tch

1. Åðºíõèé áîëîâñðîëûí 12 æèëèéí ñóðãóóëèéí
6 äуãааð àíãè
Áîëîâñðîë, соёл, øèíæëýõ óõààíû ÿàìíû
çºâøººð뺺ð õýâëýâ.
Анхны хэвлэл
Ñóðãóóëèéí íîìûí ñàíä îëãîâ.
Áîðëóóëàõûã õîðèãëîíî.
Óëààíáààòàð õîò
2015 îí
БАГШИЙН НОМ
МАТЕМАТИК VI
Д.Түвшинжаргал, Ж.Батболд, Д.Даваасүрэн, Э.Чойсүрэн,
Т.Батчимэг, Н.Баянбилэг, Н.Гэндэнсүрэн, Б.Равданжамц
Н.Цогзолмаа, Б.Энхболд, Д.Энхцэцэг, Б.Эрдэнэсувд, Б.Ариунтунгалаг

2. DDC
373.1
М-294
Багшийн ном: Åðºíõèé áîëîâñðîëûí 12 æèëèéí ñóðãóóëèéí 6 äóãààð àíãè
/Түвшинжаргал Д., áà áóñ; Ðåä. Ганцэцэг Ч., – ÓÁ. 2015. 144x
Ýíýõ¿¿ багшийн ном íü "Ìîíãîë Óëñûí Çîõèîã÷èéí ýðõ áîëîí ò¿¿íä õàìààðàõ
ýðõèéí òóõàé" õóóëèàð õàìãààëàãäñàí áºãººä Áîëîâñðîë, соёл, øèíæëýõ óõààíû
ÿàìíààñ áè÷ãýýð àâñàí çºâøººð뺺ñ áóñàä òîõèîëäîëä öàõèì áîëîí õýâëýìýë
õýëáýðýýð á¿òíýýð ýñõ¿ë õýñýã÷ëýí õóâèëàõ, õýâëýõ, àëèâàà õýëáýðýýð ìýäýýëëèéí
ñàíä îðóóëàõûã õîðèãëîíî.
Багшийн номын òàëààðõ àëèâàà ñàíàë, õ¿ñýëòээ textbook@mecs.gov.mn õàÿãààð ирүүлнэ
үү.
© Áîëîâñðîë, соёл, øèíæëýõ óõààíû ÿàì
ISBN 978-99962-74-49-7

3. 3
Гарчиг
I БҮЛЭГ. Удиртгал
1.1 Багшийн номын зорилго . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Суурь боловсролын математикийн сургалтын хөтөлбөрийн шинэчлэлийн талаар . . . . . . . . 5
1.3 Сургалтын хөтөлбөрийн агуулгын залгамж холбоо, хичээлийн цаг төлөвлөлт . . . . . . . . . . . 9
II БҮЛЭГ. СУРАХ БИЧГИЙГ ХЭРЭГЖҮҮЛЭХ АРГА ЗҮЙ
Сурах бичгийг ашиглах заавар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Асуудал шийдвэрлэх арга зүй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Ээлжит хичээлийн загвар. Сэдэв: Тэнхлэгийн тэгш хэм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1 Бүхэл тоон олонлог, зэрэг, язгуур . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Хэллэг, олонлог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Алгебрийн илэрхийлэл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Өнцөг (огтлолцсон шулууны хоорондох өнцөг, хамар ба босоо өнцөг, гүйцэд өнцөг) . . . . 31
2.5 Гурвалжин ба олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Өгөгдөл цуглуулах, дүрслэх . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Тоог жиших, тоймлох, хэмжих нэгжийг сонгох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.8 Тэгшитгэл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.9 Олон өнцөгт . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.10 Тойрог ба дугуй . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.11 Биетүүд, түүний шинж чанарыг тодорхойлох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.12 Цаг, хугацаа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.13 Дунджууд ба далайц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.14 Энгийн бутархай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.15 Аравтын бутархай, Процент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.16 Функц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.17 Хэмжих, зурах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.18 Тэгш өнцөгтийн талбай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.19 Боломж тоолох . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.20 Магадлал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.21 Харьцаа, пропорц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
2.22 Дараалал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.23 Координатын хавтгай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
2.24 Хувиргалтууд . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.25 Тэнцүү дүрсүүд, гурвалжны тэнцүүгийн шинж . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
2.25 Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гадаргуун талбай, эзлэхүүн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
III БҮЛЭГ. Хавсралт
3.1. Нэгж хичээлийн үнэлгээний жишиг даалгавар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.2. Эцсийн үнэлгээний жишиг даалгавар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3. Сургалтад ашиглагдах хэрэглэгдэхүүн, ажлын хуудасны загварууд . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3.4. Математик нэр томьёоны тайлбар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.5. Нэмэлт эх сурвалж, ашиглах материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4. 4
Дэлхийн олон улс орон боловсролын чанарт ихээхэн анхаарал тавьж байна. Энэ нь нэг талаас
улс орны хөгжилд хувь хүний оруулах хувь нэмэр, нөгөө талаас хувь хүний хөгжилтэй холбоотой.
Боловсролын чанараа олон улсын хэмжээнд үнэлүүлэх (TIMSS, PISAзэрэг олон улсын үнэлгээний
төвийн шалгалтад оролцох) сонирхол өсөж байна. Математик бидний өдөр тутмын үйл ажиллагаа,
мэдээлэл боловсруулах, өрхийн санхүүгээ төлөвлөхөд чухал нөлөө үзүүлж байна. Эдгээр нь
тооцоолол хийх, дүрс, хэмжигдэхүүнтэй ажиллах, статистик өгөгдлийг задлан шинжлэх, үнэлэх,
дүгнэх, диаграмм, графикаар дүрслэх зэрэг математикийн чадварууд дээр тулгуурлаж байна.
Математикт суралцах явцад сурагчдын математик хэл, харилцаа, логик болон бүтээлчээр сэтгэн
бодох, танин мэдэх чадвар хөгжиж байдаг. Олон улсын хөгжлийн чиг хандлага болон Монгол
улсад гарч буй нийгэм, эдийн засгийн өөрчлөлтүүд нь математик боловсролын агуулгыг шинэчлэн
сайжруулахыг шаардаж байна.
Суурь боловсролын цөм хөтөлбөрийн зорилгыг:
Сурагч бүрийг сурах арга барил, амьдрах ухаан, шинжлэх ухааны суурь мэдлэг, чадвар, бие
даан бүтээлчээр суралцах чадвар эзэмших, үндэсний хэл, түүх соёлоо дээдлэн хөгжүүлэх,
ардчилсан, хүмүүнлэг үзэлтэй иргэн төлөвших боломж олгоход оршино.
гэж тодорхойлсон. Математикийн сургалтын хөтөлбөр ч мөн үүнд чиглэгдэж байна. Суурь
боловсролын судлагдахуун тус бүрээр эзэмших сурах арга барил гэдгийг математикийн
хичээлийн онцлогтой уялдуулан асуудал шийдвэрлэх арга барил гэж авч үзсэн болно.
1.1 Багшийн номын зорилго.
Багшийн ном нь сурах бичиг бусад нэмэлт материалыг ашиглан математик сургалтыг үр дүнтэй
явуулахад багшид онол, арга зүйн зөвлөгөө өгөх, тусламж, дэмжлэг үзүүлэх зорилготой. I бүлэгт
сургалтын хөтөлбөрийн шинэчлэлийн талаар, II бүлэгт ээлжит болон нэгж хичээлийн ерөнхий
арга зүйг оруулсан бөгөөд энэ нь зорилго (хүрэх үр дүн), зорилт (эзэмших мэдлэг, чадвар), үйл
ажиллагаа, анхаарах зүйлс, нэмэлт мэдээлэл, явцын үнэлгээний жишиг даалгавар, сурах бичгийн
даалгавруудын бодолт, тайлбар зэрэг үндсэн хэсгүүдээс тогтоно.
Арга зүйн хувьд хэт нарийвчилж төлөвлөөгүй сурах бичгийн дагуу зөвлөмжилсөн байдлаар
бичигдсэн бөгөөд тухайн хичээлийг хэрхэн заах арга зүй нь багш, сургууль, хамт олны хувьд
нээлттэй байна. Өөрөөр хэлбэл багшийн заах арга зүй нь түүний өөрийн туршлага, уламжлалт
болон бүтээлч, идэвхтэй сургалтын аргуудыг хэрэглэн хичээлээ үр дүнтэй зохион байгуулахад
чиглэгдэнэ.Нэгжболонээлжитхичээлийнявцынүнэлгээгоновчтойарга,хэлбэрээрзохионявуулах
нь математик сургалтын эцсийн үр дүнд чухал ач холбогдолтой. Иймд тухайн нэгж хичээлээр
дэвшүүлсэн суралцахуйн зорилт (эзэмших мэдлэг, чадвар)-уудыг мэдлэг ойлголт ба хэрэглээ,
асуудал шийдвэрлэх гэсэн хоёр түвшинд үнэлэх даалгавруудын санааг оруулж өглөө. Багш нар
өөрсдөө суралцахуйн зорилтыг үнэлэх даалгавар боловсруулах, мөн бүтээлч сэтгэхүйг хөгжүүлэх
даалгавруудыг сурагчдын нас, бие, сэтгэхүйд тохируулан ажиллуулах хэрэгтэй. Геометрийн
агуулгыг заах явцад сурагчид зурах, хэмжих, байгуулах, тооцоолох зэрэг үйл ажиллагаа, дадлага
ажлын явцад сурах арга барилд суралцан, мэдлэг, чадвар эзэмшинэ гэдгийг анхаарах нь зүйтэй.
III бүлэгт нэгж хичээлийн үнэлгээ, жилийн эцсийн үнэлгээний жишиг даалгавруудын санааг
оруулж өгөв. Эдгээр даалгаврын арга, хэлбэрийг сайжруулан тухайн багш, сургууль, хамт олон
өөрсдийн үнэлгээний даалгавраа боловсруулах боломжтой. Мөн номын эцэст багш нарын өргөн
хэрэглэдэг мэдээллийн сайтууд, хэрэглэх нэмэлт материалыг оруулж өглөө. Багш нар шууд
хичээлдээ хэрэглэх боломжтой ажлын хуудсууд нь багшийн ажлыг хөнгөвчилж, сурагчдын сурах
арга барилд эерэгээр нөлөөлдөг. Гэхдээ энд бүгдийг оруулах боломжгүй учраас, дээрх вэб сайтууд
болон өөрсдийн аргаар ажлын хуудсыг бэлтгэх нь чухал хэрэглэгдэхүүн болно.
I БҮЛЭГ. Удиртгал

