1. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari kita sering diperhadapkan kepada banyak masalah yang
berhubungan dengan geometri. Yang berhubungan dengan titik, garis dan bidang-bidang. Samgat
diperlukan pemahaman terhadap hal hal yamh berhubungan dengan geometri agar dengan itu kita
dapat menghadapi berbagai persoalan yang kita hadapi.
Dalam makalah ini kami akan membahas beberapa materi yang berhubunngan dengan
geometri. Materi yang kam bahas adalah persamaan garis singgung parabola.
Untuk lebih mengenal lagi bagaimana geometri itu itu dan mateeri yang kami bahas, maka
mari kita bersama-sama melihat makalah ini dan mencoba memahaminya.
B. Perumusan Masalah
1. Bagaimana persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak (0,0) ?
2. Bagaimana persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak (a,b) ?
C. Tujuan
Adapun tujuan penyusun makalah ini adalah:
1. Menentukan garis singgung parabola ?
2. Menentukan persamaan garis singgung parabola dengan titik puncak ?
1

2. BAB II
ISI
Definisi Parabola
Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik tertentu sama
dengan jaraknya ke garis tertentu.
A. Persamaan Garis Singgung yang mempunyai kemiringan m.
1. Persamaan garis singgung parabola melalui titik pusat (0 , 0)
o Persamaan garis singgung y melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada parabola y 2  4 px ,
dapat dinyatakan sebagai:
y  y1  m( x  x1 )
Dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:
y2
 4p
2y
dx


dy  4 p
y
dx


dy  2 p
dy  2 p


dx
y
dy  2 p
jadi, m 

dx
y
x
Dititik (x1, y1) : m = 
2p
y1
Dengan demikian persamaan garis singgung yang dimaksud adalah
y1y = -2p (x +x1 )
nilai m = 
2p
y1
didistribusikan ke persamaan
2
y  y1  m( x  x1 ) diperoleh

3.  y  y1  
2p
( x  x1 )
y1
 y1 ( y  y1 )  2 px  2 px1
 y1 y  y1  2 px  2 px 1 (ingaty1  4 px)
2
2
 y1 y  (4 px)  2 px  2 px1
 y1 y  4 px  2 px  2 px1
 y1 y  2 px  2 px1
 y1 y  2 p( x  x1 )
o Persamaan garis singgung yang melalui titik P (x1, y1) yang terletak pada parabola x2 = - 4py,
dapat dinyatakan sebagai y  y1  m( x  x1 )
dengan tafsiran geometri turunan, besar m dapat dicari sebagai berikut:
x 2  4 py
x2
 4p
dy
2x


dx  4 p
dy
x


dx  2 p
dy
x
Jadi, m 

dx  2 p
y
x1
disubtitusikankepersamaan
 2p
y  y1  m( x  x1 )diperoleh :
Dititik ( x  x1 ) : m 
y  y1 
x1
( x  x1 )
 2p
 2 p ( y  y1 )  x1 x  x1
2
 2 py  2 py1  x1 x  x1 (ingatx1  4 py1 )
2
2
 2 py  2 py1  x1 x  (4 py1 )
 2 py  2 py1  x1 x  4 py1
 x1 x  2 py1  2 py
 x1 x  2 p ( y  y1 )
3

𝑑𝑥
𝑑𝑦
=
𝑦
−2𝑝

4. Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti
pada tabel dibawah ini:
No
Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1
y2 = 4px
y1 y =2p (x + x1)
2
y2 = - 4px
y1 y = - 2p (x + x1)
3
x2 = 4py
x1 x = 2p (y + y1 )
4
x2 = - 4py
x1 x = - 2p (y + y1 )
Persamaan garis singgung parabola dengan gradien m

Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola y2 = -4px dan  : y = mx + b maka (𝑚𝑥 +
𝑏)2 = −4px
 𝑚2 𝑥 2 + 2𝑚𝑏𝑥 + 𝑏 2 + 4px = 0 x + b2 + 4px = 0
 𝑚2 𝑥 2 + (2𝑚𝑏 + 4px)𝑥 + 𝑏 2 = 04p )x + b2 = 0
Garis menyinggung parabola y2 = -4px, maka berlaku D = 0, sehingga b2 – 4ac = 0
(2mb + 4p )2
– 4 m2 b2 = 0
 4m 2 b 2  16mbp  16 p 2  4m 2 b 2 = 0
 16mbp =  16 p 2
 16 p 2
mb =
16 p
mb = - p
b=
Subtitusi b =
p
m
p
p
pada persamaan garis  , diperoleh y = mx +
m
m
Jadi, persamaan garis singgung pada parabola y2 = -4px dengan gradien m adalah y = mx +
p
m
4

5. 
Misalnya titik P (x1, y1) terletak pada parabola x2 = 4py dan
 : y = mx+b, maka
 x 2  4 p (mx  b)
 x 2  4 pmx  4 pb
 x 2  4 pmx  4 pb  0
Garis  menyinggung parabola x2 = 4py, maka beraku D = 0, sehingga: b2 – 4ac = 0
 (4 pmx) 2  4(4 pb)  0
y
y1 = mx – pm 2
 16 p 2 m 2  16 pb  0
 16 p 2 m 2  16 pb
y = mx + c
16 p 2 m 2
b
 16 p
P(x,y)
x
 b   pm 2
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0
Subtitusi b   pm 2 pada persamaan garis  , diperoleh y = mx  pm 2
Jadi persamaan garis singgung pada parabola x2 = 4py 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 dengan gradien m adalah y
= mx  pm 2
Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan
gradien m seperti tabel berikut ini:
No
Persamaan parabola
1.
y2 = 4px
2.
𝑦 = −4𝑝𝑦
𝑥 2 = 4𝑝𝑦
4.
𝑥 2 = −4𝑝𝑦
y = mx +
2
3.
Persamaan garis singgung
p
m
𝑦 = 𝑚𝑥 −
𝑝
𝑚
y = mx  pm 2
y = mx + pm2
5

6. 1. Persamaan garis singgung parabola melalui titik pusat (a , b)
a. Untuk parabola dengan bentuk umum (x – a)2 = 4p (y – b)
Dengan garis singgung y = mx + n dapat kita peroleh persamaan garis singgungnya dengan
mensubstitusikan y = mx + n ke dalam persamaan parabola
(x –a)2 = 4p (y – b)
Subtitusi y = mx + n
 (x –a)2 = 4p (mx + n – b)
 x2 – 2ax + a2 = 4pmx + 4p(n - b)
 x2 – 2ax + a2 – 4pmx – 4p(n – b) = 0
 x2 – 2ax – 4pmx + a2 – 4p(n – b) = 0
 x2 + ( -2a – 4pm)x + a2 – 4p(n – b) = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D= 0
 ( -2a – 4pm)2 – 4.1.(-4p(n – b ) + a2 = 0
 4a2 + 16pma + 16pm2 + 16p ( n – b) – 4a2 = 0
 16pma + 16p2m2 + 16p (n – b) = 0
--------------------------------------------------------------------- : 16p
 ma + pm2 + (n – b) =0
 (n – b) = -ma – pm2
 n = -ma – pm2 + b
Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p (y – b) diperoleh dengan cara
mensubstitusikan nilai n = -ma – pm2 + b pada y = mx + n
 y = mx + n
 y = mx + ( -ma – pm2 + b)
y
y-b = m(x-a) – pm 2
 y = mx – ma – pm2 + b
P(x,y)
 y – b = m( x – a ) – pm2
x
𝑛 = −𝑚𝑎 + 𝜌𝑚2 + 𝑏
y = mx + n
6

