNOS QUEDANDO::
−(𝟑𝒙𝟐
− 𝟐) = −𝟑𝒙𝟐
+ 𝟐

5) SE REDUCEN TÉRMINOS SEMEJANTES
∆𝒙→𝟎
𝟑𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙∆𝒙 + 𝟑∆𝒙𝟐
− 𝟐 − 𝟑𝒙𝟐
+ 𝟐
∆𝒙
∆𝒙→𝟎
+𝟔𝒙∆𝒙 + 𝟑∆𝒙𝟐
∆𝒙
OPERACIONES:
𝟑𝒙𝟐
− 𝟑𝒙𝟐
= 𝟎
−𝟐 + 𝟐 = 𝟎
6) SE FACTORIZA POR FACTOR COMÚN:
∆𝒙→𝟎
∆𝒙(𝟔𝒙 + 𝟑∆𝒙)
∆𝒙
FACTORIZACIÓN POR FACTOR COMÚN:
+𝟔𝒙∆𝒙+𝟑∆𝒙𝟐
∆𝒙
los dos términos tienen en común a
∆𝒙, entonces:
∆𝒙(𝟔𝒙 + 𝟑∆𝒙)
∆𝒙
7) SE SIMPLIFICA LA EXPRESIÓN:
𝒇′(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
(𝟔𝒙 + 𝟑∆𝒙)
SE ELIMINA ∆𝒙 EN EL NUMERADOR Y EN EL
DENOMINADOR.
8) SE APLICA EL LÍMITE ∆𝒙 → 𝟎
∆𝒙→𝟎
[𝟔𝒙 + 𝟑(𝟎)]
SE SUSTITUYE ∆𝒙 POR CERO.
9) RESULTANDO
𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙
QUE ES LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐
− 𝟐
10) ENTONCES LA PENDIENTE DE LA FUNCIÓN
PARA EL PUNTO (−3, 12) ES:
𝒇′(𝒙) = 𝒎 = 𝟔𝒙 = 𝟔(−𝟑) = −𝟏𝟖
SE SUSTITUYE EL VALOR 𝒙 = −𝟑 EN LA DERIVADA
HALLADA.
RESPUESTA:
a) LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) = 3𝑥2
− 2 ES 𝑓′(𝑥) = 6𝑥
b) EL VALOR DE LA PENDIENTE EN EL PUNTO (−3, 12) ES IGUAL A −𝟏𝟖
EJEMPLO 2: DETERMINA PARA LA SIGUIENTE FUNCIÓN: 𝑓(𝑥) = −𝑥2
+ 3𝑥 + 2
a) LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
b) EL VALOR DE LA PENDIENTE EN EL PUNTO (2, 4).
1) SE DETERMINA LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EMPLEANDO SU DEFINICIÓN DADA POR:
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
2) SE APLICA EN LA FÓRMULA: LA FUNCIÓN MAS SU INCREMENTO MENOS LA FUNCIÓN DADA:
∆𝒙→𝟎
[−(𝒙 + ∆𝒙)𝟐
+ 𝟑(𝒙 + ∆𝒙) + 𝟐] − (−𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟐)
∆𝒙
PRIMERO: SE HA SUSTITUIDO EN LA FÓRMULA DE DERIVADA: LA FUNCIÓN MAS SU INCREMENTO O SEA,
EN CADA TÉRMINO DONDE EXISTA LA VARIABLE 𝒙 SE LE SUMARÁ SU INCREMENTO ∆𝒙 EXPRESANDOSE DE
LA SIGUIENTE MANERA (𝒙 + ∆𝒙) QUEDANDO:
PARA −𝑋2
SE EXPRESA −(𝑥 + ∆𝑥)2
LA FUNCIÓN MAS SU INCREMENTO SE ELEVA AL CUADRADO
DEBIDO AL EXPONENTE 2 DE LA VARIABLE, EL SIGNO NEGATIVO VA POR FUERA PORQUE LA FÓRMULA

SEÑALA (𝒙 + ∆𝒙) SERÍA INCORRECTO ESCRIBIR (−𝒙 + ∆𝒙)𝟐
.
PARA +3X SERÍA : + 3(𝒙 + ∆𝒙) . MAS EL TÉRMINO INDEPENDIENTE 2 QUE NO CONTIENE A LA VARIABLE 𝒙
SEGUNDO: SE RESTA LA FUNCIÓN DADA: 𝑓(𝑥) = −𝑥2
+ 3𝑥 + 2
3) SE DESARROLLA EL BINOMIO AL CUADRADO:
∆𝒙→𝟎
[−(𝒙+∆𝒙)𝟐 +𝟑(𝒙+∆𝒙)+𝟐]−(−𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟐)
∆𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
[−(𝒙𝟐+𝟐𝒙∆𝒙+∆𝒙𝟐)+𝟑(𝒙+∆𝒙)+𝟐]−(−𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟐)
∆𝒙
=
4) SE MULTIPLICAN FACTORES Y SE ELIMINAN PARÉNTESIS:
∆𝒙→𝟎
[−(𝒙𝟐+𝟐𝒙∆𝒙+∆𝒙𝟐)+𝟑(𝒙+∆𝒙)+𝟐]−(−𝒙𝟐+𝟑𝒙+𝟐)
∆𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
−𝒙𝟐−𝟐𝒙∆𝒙−∆𝒙𝟐 +𝟑𝒙+𝟑∆𝒙+𝟐+𝒙𝟐−𝟑𝒙−𝟐
∆𝒙
EN EL PRIMER TÉRMINO LA FUNCIÓN MAS SU INCREMENTO SE HACEN LAS OPERACIONES SIGUIENTES:
SE MULTIPLICA EL SIGNO NEGATIVO POR EL BINOMIO DESARROLLADO:
−(𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙∆𝒙 + ∆𝒙𝟐
) = −𝒙𝟐
− 𝟐𝒙∆𝒙 − ∆𝒙𝟐
EN EL SEGUNDO TÉRMINO SE MULTIPLICA 3 POR EL BINOMIO (𝒙 + ∆𝒙) :
𝟑(𝒙 + ∆𝒙) = 𝟑𝒙 + 𝟑∆𝒙
EL TERCER TÉRMINO ES +𝟐, VALOR QUE SOLO SE ADICIONA PORQUE NO LLEVA LA VARIABLE 𝒙 .
EN LA SEGUNDA PARTE: MENOS LA FUNCIÓN DADA SE QUITA EL PARÉNTESIS Y SE REALIZAN LAS
OPERACIONES DE SIGNOS QUEDANDO:
−(−𝑥2
+ 3𝑥 + 2) = 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟐
5) SE REDUCEN TÉRMINOS SEMEJANTES:
𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
−𝒙𝟐
− 𝟐𝒙∆𝒙 − ∆𝒙𝟐
+ 𝟑𝒙 + 𝟑∆𝒙 + 𝟐 + 𝒙𝟐
− 𝟑𝒙 − 𝟐
∆𝒙
∆𝒙→𝟎
−𝟐𝒙∆𝒙 − ∆𝒙𝟐
+ 𝟑∆𝒙
∆𝒙
6) SE FACTORIZA POR FACTOR COMÚN:
SE EXTRAE ∆𝒙 QUE ES EL TÉRMINO
COMÚN
∆𝒙→𝟎
∆𝒙(−𝟐𝒙 − ∆𝒙 + 𝟑)
∆𝒙
FACTORIZACIÓN:
−𝟐𝒙∆𝒙
∆𝒙
= −𝟐𝒙
−∆𝒙𝟐
∆𝒙
=
−(∆𝒙)(∆𝒙)
∆𝒙
= −∆𝒙
𝟑∆𝒙
∆𝒙
= 𝟑
7) SE SIMPLIFICA LA EXPRESIÓN: SE ELIMINA ∆𝒙 EN EL NUMERADOR Y EN EL DENOMINADOR
∆𝒙→𝟎
∆𝒙(−𝟐𝒙 − ∆𝒙 + 𝟑)
∆𝒙
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
(−𝟐𝒙 − ∆𝒙 + 𝟑)
APLICANDO EL LÍMITE ∆𝒙 → 𝟎 :
∆𝒙→𝟎
(−𝟐𝒙 − 𝟎 + 𝟑) = −𝟐𝒙 + 𝟑 QUE ES LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN.
.