5. 5
1.2 Суурь боловсролын математикийн сургалтын хөтөлбөрийн шинэчлэлийн талаар
А. Математикийн сургалтын хөтөлбөрийн зорилго, зорилтын шинэчлэл
Суурь боловсролын математикийн хөтөлбөрийн зорилгыг:
Сурагч нь тоо, хувьсагч, дүрс, хэмжигдэхүүн, өгөгдөлтэй ажиллах асуудлыг шийдвэрлэх арга
барилд суралцан, математикийн мэдлэг, чадвараа амьдрал, ахуйд хэрэглэснээр хэл, сэтгэлгээ,
танин мэдэх чадвараа хөгжүүлж, математикийг сонирхон судлах хүсэл, тэмүүлэлтэй болно.
гэж тодорхойлсон.
Математикийн сургалтын хөтөлбөрийн зорилт. Сурагч нь:
1) Математикийн нэр, томьёо, ойлголт, хууль, дүрэм, чанар, зүй тогтлыг танин мэдэх,
тэдгээрийн учир шалтгааныг ойлгох, үндэслэх чадвартай болно.
2) Математикийн мэдлэг, чадвараа хэрэглэн асуудлыг загварчлах, задлан шинжлэх, нэгтгэн
дүгнэх, математик арга, сэтгэлгээгээр асуудалд хандах, оновчтой арга, хувилбарыг
сонгож шийдвэрлэх арга барил эзэмшинэ.
3) Юмс, үзэгдлийн учир шалтгааныг эргэцүүлэн бодох, тайлбарлах, өөрийгөө илэрхийлэх,
эмх цэгцтэй, учир зүйтэй сэтгэн бодох үйл ажиллагаанд суралцана.
4) Математикт суралцахуйн ач холбогдлыг ойлгон, математикийг сонирхон судлах хүсэл,
тэмүүлэлтэй болно.
Асуудал шийдвэрлэх арга барилыг танин мэдэх үйл явцтай холбон VI-VII, VIII-IX ангиар
тодорхойлсон болно.
Асуудал шийдвэрлэх арга барил
Үе шат VI-VII анги VIII-IX анги
Асуудлыг
олж харах,
томьёолох
• Өдөр тутмын амьдрал дахь
математикийн асуудлыг олж
харах, ойлгох, өөрийн үгээр
болон зураг, схемээр томьёолох;
• Бодит амьдрал дахь математикийн
асуудлыг олж харах, ойлгох, математик
нэр томьёо, ойлголтоо ашиглан
томьёолох;
Асуудлыг
математик
загварт оруулах,
төлөвлөгөө
боловсруулах
• Шаардлагатай мэдээлэл
цуглуулах
• Өмнөх туршлагатайгаа
харьцуулах, жишээ олох;
• Таамаглал дэвшүүлэх;
• Асуудлыг математик загварт
оруулах;
• Төлөвлөгөө боловсруулах,
алгоритм хэрэглэх;
• Шаардлагатай мэдээлэл, статистик
тоо, баримт цуглуулах, хэрэгцээгүй
мэдээлэл байгаа эсэхийг тогтоох;
• Өмнөх туршлагатайгаа харьцуулах,
ижил төстэй болон эсрэг жишээ олох;
• Тодорхой үндэслэлтэй таамаглал
дэвшүүлэх;
• Асуудлыг математикийн аргаар
загварчлах;
• Хувилбарт төлөвлөгөө боловсруулах,
алгоритм зохиох;

6. 6
Төлөвлөгөөг
хэрэгжүүлэх
• Төлөвлөгөөний алхам бүрийг
гүйцэтгэх, хийж буй үйлдлээ
алдаагүй, үнэн зөв бичиж
тэмдэглэх;
• Тооцоолол хийх, боломжуудыг
тооцох, тухайн тохиолдлуудыг
шалгах;
• Диаграмм, график, байгуулалтыг
ойлгомжтой байдлаар өгсөн
нарийвчлалтай зурах, дүрслэх,
тайлбарлах;
• Төлөвлөгөөний алхам бүрийг гүй­
цэтгэх, хянах, хийж буй үйлдлээ
алдаагүй, үнэн зөв бичиж тэмдэглэх;
• Тооцоолол хийх, боломжуудыг
тооцох, үнэлэх, онцгой болон эсрэг
тохиолдлуудыг шалгах;
• Диаграмм, график, байгуулалтыг
тохи­
рох нарийвчлалыг сонгон, өөр­
төө болон бусдад ойлгомжтой байд­
лаар зурах, дүрслэх, үндэслэлтэй
тайлбарлах;
Дүгнэлт гаргах, үр
дүнг тайлбарлах
• Дүгнэлтээ математик тэмдэглэ­
гээ, нэр томьёо ашиглан
тайлбарлах;
• Дүгнэлтээ бусадтайгаа хэлэлцсэ­
ний үндсэн дээр сайжруулах;
• Асуудлыг шийдвэрлэх өөр арга
зам байгаа эсэхийг тодорхойлох;
• Шийдсэн асуудалтай холбоотой
өөр бодлого, асуудал дэвшүүлэх;
• Дүгнэлтээ математик нэр томьёо,
тэмдэглэгээ, ойлголтоо ашиглан
тодорхой үндэслэлтэй тайлбарлах;
• Дүгнэлт нь асуудалд бүрэн хариулт
өгч байгаа эсэхийг тооцох, дүгнэлтийг
бусадтайгаа хэлэлцсэний үндсэн дээр
сайжруулах;
• Асуудлыг шийдвэрлэх өөр арга зам
байгаа эсэхийг тодорхойлох;
• Шийдсэн асуудалтай холбоотой илүү
өргөн, ерөнхий эсвэл явцуу асуудлыг
дэвшүүлэх;
Асуудал шийдвэрлэх арга барилыг сурагчдын идэвхтэй үйл ажиллагаагаан дээр тулгуурлан
эзэмшүүлнэ.
Б. Сургалтын хөтөлбөрийн агуулгын шинэчлэл
Агуулгын хувьд Геометр ба Хэмжигдэхүүн, Магадлал, статистикийн агуулгын хүрээнд өдөр
тутмын амьдрал дахь математик хэрэглээтэй холбогдон нэлээд өөрчлөлт орсон. Тухайлбал,
дүрсийн хувиргалтууд, түгээмэл биетүүд, аяллын график, дэлхийн цагийн бүс, нийлмэл нэгжийг
хэрэглэх, тэнцүү завсраар бүлэглэсэн дискрет болон тасралтгүй өгөгдлийн моод бүлэг, медиан,
далайцыг олох, гистограмм, хуримтлагдсан давтамжийн график байгуулах, үр дүнг тайлбарлах,
корреляцийг ойлгох, тайлбарлах, статистик характеристик хэрэглэн түүврүүдийг харьцуулах,
дүгнэлт гаргах, туршилтын үр дүн буюу харьцангуй давтамжийг хэрэглэн магадлалыг үнэлэх,
дүгнэлт гаргах гэх мэт агуулгууд шинээр орсон.
Харин Тоо тоолол ба Алгебр агуулгын хүрээнд тоо, хэмжээг жиших, тоймлох, үнэлэх,
багцаалах, стандарт дүрсэд бичих, мөнгө, санхүү, процентийн өөрчлөлт оролцсон тооцоолол хийх,
харьцаа, пропорц, шууд ба урвуу пропорционал хамаарлыг ашиглан асуудал шийдвэрлэх арга
барил эзэмшүүлэхэд анхаарна. Мөн алгебрийн илэрхийлэл, тэгшитгэл, тэнцэтгэл биш, дараалал,
функцийн талаар судлах бөгөөд ахлах ангид үргэлжлүүлэн, гүнзгийрүүлж судална. Математик
нэр, томьёоны хувьд олон улсад хэрэглэгддэг зарим нэр, томьёог хэрэглэх нь нэг талаас математик
дэлхий нийтийн хэл болдог, нөгөө талаас цаашид олон улсын үнэлгээний төвөөр боловсролын
чанараа үнэлүүлэх зорилготой холбогдон гарч ирсэн. Тухайлбал, “шулууны өнцгийн коэффициент”
гэдгийг “шулууны налалт” гэж ойлгох, “пиктограмм”, “гистограмм”, ”хуримтлагдсан давтамжийн
диаграмм”, “корреляц” гэх мэт шинэ нэр, томьёонуудыг ойлгон хэрэглэж чаддаг болоход анхаарна.
Мөн агуулгыг хэрэгжүүлэхдээ танин мэдэхүйн түвшин, үйл явцтай холбон, тухайлбал “танин
мэдэх” “ойлгох” “хэрэглэх” “асуудал шийдвэрлэх” гэсэн дарааллаар бичигдсэн болохыг анхаарах
хэрэгтэй.
Сургалтын төлөвлөгөөнд тусгасан цагийг агуулгаар хэрэгжүүлэхдээ сургалтын хөтөлбөрийн
агуулга анги дээшлэх тусам хэрхэн өргөсөн гүнзгийрч байгааг ойлгох нь чухал, өөрөөр хэлбэл
тодорхой агуулга нь анги тус бүрд давтагдан орж, өргөсөн гүнзгийрэх гэсэн ерөнхий бүтэцтэй
байгаа нь хөтөлбөрийн онцлог болно. Агуулгыг дахин судлах боломжийг бий болгох нь сурагчдад

