Este documento resume varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, Gauss-Jordán, descomposición LU, factorización de Cholesky, QR y métodos iterativos como Gauss-Seidel y Jacobi. Explica cómo cada método transforma la matriz inicial para determinar la solución del sistema de ecuaciones de manera eficiente.

1. Resumen de
Sistemas de
Ecuación
Lineales
Universidad Fermín Toro
Vice-rectorado Académico
Facultad de Ingeniería
José Castillo C.I 20186221
Profesor Domingo Meléndez
Análisis Numérico
Junio, 2013

2. Resumen de
Sistemas de
Ecuación
Lineales

3. El proceso de eliminación de Gaussiana o de Gauss, consiste
en realizar transformaciones elementales en el sistema inicial
(intercambio de filas, intercambio de columnas, multiplicación
de filas o columnas por constantes, operaciones con filas o
columnas, ...), destinadas a transformarlo en un sistema
triangular superior, que resolveremos por remonte. Además, la
matriz de partida tiene el mismo determinante que la matriz
de llegada, cuyo determinante es el producto de los
coeficientes diagonales de la matriz.
Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que
debemos dividir entre el pivote; si este es un número muy
pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias
dudas sobre la respuesta final. En forma general este método
propone la eliminación progresiva de variables en el sistema
de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una
incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución
regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

4. El proceso de eliminación de Gauss - Jordán consiste en
realizar transformaciones elementales en el sistema
inicial, destinadas a transformarlo en un sistema diagonal. El
número de operaciones elementales de este método, es
superior al del método de Gauss (alrededor de un 50% más).
Sin embargo, a la hora de resolver el sistema de llegada por
remonte, el número de operaciones es menor, motivo por el
cual, el método de Gauss - Jordán es un método
computacionalmente bueno cuando tenemos que resolver
varios sistemas con la misma matriz A y resolverlos
simultáneamente, utilizando el algoritmo de Gauss-Jordán.
En base a lo anteriormente expuesto, solo haríamos un
proceso de eliminación en la matriz y la resolución de un
sistema con esta matriz es muy fácil. Un ejemplo en el que se
suele usar Gauss - Jordán es en el cálculo de la matriz
inversa, ya que calcular la inversa de A, es calcular N sistemas
con la misma matriz.

5. El método de Descomposición LU se basa en demostrar que
una matriz A se puede factorizar como el producto de una
matriz triangular inferior L con una matriz triangular superior
U, donde en el paso de eliminación sólo se involucran
operaciones sobre los coeficientes de la matriz, permitiendo
así evaluar los términos independientes de manera eficiente.
La implementación del algoritmo de la Descomposición LU
tiene sus variantes en cuanto a los valores iniciales de la
diagonal que tomen las matrices L y U, es decir si los valores de
la diagonal de la matriz L tiene números 1, formalmente esto se
refiere a la Descomposición de Doolitle. Pero si los valores de la
diagonal de la matriz U tiene números 1, formalmente esto se
refiere a la Descomposición de Crout

6. Una matriz simétrica es aquella donde Aij = Aji para toda i y
j, En otras palabras, [A] =[A] T. Tales sistemas ocurren
comúnmente en problemas de ambos contextos: el
matemático y el de ingeniería. Ellos ofrecen ventajas
computacionales ya que sólo se necesita la mitad de
almacenamiento y, en la mayoría de los casos, sólo se
requiere la mitad del tiempo de cálculo para su solución. Al
contrario de la Descomposición LU, no requiere de pivoteo. El
método de Factorización de Cholesky se basa en demostrar
que si una matriz A es simétrica y definida positiva en lugar de
factorizarse como LU, puede ser factorizada como el producto
de una matriz triangular inferior y la traspuesta de la matriz
triangular inferior, es decir los factores triangulares resultantes
son la traspuesta de cada uno.
A = L . LT

7. Esta factorización se usa ampliamente en los programas de
computadora para determinar valores propios de una
matriz, para resolver sistemas lineales y para determinar
aproximaciones por mínimos cuadrados
En muchas aplicaciones el número de filas (M) de una matriz
de coeficientes A mxn puede ser 3 al número de columnas (N).
La Factorización QR consiste en descomponer la matriz
Amxn en el producto de dos matrices:
Una matriz Ortogonal: Qmxn ® QT. Q = INxN
Una matriz Triangular Superior: U = RNxN
Para encontrar las matrices Q y R se utiliza un método basado
en Transformaciones Sucesivas de Householder.

8. Un método iterado de resolución del sistema Ax = b es aquel
que genera, a partir de un vector inicial x0, una sucesión de
vectores x1, x2, . . . xn.. "Un método iterado se dirá que
es consistente con el sistema Ax = b, si el límite x de la sucesión
(xn), en caso de existir, es solución del sistema. Se dirá que el
método es convergente si la sucesión generada
por cualquier vector inicial x0 es convergente a la solución del
sistema". Es evidente que si un método es convergente es
consistente, sin embargo, el recíproco no es cierto.

9. El Método de Gauss Seidel emplea valores iniciales y después
itera para obtener estimaciones refinadas de la solución; es
particularmente adecuado para un gran número de
ecuaciones,
La fórmula utilizada para hallar los xi viene dada por el
despeje de cada una de las xi en cada una de las ecuaciones
y se les da un valor inicial a cada xi de cero
Los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los
valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas
las componentes nuevas del vector se calculan antes de
llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de
Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya
que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de
x1, x2, ..., x i-1.
La desventaja del método de Gauss-Seidel es que no siempre
converge a la solución exacta o algunas veces los hace de
manera muy lenta.

10. El Método de Jacobi transforma una matriz simétrica en una
matriz diagonal al eliminar de forma simétrica los elementos
que están fuera de la diagonal. Desafortunadamente, el
método requiere un número infinito de operaciones, ya que la
eliminación de cada elemento no cero a menudo crea un
nuevo valor no cero en el elemento cero anterior. Si A es
diagonalmente dominante, entonces la sucesión que resulta
de la iteración de Jacobi converge a la solución de Ax = b
para cualquier vector inicial Xo. Partimos de una aproximación
inicial Xo para las soluciones Xi al sistema de ecuaciones y
sustituimos estos valores en la ecuación.