8) EL VALOR DE LA PENDIENTE PARA EL PUNTO (2, 4) donde 𝑥 = 2:
𝒇′(𝒙) = 𝒎 = −𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝟐(𝟐) + 𝟑 = −𝟒 + 𝟑 = −𝟏
RESPUESTA:
c) LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) = −𝑥2
+ 3𝑥 + 2 ES 𝑓′(𝑥) = −2𝑥 + 3
d) EL VALOR DE LA PENDIENTE EN EL PUNTO (2, 4) ES IGUAL A −1
EJEMPLO 3: DERIVA LA SIGUIENTE FUNCIÓN 𝑓(𝑥) =
2𝑥 −3
𝑥 + 4 APLICANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA
FÓRMULA DE LA DEFINICIÓN DE
DERIVADA 𝑓′(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
SE SUSTITUYE: LA FUNCIÓN
MAS SU INCREMENTO Y SE
RESTA LA FUNCIÓN DADA 𝑓′(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
[𝟐(𝒙 + ∆𝒙) − 𝟑]
[(𝒙 + ∆𝒙) + 𝟒]
−
2𝑥 − 3
𝑥 + 4
∆𝒙
SE REDUCE EN EL NUMERADOR
A UNA SOLA FRACCIÓN
APLICANDO PROPIEDADES
PARA RESOLVER FRACCIONES
CON DIFERENTE
DENOMINADOR:
𝐴
𝐵
±
𝐶
𝐷
=
𝐴𝐷 ± 𝐵𝐶
𝐵𝐷
∆𝒙→𝟎
[𝟐(𝒙 + ∆𝒙) − 𝟑](𝒙 + 𝟒) − [(𝒙 + ∆𝒙) + 𝟒](𝟐𝒙 − 𝟑)]
[(𝒙 + ∆𝒙) + 𝟒](𝒙 + 𝟒)
∆𝒙
=
SE ELIMINAN LOS PARÉNTESIS INTERNOS EN NUMERADOR Y
DENOMINADOR
QUEDANDO:
∆𝒙→𝟎
[𝟐𝒙 + 𝟐∆𝒙 − 𝟑](𝒙 + 𝟒) − [𝒙 + ∆𝒙 + 𝟒](𝟐𝒙 − 𝟑)]
[𝒙 + ∆𝒙 + 𝟒](𝒙 + 𝟒)
∆𝒙
=
SE MULTIPLICAN LOS PRODUCTOS FORMADOS:
∆𝒙→𝟎
[𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙∆𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟖∆𝒙 − 𝟏𝟐] − [𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙∆𝒙 + 𝟖𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟑∆𝒙 − 𝟏𝟐]
[𝒙𝟐 + 𝒙∆𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟒∆𝒙 + 𝟏𝟔]
∆𝒙
=
SE ELIMINAN PARÉNTESIS EN EL NUMERADOR Y SE REDUCEN TÉRMINOS SEMEJANTES EN LA
FRACCIÓN:
∆𝒙→𝟎
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙∆𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟖∆𝒙 − 𝟏𝟐 − 𝟐𝒙𝟐
− 𝟐𝒙∆𝒙 − 𝟖𝒙 + 𝟑𝒙 − 𝟑∆𝒙 + 𝟏𝟐
[𝒙𝟐 + 𝒙∆𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟒∆𝒙 + 𝟏𝟔]
∆𝒙
=

SE MULTIPLICAN MEDIOS POR MEDIOS Y EXTREMOS POR EXTREMOS Y SE ELIMINA ∆𝑥:
∆𝒙→𝟎
𝟓∆𝒙
[𝒙𝟐 + 𝒙∆𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟒∆𝒙 + 𝟏𝟔]
∆𝒙
𝟏
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝟓∆𝒙
∆𝒙[𝒙𝟐 + 𝒙∆𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟒∆𝒙 + 𝟏𝟔]
= 𝑓′(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝟓
𝒙𝟐 + 𝒙∆𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟒∆𝒙 + 𝟏𝟔
SE APLICA EL LÍMITE SUSTITUYENDO ∆𝑥 𝑃𝑂𝑅 𝐶𝐸𝑅𝑂 OBTENIÉNDOSE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
∆𝒙→𝟎
𝟓
𝒙𝟐 + 𝒙∆𝒙 + 𝟖𝒙 + 𝟒∆𝒙 + 𝟏𝟔
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝟓
[𝒙𝟐 + 𝒙(𝟎) + 𝟖𝒙 + 𝟒(𝟎) + 𝟏𝟔]
=
𝟓
[𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟏𝟔]
SE FACTORIZA EL DENOMINADOR PORQUE ES UN TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:
𝒇′(𝒙) =
𝟓
(𝒙 + 𝟒)𝟐
RESPUESTA:
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) =
2𝑥 −3
𝑥 + 4 ES 𝒇′(𝒙) =
𝟓
(𝒙+𝟒)𝟐
EJEMPLO 4: DERIVA LA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑥 APLICANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA
FÓRMULA DE LA DEFINICIÓN DE
DERIVADA 𝑓′(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
SE SUSTITUYE EN LA FÓRMULA:
LA FUNCIÓN MAS SU
INCREMENTO Y SE RESTA LA
FUNCIÓN DADA
∆𝒙→𝟎
√1 + 2(𝑥 + ∆𝑥) − √1 + 2𝑥
∆𝒙
SE QUITAN PARÉNTESIS
DENTRO DEL PRIMER RADICAL: 𝑓′(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 − √1 + 2𝑥
∆𝒙
SE RACIONALIZA MULTIPLICANDO POR EL CONJUGADO DE LA RAÍZ Y SE REDUCEN TÉRMINOS
SEMEJANTES EN EL NUMERADOR:
∆𝒙→𝟎
√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 − √1 + 2𝑥
∆𝒙
∙
√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 + √1 + 2𝑥
√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 + √1 + 2𝑥
=
∆𝒙→𝟎
(1 + 2𝑥 + 2∆𝑥) − (1 + 2𝑥)
∆𝑥(√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 + √1 + 2𝑥)
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 − 1 − 2𝑥
∆𝑥(√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 + √1 + 2𝑥)
SE CANCELA ∆𝑥 EN NUMERADOR Y DENOMINADOR
∆𝒙→𝟎
2∆𝑥
∆𝑥(√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 + √1 + 2𝑥)
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
2
(√1 + 2𝑥 + 2∆𝑥 + √1 + 2𝑥)