7. 7
тухайн агуулгыг өөр өнцгөөс харах, мэдлэг, чадварыг гүн бат эзэмших боломжийг олгож буй давуу
талтай. Ялангуяа өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг тооцоолол хийх, тоо, хэмжээг жиших,
тоймлох, дүрс, биет, хэмжигдэхүүнтэй ажиллах, өгөгдөл, хүснэгт, диаграмм, графиктай ажиллах
гэх мэт чадваруудыг эзэмшүүлэхэд анхаарна. Дахин давтагдаж буй агуулгын хувьд анги дээшлэх
тутам агуулгын өргөсөл, гүнзгийрэл дээр төвлөрөн судлах бөгөөд даалгавар болон шийдвэрлэх
асуудлаар нь гүнзгийрүүлэх стратегийг барьж ажиллах нь чухал.
В. Арга зүй
Математикийн сургалтын хөтөлбөрийг хэрэгжүүлэхэд сургалтын арга зүй чухал нөлөө үзүүлэх
бөгөөд багшлахуй, суралцахуйн зарчмуудыг анхаарч ажиллах хэрэгтэй.
Багшлахуйн дараах зарчмуудыг хэрэгжүүлнэ. Үүнд:
- Асуудал шийдвэрлэх үйл явцад сурагчдын юмс үзэгдлийг ойлгох, танин мэдэх,
эргэцүүлэн бодох, эрэл хайгуул хийх, эмх цэгцтэй, учир зүйтэй сэтгэн бодох, юмс
үзэгдлийн учир шалтгааныг тайлбарлах, үндэслэх, дүгнэлт гаргах чадварыг хөгжүүлэх
- Математикийн хичээлийг, танин мэдэх, сэтгэн бодох асуудал шийдвэрлэх үйл
ажиллагаан дээр тулгуурлан явуулах
- Сурагчдын хүсэл, сонирхол, идэвх, оролцоог нэмэгдүүлэхийн тулд сургалтын идэвхтэй,
бүтээлч аргуудыг хэрэглэх
- Математикийг бодит ертөнц, ахуй амьдралтай холбох, бодит ертөнц дэх асуудлыг
загварчлах математикийн олон арга байдгийг ойлгуулах, сурагчдын мэдээлэл
харилцааны технологийг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх
- Сурагчдын ялгаатай байдлыг харгалзан сургалтын арга, хэлбэрээ сонгох
- Явцын үнэлгээний жишиг даалгаварий тохиромжтой аргуудыг хэрэглэх
- Хэрэглэгдэхүүнийг оновчтой сонгох, гарын дор материал ашиглан хийх, цахим
хэрэглэгдэхүүн, интернэт, бусад эх сурвалжийг ашиглах
Суралцахуйн дараах зарчмуудыг хэрэгжүүлнэ. Үүнд:
- Сурагчдын өмнөх мэдлэг, чадвар дээр тулгуурлах
- Сурагчдын сонирхол, хэрэгцээнд тулгуурлах
- Сургалтын таатай орчин бүрдүүлэх, сурагчдад өөрийгөө илэрхийлэх боломж олгох
- Сурагчдын үйл ажиллагаан дээр тулгуурлах, бие даан ажиллах болон багаар ажиллах
чадварыг хөгжүүлэх
Идэвхтэй сургалт.
“Багшийн хийж байгаагаас сурагчийн хийж байгаа илүү чухал” Geoff Petty
Идэвхтэй сургалт гэдэг нь сурагчид хичээлийн үйл ажиллагаанд оролцох, сэтгэх, хөдлөх,
ярих, боловсруулах болон тухайн сэдвийн талаарх ойлголтоо хөгжүүлэх зэрэг янз бүрийн үйл
ажиллагаанд идэвхтэйгээр оролцохыг хэлнэ.
Суралцахуйн пирамид - Дундаж сурагчийн тогтоож үлдэх хувь
Лекц 5%
Унших: 10%
Харах: 20%
Тайлбарлан үзүүлэх: 30%
Хэлэлцэх: 50%
Дадлага ажлаар хийх: 75%
Бусдад заах: 90%

8. 8
Г. Орчин, хэрэглэгдэхүүн
Математик сургалтын үр дүнг нэмэгдүүлэхэд сургалтын орчин, нөхцөл, хэрэглэгдэхүүн чухал
үүрэг гүйцэтгэнэ. Сургалтын орчин, нөхцөлийн хувьд хот, хөдөө, аймгийн төв, сумын төв, улсын
болон хувийн хэвшлийн сургууль гэх мэт сургууль, орон нутгийн онцлогтой уялдан харилцан
адилгүй боловч, боломж, нөхцөлөө ашиглан сургалтын таатай орчинг бүрдүүлэх нь сурагчдын
ахиц, амжилтад эерэгээр нөлөөлнө. Хэрэглэгдэхүүний хувьд дараах зүйлсийг анхаарч ажиллах,
Үүнд:
- Хэмжих, зурах, байгуулалт хийх багаж, хэрэгсэл, шугам, гортиг, транспортир,
термометр, хэмжээстэй сав, аналог болон дижитал цаг гэх мэт материал ашиглах
- Их болон маш бага тоон дээр үйлдэл гүйцэтгэх, хариугаа шалгахад зарим үед тооны
машин ашиглах нь үр дүнтэй байдаг, гэхдээ тухайн ангийн агуулгатай холбогдон
ихэвчлэн VIII-IX ангид голлон хэрэглэнэ. Арифметикийн үйлдлүүдээс гадна ялангуяа
дунд ангид шинээр үзэж байгаа зэрэг дэвшүүлэх, квадрат язгуурыг олох, тоо, хэмжээг
өгсөн нарийвчлалаар тоймлох, процентийн өсөлт, бууралтыг олоход тооны машин
хэрэглэх.
- Багшийн цаг, завыг хэмнэсэн, хэрэглэхэд хялбар, бэлэн материал, сурагчийн ажлын
хуудас, математик сэтгэлгээг хөгжүүлэх тоглоомуудыг хэрэглэх
- Зарим тохиолдолд математикийн хичээлд компьютер болон проектор, дэлгэц ашиглан
сурагчдад процессийг үзүүлэх, тайлбарлах, график, диаграммыг харуулах
- Интернэт ашиглан тодорхой асуудлаар мэдээлэл, статистикийн тоо, баримт цуглуулах,
боловсруулах, график диаграммаар дүрслэх, математикийн түүхийг судлах гэх мэт олон
аргууд байж болно.
Д. Үнэлгээ.
Үнэлгээний зорилт:
I. Математикийн мэдлэг, ойлголт;
II. Математикийн мэдлэг, ойлголтоо хэрэглэх, асуудал шийдвэрлэх чадвар;
III. Өөрийгөө илэрхийлэх, сэтгэн бодох чадвар;
IV. Идэвх, оролцоо, сонирхол, хандлагыг үнэлнэ.
Үнэлгээний шалгуур:
Үнэлгээний зорилт Үнэлгээний шалгуур
I. Математикийн
мэдлэг, ойлголт
1. Математикийн нэр, томьёо, ойлголт
2. Чанар, хууль, дүрэм
3. Зүй тогтол, харилцан хамаарлын тухай ойлголт хэрэглээ
II. Математикийн
мэдлэг ойлголтын
хэрэглээ, асуудал
шийдвэрлэх чадвар
1. Математикийн мэдлэг, ойлголтоо сэдэв, хичээлд хэрэглэж буй байдал
2. Математикийн мэдлэг, ойлголтоо ахуй амьдралд хэрэглэж буй байдал
3. Асуудлыг ойлгон томьёолж буй байдал
4. Асуудал шийдвэрлэх оновчтой аргыг сонгон, төлөвлөж буй байдал
5. Төлөвлөгөөг хэрэгжүүлж, математик аргаа хэрэглэж буй байдал
6. Дүгнэлт гарган, үр дүнг үндэслэлтэй тайлбарлаж буй байдал
III. Өөрийгөө
илэрхийлэх, сэтгэн
бодох чадвар
1. Математик хэллэг, бичиглэл, тэмдэглэгээ ашиглан өөрийн санаа бодлоо
илэрхийлж буй байдал
2. Юмс, үзэгдлийн математик зүй тогтол, харилцан хамаарлыг илрүүлж буй
байдал
3. Асуудлыг өөр өнцгөөс харж, олон аргаар шийдвэрлэж буй байдал
4. Ангилах, харьцуулах, эрэмбэлэх, тухайн тохиолдлууд, онцгой болон эсрэг
тохиолдлыг олох, ерөнхий дүгнэлт гаргаж буй байдал

9. 9
IY. Идэвх оролцоо,
сонирхол, хандлага
1. Хичээлд оролцож буй байдал (багаар болон бие даан ажиллах чадвар)
2. Юмс үзэгдлийг сонирхон судалж, хандаж буй байдал
Сурагчдыг үнэлэхдээ дараах зүйлсийг анхаарах шаардлагатай. Үүнд:
- Юуны тулд үнэлэх вэ? (хүүхдийн хөгжлийг дэмжих, ахицыг тодорхойлох)
- Юуг үнэлэх вэ? (мэдлэг ойлголт, хэрэглээ, асуудал шийдвэрлэх чадвар, сэтгэлгээ,
хандлага)
- Яаж үнэлэх вэ? (үнэлгээний арга, хэлбэр, хэрэгслээ сонгох) гэдгээ тодорхойлох нь
чухал.
Үнэлгээний даалгаврыг боловсруулахдаа:
- Тухайн үнэлгээний даалгаврын тоо, танин мэдэхүйн түвшинг тогтоох, хэмжээсжүүлэх
- Даалгавруудыг боловсруулах
- Даалгавруудад харгалзах үнэлгээний шалгуур үзүүлэлт боловсруулах
- Түүнийгээ ашиглан сурагчдын мэдлэг, чадвар, хандлагыг үнэлэх, дүгнэх, хэрэглэх гэсэн
үе шатыг баримжаалж болно.
Даалгаврын төрөл нь сонгох, нөхөх, харгалзуулах гэх мэт тестийн аргуудаас гадна эсээ
бичих, график, диаграммаар илэрхийлэх, зураг, загвар зохиох гэх мэт олон төрөл байж
болно. Мөн дадлага ажил, асуулт, хариулт, ярилцлага, хэлэлцүүлэг хийх аргаар үнэлж болно.
Хичээлийн явцад сурагчдыг асуудал шийдвэрлэх үйл ажиллагаанд чиглүүлэх, сурагчдын мэдлэг,
чадвар, хандлагыг үнэлэхэд сурагчийн ажлын хуудас, багшийн ажиглалтын хуудас нь чухал
хэрэгсэл болно.
1.4 Суурь боловсролын математикийн хөтөлбөрийн агуулгын залгамж холбоо
VI анги VII анги VIII анги IX анги
Тоо
тоолол
Тоон
олонлог,
зэрэг,
язгуур
• Бүхэл тоог жиших, 4
үйлдэл
• Тооны хуваагдах
шинж, анхны тоо,
ХИЕХ, ХБЕХ
• Бүхэл тооны квадрат
зэрэг, квадрат язгуур
• Хэллэг, олонлог,
, Эйлер-Веннийн
диаграмм
• Бүхэл тооны 4
үйлдэл, модуль
• Тоог анхны тоон
үржигдэхүүнд
задлах, ХИЕХ,
ХБЕХ
• Бүхэл тооны куб
зэрэг, куб язгуур
• Натурал илтгэгчтэй
зэргийн чанар
a a a a
x y x y
× ÷
,
• {Q} 4 үйлдэл, жи­
ших, илэр­хийлэл,
1
3
0 3
= .( )
• a a
; 3 (язгуур
нь {Q} )
• b m N
m
, ∈ Олонлог,
үйлдлүүд
• Иррационал тоо
• Квадрат язгуур
агуулсан
илэрхийлэл
Алгебр
Тоог
жиших,
тоймлох
• Тооны орон анги,
олон оронтой тоог
тоймлох
• Аравтын бутар­хайг
жиших, эрэм­бэлэх,
тоймлох
• Хэмжээнүүдийг
эрэмбэлэх
• Олон оронтой
тоо, аравтын бу­
тархайг тоймлох
• Тоог тоймлох, тэм­
дэгтийн тоогоор
тоймлох
• Тооцооллын на­
рийвч­лалыг сонгох
• Дутагдалтай
ба илүүдэлтэй
ойролцоо утга
• Тооны стандарт
дүрс
Энгийн
ба
аравтын
бутархай,
процент
• Тэнцүү, засагдах,
холимог бутархай,
бутархайг хураах
• Энгийн ба аравтын
бутархайн жиших, 4
үйлдэл, процент
• Энгийн бутар­
хайн хураах,
жиших, 4 үйлдэл
• Аравтын болон
энгийн бутархай,
процентийн ха­
рил­цан хамаарал
• Процентийн
өсөлт, бууралт
• Процентийн
асуудал шийдвэр­
лэх (Хүү, хямдрал,
ашиг, алдагдал,
татвар, өрхийн
санхүү)
• Процентийн
өсөлт, бууралт,
асуу­дал шийдвэр­
лэх (ашиг ба
алдагдал, энгийн
ба нийлмэл хүү
тооцох), хольцын
бодлогууд