7.  Untuk p dengan bentuk umum (y – b)2 = 4p( x – a) dengan garis singgung y = mx + n dapat
kita peroleh garis singgungnya dengan mensubstitusikan garis y = mx + n ke dalam persamaan
parabola
(y – b)2 = 4p( x – a)
 ((mx + n) – b)2 = 4p(x – a)
 (mx – n) 2 – 2(mx + n)b + b2 = 4p( x - a)
 m2x2 + 2mxn + n2 – 2mbx - 2bn + b2 = 4p( x – a)
 m2x2 + 2mnx – 2mbx – 4px + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
 m2x2 + (2mn – 2mb – 4p)x + 4pa – 2bn + n2 + b2 = 0
Syarat garis yang menyinggung parabola adalah D = 0
(( 2mn – 2mb) – 4p)2 – 4m2(4pa - 2bn + n2 + b2) = 0
4m2n2 – 8m2nb – 4m2b2 – 16mnp + 16mbp +16p2 – 16m2pa + 8m2bn – 4m2n2 – 4m2b2 = 0
 - 16mnp + 16mbp + 16p2 – 16m2pa = 0
---------------------------------------------------------- : 16p
 - mn + mb + p – m2a = 0
 - mn = - mb + m2a – p
 - mn = m (ma – b) – p − 𝑚𝑛 = −𝑚𝑏 − 𝑚2 𝑎 − 𝑝
 n = - (ma – b) –
p
m
Subtitusi nilai n pd persamaan y = mx + n
y = mx + n
y = mx + (- ma + b) –
(y – b) = m(x – a) -
p
m
p
m
7

8. Dengan pendekatan yang sama, akan diperoleh persamaan garis singgung parabola dengan gradien
m seperti tabel di bawah ini.
No
Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1
(y – b)2 = 4p( x – a)
2
(y – b)2 = - 4p( x – a) (𝑦 − 𝑏)2 = (𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑝⁄ 𝑚
−4𝑝 (𝑥 − 𝑎)
𝑝
(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − ⁄ 𝑚
3
(𝑥 − 𝑎)2 = 4𝑝(𝑦 − 𝑏)
(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) − 𝑝𝑚2
4
(𝑥 − 𝑎)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑏)
(𝑦 − 𝑏) = 𝑚(𝑥 − 𝑎) + 𝑝𝑚2
 Persamaan garis singgung melalui titik (x1, y1)
 Persamaan garis singgung parabola (y – b)2 = 4p( x – a) di titik P (x1, y1)
(y1 – b)2 = 4p( x1 – a)
y12 – 2by1 + b2 = (4p (x1 – a)
y12 = 2by1 –b2 + 4px(x1 – a) .........(i)
Persamaan garis singgung melalui P (x1, y1)
adalah (y – y1) = m (x – x1)............(ii)
8

9. Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
( y  b) 2  4 p ( x  a )
1
( y  b) 2
4p
d ( x  a)
1

.2( y  b)
dy
4p
d ( x  a ) ( y  b)

dy
2p
dy
2p

dx ( y  b)
( x  a) 
Jadi m di titik P (x1, y1) =
2p
........(iii )
( y1  b )
Subtitusi (iii) ke (ii)
y  y1  m( x  x1 )
y  y1 
2p
( x  x1 )
( y1  b)
( y  y1 )( y1  b  2 p( x  x1 )
yy1  by  y1  by1  2 p( x  x1 ).......(iv )
2
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (IV)
yy1  by  y12  by1  2 px  2 px1
yy1  by  (2by1  b 2  4 p( x1  a))  by1  2 px  2 px1
yy1  by  by1  b 2  4 px1  4 pa  2 px  2 px1
( y  b)( y1  b)  2 px1  4ap  2 px
( y  b)( y1  b)  2 p( x  x1  2a)
 Persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1)
9

10. ( x1  a ) 2  4 p ( y1  b)
x12  2ax1  a 2  4 p ( y1  b)
𝑝 (𝑋1 , 𝑌1 )
x  2ax1  a  4 p ( y 1 b).......(i )
2
1
2
Persamaan garis singgung melalui p(x1, y1) adalah
(y – y1) = m (x – x1) ……………….(ii)
Gradien m ditentukan dengan cara sebagai berikut:
( x1  a ) 2  4 p ( y1  b)
( y1  b ) 
1
( x1  a ) 2
4p
( y1  b ) 1