SE APLICA EL LÍMITE SUSTITUYENDO ∆𝑥 𝑃𝑂𝑅 𝐶𝐸𝑅𝑂 OBTENIÉNDOSE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
∆𝒙→𝟎
2
√1 + 2𝑥 + 2(0) + √1 + 2𝑥
=
2
√1 + 2𝑥 + √1 + 2𝑥
=
2
2√1 + 2𝑥
=
1
√1 + 2𝑥
RESPUESTA
LA DERIVADA LA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) = √1 + 2𝑥 ES 𝑓′(𝑥) =
1
√1+2𝑥
DERIVADA DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
PRIMERA PARTE
DESPUÉS DE HABER RECONOCIDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN APLICANDO EL CONCEPTO
DE LÍMITES, ES IMPORTANTE MOSTRARSE DE ACUERDO QUE CUANDO SE USA DICHA DEFINICIÓN PARA
HALLAR LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, RESULTA TEDIOSO EL PROCEDIMIENTO, MUY LABORIOSO Y LA
MAYOR PARTE DE LAS VECES, DIFÍCIL DE APLICAR, YA QUE EL OBJETIVO PRINCIPAL CONSISTE EN ORDENAR
EL LÍMITE, PARA LOGRAR CANCELAR EL INCREMENTO DE LA VARIABLE x O SEA ELIMINAR ∆𝒙.
POR ESTA RAZÓN, LA MANERA MAS SENCILLA Y RÁPIDA CONSISTE EN APLICAR UNA SERIE DE REGLAS O
TEOREMAS QUE HAN SURGIDO DE LA MISMA DEFINICIÓN DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN, LAS CUALES A
CONTINUACIÓN SERÁN ENUNCIADAS.
ANTES DE EMPEZAR A DERIVAR, SE DEBE TENER PRESENTE QUE EL VALOR DE LA DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN EN CUALQUIER PUNTO DE LA CURVA FORMADA EN SU GRÁFICA, ES IGUAL A LA PENDIENTE DE LA
TANGENTE A LA CURVA EN ESE PUNTO.
REGLAS DE DERIVACIÓN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS
1.- LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE ES IGUAL A CERO:
𝑑
𝑑𝑥
( c) = 0
Derivar: 𝒇(𝒙) = 𝟓
Resp: 𝑓′(𝑥) = 0
Derivar: 𝒚 = −𝟖
Resp: 𝑦′ = 0
Derivar: 𝒇(𝒙) =
𝟕
𝟒
Derivar: 𝒚 = −
𝟑
𝟒
Resp: 𝑦 = 0
EN CONCLUSIÓN: LA DERIVADA DE CUALQUIER NÚMERO ES CERO.
2.- LA DERIVADA DE 𝒙 ES IGUAL A 1:
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙) =
𝒅𝒙
𝒅𝒙
= 𝟏
LA DERIVADA DE 𝒙 CON
RESPECTO a 𝒙 ES
IGUAL A UN ENTERO.
3.- LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR LA VARIABLE x ES IGUAL AL VALOR DE LA CONSTANTE:
𝒅
𝒅𝒙
(𝒄𝒙) = 𝒄

Derivar: 𝒇(𝒙) = 𝟕𝒙
LA DERIVADA DE 𝑿 ES 1
MULTIPLICADO POR 7 ES 7.
Derivar: 𝒚 = −𝟔x
Resp: 𝑦′ = −6
LA DERIVADA DE 𝑿 ES 1
MULTIPLICADO POR −𝟔 ES −𝟔.
Derivar: 𝒇(𝒙) =
𝟗
𝟖
𝒙
Resp: 𝑓′(𝑥) =
9
8
Derivar: 𝒚 = −
𝟓
𝟏𝟏
x
Resp: 𝑦′ = −
5
11
4.- LA DERIVADA DE LA VARIABLE x ELEVADA A LA POTENCIA n, ES IGUAL AL PRODUCTO DEL EXPONENTE
MULTIPLICADO POR LA VARIABLE x ELEVADA A LA POTENCIA 𝒏 − 𝟏:
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝒏) = 𝒏𝒙𝒏−𝟏
Derivar: 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟓
𝒇′(𝒙) = 𝟓𝒙𝟓−𝟏
𝒇′(𝒙) = 𝟓𝒙𝟒
SE BAJA EL EXPONENTE 5
Y SE ANTEPONE COMO
COEFICIENTE DE X.
EN LA VARIABLE X SU
EXPONENTE SE REDUCE A
4 AL RESTARSE UN
ENTERO:
𝟓 − 𝟏 = 𝟒
Derivar: 𝒚 = 𝒙−𝟑
𝒚′ = −𝟑𝒙−𝟑−𝟏
𝒚′
= −𝟑𝒙−𝟒
SE BAJA EL EXPONENTE
NEGATIVO −𝟑 COMO
COEFICIENTE DE 𝑿 QUE
REDUCE SU EXPONENTE A
−𝟒 POR LA OPERACIÓN
EXPONENCIAL: 𝒏 − 𝟏:
−𝟑 − 𝟏 = −𝟒
CANTIDADES CON SIGNOS
IGUALES SE SUMAN Y SE
ESCRIBE EL SIGNO QUE
LAS ACOMPAÑA.
Derivar 𝒇 = 𝒙
𝟑
𝟕
𝒇′(𝒙) =
𝟑
𝟕
𝒙
𝟑
𝟕
−
𝟕
𝟕
𝒇′ =
𝟑
𝟕
𝒙−
𝟒
𝟕
𝟑
𝟕
SE ANTEPONE COMO
COEFICIENTE DE 𝒙 Y A SU
EXPONENTE SE LE RESTA
UN ENTERO DANDO −
𝟒
𝟕
:
𝒏 − 𝟏:
𝟑
𝟕
−
𝟕
𝟕
= −
𝟒
𝟕
UN ENTERO EQUIVALE A
𝟕
𝟕
Derivar 𝒚 = 𝒙−
𝟗
𝟒
𝒚′
= −
𝟗
𝟒
𝒙−
𝟗
𝟒
−
𝟒
𝟒
𝒚′
= −
𝟗
𝟒
𝒙−
𝟏𝟑
𝟒
NEGATIVO −
𝟗
𝟒
COMO
COEFICIENTE DE LA
VARIABLE 𝑿 QUE
CONVIERTE SU EXPONENTE
EN −
𝟏𝟑
𝟒
POR LA
OPERACIÓN EXPONENCIAL:
−
𝟗
𝟒
−
𝟒
𝟒
= −
𝟏𝟑
𝟒
UN ENTERO EQUIVALE A
𝟒
𝟒
EN CONCLUSIÓN: PARA DERIVAR UNA VARIABLE X ELEVADA A UN EXPONENTE SE REALIZA LO SIGUIENTE:
SE BAJA EL EXPONENTE Y SE ESCRIBE LA VARIABLE X CON SU EXPONENTE DISMINUIDO EN UNA UNIDAD.
CUANDO EXISTE UN COEFICIENTE ANTEPUESTO A LA VARIABLE 𝒙 CON EXPONENTE n: 𝒚 = 𝒄𝒙𝒏
LA EXPRESIÓN SE DERIVA MULTIPLICANDO EL COEFICIENTE POR EL EXPONENTE PONIENDO EL
RESULTADO COMO COEFICIENTE DE LA VARIABLE X, QUIEN TENDRÁ SU EXPONENTE DISMINUIDO EN
UNA UNIDAD: 𝒚′ = (𝒄)(𝒏)𝒙𝒏−𝟏
Derivar: 𝒇(𝒙) = −𝟒 𝒙𝟕
𝒇′(𝒙) = (−𝟒)(𝟕)𝒙𝟕−𝟏
𝒇′(𝒙) = −𝟐𝟖 𝒙𝟔
SE MULTIPLICA EL
COEFICIENTE (─4) POR EL
EXPONENTE (7), EL
RESULTADO SE ANTEPONE
A LA VARIABLE 𝒙, CON SU
EXPONENTE DISMINUIDO
EN UNA UNIDAD; SIN
Derivar 𝒚 = 𝟔𝒙−𝟖
𝒚′ = (𝟔)(−𝟖)𝒙−𝟖−𝟏
𝒚′
= −𝟒𝟖𝒙−𝟗
SE MULTIPLICA EL
COEFICIENTE (6) POR EL
EXPONENTE (−𝟖), EL
RESULTADO SE
ANTEPONE A LA VARIABLE
𝒙, CON SU EXPONENTE
DISMINUIDO EN UNA
Derivar: 𝒇(𝒙) = 𝟓 𝒙
𝟖
𝟗
𝒇′(𝒙) = (𝟓)(
𝟖
𝟗
)𝒙
𝟖
𝟗
−
𝟗
𝟗
𝒇′(𝒙) =
𝟒𝟎
𝟗
𝒙−
𝟏
𝟗
SE MULTIPLICA (5) por el
numerador de la fracción
(
𝟖
𝟗
) EL RESULTADO SE
ANTEPONE A LA VARIABLE
𝒙, CON SU EXPONENTE
DISMINUIDO EN UNA
Derivar: 𝒚 = −
𝟕
𝟐
𝒙−
𝟒
𝟓
𝒚′
= (−
𝟕
𝟐
)(−
𝟒
𝟓
)𝒙−
𝟒
𝟓
−
𝟓
𝟓
𝒚′
=
𝟐𝟖
𝟏𝟎
𝒙−
𝟗
𝟓 =
𝟏𝟒
𝟓
𝒙−
𝟗
𝟓
SE MULTIPLICA
(−
𝟕
𝟐
) (−
𝟒
𝟓
) =
𝟐𝟖
𝟏𝟎
HAY OPERACIÓN DE
SIGNOS.