10. 10
Алгебр
Харьцаа
• Харьцаа, пропорц,
• Шууд пропорционал
хамаарал,
• Тоо, хэмжээг
харьцуулах
• Харьцаа, про­
порц,
• Шууд пропор­
ционал хамаарал,
• Тоо, хэмжээг
харьцуулах
• Харьцаануудыг
жиших,
• Тоо, хэмжээг
харьцуулах
• Масштаб
• Урвуу пропор­
ционал хамаарал
• Харьцааны хэрэг­
лээ,
• Шууд ба урвуу
пропорционал
хамаарлын
хэрэглээ
Илэрхийлэл,
тэгшитгэл
• Алгебрийн шугаман
илэрхийлэл
• Төсөөтэй гишүүдийг
эмхэтгэх
• Алгебрийн шугаман
илэрхийллийг
хувиргах,
хялбарчлах (тоогоор
үржүүлэх)
• Хялбар шугаман
тэгшитгэл
• Алгебрийн шуга­
ман илэрхийлэл
• Натурал илтгэгч­
тэй зэргийн
за­рим чанар
хэрэглэх
• Алгебрийн илэр­­­
хийллийг ху­вир­
гах, хялбарч­лах
(нэг гишүүн­тээр
үржүү­лэх)
• Шугаман
тэгшитгэл
• Алгеб­рийн бутар­
хай илэрхийлэл,
+;–(a±b)2
, a2
–b2
,
• Шугаман тэг­
шитгэл, түүний
систем, нэмэх ба
графикийн арга,
Нэг хувьсагчтай
шугаман тэнцэтгэл
биш, |x|=a,
|x–a|=0
• Олон гишүүнтийг
үржигдэхүүн
болгон задлах
• Квадрат тэг­шит­
гэлийг үржиг­
дэхүүн болгон
задлах аргаар
бодох
• Хялбар ирра­
ционал, илтгэгч
тэгшитгэл,
Дараалал,
функц,
график
• Бүхэл, бутархай
тоон дараалал
• Зүй тогтлыг олох
• Функц
• y=a, x=a, y=kx
график
• Ерөнхий
гишүүний дүрэм
• Арифметик прог­
рес­сийн ерөнхий
гишүүний томьёо
• y=kx, y=kx+b
шугаман функ­
цийн график
• Ерөнхий гишүүний
дүрэм, томьёо,
ариф­метик,
геометр прогресс;
• Шугаман функ­
цийн урвуу функц;
ax by c
+ = тэгшит­
гэлийн график,
шулууны налалт
• Тэгшитгэлийн
язгуурыг ойрол­
цоо­
гоор олох;
график,
• Зам, хурд, хугацаа
болон y ax
= 2
функцийн график
• Дарааллын ерөн­
хий гишүүний
томьёо
• Урвуу функц,
давхар функц
• y ax bx c y ax
= + + =
2 3
,
функц, график,
тэгшитгэлийн
язгуурыг ой­
ролцоогоор олох
• Квадрат тэгшит­
гэлийг бодох
графикийн арга
• Шулууны тэг­
шитгэлийг
y mx c
= + хэл­
бэрт шилжүүлэх,
шулууны налалт
Геометр
Дүрс,
биет,
чанар
• Цэг, шулуун, хэр­
чим, цацраг, өнцөг,
• Хурц, мохоо, тэгш,
180° –360°, хамар,
босоо, гүйцэд өнцөг
/ /, ⊥, × шулууны
хоо­рондох өнцөг,
чанар
• Гүдгэр олон өнцөгт,
дотоод өнцгийн
нийлбэр
• Огторгуйн биетүүд
(конус, бөмбөрцөг)
• Дүрсийн тэгш хэмт
чанар,
• Багаж, хэрэгсэл
ашиглан хэмжих,
зурах
• Дөрвөн өнцөг­
түүдийг ангилах
• / / шулууныг гурав
дахь шулуунаар
огтлоход үүссэн
өнцгүүд, чанар
• Гурвалжны га­
даад өнцгийн
чанар
• Огторгуйн биет,
тэдгээрийн
дэлгээс
• Геометрийн үнд­
сэн болон хялбар
байгуулалт
• Гурвалжныг
ӨТӨ, ТӨТ, ТТТ-
аар нь байгуулах
• Тойрог, нум, тэгш
өнцөгт, гур­вал­
жин байгуулах
• Олон өнцөгтийн
дотоод болон
гадаад өнцгүүдийн
нийлбэр
• Биетийн гурван
проекц
• Тэгш хэмийн
хавтгай
• Зөв олон өнцөгт
байгуулах
• Пифагорын теорем
• Тойрог ба шулуун,
тойрог ба өнцөг,
харилцан байршил
• Гурвалжныг гурван
элементээр нь
байгуулах
• Дүрс ба биетийн
тэгш хэмт чанар
• Өнцгүүдийг
тооцоолох
• Тойргийн тэгш
хэмт чанарууд
• Пифагорын
теорем, хурц
өнц­гийн тригоно­
метрийн харьцаа
• Векторын тэм­
дэглэгээ, үйлдэл
• Векторын урт

11. 11
Геометр
Байршил,
хөдөлгөөн
• Тэгш өнцөгт коор­
динатын систем,
цэгийн координат,
дүрс байгуулах
• Тэгш хэм, эргүүлэлт,
параллель зөөлт
• Тэнцүү дүрсүүд,
гурвалжны
тэнцүүгийн шинж
• Хэрчмийн
дундаж цэгийн
координат, дүрс
байгуулах
• Нэг төрлийн
дараалсан
хувиргалтууд
• Гомотетоор
хувиргах
• Төсөөтэй дүр­
сүүд, гурвалжны
төсөөгийн шинж
• Хоёр өөр төрлийн
дараалсан хувир­
галтууд
• Хэрчмийн урт
• Гомотетын чанар
• Чиглэлт өнцөг
• Хавтгай дээрх
хувиргалтууд
• Координатын
тэнх­лэгт пер­пен­­
ди­куляраар сунгах,
тэнх­лэг­ийн дагуу
налуулах
• Чиглэлт өнцөг,
түүний хэрэглээ
• Гурвалжны тэнцүү
болон төсөөгийн
шинж
Хэмжигдэхүүн
Урт,
хүнд,
эзлэхүүн
• Хэмжих нэгжүүдийг
хэрэглэх (урт, хүнд,
эзлэхүүн)
• Аналог ба дижитал
багаж
• Талбай, эзлэ­
хүүнийг хэмжих
нэгжүүд (га, мм2
,
см2
, м2,
мм3,
см3
,
м3
), уламжлалт
нэгжүүд
• Хэмжигдэхүүн
оролцсон төрөл
бүрийн агуул­
гатай асуудал
шийдвэрлэх
• Хэмжигдэхүүн
оролцсон төрөл
бүрийн агуул­
гатай асуудал
шийд­вэрлэх
Хугацаа
ба
мөнгө
•
• 12 ба 24 цагийн
систем, дэлхийн
цагийн бүс
• Зам, хугацааны
график
• Тогтмол ба дундаж
хурд
• км/цаг→м/сек
шилжүүлэх болон
Нийлмэл нэгж
• Дэлхийн цагийн
бүсийн хэрэглээ,
• Монгол цаг,
тоолол
• Мөнгө, валют
Талбай,
периметр,
эзлэхүүн
• Талбайн нэг­
жүү­
дийн хамаарал
• Тэгш өнцөгтүүдээс
тогтсон нийлмэл
дүрсийн периметр,
талбай
• Куб, тэгш өнцөгт
параллелепипедийн
гадаргуун талбай,
эзлэхүүн
• Гурвалжин,
парал­­лелеграмм,
трапецийн тал­
бай, нийлмэл
дүрсийн талбай
• L=2πr, S=πr2
, π
тоо, Тэгш өнцөгт
парал­лелепипед,
призм, суурь нь
зөв дөрвөн өн­
цөгт пира­мидын
Sгадаргуу
• Тойргийн урт,
ду­гуйн талбай,
хэрэглээ
• Призмийн
гадаргуун талбай,
эзлэхүүн
• Олон өнцөгтийн
периметр, талбай
• Тойрог, нумын
урт, дугуй,
секторын талбай
• Цилиндр, приз­
мийн V, Sгадаргуу
• Биетүүдийн
Sгадаргуу
Магадлал,
статистик
Өгөгдөл
цуглуулах,
бүртгэх
• Өгөгдөл цуглуулах,
бүртгэх
• Давтамжийн хүснэгт
• Өгөгдөл
• Хэмжигдэхүүний
нарийвчлал,
түүврийн хэмжээ
• Давтамжийн
хүснэгт
• Судалгааны
асуул­­га, түүврийн
хэмжээ, хэмжигдэ­
хүүний нарийвчлал
• Статистик
өгөгдлийг цуг­
луулах, бүртгэх
Өгөгдлийг
дүрслэх,
боловсруулах
• Моод, медиан, да­
лайц, арифметик
дундаж
• Бүлэглэсэн өгөгдөл,
моод бүлэг. Баганан
диаграмм, хялбар
ду­гуй диаграмм
байгуулах
• Шугаман график
унших, тайлбарлах
• Дискрет өгөгдлийн
давтамжийн
диаграмм
• Моод, медиан,
далайц, ариф­
метик дундаж
• Моод бүлэг
• Бүлэглэсэн
өгөгдөл
• Дугуй диаграмм,
• Шугаман график
байгуулах
• Тасралтгүй өгөгд­­
лийн дав­­там­жийн
диаграмм
• Статистик харак­
терис­тик­уудыг
сонгон, диаграмм
тайлбарлах
• Тасралтгүй болон
дискрет өгөгдлийн
давтамжийн
диаграмм
• Шугаман график
• Цэгэн диаграмм,
корреляц
• Гистограмм
• Цэгэн диаграмм,
түүний ханд­лагын
шулуун
• Хуримтлагдсан
давтамжийн
график
• Гистограмм