.2( x1  a )
dx
4p
dy ( x1  a )

dx
2p
jadi m =
x1  a
.........(iii )
2p
Subtitusi persamaan ini ke persamaan (ii)
( y  y1 )  m( x  x1 )
( x1  a)
( x  x1 )
2p
2 p ( y  y1 )  ( x1  a)( x  x1 )
( y  y1 ) 
2 p ( y  y1 )  x1 .x  x12  ax  ax1 .......(iv )
Subtitusi persamaan (i) ke persamaan (iv)
2 py  2 py1  xx1  x12  ax  ax1
2 py  2 py1  xx1  (2ax1  a 2  4 p ( y1  b))  ax  ax 1
2 py  2 py1  4 py1  4 pb  xx1  ax  ax1  a 2
2 py  2 py1  4 pb  xx1  ax1  ax  a 2
2 p ( y  y1  2 p )  ( x  a )( x1  a )
10

11. Jadi persamaan garis singgung parabola (x – a)2 = 4p(y – b) di titik P (x1, y1)
(x – a) (x1 – a) = 2p (y +y1 - 2p)
Dengan pendekatan yang sama akan diperoleh persamaan garis singgung parabola seperti tabel
dibawah ini:
No
Persamaan parabola
Persamaan garis singgung
1
(y – b)2 = 4p( x – a)
(y – b) (y1 – b) = 2p (x +x1 - 2a)
2
(y – b)2 = - 4p( x – a)
(y – b) (y1 – b) = - 2p (x +x1 - 2a)
3
(x – a)2 = 4p(y – b)
(x – a)(x1 – a) = 2p ( y + y1 -2b)
4
(x – a)2 = - 4p(y – b)
(x – a)(x1 – a) = - 2p ( y + y1 -2b)
11

12. BAB III
PENUTUP
Soal Latihan.
1. Tentukan persamaan garis singgung parabola 𝐲 𝟐 = 𝟖𝐱 di titik yang mempunyai koordinat 4.
Jawab:
Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku y 2 = 8x
y 2 = 4.2𝑥
Dari persamaan di atas terlihat bahwa c = 2 dan puncak parabola di titik (0, 0)
Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan ordinat 4,
kita masukkan y = 4 pada parabola maka diperoleh absis
42= 8x
x=2
Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (2, 4). Dengan mempergunakan
persamaan (5) kita peroleh
4y = 2 2(x + 2)
4y = 4x + 8
xy+2=0
2. Tentukan persamaan garis singgung parabola y2 -4y 8x + 28 = 0 di titik yang
mempunyai ordinat 6.
Jawab:
Kita nyatakan parabola dalam bentuk baku
y 2 − 4y − 8x = 0
𝑦 2 − 4𝑦 = 8𝑥 28
2
𝑦 − 4𝑦 + 4 = 8𝑥 28 + 4
(𝑦 − 2)2 = 8x − 24
(𝑦 − 2)2 = 4.2(x − 3)
Dari persamaan terakhir diperoleh (h, k) = (3, 2) dan c = 2.
Untuk menentukan koordinat titik yang terletak pada parabola dengan koordinat 6,
kita substitusikan y = 6 pada parabola maka diperoleh absis
(6 − 2)2 = 4.2(x − 3)
x=5
Jadi titik singgung yang dimaksud adalah (5, 6). Dengan mempergunakan
persamaan (6) akan diperoleh
(6 − 2)(𝑦 − 2) = 2. 2(𝑥 + 5 − 2 .3)
4(𝑦 − 2) = 4(𝑥 − 1)
4𝑦 − 8 = 4𝑥 − 4
𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
12

13. DAFTAR PUSTAKA
Leithold, Louis. 1986. Kalkulus dan Ilmu Analitik 3. Jakarta: PT Bina Aksara
Sukirman. (1995). Modul geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Universitas Terbuka Jakarta
13