OLVIDAR SIGNOS U
OPERACIÓN DE ELLOS SI
EXISTE: (7−𝟏) = 𝟔
UNIDAD; SIN OLVIDAR
SIGNOS U OPERACIÓN DE
ELLOS SI EXISTE: (−𝟖 −
𝟏) = −𝟗
UNIDAD NO DEBE
OLVIDARSE LA OPERACIÓN
DE SIGNOS. LA FRACCIÓN
NO ES REDUCIBLE A LA
MINIMA EXPRESIÓN.
EN LA FRACCIÓN SUS
VALORES SON DIVISIBLES
ENTRE 2.
5.- SI SE TIENE LA DERIVADA DE UNA SUMA O UNA RESTA DE FUNCIONES (𝒇 ± 𝒈)(𝒙) ENTONCES SU
DERIVADA ES LA SUMA O RESTA DE SUS DERIVADAS:
𝑭(𝒙) = 𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙) = (𝒇 ± 𝒈)′ (𝒙) = 𝒇′(𝒙) ± 𝒈′(𝒙)
Derivar: 𝒇(𝒙) = 𝟒𝒙𝟑
+ 𝟓𝒙 + 𝟏𝟔
𝒇′(𝒙) = 𝟏𝟐𝒙𝟐
+ 𝟓
EN EL PRIMER TÉRMINO SE
MULTIPLICA (4)(3), EL RESULTADO
12 SE ANTEPONE A 𝒙 Y SU
EXPONENTE 3 SE DISMINUYE EN
UNA UNIDAD DE ACUERDO CON LA
REGLA 4, EN EL SEGUNDO TÉRMINO
LA DERIVADA DE 𝒙 ES 1 QUE
MULTIPLICADO POR 5 DA 5 Y LA
DERIVADA DE 16 ES CERO, NO SE
ESCRIBE.
Derivar:
𝒇(𝒙) = − 𝟐𝒙𝟓
− 𝟔𝒙𝟑
− 𝒙 − 𝟏𝟐
𝒇′(𝒙) = −𝟏𝟎𝒙𝟒
− 𝟏𝟖𝒙𝟐
− 𝟏
EN EL PRIMER TÉRMINO SE
MULTIPLICA (−𝟐)(5), EL RESULTADO
─10 SE ANTEPONE A 𝒙 Y SU
EXPONENTE 5 SE DISMINUYE EN
UNA UNIDAD DE ACUERDO CON LA
REGLA 4, EN EL SEGUNDO TÉRMINO
SE MULTIPLICA (−𝟔)(3), EL
RESULTADO ─18 SE ANTEPONE A 𝒙
Y SU EXPONENTE 5 SE DISMINUYE
EN UNA UNIDAD DE ACUERDO CON
LA REGLA 4, EN EL TERCER
TÉRMINO LA DERIVADA DE 𝒙 ES 1
Y EN EL CUARTO TÉRMINO LA
DERIVADA DE ─12 ES CERO, NO SE
ESCRIBE.
Derivar:
𝒇(𝒙) = 𝒙
𝟑
𝟖 +
𝟏𝟏
𝟐
𝒙
𝒇′(𝒙) =
𝟑
𝟖
𝒙−
𝟓
𝟖 +
𝟏𝟏
𝟐
EN EL PRIMER TÉRMNO SE APLICA
LA REGLA 4, SE BAJA EL EXPONENTE
𝟑
𝟖
Y SE ESCRIBE COMO COEFICIENTE
DE 𝒙 RESTÁNDOLE UN ENTERO
CONVERTIDO EN FRACCIÓN A SU
EXPONENTE:
𝟑
𝟖
−
𝟖
𝟖
EN EL SEGUNDO TÉRMINO SE
APLICA LA REGLA 3: DERIVADA DE X
ES IGUAL A UNO QUE
MULTIPLICADA POR LA CONSTANTE
𝟏𝟏
𝟐
DA EL MISMO VALOR.
Derivar: 𝒇(𝒙) = 𝟖𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
−
𝟓
𝟕
𝒙 + 𝟐𝟓
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙𝟐
+ 𝟔𝒙 −
𝟓
𝟕
EN EL PRIMER TÉRMINO SE MULTIPLICA (𝟖)(3), EL
RESULTADO 24 SE ANTEPONE A 𝒙 Y SU EXPONENTE 3
SE DISMINUYE EN UNA UNIDAD DE ACUERDO CON LA
REGLA 4, EN EL SEGUNDO TÉRMINO SE MULTIPLICA
(𝟑)(2), EL RESULTADO 6 SE ANTEPONE A 𝒙 Y SU
EXPONENTE 2 SE DISMINUYE EN UNA UNIDAD DE
ACUERDO CON LA REGLA 4, EN EL TERCER TÉRMINO LA
DERIVADA DE 𝒙 ES 1 QUE MULTIPLICADO POR
𝟓
𝟕
DA EL
MISMO VALOR, FINALMENTE EN EL CUARTO TÉRMINO
LA DERIVADA DE 25 ES CERO, NO SE ESCRIBE.
DERIVAR:
𝒚 = 𝟓𝒙𝟔
−
𝟑
𝟒
𝒙𝟒
+
𝟖
𝟏𝟎
𝒙𝟐
– 𝟏𝟒
𝒚′
= 𝟑𝟎𝒙𝟓
−
𝟏𝟐
𝟒
𝒙𝟑
+
𝟏𝟔
𝟏𝟎
𝒙
𝒚′
= 𝟑𝟎𝒙𝟓
− 𝟑𝒙𝟑
+
𝟖
𝟓
𝒙
PRIMER TÉRMINO: COEFICIENTE POR EXPONENTE, EL
RESULTADO SE ANTEPONE A LA VARIABLE 𝒙, A QUIEN
SU EXPONENTE SE LE RESTA UN ENTERO.
SEGUNDO Y TERCER TÉRMINO: SE MULTIPLICA
NUMERADOR DE CADA FRACCIÓN POR SU RESPECTIVO
EXPONENTE, EL RESULTADO SE ANTEPONE A LA
VARIABLE 𝒙, A SU EXPONENTE SE LE RESTA UN ENTERO
AL TENER UN RESULTADO EN FRACCIÓN SE REVISA SI
ES POSIBLE SIMPLIFICAR RESULTADOS, EN EL SEGUNDO
TÉRMINO 12 ES DIVISIBLE ENTRE 4 Y EN EL TERCER
TÉRMINO, NUMERADOR Y DENOMINADOR TIENEN
CADA UNO MITAD.
EL CUARTO TÉRMINO ES UNA CONSTANTE SU
DERIVADA VALE CERO. NO SE ESCRIBE.