12. 12
Магадлал,
статистик
Үр
дүнг
тайлбарлах,
хэлэлцэх
• Баганан диаграм­
муудыг харьцуулах
• Баганан, дугуй
диаграммуудыг
харьцуулах
• Хоёр болон түүнээс
олон түүврийг
харьцуулах
• Статистик дүгнэлт
• Статистик ха­
рак­­­терис­тикуу­
дыг сонгож,
тооцоолох,
диаграмм,
• Корреляц
хамаарал
Магадлал
• Ажиглалт, туршилт,
боломж,
• Нийлбэр, үржвэрийн
зарчим
• Харьцангуй давтамж
• Ижил боломжтой
үр дүнд суурилсан
магадлал
• Тухайн нэг
үзэгдлийн бүх үр
дүнг бичих
• Ижил боломж­
той үр дүнд
суурилсан
магадлал
• Эсрэг үзэгдлийн
магадлал
• Нийлмэл үзэгд­
лийн бүх үр
дүнг бичих
• Туршилтын үр
дүнгээр магад­
лалыг тооцоолох,
үнэлэх
• Магадлалыг нэмэх
• Нийцгүй үзэгд­
лүүдийн магадлал
• Харьцангуй дав­
тамжийг хэрэглэх
• Үл хамаарах
үзэгд­лүүдийн
магад­лал
• Нийлмэл үзэгд­
лийн магадлал
• Харьцангуй дав­
тамжийг хэрэглэн
магадлалыг
үнэлэх
• Комбина­тори­
кийн хял­
бар асуу­
дал шийд­вэрлэх
6 дугаар ангийн математикийн хичээлийн агуулгын үлгэрчилсэн төлөвлөлт
Нэгж хичээл Цаг
Бүхэл тоон олонлог, зэрэг, язгуур 8
Хэллэг, олонлог 4
Алгебрийн илэрхийлэл 6
Өнцөг (огтлолцсон шулууны хоорондох өнцөг, хамар ба босоо өнцөг, гүйцэд өнцөг) 8
Гурвалжин ба олон өнцөгтийн дотоод өнцгийн нийлбэр 5
Өгөгдөл цуглуулах, дүрслэх 6
Тоог жиших, тоймлох, хэмжих нэгжийг сонгох 6
Тэгшитгэл 5
Олон өнцөгт 8
Тойрог ба дугуй, биет 6
Цаг, хугацаа 5
Дунджууд ба далайц 6
Энгийн бутархай 8
Аравтын бутархай, Процент 6
Функц 6
Хэмжих, зурах 5
Тэгш өнцөгтийн талбай 6
Боломж тоолох 5
Магадлал 6
Харьцаа, пропорц 8
Дараалал 5
Координатын хавтгай, Хувиргалтууд 8
Тэнцүү дүрсүүд, гурвалжны тэнцүүгийн шинж 6
Тэгш өнцөгт параллелепипедийн гадаргуун талбай, эзлэхүүн 8
Давтах 25
Дээрх цаг төлөвлөлт нь тухайн орон нутаг, сургууль, ангийн сурагчдын түвшинтэй холбогдон
өөрчлөгдөх бүрэн боломжтой, өөрөөр хэлбэл энэ нь зөвхөн багш нарт баримжаа болох зорилгоор
оруулж өгсөн болохыг анхаарна уу. Түүнээс гадна 7-9 дүгээр ангид гарч байгаа сургалтын
хөтөлбөрүүдийн агуулгын зөрөөтэй уялдан Геометр, хэмжигдэхүүн, Магадлал, статистикийн
зарим агуулгыг нөхөж заах төлөвлөлтийг багш нар өөрсдөө төлөвлөж оруулах шаардлагатай.

13. 13
II БҮЛЭГ. СУраХ БичГиЙГ ХЭрЭГЖҮҮЛЭХ арГа ЗҮЙ
СУраХ БичиГТЭЙ ХЭрХЭН аЖиЛЛаХ ВЭ?
Сэдэлжүүлэх даалгавар-Одоо хүртэлх сурсан зүйлээ хэрэглэн ахуй, амьдралын асуудлыг
ойлгох, ухаарах, шийдлийг олох аргыг эрж, хайх, тухайн асуудлаар ярилцах, дүгнэлт гаргах
үйл ажиллагаа явагдана.
Математикийн мэдлэг, чадвар эзэмших загвар бодлого. Эргэцүүлэн бодох, бодолтыг ойлгох,
тайлбарлах, бодолтыг гүйцээх, алдаа гаргаж болзошгүй зүйлүүдийг олж харах, өмнөх мэдлэг,
чадвараа хянах, шалгах, шинээр мэдлэг, чадвар эзэмших даалгаврууд байна.
Асуулт-Сурагчдыг эргэцүүлэн бодох, эрэл хайгуул хийх, санал бодлоо ярилцах, хэлэлцэх,
өмнөх мэдлэг, чадвараа сэргээн бататгах үйл ажиллагаа руу чиглүүлнэ.
Одоо
сануулах
Санамж, тайлбар-Өмнө нь үзсэн болон
тухайн сэдэв дээр шинээр орж ирж байгаа
математикийн нэр, томьёо, ойлголт, тэм-
дэг, тэмдэглэгээний талаар санамж, товч
тайлбарыг өгнө.
-Өмнө нь үзсэн болон ТОДОрХОЙЛОЛТ
Тодорхойлолт, дүрэм, чанар-Математикийн
хууль, дүрэм, чанар, тодорхойлолтыг бичнэ.
Даалгавар-Дараах төрлийн даалгаврууд байна. Үүнд:
- Математикийн мэдлэг, ойлголтыг шалгах даалгавар
- Сурсан зүйлээ математик болон ахуй амьдралд хэрэглэх даалгавар
- Сурсан зүйлээ хэрэглэн өөрийнхөө бодлыг тайлбарлах даалгавар
- Сурсан зүйлээ гүнзгийрүүлэх даалгавар
- Сонирхолтой бодлого
- Тооны машин хэрэглэх даалгавар
- Дараагийн сэдэвтэй холбогдох даалгавар
- Дадлага ажил.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар
Математикийн мэдлэг, ойлголтоо хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх үйл ажиллагаа явагдана.
• Өөрийгөө сорих-Бүлэг сэдвээр зайлшгүй эзэмшсэн байх чадварыг шалгах, өөрийгөө үнэлэх
даалгаврууд байна.
• Давтах-Энэ хэсэгт дараах төрлийн даалгаврууд байна. Үүнд:
- Бүлэг сэдвээр зайлшгүй эзэмшсэн байх чадварыг бататгах
- Ахуй амьдрал дахь хэрэглээтэй холбосон
- Математик сэтгэлгээг хөгжүүлэх сонирхолтой бодлого, даалгавар байж болно.
Хичээлийн явцад юуг анхаарах вэ?
• Багшийн болон найз нөхдийнхөө яриаг анхааралтай сонсох
• Эргэцүүлэн бодох
• Бусдын санаа бодлыг өөрийнхөө санаа бодолтой харьцуулах
• Ойлгохгүй зүйлээ найз нөхдөөсөө болон багшаасаа асуух
• Өөрийн санаа бодлоо илэрхийлэх, бусдад ойлгомжтой ярих, дүгнэлт гаргах

14. 14
аСУУДаЛ ШиЙДВЭрЛЭХ арГа ЗҮЙ.
Математикийн хичээлээр сурах арга барил, асуудал шийдвэрлэх чадвар эзэмшүүлэх нь чухал
бөгөөдэнэньсурагчдынбүтээлч,идэвхтэйүйлажиллагаандээртулгуурлана. Асуудалшийдвэрлэх
үйл ажиллагаа нь сурагчдад математикийн мэдлэг, чадвараа ахуй амьдралдаа хэрэглэх боломж
олгохоос гадна хичээлийн аль ч хэсэгт сургалтын ямар ч арга, хэлбэрээр явагдаж болно. Өөрөөр
хэлбэл энэ нь багш асуултуудаар сурагчдын үйл ажиллагааг чиглүүлж, тэдний эргэцүүлэн бодох,
эрэл хайгуул хийх, бүтээлч сэтгэлгээг хөгжүүлэх замаар мэдлэг, чадвар эзэмшин дүгнэлт гаргаж
буй бүх төрлийн үйл ажиллагаа юм.
Сурах бичгийн сэдэв бүрийн эхэнд сэдэлжүүлэх даалгавар, сэдвийн төгсгөлд асуудал
шийдвэрлэх цогц даалгавар оруулж өгсөн нь энэ арга зүйд суралцахад бага ч болов тус, нэмэр
болох байх. Багш эдгээр даалгавруудыг сурагч бүрээр ажиллуулахад анхаарахад хэрэгтэй. Гэхдээ
асуудал бүрийг заавал 4 үе шатаар төлөвлөх шаардлагагүй, энэ нь тухайн даалгаврын төрлөөс
хамаарч, ялгаатай байж болно. Жишээ нь математикийн бодлогыг бодоход бодох аргаа төлөвлөн,
хэрэгжүүлж, хариугаа шалгах гэсэн алхмын дагуу гүйцэтгэхэд хангалттай. Иймд багш нар хэзээ,
ямар арга хэлбэрээр, ямар асуудлыг хэрхэн шийдвэрлэхээ өөрсдөө сонгон сургалтыг удирдан
чиглүүлнэ гэсэн үг.
Сурах бичгийн 120 дугаар нүүрэнд байгаа “Хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарлыг тогтоох”
гэсэн сэдвийн сэдэлжүүлэх даалгаврыг жишээ болгон авъя.
Орон сууцны ажлын ба унтлагын өрөө зэрэгцэж байрлажээ.
Унтлагын өрөө ажлын өрөөнөөс 2 дахин өргөн. Ажлын өрөөнд
20м2
хулдаас битүү дэвссэн бол унтлагын өрөөнд хэдэн метр
квадрат хулдаас дэвсэх вэ?
Хамтарч ярилцаад дүгнэлт гаргаарай.
а. Унтлагын өрөөг зурагт үзүүлснээр 2 тэнцүү хуваасан гэж
үзвэл нэг хэсэгт дэвсэх хулдаасны хэмжээг олоорой.
б. Унтлагын өрөөнд дэвсэх хулдаасны хэмжээг олоорой.
в. Унтлагын өрөө ажлын өрөөнөөс 3 дахин, 4 дахин өргөн байсан бол дэвсэх хулдаасны
хэмжээг тус тус олоорой.
2x м
x м
I үе шат. асуудлыг ойлгох.
Сурагчидтай дараах асуултын дагуу ярилцана. Үүнд:
• Зургаар юуг харуулсан бэ?
• Унтлагын өрөө ажлын өрөөнөөс хэд дахин том бэ?
• Өрөөнүүдийн урт нь ижил үү? Ялгаатай юу? гэх мэт асуултуудаар ярилцаж, асуудлыг
ойлгон, олох зүйлээ тодорхойлно.
Олох зүйл: Унтлагын өрөөнд хэдэн метр квадрат хулдаас дэвсэх вэ?
II үе шат. асуудлаа загварчлах, төлөвлөх.
Дараах асуултуудаар ярилцаж, холбогдох зураг, дүрслэлээр харуулна.
• Өгсөн зургийг ашиглан орон сууцны план зургийг гаргаж болох уу? Яаж зурах вэ?
• Асуудлыг математикийн бодлого руу хэрхэн шилжүүлэх вэ? гэсэн асуултаар ярилцсаны
дараа сурагч бүр дэвтэртээ дараах зүйлийг зурж, бичнэ.
1. Орон сууцны план зургийг зурна.
2. План зурагт ямар дүрсүүд байгааг, эдгээр дүрсийн ямар хэмжээсүүд өгөгдсөн, юуг олох
вэ? гэдгийг математик нэр, томьёо, тэмдэглэгээ ашиглан бичнэ.

15. 15
Тэмдэглэгээ:
Унтлагын өрөөний талбай→S2
Ажлын өрөөний талбай→S1
Ажлын өрөөний өргөн→x
Унтлагын өрөөний өргөн →2x
Өгсөн асуудал нь “S2
тэгш өнцөгтийн талбайг олох” гэсэн математикийн бодлого руу шил­
жинэ. Энэ бодлогыг бодох аргаа сурах бичигт өгсөн алхмын дагуу математик хэл дээр загварчилъя:
а. S2
тэгш өнцөгтийг 2 тэнцүү хэсэгт хуваагаад нэг хэсэгт ногдох талбайг олно.
б. S2
тэгш өнцөгтийн талбайг олно.
в. S2
тэгш өнцөгтийн өргөн нь 3x, 4x байх тохиолдол тус бүрд талбайг нь олно.
Энэ нь бодлого бодох төлөвлөгөө юм. Энэ үе шат хамгийн чухал бөгөөд сурах бичигт үүнийг
бодох аргаа төлөвлөх гэж оруулсан байгаа.
III үе шат. Төлөвлөсөн аргаар бодох.
Бодолт:
а. S2
тэгш өнцөгтийг 2 тэнцүү хэсэгт хуваавал, нэг хэсэгт ногдох талбай нь S1
-тэй тэнцүү
буюу 20м2
болно.
б. S2
=2×20=40м2
в. Хэрэв өргөнийг 3 дахин ихэсгэвэл талбай нь S2
=3×20=60м2
, 4 дахин ихэсгэвэл
S2
=4×20=80м2
болно.
IV үе шат. Дүгнэлт гаргах.
Дараах асуултуудаар ярилцаж, сурагчдаар дүгнэлт гаргуулна.
• Тэгш өнцөгтийн аль нэг талыг 2, 3, 4, 5 дахин ихэсгэхэд түүний талбай хэд дахин ихсэх вэ?
• Тэгш өнцөгтийн аль нэг талыг 2, 3, 4, 5 дахин багасгахад түүний талбай хэд дахин багасах
вэ?
• Эдгээрээс ямар дүгнэлт хийж болох вэ?
Чээж бодлого: 6см×9см хэмжээтэй тэгш өнцөгтийн өргөнийг
а. 2 дахин, 3 дахин ихсэсгэхэд.
б. 2 дахин, 3 дахин багасгахад талбай нь тус тус хэд болох вэ?
Дүгнэлт:
Тэгш өнцөгтийн аль нэг талыг төд дахин ихэсгэхэд (багасгахад), түүний талбай нь мөн төд
дахин ихэснэ, (багасна).
Энэдүгнэлтийнцаадутганьүржүүлэхүйлдлийнгишүүд,үрдүнгийнхамаарлыгхаруулжбайна.
Асуудлыг дараах байдлаар математикийн асуудал болгон гүнзгийрүүлж болно:
Бодлого. 9см×6см хэмжээтэй тэгш өнцөгт өгчээ.
а. Урт, өргөн тус бүрийг 2 дахин ихэсгэхэд
б. Урт, өргөн тус бүрийг 3 дахин багасгахад
в. Уртыг 3 дахин багасгаад, өргөнийг 3 дахин ихэсгэхэд
г. Уртыг 2 дахин ихэсгээд, өргөнийг 3 дахин багасгахад тус тус талбай нь хэрхэн өөрчлөгдөх
вэ?
Дээрх арга зүйг сайжруулан багш нар, хамт олон өөрсдөө аль нэг сэдэв, суралцахуйн зорилтоор
шилдэг арга зүй, үйл ажиллагаа төлөвлөн явуулах бүрэн боломжтой.
S1
=20м2
S2
=?

16. 16
Эрэл хайгуулын аргаар асуудал шийдвэрлэх.
Бодлого: Ангийн 10 сурагч зуны амралтын дараа уулзалдаад бие биетэйгээ гар барилцжээ. Хэ­
рэв хүүхэд бүр бусадтайгаа зөвхөн 1 удаа гар барилцсан бол нийт хэдэн удаа гар барилт болсон бэ?
Бодолт: Энэ бодлогыг сурагчдад шууд бодоход хүндрэлтэй учраас эхлээд хялбараас нь эхлэн
3 хүүхэд, 4 хүүхэд, 5 хүүхэд хоорондоо хэдэн удаа гар барилцахыг олно. Бодолтыг ойлгомжтой
болгохын тулд зураг, схемээр харуулъя. Хүүхдийн тоог n гэж тэмдэглэе.
n=3 үед, 3 удаа гар барилцана. n=4 үед, 6 шулуун татаж болох бөгөөд 6 удаа гар барилцана.
1
3
4
2
n=5 үед, 10 шулуун татаж болох бөгөөд 10 удаа гар барилцана.
1
2
3
4
5
Энэ хүртэл багш, сурагчид хамтран ажиллах нь үр дүнтэй. Үүний дараа багш: “2 хүүхэд, 6
хүүхэд хоорондоо хэдэн удаа гар барилцах вэ?” гэсэн асуулт тавьж, сурагчдын хариултыг авна.
Үүний дараа дараах хүснэгтийг сурагчдад өгч, нөхүүлнэ.
Хүүхдийн тоо Гар барилтын тоо
1 0
2 1
3 3
4 6
5 10
6 15
Энэ хүснэгтээс ямар зүй тогтол харагдаж байна вэ? гэсэн асуудал дэвшүүлж, сурагчдыг
эргэцүүлэн бодох, эрэл хайгуул хийх үйл ажиллагаанд хөтөлнө.
Сурагчид янз бүрээр хариулж болно. Дараах хариултууд гарч болох юм. Үүнд:
“Гар барилтын тоо нь өмнөх гишүүнээсээ 1-ээр илүү тоогоор нэмэгдэж байна”
“Дарааллын гишүүд нь өмнөх гишүүнээсээ эхлээд 1-ээр, дараа нь 2-оор, дараа нь, 3-аар гэх
мэт нэмэгдэж байна”
Зарим авъяаслаг сурагч “
хүүхдийн тоо×хүүхдийн тооноос–1
2 ” гэсэн хариултыг өгч болох юм.
Гэхдээ энэ бодлогыг хэддүгээр ангийн сурагчдад өгч байна гэдгээс хамааран ялгаатай үр дүн
гарна гэдгийг анхаарах хэрэгтэй.
Энэ бүхний үр дүнд 10 хүүхэд хэдэн удаа гар барилцахыг олуулна.
9+8+7+6+5+4+3+2+1=45 удаа гар барилцана.
Эцэст нь тухайн ангийн нийт хүүхдийг тоолж, хэдэн удаа гар барилцах вэ? гэдгийг олуулах
гэх мэт энэ даалгаврыг хөнгөнөөс хүнд рүү сурагчдаар эрэл, хайгуул хийлгэн бодуулах нь тэдний
бүтээлч сэтгэлгээг хөгжүүлэхэд нэг чухал алхам болно.
Эрэл хайгуулын аргаар асуудал шийдвэрлэхдээ:
1. Бодлогын өгүүлбэрийг ойлгох
2. Таамаглал дэвшүүлэх
3. Эрэл хайгуул хийх
4. Харилцан ярилцах
5. Дүгнэлт гаргах гэсэн үе шаттай сурагчдын үйл ажиллагааг зохион байгуулж болох юм.
1
2
3

17. 17
Ээлжит хичээлийн загвар: Сэдэв: Тэнхлэгийн тэгш хэм
Суралцахуйн зорилт ( хүрэх үр дүн): Хавтгайн цэг ба дүрсийг өгсөн шулууны хувьд тэгш хэмтэй
байгуулах, дүрсийн тэгш хэмийн тэнхлэгийг олох, зурах чадвартай болно. (80
мин)
Хичээлийн зорилго • Өгсөн дүрсийг координатын тэнхлэгүүдийн хувьд тэгш хэмтэй байгуулах,
үүссэн дүрсийн оройн цэгийн координатыг олох чадвартай болно. (40 мин)
Түлхүүр үг. • Координатын хавтгай, Ox, Oy тэнхлэг, цэгийн координат, тэгш хэмийн тэнх­
лэг, тэнхлэгийн тэгш хэм, параллель, перпендикуляр, дүрс, дүр
• Дээрх нэр, томьёо, үг хэллэгийг сэргээн сануулах байдлаар хичээлийн явцад
харилцан ярилцана. Дүр- энэ үг нь шинээр орж ирж байгаа.
Өмнөх мэдлэг
(5 мин)
• Тэнхлэгийн тэгш хэмтэй дүрсийг таних, хялбар дүрсүүдийн тэгш хэмийн
тэнхлэгийн тоог олох, өгсөн дүрсүүд тэгш хэмтэй эсэхийг мэддэг, коор­
динатын хавтгайд өгсөн коордианттай цэгтэй Ox, Oy тэнхлэгийн хувьд
тэгш хэмтэй цэгийг олж, чаддаг болсон байна.
• Өмнөх мэдлэгийг шалгах: 1-9 хүртэлх цифрийг дөрвөлжин шугамтай цаасан
дээр шрифтээр бичиж, цифр тус бүрийг тэгш хэмтэй дүрсээр илэрхийлэх
даалгавар өгнө. Багш эхний 3 дүрсийг зурж үзүүлнэ.
• Багш энэ даалгавраар явцын үнэлгээ хийнэ. Сурагчид зурж, дуусаад багшдаа
харуулна. Зурсан дүрсээ тэгш хэмтэй зурж чадсан эсэхээ яаж мэдэх вэ? гэсэн
асуулт асууж, сурагчдаар дүгнүүлнэ.
Төлөвлөгөө
Төлөвлөсөн
хугацаа
35 мин
Төлөвлөсөн ажлууд
(Үйл ажиллагаа)
Анхаарах зүйл
Сурах арга барил
Эхлэл- 5 мин
(Өмнөх мэдлэг,
чадварыг
бататгах)
Үйл ажиллагаа 1: Хичээлийн эхэнд багш дараах
зүйлсийг хийж сурагчдын анхаарал, сонирхлыг татаж,
өмнөх мэдлэг, чадварыг давтана:
Та нар тэгш хэмтэй ямар, ямар дүрсийг мэдэх вэ?
Тэгш хэмтэй гэдгийг нь яаж мэдэх вэ? гэсэн асуултаар
чиглүүлж, ярилцана. Үүний дараа сэдэлжүүлэх даалгавар
өгнө.
Дараах далбаа тус бүр хэдэн тэгш хэмийн тэнхлэгтэй
вэ? Эдгээр далбаанууд ямар улсынх болохыг мэдэх үү?
Үүний дараа өнөөдрийн хичээлийн зорилгыг хэлж болно.
Хэрэглэгдэхүүн:
Шугам, харандаа,
–8-аас +8 хүртэл
тэмдэглэсэн коорди­
натын хавтгайн загварыг
сурагч тус бүрд тараан
өгнө.