CONCLUSIÓN: CUANDO SE DERIVA LA SUMA O RESTA DE DOS O MÁS FUNCIONES, SE RESUELVE DERIVANDO
UNO POR UNO CADA TÉRMINO DE LA EXPRESIÓN DADA.
6.- LA DERIVADA DE LA RAÍZ CUADRADA DE UNA VARIABLE ES IGUAL AL COCIENTE DE LA DERIVADA DE LA
VARIABLE DIVIDIDA ENTRE 2 VECES LA RAÍZ DE LA VARIABLE:
𝒅
𝒅𝒙
(√𝒗) =
𝒅
𝒅𝒙
(𝒗)
𝟐√𝒗
Derivar:
𝒇(𝒙) = √𝟒𝒙 − 𝟓
De acuerdo con la fórmula el
radicando es 𝒗 cuya expresión es:
𝒗 = 𝟒𝒙 − 𝟓
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟒
La derivada se obtuvo: derivada
de x es 1 multiplicado por 4 es 4,
la derivada de 5 es cero.
Sustituyendo en la fórmula y
simplificando 4 entre 2 :
𝒇′(𝒙) =
𝟒
𝟐√𝟒𝒙 − 𝟓
=
𝟐
√𝟒𝒙 − 𝟓
𝒇′(𝒙) =
𝟐
√𝟒𝒙 − 𝟓
Derivar:
𝒇(𝒙) = √𝟐 − 𝟔𝒙𝟐
𝒗 = 𝟐 − 𝟔𝒙𝟐 𝒅𝒗
𝒅𝒙
= −𝟏𝟐𝒙
de 2 es cero, en el segundo
término: coeficiente −𝟔 por el
exponente 2 da ─12x, exponen-
te de x es 1 porque a 2 se le resto
1 entero de acuerdo a la regla 4.
simplificando ─12 entre 2 :
𝒇′(𝒙) =
─𝟏𝟐𝒙
𝟐√𝟐 − 𝟔𝒙𝟐
=
−𝟔𝒙
√𝟐 − 𝟔𝒙𝟐
𝒇′(𝒙) = −
𝟔𝒙
√𝟐 − 𝟔𝒙𝟐
Derivar:
𝑦 = √5𝑥4 + 𝑥2 − 14
radicando es v cuya expresión es:
𝒗 = 𝟓𝒙𝟒
+ 𝒙𝟐
− 𝟏𝟒
Su derivada es:
aplicando la regla 4:
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐𝟎𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙
simplificando 𝟐𝟎𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙 entre 2 :
𝒇′(𝒙) =
𝟐𝟎𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙
𝟐√𝟓𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟒
=
𝒇′(𝒙) =
𝟏𝟎𝒙𝟑
+ 𝒙
√𝟓𝒙𝟒 + 𝒙𝟐 − 𝟏𝟒
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = √𝟑 − 𝒙
𝒗 = 𝟑 − 𝒙
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= −𝟏
de 3 es igual a cero y la derivada
de −x es −1. Sustituyendo en la
fórmula :
𝒇′(𝒙) =
−𝟏
𝟐√𝟑 − 𝒙
= −
𝟏
𝟐√𝟑 − 𝒙
∴ 𝒇′(𝒙) = −
𝟏
𝟐√𝟑 − 𝒙
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 + 𝟏𝟎
𝒗 = 𝒙𝟐
+ 𝟏𝟎
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟐𝒙
de x2
es 2x, la derivada de 10 es
cero. Sustituyendo en la fórmula y
simplificando 2 entre 2 :
𝒇′(𝒙) =
𝟐𝒙
𝟐√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎
=
𝒙
√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎
∴ 𝒇′(𝒙) =
𝒙
√𝒙𝟐 + 𝟏𝟎
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = √𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟑𝟔
radicando es v cuya expresión es:
𝒗 = 𝟒𝒙𝟐
− 𝟐𝟒𝒙 + 𝟑𝟔
Su derivada es:
aplicando la regla 4:
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟖𝒙 − 𝟐𝟒
simplificando 𝟖𝒙 − 𝟐𝟒 entre 2 :
𝒇′(𝒙) =
𝟖𝒙 − 𝟐𝟒
𝟐√𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟑𝟔
=
𝒇′(𝒙) =
𝟒𝒙 + 𝟏𝟐
√𝟒𝒙𝟐 − 𝟐𝟒𝒙 + 𝟑𝟔

7.- LA DERIVADA DE LA RAÍZ ENÉSIMA DE UNA VARIABLE ES IGUAL AL COCIENTE DE LA DERIVADA DE LA
VARIABLE DIVIDIDA ENTRE n VECES LA RAÍZ DE LA VARIABLE CON EXPONENTE OBTENIDO DE LA DIFERENCIA
DEL INDICE DE LA RAÍZ MENOS UN ENTERO:
𝒅
𝒅𝒙
(√𝒗
𝒏
) =
𝒅
𝒅𝒙
(𝒗)
𝒏√𝒗𝒏−𝟏
𝒏
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = √𝒙
𝟓
𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝟓√𝒙𝟒
𝟓
LA DERIVADA DE LA VARIABLE X
ES UN ENTERO, SE ESCRIBE EN EL
NUMERADOR Y EN EL
DENOMINADOR SE ESCRIBE n QUE
EN ESTE CASO ES 5, LUEGO LA
RAÍZ CON ÍNDICE 5 Y EN EL
RADICANDO LA VARIABLE X CON
EXPONENTE 4 YA QUE AL ÍNDICE
DE LA RAÍZ 5 SE LE RESTA UN
ENTERO DE ACUERDO A LA
FÓRMULA DADA.
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = √𝒙
𝟏𝟒
𝒇′(𝒙) =
𝟏
𝟏𝟒 √𝒙𝟏𝟑
𝟏𝟒
LA DERIVADA DE LA VARIABLE X
ES UN ENTERO, SE ESCRIBE EN EL
NUMERADOR Y EN EL
RADICANDO LA VARIABLE X CON
EXPONENTE 13 YA QUE AL ÍNDICE
DE LA RAÍZ 14 SE LE RESTA UN
ENTERO DE ACUERDO A LA
FÓRMULA DADA.
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = √(𝟑𝒙 + 𝟐)
𝟕
𝒗 = (𝟑𝒙 + 𝟐)
𝒅𝒗
𝒅𝒙
=3
𝒇′(𝒙) =
𝟑
𝟕√(𝟑𝒙 + 𝟐)𝟔
𝟕
LA DERIVADA DE LA VARIABLE
(3X+𝟐) ES 3, SE ESCRIBE EN EL
NUMERADOR Y EN EL
RADICANDO LA VARIABLE (3X+𝟐)
CON EXPONENTE 6 YA QUE AL
ÍNDICE DE LA RAÍZ 7 SE LE RESTA
UN ENTERO DE ACUERDO A LA
FÓRMULA DADA.
DERIVAR:
𝒗 = 𝒙𝟓
− 𝒙𝟑
− 𝟐
𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟓𝒙𝟒
− 𝟑𝒙𝟐
𝒇′(𝒙) =
𝟓𝒙𝟒
− 𝟑𝒙𝟐
𝟒√(𝒙𝟓 − 𝒙𝟑 − 𝟐)𝟑
𝟒
LA DERIVADA DE LA VARIABLE (𝒙𝟓
− 𝒙𝟑
− 𝟐) ES
(𝟓𝒙𝟒
− 𝟑𝒙𝟐
) y SE ESCRIBE EN EL NUMERADOR Y EN
EL DENOMINADOR SE ESCRIBE n QUE EN ESTE CASO
ES 4, LUEGO LA RAÍZ CON ÍNDICE 4 Y EN EL
RADICANDO LA VARIABLE (𝒙𝟓
− 𝒙𝟑
− 𝟐) CON
EXPONENTE 3 YA QUE AL ÍNDICE DE LA RAÍZ 4 SE LE
RESTA UN ENTERO DE ACUERDO A LA FÓRMULA
DADA.
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = √𝟑𝒙𝟒 + 𝒙𝟐
𝟔
𝒗 = 𝟑𝒙𝟒
+ 𝒙𝟐 𝒅𝒗
𝒅𝒙
= 𝟏𝟐𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙
𝒇′(𝒙) =
𝟏𝟐𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙
𝟔√(𝟑𝒙𝟒 + 𝒙𝟐)𝟓
𝟔
=
𝟔𝒙𝟑
+ 𝒙
𝟑√(𝟑𝒙𝟒 + 𝒙𝟐)𝟓
𝟔
LA DERIVADA DE LA VARIABLE (𝟑𝒙𝟒
+ 𝒙𝟐
) ES
(𝟏𝟐𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙) y SE ESCRIBE EN EL NUMERADOR Y EN
EL DENOMINADOR SE ESCRIBE n QUE EN ESTE CASO
ES 6, LUEGO LA RAÍZ CON ÍNDICE 6 Y EN EL
RADICANDO LA VARIABLE (𝟑𝒙𝟒
+ 𝒙𝟐
) CON
EXPONENTE 5 YA QUE AL ÍNDICE DE LA RAÍZ 6 SE LE
RESTA UN ENTERO DE ACUERDO A LA FÓRMULA
DADA.