18. 18
Өрнөл–25 мин
(Шинэ мэдлэг,
чадвар эзэмших)
Үйл ажиллагаа 2: Координатын хавтгайд дүрс зурж,
Ox, Oy тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэйгээр байгуулах
Даалгавар 1: Сурах бичгийн 7-8 дугаар бодлогыг
бодуулж, өгсөн цэг ба хэрчмийг хэрхэн тэгш хэмтэйгээр
байгуулах аргыг эзэмшүүлнэ.
Даалгавар 2: A(-6,4), B(-6,7), C(-4,7) цэгүүдийг
координатын хавтгайд тэмдэглэж, гурвалжин үүсгээд:
а. Гурвалжныг Ох тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэйгээр
хувиргаж, гарсан дүрийг 1 гэж тэмдэглээрэй.
б. Гурвалжныг Оу тэнхлэгийн хувьд тэгш хэмтэйгээр
хувиргаж, гарсан дүрийг 2 гэж тэмдэглээрэй.
в. Дээрх а ба б тохиолдол тус бүрд А цэгийн дүрийн
координатыг бичээрэй. Эндээс В ба С цэгийн дүрийн
координатыг шууд хэлж болох уу? Эдгээр цэгүүдийн
координат нь ямар хамааралтай байна вэ?
Дээрх даалгаврыг сурагчдад өгч, тэднийг ажиллах
явцад дүр гэдэг нь тэгш хэмийн хувиргалтаар үүссэн
дүрс юм гэсэн ойлголтыг өгч, дараах асуултуудаар
чиглүүлнэ:
АВС гурвалжин координатын хавтгайн хэддүгээр
мөчид орших вэ?
АВС гурвалжны 1 дүр координатын хавтгайн хэддүгээр
мөчид орших вэ?
АВС гурвалжны 2 дүр координатын хавтгайн
хэддүгээр мөчид орших вэ?
Даалгаврыг сурагч нэг бүрээр гүйцэтгүүлэх явцад
зарим дэмжлэг хэрэгтэй сурагчдад тусална.
Даалгавар 3. Мэдлэг, чадварыг бататган Сурах бичгийн
150 дугаар нүүрний 11а бодлогыг бодуулна. Харин
чадварлаг сурагчдад нэмэлт даалгавар өгнө.
Өгсөн Ацэгийг
шулууны хувьд тэгш
хэмтэй байгуулах
алгоритм:
1. Өгсөн цэгийг
дайруулан шулуунд
перпендикуляр татаж,
огтлолын цэгийг
тэмдэглэнэ. /М/
2. Перпендикуляр
шулуун дээр АМ=MA
байх цэг олно.
АВС гурвалжны хувьд
оройн цэг бүрийг дэс
дараалан тэнхлэгийн
тэгш хэмээр хувиргана
Байгуулалтыг нягт,
нямбай, зөв гүйцэтгэх
арга барил эзэмшүүлэх
нь чухал.
Нэмэлт даалгавар:
а. y=–1, x=3 шулуун байгуулах
б. (1,7), (–3,7), (–3,5) цэгүүд дээр оройтой гурвалжин байгуулах
в. Гурвалжныг y=–1 шулууны хувьд тэгш хэмтэй байгуулж, гарсан дүрийг 1 гэж
тэмдэглэх
г. Гурвалжныг x=3 шулууны хувьд тэгш хэмтэй байгуулж, гарсан дүрийг 2 гэж
тэмдэглэх
д. Дүр тус бүрийн оройн цэгийн координатыг олох
Төгсгөл-5 мин
Үйл ажиллагаа 3: Хичээлийн төгсгөл хэсэгт сурагчдаар
дүрсийг тэгш хэмтэйгээр хувиргах алхмуудыг томьёо­
луулна.
I алхам. Дүрсийн оройн цэг бүрийг тэгш хэмийн тэнх­
лэгийн хувьд тэгш хэмтэй хувиргаж, дүрийг тэмдэглэх
II алхам. Цэг тус бүрийн дүрийг хэрчмээр холбон дүрс
байгуулах
III алхам. Дүрс ба үүссэн дүр нь тэгш хэмтэй байгуу­
лагдсан эсэхийг шалгах
Дараагийн хичээлийн зорилгыг гаргах-өгсөн дүрсийг
координатын тэнхлэгүүдтэй параллель x=a, y=b шулуу­
ны хувьд тэгш хэмтэй хувиргах
Өөрийнхөө болон нөхдийнхөө ажилд үнэлгээ өгөх
Гэрийн даалгавар: Сурах бичгийн 9-14 дүгээр бодлого
Асуудал шийдвэрлэх 4
үе шатын II шат буюу
тэгш хэмийн хувиргалт
хийх алхмаа төлөвлөх
нь чухал.

19. 19
Нэмэлт мэдээлэл
Ялгавартай хандах –
Хоцрогдсон сурагчдад багш,
багийн гишүүд дэмжлэг,
туслалцаа үзүүлнэ.
Явцын үнэлгээний жишиг
даалгавар–
Даалгавруудыг координатын
хавтгайн загвар дээр байгуулж,
сурагчдаар өөрсдөөр нь
үнэлүүлнэ. Багш нэгтгэнэ.
Бусад хичээлийн хөтөлбөртэй
уялдуулах-
Эрүүл аюулгүй байдал-
Бусад эх сурвалж, нэмэлт
хэрэглэгдэхүүн-
https://www.khanacademy.org/
Видео хичээл үзүүлэх
Хичээлд хэрэглэх даалгавар,
түүний үр дүн гүйцэтгэл-
Үнэлэх аргууд- Хичээлийн эцэст
хэлэлцүүлгийн аргаар хичээлээ
дүгнэж болно.
Цагаан самбар ашиглах
Таж Махалын ордны тэгш хэмт чанар
Энэтхэгийн нийслэл Шинэ Дели хоттой зэргэлдээ
орших Агро хотод дэлхийн сая сая жуулчдыг соронзон
мэт татах Таж Махал цогцолбор сүндэрлэдэг. Энэ уран
барилга нь олон онцлогтой баригдсаны нэг нь тэгш
хэмт чанар бөгөөд ертөнцийн долоон гайхамшгийн нэг
болоход тодорхой хувь нэмэр оруулсан юм. Иймд тэгш
хэм нь гоо сайхан юм гэдгийг сурагчдад ойлгуулан өөр
тэдний мэдэх зүйлсийн талаар ярилцаарай.
Хичээлээ үнэлэх
Хичээлийн зорилго бодитой байж
чадсан уу?.......................................
Сурагчид өнөөдөр юу сурсан бэ?.
..........................................................
Сургалтын ерөнхий уур амьсгал,
байдал ямар байсан бэ? ................
.........................................................
Ялгавартайгаар төлөвлөсөн аж­
лууд үр дүнтэй байж чадсан уу? ..
..........................................................
Би цагаа барьж чадсан уу?
.........................................................
Би төлөвлөгөөндөө ямар өөрч­
лөлт оруулсан бэ? Яагаад? ...........
.........................................................
Үнэлгээний дүгнэлт:
Ямар хоёр зүйл амжилттай болсон бэ? (сургалтын үйл ажиллагаа,
заах арга зүй)
1:
2:
Ямар хоёр зүйл хичээлийг илүү үр дүнтэй болгох байсан бэ?
(сургалт заах аргатай хоёулантай нь холбоотой)
1:
2:
Энэ хичээлээс сурагчидтай холбоотой дараагийн хичээлд
хэрэгтэй юу сурч авсан бэ?
Жич: Багш бүр өөр, өөрийн гэсэн шилдэг арга зүйтэй байдаг бөгөөд ээлжит хичээлээ үр
дүнтэй явуулах уламжлалт болон бусад загварыг ашиглах бүрэн боломжтой гэдгийг энд онцолж
байна. Өөрөөр хэлбэл ээлжит хичээлийг заавал ийм загвараар төлөвлө гэсэн үг биш юм.

20. 20
2.1. Нэгж хичээлийн сэдэв: Бүхэл тоо, зэрэг, язгуур
Хүрэх үр дүн
Эерэг, сөрөг тооны ахуй амьдрал дахь хэрэгцээг ойлгох, бүхэл тооны үйлдлийг тоон шулуун, бусад
загвар ашиглан гүйцэтгэх; бүхэл тооны квадрат зэргийг олох, түүний урвуу үйлдлийг ойлгох,
квадрат язгуурыг олох; тооны хуваагдлын шинж хэрэглэн нэг ба хоёр оронтой тоонуудын ХИЕХ,
ХБЕХ-ийг хялбар аргаар олох, хэрэглэх;
Түлхүүр үг: бүхэл тоог жиших, бүхэл тооны 4 үйлдэл, тооны хуваагдах шинж, ХИЕХ, ХБЕХ,
квадрат зэрэг, квадрат язгуур
Хэрэглэгдэхүүн: Тоон шулууны загвар, термометр, цаг агаарын мэдээ, ажлын хуудас
Суралцахуйн зорилт:
Өмнө эзэмшсэн мэдлэг,
чадвар
Одоо эзэмших мэдлэг,чадвар
• Тооны 2, 4, 5, 10, 25, 50,
100-д хуваагдах шинж
үржүүлэх, хуваах
• Бүхэл тоог жиших, тоон
шулуун дээр тэмдэглэх
• Тоонуудын ерөнхий
хуваагч, ерөнхий
хуваагдагчийг олох,
• Эерэг, сөрөг тоог ахуй амьдралд хэрэглэх, тоон шулуун хэрэглэн
бүхэл тоонуудыг жиших, нэмэх, хасах, хялбар бүхэл тоонуудыг
үржүүлэх, хуваах
• Тооны квадрат зэргийг олох, түүний урвуу үйлдлийг ойлгох, квадрат
язгуур нь –20-оос +20 хүртэлх бүхэл тоо байх тоог таних, чээжээр
олох, тэмдэглэгээ хэрэглэх
• 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100-д хуваагдах тооны шинжийг хэрэглэн
чээжээр тооцоолох,, ерөнхий хуваагч, ерөнхий хуваагдагч, анхны
тоог таних, нэг ба хоёр оронтой тоонуудын ХИЕХ болон ХБЕХ-ийг
чээжээр болон хялбар аргаар олох, хэрэглэх
Үйл ажиллагаа:
1. Бүхэл тоог тоон шулуун дээр тэмдэглэх, жиших
Эерэг, сөрөг тоог амьдрал ахуйд хэрэглэх жишээ гаргах:
- Далайн түвшин (0), далайн түвшнээс дээш (эерэг), далайн түвшнээс доош (сөрөг)
- Агаарын хэм, халуун хүйтэн, 0o
C (мөс хөлдөх) талаар харилцан ярилцана.
Тоон шулуун дээр бүхэл тоог тэмдэглэх, жиших, Жишээ нь:
а. -5, 3, –3, 0, 2, –1, 4, –8, 7
б. –5 ба 4, –3 ба –5, 0 ба –1, –3 ба 3 тоонуудыг жишиж, сурагчдаар дүгнэлт гаргуулна.
• Хоёр эерэг тоо, хоёр сөрөг тоо, эерэг ба сөрөг тоонуудын аль нь их вэ?
• Тоон шулуун дээр орших хоёр тооны аль нь их байдаг вэ? гэсэн асуултаар чиглүүлнэ.
2. Бүхэл тооны нэмэх, хасах үйлдэл.
Тоон шулуун дээр бүхэл тоог нэмэх, хасах үйлдлийг авч үзнэ.
а. Эерэг бүхэл тоонуудыг нэмэх, 2+5, 0+3 үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж үзүүлэх
б. Сөрөг бүхэл тоон дээр эерэг бүхэл тоог нэмэх, –2+7 үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж
үзүүлэх
в. Эерэг бүхэл тоон дээр сөрөг бүхэл тоог нэмэх, 7+(–10) үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж
үзүүлэх
г. Сөрөг бүхэл тоонуудыг нэмэх, –3 + (–4), үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж үзүүлэх
д. Эерэг, сөрөг тоонуудыг хасах, a b a b
− = + −
( ) байдгийг ойлгох, хэрэглэх, Жишээ нь,
3 8 3 8
− = + −
( ) , − − = − + −
6 2 6 2
( ) үйлдлийг тоон шулуун дээр зурж үзүүлэх