8.- LA DERIVADA DE UNA VARIABLE SOBRE UNA CONSTANTE ES IGUAL A LA DERIVADA DE LA VARIABLE
SOBRE EL VALOR DE LA CONSTANTE:
𝒅
𝒅𝒙
(
𝒗
𝒄
) =
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒄
DERIVAR:
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟓
𝟐
𝒇′(𝒙) =
𝟓𝒙𝟒
𝟐
SE DERIVA EL NUMERADOR
APLICANDO LA REGLA 4: SE BAJA
EL EXPONENTE 5 EL CUAL SE
ESCRIBE COMO COEFICIENTE DE X
EN LA VARIABLE X, SU
EXPONENTE SE REDUCE A 4 AL
RESTARSE UN ENTERO AL
EXPONENTE 5.
LA CONSTANTE 2 PERMANECE EN
EL DENOMINADOR COMO LO
INDICA LA FÓRMULA.
LA FRACCIÓN 5/2 NO SE PUEDE
SIMPLIFICAR.
DERIVAR:
𝒇(𝒙) =
𝒙𝟑
+ 𝟐
𝟑
𝒇(𝒙) =
𝟑𝒙𝟐
𝟑
= 𝒙𝟐
SE DERIVA APLICANDO LA REGLA
4 EN EL PRIMER TÉRMINO DEL
NUMERADOR, SE BAJA EL
EXPONENTE 3 EL CUAL SE ESCRIBE
COMO COEFICIENTE DE X.
EN LA VARIABLE X, SU
EXPONENTE SE REDUCE A 2 AL
RESTARSE UN ENTERO AL
EXPONENTE 3. EN EL SEGUNDO
TÉRMINO LA DERIVADA DE 2 ES
CERO POR SER UNA CONSTANTE.
INDICA LA FÓRMULA.
EL NUMERADOR 3 ES DIVISIBLE
ENTRE EL DENOMINADOR 3 AL
SIMPLIFICAR DA 1 ENTERO QUE
MULTIPLICA A 𝒙𝟐
DANDO COMO
RESULTADO 𝒙𝟐
.
DERIVAR:
𝒇(𝒙) = −
𝟓𝒙𝟐
𝟒
𝒇′(𝒙) = −
𝟏𝟎𝒙
𝟒
= −
𝟓𝒙
𝟐
SE DERIVA EL NUMERADOR
APLICANDO LA REGLA 4: SE
MULTIPLICA EL COEFICIENTE 5
POR EL EXPONENTE 2, EL
RESULTADO 10 SE ANTEPONE A LA
VARIABLE X A QUIEN SU
EXPONENTE 2 SE LE RESTA UN
ENTERO.
INDICA LA FÓRMULA.
EL NUMERADOR 10 Y EL
DENOMINADOR 2 TIENEN MITAD,
SE SIMPLIFICAN OBTENIÉNDOSE
EL RESULTADO FINAL.
SE DEBE TENER PRESENTE QUE LA
FRACCIÓN ES NEGATIVA POR ESA
RAZÓN EN TODAS LAS
OPERACIONES DEBE ESCRIBIRSE EL
SIGNO NEGATIVO.
LIGAS ELECTRÓNICAS PARA REFORZAR EL CONOCIMIENTO DEL TEMA:
Aprende a derivar desde cero - sesión 1 https://www.youtube.com/watch?v=Md0pcDzh2iQ
50 DERIVADAS para Principiantes https://www.youtube.com/watch?v=oxZdtDxF8sA
Aprende a derivar en 5 minutos https://www.youtube.com/watch?v=ZmbXtZDgr4I
La Derivada: Segunda Clase https://www.youtube.com/watch?v=SrVI9NxMfxE
La derivada: Tercer Clase https://www.youtube.com/watch?v=ltvXsSbUrhM
Derivadas por fórmulas | Regla de la
potencia | Cálculo Diferencial
https://www.youtube.com/watch?v=m8N29JrfD6I
Derivando desde cero (parte 1 de 2)
(Introducción a las derivadas-derivadas
básicas)
https://www.youtube.com/watch?v=kSyj2CCIccc
La derivada en una taza de café: una
aplicación práctica de la vida cotidiana.
https://www.youtube.com/watch?v=sMxlbTVDifo

DERIVA LAS SIGUIENTES FUNCIONES, APLICANDO LAS REGLAS DE DERIVACIÓN PROPUESTAS.
EJERCICIO 1: 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟓
− 𝟒√𝒙 + 𝒙
𝟐
𝟑
SE DERIVA TÉRMINO POR TÉRMINO
1.- PARA: 𝒙−𝟓
= −𝟓𝒙−𝟓−𝟏
= −𝟓𝒙−𝟔
SE APLICA LA REGLA 4: 𝒚 = 𝒙𝒏
𝒚′ = (𝒏)𝒙𝒏−𝟏
2.- PARA
−𝟒√𝒙 = (−𝟒) (
𝒅𝒙
𝟐√𝒙
) = (−𝟒) (
𝟏
𝟐√𝒙
)
= −
𝟒
𝟐√𝒙
= −
𝟐
√𝒙
SE APLICA LA REGLA 6:
𝒚 = √𝒗
𝒚′
=
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝟐√𝒗
=
𝒅𝒗
𝟐√𝒗
3.- PARA: 𝒙
𝟐
𝟑 =
𝟐
𝟑
𝒙
𝟐
𝟑
−
𝟑
𝟑 =
𝟐
𝟑
𝒙−
𝟏
𝟑
CONCLUSIÓN:
LA DERIVADA DE: 𝒇(𝒙) = 𝒙−𝟓
− 𝟒√𝒙 + 𝒙
𝟐
𝟑
ES IGUAL A
𝒇′(𝒙) = −𝟓𝒙−𝟔
–
𝟐
√𝒙
+
𝟐
𝟑
𝒙−
𝟏
𝟑
1.- SE BAJA EL EXPONENTE (─5), SE ANTEPONE A LA
VARIABLE X Y AL EXPONENTE DE X QUE ES –𝟓 SE LE
RESTA POR FÓRMULA UN ENTERO QUEDANDO:
−𝟓 − 𝟏 = −𝟔
CANTIDADES CON SIGNOS IGUALES SE SUMAN Y SE
ESCRIBE EL SIGNO QUE LAS ACOMPAÑA.
2.- PARA DERIVAR EL SEGUNDO TÉRMINO:
A) SE ESCRIBEN DOS FACTORES
B) EL PRIMERO ES (−𝟒) Y EL SEGUNDO MUESTRA LA
DERIVADA DE LA RAÍZ DADA √𝒙 OBTENIDA PASO A
PASO AL APLICAR LA REGLA 6
𝒅𝒗
𝟐√𝒗
=
𝒅𝒙
𝟐√𝒙
=
𝟏
𝟐√𝒙
SIENDO LA DERIVADA DE 𝒙 = 𝟏
C) SE MULTIPLICAN SIGNOS DEL ENTERO POR EL DE LA
FRACCIÓN: (−)(+) = −
D) SE MULTIPLICA EL ENTERO 4 POR EL NUMERADOR
1 DANDO COMO RESULTADO IGUAL A 4
E) LA NUEVA FRACCIÓN OBTENIDA PUEDE
SIMPLIFICARSE, SE DIVIDE 4 ENTRE 2 IGUAL A2
QUEDANDO EL RESULTADO
−
𝟐
√𝒙
3.- SE BAJA EL EXPONENTE Y SE ESCRIBE COMO
COEFICIENTE DE LA VARIABLE X CON SU EXPONENTE
DISMINUIDO EN UNA UNIDAD CONVERTIDA EN 3/3
DANDO COMO RESULTADO
𝟐
𝟑
𝒙−
𝟏
𝟑 AL RESTARSE EN EL EXPONENTE
𝟐
𝟑
–
𝟑
𝟑
= −
𝟏
𝟑
CANTIDADES CON SIGNOS CONTRARIOS SE RESTAN Y AL
RESULTADO SE PONE EL SIGNO DE LA CANTIDAD MAYOR
L.C.Q.D.
(LO CUAL QUEDA DEMOSTRADO)

EJERCICIO 2: DERIVA LA SIGUIENTE FUNCIÓN
𝒚 = − 𝟐𝟎𝒙−
𝟐
𝟓 +
𝟑𝒙𝟒
𝟏𝟐
− 𝟗√𝟐𝒙𝟐
𝟔
+
𝝅
𝟒
−𝟐𝟎𝒙−
𝟐
𝟓 = (−𝟐𝟎) (−
𝟐
𝟓
) 𝒙−
𝟐
𝟓
−
𝟓
𝟓 =
𝟒𝟎
𝟓
𝒙−
𝟕
𝟓
= 𝟖𝒙−
𝟕
𝟓
SE APLICA LA REGLA 4: 𝒚 = 𝒄𝒙𝒏
𝒚′ = (𝒄)(𝒏)𝒙𝒏−𝟏
…………………………………………………………………………………………………………………………………..
𝟑𝒙𝟒
𝟏𝟐
=
(𝟑)(𝟒)𝒙𝟒 −𝟏
𝟏𝟐
=
𝟏𝟐𝒙𝟑
𝟏𝟐
= 𝒙𝟑
SE APLICA LA REGLA 8 Y 4:
REGLA 8:
𝒅
𝒅𝒙
(
𝒗
𝒄
) =
𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒄
=
𝒅𝒗
𝒄
=
𝒅(𝟑𝒙𝟒
)
𝟏𝟐
REGLA 4: 𝒅
𝒅𝒙
(𝒄𝒙𝒏
) = (𝒄)(𝒏)𝒙𝒏−𝟏
………………………………………………………………………
−𝟗√𝟐𝒙𝟐
𝟔
= (−𝟗) (
𝒅(𝟐𝒙𝟐)
𝟔√(𝟐𝒙𝟐)𝟔−𝟏
𝟔
)
= (−𝟗)(
𝟒𝒙
𝟔√(𝟐𝒙𝟐)𝟓
𝟔
= −
𝟑𝟔𝒙
𝟔√(𝟐𝒙𝟐)𝟓
𝟔
= −
𝟔𝒙
√(𝟐𝒙𝟐)𝟓
𝟔
𝒅
𝒅𝒙
( √𝒗
𝒏
) =
𝒅
𝒅𝒙 (𝒗)
𝒏 √𝒗𝒏−𝟏
𝒏 =
𝒅𝒗
𝒏 √𝒗𝒏−𝟏
𝒏
………………………………………………………………….
𝒅 (
𝝅
𝟒
) = 𝟎
𝒅
𝒅𝒙
(𝒄) = 𝟎
…………………………………………………………………..
CONCLUSIÓN
LA DERIVADA DE
𝒚 = − 𝟐𝟎𝒙−
𝟐
𝟓 +
𝟑𝒙𝟒
𝟏𝟐
− 𝟗√𝟐𝒙𝟐
𝟔
+
𝝅
𝟒
ES IGUAL A
𝒚′
= 𝟖𝒙−
𝟕
𝟓 + 𝒙𝟑
−
𝟔𝒙
√(𝟐𝒙𝟐)𝟓
𝟔
SE BAJA EL EXPONENTE Y SE MULTIPLICA EL ENTERO
(─20) POR LA FRACIÓN (−
𝟐
𝟓
) EL RESULTADO SE ESCRIBE
COMO COEFICIENTE DE LA VARIABLE X CON SU
EXPONENTE DISMINUIDO EN UNA UNIDAD (1=
𝟓
𝟓
)
LA FRACCIÓN SE SIMPLIFICA AL SER DIVISIBLE 40/5.
SE BAJA EL EXPONENTE (4) Y SE MULTIPLICA POR EL
COEFICIENTE (3) DE LA VARIABLE, ANTEPONIÉNDOSE
EL RESULTADO A LA VARIABLE CON SU EXPONENTE
DISMINUIDO EN UNA UNIDAD. LA NUEVA FRACCIÓN
FORMADA SE PUEDE SIMPLIFICAR 12/12 = 1
PARA DERIVAR SE ESCRIBEN DOS FACTORES, EL
PRIMERO ES (−𝟗) Y EL SEGUNDO MUESTRA LA
DERIVADA DE LA RAÍZ DADA √𝟐𝒙𝟐
𝟔
OBTENIDA PASO A
PASO AL APLICAR LA REGLA 7
𝒅𝒗
𝒏 √𝒗𝒏
𝒏
𝒏
=
𝒅(𝟐𝒙𝟐)
𝟔 √(𝟐𝒙𝟐)𝟔−𝟏
𝟔 =
𝟒𝒙
𝟔 √(𝟐𝒙𝟐)𝟓
𝟔
SE MULTIPLICAN LOS FACTORES (−𝟗)[
𝟒𝒙
𝟔 √(𝟐𝒙𝟐)𝟓
𝟔 ]
Y EL RESULTADO SE SIMPLIFICA PARA OBTENER LA
DERIVADA DEL TERCER TÉRMINO.
EL CUARTO TÉRMINO LOS DOS VALORES DE LA
FRACCIÓN SON CONSTANTES POR ESA RAZÓN SU
DERIVADA VALE CERO.
L.C.Q.D.
(LO CUAL QUEDA DEMOSTRADO)

EJERCICIO 3: DERIVA LA SIGUIENTE FUNCIÓN:
𝒇(𝒙) = 𝟔𝒙𝟒
−
𝟐𝒙𝟑
𝟑
+ 𝒙−
𝟓
𝟖 +
√𝒙
𝟗
𝝅
– 13
𝒇′(𝒙) =
𝒅
𝒅𝒙
(𝟔𝒙𝟒) −
𝒅
𝒅𝒙
(
𝟐𝒙𝟑
𝟑
) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙−
𝟓
𝟖) +
𝒅
𝒅𝒙
(
√𝒙
𝟗
𝝅
) −
𝒅
𝒅𝒙
(𝟏𝟑)
𝒇′(𝒙) = 𝟔
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟒) −
𝟐
𝟑
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟑
) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙−
𝟓
𝟖) +
𝟏
𝝅
𝒅
𝒅𝒙
(√𝒙
𝟗
) −
𝒅
𝒅𝒙
(𝟏𝟑)
𝒇′(𝒙) = (𝟔)(𝟒)𝒙𝟒−𝟏
+ (
𝟐
𝟑
)(𝟑)𝒙𝟑−𝟏
+ (−
𝟓
𝟖
) 𝒙−
𝟓
𝟖
−
𝟖
𝟖 + (
𝟏
𝝅
) (
𝟏
𝟗√𝒙𝟗−𝟏
𝟗 )– 𝟎
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝟒𝒙𝟑
+ 𝟐𝒙𝟐
−
𝟓
𝟖
𝒙−
𝟏𝟑
𝟖 +
𝟏
𝟗𝝅√𝒙𝟖
𝟗
SE APLICAN LAS FÓRMULAS:
𝒚 = 𝒄𝒙𝒏
= (𝒄)(𝒏)𝒙𝒏−𝟏
𝒅
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙
( c) = 0
𝒇(𝒙) = −𝟖𝒙𝟔
+ 𝟒𝒙𝟑
− 𝒙𝟐
+ 𝟒𝟐
𝒇′(𝒙) =
𝒅
𝒅𝒙
(−𝟖𝒙𝟔) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝟒𝒙𝟑
) −
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟐
) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝟒𝟐)
𝒇′(𝒙) = − 𝟖
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟔) + 𝟒
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟑) −
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟐 ) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝟒𝟐)
𝒇′(𝒙) = (−𝟖)(𝟔)𝒙𝟔−𝟏
+ (𝟒 )(𝟑)𝒙𝟑−𝟏
− (𝟐)𝒙𝟐−𝟏
+ 𝟎
𝒇′(𝒙) = −𝟒𝟖𝒙𝟓
+ 𝟏𝟐𝒙𝟐
− 𝟐𝒙
𝒚 = 𝒄𝒙𝒏
= (𝒄)(𝒏)𝒙𝒏−𝟏
𝒅
𝒅𝒙
𝒅
𝒅𝒙
( c) = 0
𝑓(𝑥) = 4x5
+ 2x3
─ √𝟐𝒙𝟐 + 𝟖 + 16
𝒇′(𝒙) =
𝒅
𝒅𝒙
(𝟒𝒙𝟓) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝟐𝒙𝟑) −
𝒅
𝒅𝒙
(√𝟐𝒙𝟐 + 𝟖 ) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝟏𝟔)
𝒇′(𝒙) = 𝟒
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟓) + 𝟐
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟑
) − (
𝒅
𝒅𝒙 (𝟐𝒙𝟐
+ 𝟖 )
𝟐√𝟐𝒙𝟐 + 𝟖
) +
𝒅
𝒅𝒙
(𝟏𝟔)
𝒇′(𝒙) = (𝟒)(𝟓)𝒙𝟓−𝟏
+ (𝟐)(𝟑)𝒙𝟑−𝟏
− (
(𝟐)(𝟐)𝒙𝟐−𝟏
+ 𝟎
𝟐√𝟐𝒙𝟐 + 𝟖
) + 𝟎
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟒
+ 𝟔𝒙𝟐
−
𝟒𝒙
𝟐√𝟐𝒙𝟐 + 𝟖
𝒇′(𝒙) = 𝟐𝟎𝒙𝟒
+ 𝟔𝒙𝟐
−
𝟐𝒙
√𝟐𝒙𝟐 + 𝟖
𝒚 = 𝒄𝒙𝒏
= (𝒄)(𝒏)𝒙𝒏−𝟏
𝒅
𝒅𝒙
( c) = 0