21. 21
Бүхэл тооны нэмэх, хасахыг асуудал шийдвэрлэхэд хэрэглэх
Бодлого 1: Агаарын хэм өглөө 9.00 цагт –8o
C байснаа өдөр +3o
C-аар дулаараад, орой үүнээс
–5o
C-аар хүйтэрсэн бол орой агаарын хэм ямар болсон бэ? гэсэн бодлогоор сэдэлжүүлж болно.
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх даалгаврыг авъя.
Өвөл нар жаргасны дараа 18 цагт агаарын температур −23o
C байснаа 18 цагаас 20
цагийн хооронд 3 хэм, 20-иос 22 цагийн хооронд 2 хэм, 22-оос 24 цагийн хооронд 4
хэм, 0 цагаас 2 цагийн хооронд дахин 2 хэм тус тус хүйтэрчээ. Агаарын температур:
а. 20 цагт хэдэн хэм болсон бэ? б. 22 цагт хэдэн хэм болсон бэ?
в. 24 цагт хэдэн хэм болсон бэ? г. 18 цагаас шөнийн 2 цаг хүртэл нийтдээ хэдэн
хэмээр хүйтэрсэн бэ?
Бодолт:
а. 20 цагт –23+(–3)=–26 хэм болсон.
б. 22 цагт –26+(–2)=–28 хэм болсон
в. 24цагт –28+(–4)=–32 хэм болсон.
г. 18 цагаас шөнийн 2 цаг хүртэл нийт –3+ (–2)+(–4)=–9 буюу 9 хэмээр хүйтэрсэн байна.
Сурах бичгийн жишээг авч үзье.
Æишээ 1.
д. +(–7)=4 (*) тэнцэтгэлийн дөрвөлжингийн оронд тохирох тоог олоорой.
Бодолт:
4 –7
11
Зургаас харвал: =11 байна. Өөрөөр хэлбэл:
11+(–7)=4, 11–7=4 эндээс ямар дүгнэлт
хийж болох вэ?
Ямар нэг тоон дээр –7-г нэмэхэд 4 гарсан байна. Иймд ногоон өнгөтэй шулуунаар нэгдүгээр
нэмэгдэхүүнийг (хасагдагч эерэг тоо байх нь тодорхой байна) тэмдэглэлээ. Хасагдагчаас 7-г
хасаад 4 гарсан байна.7-г хассан учир зүүн тийш сумаар зааж 7 нэгж зай, хариу нь 4 гарсан учир
баруун тийш сумаар зааж 4 нэгж зайг тэмдэглэв. Ингэхэд хасагдагч 11 байх нь зургаас харагдана.
=11байна. Эхний тоон илэрхийлэлд 11-ийг орлуулбал 11+ (–7) = 4 болно. Мөн 11–7 = 4 байх
тул эндээс 11–7 = 11+ (–7) дүгнэлт гаргуулж болно.
Дүгнэлт1. Тоон шулуун дээр өгсөн тоон дээр эерэг тоог нэмэхдээ тоон шулууны баруун гар
тийш өгсөн нэгжээр шилжинэ. Харин өгсөн тоон дуур сөрөг тоог нэмэхдээ тоон шулууны зүүн гар
тийш өгсөн нэгжээр шилжинэ. –5+7=2, –5+(–7)=–12
Дүгнэлт2. a тооноос b тоог хасна гэдэг нь a тоон дээр b тооны эсрэг тоог нэмсэнтэй тэнцүү
байна. Эдгээр дүгнэлтийг ашиглан тоон шулуун дээр бүхэл тоог нэмэх, хасах чадвар эзэмшүүлнэ.
3. Бүхэл тооны үржүүлэх, хуваах үйлдэл
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлого болон Жишээ 4, 5 дээр агаарын температурын өөрчлөл-
тийг термометр болон тоон шулуун ашиглан олох бодлого авсан. Эдгээрийг ажиллах явцад дараах
дүгнэлтүүдийг сурагчдаар гаргуулна.
Дүгнэлт3. Хоёр эерэг тооны үржвэр эерэг, хоёр сөрөг тооны үржвэр эерэг, эерэг ба сөрөг
тооны үржвэр сөрөг тоо байна.
Жишээ нь, 3×5 = 15, –3×(–5) = 15, –3×5 = –15, 3×(–5) = –15
4. 4; 6 ба 8-д хуваагдах тооны шинж, ХÈÅХ, ХБÅХ олох
• 2, 3, 5, 9, 10, 100-д хуваагдах тооны шинжийг хэрэглэх, Жишээ нь:
• 1-100 хүртэлх тооны хүснэгтийг ашиглан дээрх тоонуудад хуваагддаг тоонуудыг чээжээр
олох, анхны тоонуудыг олох
• Дээрх тоонуудад хуваагдах тооны шинжийг өмнөх ангид үзсэнийг давтах, харьцуулах

22. 22
замаар харилцан ярилцаж, дүгнэлт гаргах,
• 4, 6, 8-д хуваагдах тооны шинжийг гаргах
• ХИЕХ болон ХБЕХ-ийг хялбар аргаар олох (чээжээр олох, тоочин бичих)
а. 24 ба 36 тоонуудын хуваагчдыг ольё.
24-ийн хуваагч 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, 36-ийн хуваагч 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Эдгээрээс ерөнхий хуваагч нь:
1, 2, 3, 4, 6, 12 болно. Ерөнхий хуваагчдын хамгийн их нь 12 буюу ХИЕХ(24;36)=12
б. 6 ба 9-ийн хуваагдагчдыг олох
6-ийн хуваагдагч: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 . . .
9-ийн хуваагдагч: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 . . .
Эдгээрээс ерөнхий хуваагдагч нь 18, 36, 54 . . .гэх мэт үргэлжилнэ. Ерөнхий хуваагчдын
хамгийн бага нь 18 буюу ХБЕХ(6;9)=18 гэж бичнэ.
в. 9×12 хэмжээтэй тэгш өнцөгтийг хамгийн их ирмэгтэй квадратад хэдэн тэнцүү хэсэгт
хувааж болох вэ?
• Тооны хуваагдах шинж, ХИЕХ, ХБЕХ-ийг хэрэглэн асуудал шийдвэрлэх
Бодлого 2. Сүлд модны чимэглэл хоёр төрлийн гэрэлтэй бөгөөд нэг гэрэл нь 8 секунд
болоод асдаг, нөгөө нь 12 секунд болоод асдаг бөгөөд яг одоо зэрэг ассан бол ахиад хэдэн
секундын дараа хоёулаа зэрэг асах вэ? Одоогоос эхлэн 30 минутын дотор хэдэн удаа зэрэг
асах вэ?
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Асуудал шийдвэрлэх даалгавар.
Тэнцүү хуваах
а. 24 ширхэг сарнай, 42 ширхэг цахирмаа, 60 ширхэг сараана цэцгээр ижил баглаа бэлтгэх
хичнээн боломж байгаа вэ?
б. 45см ба 21см хэмжээтэй тэгш өнцөгт хэлбэртэй бялууг квадрат хэлбэртэй тэнцүү дүрсэд
хэчнээн янзаар хувааж болох вэ?
Бодолт:
а. 24-ийн хуваагчууд: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24
б. 42-ийн хуваагчууд: 1; 2; 3; 6; 7; 21; 42
в. 60-ийн хуваагчууд: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
г. 24; 42 ба 60 тоонуудын ерөнхий хуваагч: 1; 2; 3; 6 болно. Иймд 1; 2; 3; 6 баглаа тус тус
бэлтгэж болно.
1 баглаа бэлтгэхэд: 24 ширхэг сарнай, 42 ширхэг цахирмаа, 60 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно.
2 баглаа бэлтгэхэд: 12 ширхэг сарнай, 21 ширхэг цахирмаа, 30 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно.
3 баглаа бэлтгэхэд: 8 ширхэг сарнай, 14 ширхэг цахирмаа, 20 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно.
6 баглаа бэлтгэхэд: 4 ширхэг сарнай, 7 ширхэг цахирмаа, 10 ширхэг сараана цэцгүүдийг нэг
баглаа болгож болно. Иймд дээрх цэцгүүдээр 6 төрлийн баглаа бэлтгэж болно.
5. Тооны квадрат зэрэг, квадрат язгуурыг олох
Сурах бичгийн сэдэлжүүлэх бодлогоор асуудал дэвшүүлж болно.
Бодолт:
1-10 хүртэлх тоонуудыг өөрийг нь өөрөөр нь үржүүлсэн үржвэр байна.
Тоог өөрийг нь өөрөөр үржүүлснийг a2
гэж бичээд “a тооны квадрат зэрэг” гэж уншина.
Талбайн нэгжийг м2
, см2
гэх мэт бичнэ. Харин квадрат язгуур олох талаар 25см2
талбайтай
квадратын талыг ол гэсэн Жишээ 13-ыг авч үзсэн. Шийд нь 25 5
= болно.
Дүгнэлт 4. Квадрат зэрэг нь 25-тай тэнцүү 5, –5 гэсэн хоёр тоо байх ба, эдгээр нь 25 тооны
квадрат язгуур юм. 25 Тооны квадрат язгуурыг 25 , − = −
25 5 гэж тэмдэглэнэ.