EJEMPLO 6: APLICANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA
DERIVAR: 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 2
FÓRMULA DE DERIVADA:
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
SUSTITUYENDO EN LA FÓRMULA LA FUNCIÓN MÁS SU INCREMENTO MENOS LA FUNCION DADA, DESPUÉS
QUITANDO PARÉNTESIS RESULTA:
∆𝒙→𝟎
√4(𝑥 + ∆𝑥) − 2 − √4𝑥 − 2
∆𝑥
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
√4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 − √4𝑥 − 2
∆𝑥
RACIONALIZANDO: SE MULTIPLICA LA FUNCIÓN OBTENIDA POR SU CONJUGADO:
𝑓′(𝑥) =
√4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 − √4𝑥 − 2
∆𝑥
∙
√4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 + √4𝑥 − 2
√4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 + √4𝑥 − 2
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
(4𝑥 + 4∆𝑥 − 2) − (4𝑥 − 2)
∆𝑥(√4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 + √4𝑥 − 2)
QUITANDO PARÉNTESIS EN EL NUMERADOR Y REDUCIENDO TÉRMINOS SEMEJANTES:
∆𝒙→𝟎
(4𝑥 + 4∆𝑥 − 2) − (4𝑥 − 2)
∆𝑥(√4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 + √4𝑥 − 2)
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 − 4𝑥 + 2
∆𝑥(√4𝑥 + 4∆𝑥 − 2 + √4𝑥 − 2)
=
ELIMINANDO ∆𝑥 EN EL NUMERADOR Y DENOMINADOR
∆𝒙→𝟎
4∆𝑥
∆𝑥(√4𝑥+4∆𝑥−2+√4𝑥−2)
= 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
4
(√4𝑥+4∆𝑥−2+√4𝑥−2)
=
APLICANDO EL LÍMITE SE OBTIENE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN
𝑓(𝑥) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝟒
√𝟒𝒙+𝟒(𝟎)−𝟐+√𝟒𝒙−𝟐
=
4
√4𝑥−2+√4𝑥−2
=
4
2√4𝑥−2
=
2
√4𝑥−2
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN 𝑓(𝑥) = √4𝑥 − 2 ES 𝑓′(𝑥) =
2
√4𝑥−2
EJEMPLO 7: APLICANDO LA DEFINICIÓN DE DERIVADA.
DERIVAR: 𝑓(𝑥) = 2𝑥2
− 𝑥 + 8
FÓRMULA DE DERIVADA:
∆𝒙→𝟎
𝒇(𝒙 + ∆𝒙) − 𝒇(𝒙)
∆𝒙
SUSTITUYENDO EN LA FÓRMULA, LA FUNCIÓN MÁS SU INCREMENTO MENOS LA FUNCION DADA RESULTA:
∆𝒙→𝟎
[𝟐(𝒙 + ∆𝒙)𝟐
− (𝒙 + ∆𝒙) + 𝟖] − (𝟐𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟖)
∆𝒙
=
DESARROLLANDO EL BINOMIO, REALIZANDO MULTIPLICACIONESY QUITANDO PARÉNTESIS QUEDA:
∆𝒙→𝟎
[𝟐(𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙∆𝒙 + ∆𝒙𝟐
) − (𝒙 + ∆𝒙) + 𝟖] − (𝟐𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟖)
∆𝒙
=
∆𝒙→𝟎
[𝟐𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙∆𝒙 + 𝟐∆𝒙𝟐
− 𝒙 − ∆𝒙 + 𝟖] − (𝟐𝒙𝟐
− 𝒙 + 𝟖)
∆𝒙
=
∆𝒙→𝟎
𝟐𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙∆𝒙 + 𝟐∆𝒙𝟐
− 𝒙 − ∆𝒙 + 𝟖 − 𝟐𝒙𝟐
− 𝟖
∆𝒙
=

ELIMINANDO TÉRMINOS SEMEJANTES OBTENEMOS:
∆𝒙→𝟎
𝟐𝒙𝟐+𝟒𝒙∆𝒙+𝟐∆𝒙𝟐−𝒙−∆𝒙+𝟖−𝟐𝒙𝟐+𝑿−𝟖
∆𝒙
=
𝟒𝒙∆𝒙+𝟐∆𝒙𝟐−∆𝒙
∆𝒙
FACTORIZANDO POR FACTOR COMÚN Y ELIMINANDO LAS ∆𝑥 DA:
𝒇′(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝟒𝒙∆𝒙 + 𝟐∆𝒙𝟐 − ∆𝒙
∆𝒙
=
∆𝒙(𝟒𝒙 + 𝟐∆𝒙 − 𝟏)
∆𝒙
= 𝟒𝒙 + 𝟐∆𝒙 − 𝟏
APLICANDO EL LÍMITE SE OBTIENE LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN:
𝒇′(𝐱) = 𝐥𝐢𝐦
∆𝒙→𝟎
𝟒𝒙 + 𝟐∆𝒙 − 𝟏 = 𝟒𝒙 + 𝟐(𝟎) − 𝟏 = 𝟒𝒙 − 𝟏
LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN ES: 𝒇′(𝒙) = 𝟒𝒙 − 𝟏
LIGAS PARA REFORZAR EL TEMA
Concepto geométrico de la derivada https://www.youtube.com/watch?v=Hb6TnpuLGQQ
¿Qué es la derivada? - Definición https://www.youtube.com/watch?v=CG7mQgmgXC0&t=236s
¿Qué es la derivada? - Definición. https://www.youtube.com/watch?v=CG7mQgmgXC0
¿Qué es la derivada? (Explicación gráfica
e histórica)
https://www.youtube.com/watch?v=ia8L26ub_pc&list=PL9SnRnlzo
yX1kIbHdA7GN-6g-hvkyLbWp
Derivada de una función usando la
definición | Ejemplo 1
https://www.youtube.com/watch?v=U7onW7mMzLM
https://www.youtube.com/watch?v=uLDg8fqsuZg
https://www.youtube.com/watch?v=L0BZlkBbZmI
Derivada por Definición - Ej.3 (Raíz
Cuadrada)
https://www.youtube.com/watch?v=EJYfnj3NMlo
Derivada por Definición - Ej.2 (Fracción o
Cociente)
https://www.youtube.com/watch?v=pJcNRGi7xIg
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN USANDO LA
DEFINICIÓN - Ejercicio 3
https://www.youtube.com/watch?v=KtH5-gAogWo
Derivadas usando la definición |
Derivada de una función de segundo
grado | Ejemplo 3
https://www.youtube.com/watch?v=jr4E2goTI3M
4. Derivadas por Definición de Límite -
Función Radical - Derivative limit
definition
https://www.youtube.com/watch?v=s5GM8VY1LvM
Derivada por definición https://www.youtube.com/watch?v=m7bQ1ivxO-Q

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