Ciclo Trigonométrico eCiclo Trigonométrico e
Razões TrigonométricasRazões Trigonométricas
ConceitosConceitos
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Círculo TrigonométricoCírculo Trigonométrico
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xx
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º270
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ordem crescente, no sentido anti-horário.
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Determinação de quadrantesDeterminação de quadrantes
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CicloCiclo
TrigonométricoTrigonométrico
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Unidades de medidas de umUnidades de medidas de um
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 GrauGrau
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ExercícioExercício
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SoluçãoSolução
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Fórmula GeralFórmula Geral
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Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330ºExemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º
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Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,
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Cossecante de um ar...
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RazõesRazões
TrigonométricasTrigonométricas
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BibliografiaBibliografia
 Dante, Luiz Roberto – MatemáticaDante, Luiz Roberto – Matemática
Contexto e Aplicações. 3ª ediç...
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  1. 1. Ciclo Trigonométrico eCiclo Trigonométrico e Razões TrigonométricasRazões Trigonométricas
  2. 2. ConceitosConceitos anterioresanteriores
  3. 3. Círculo TrigonométricoCírculo Trigonométrico OO ciclo trigonométricociclo trigonométrico é representado por umé representado por um círculocírculo que apresentaque apresenta raioraio igual aigual a 11 e cujae cuja circunferênciacircunferência éé orientadaorientada.. xx yy
  4. 4. xx yy º180 º90 º270 º0 º360 Procuramos a localização de um ângulo, em ordem crescente, no sentido anti-horário.
  5. 5. O que significa aO que significa a representação de umrepresentação de um ânguloângulo negativonegativo?? Significa que aSignifica que a localizaçãolocalização dele deve serdele deve ser procurada noprocurada no sentidosentido contrário (contrário (horáriohorário).). Exemplos:Exemplos: xx yy º30− º30
  6. 6. Determinação de quadrantesDeterminação de quadrantes AsAs retasretas xx ee yy dividemdividem oo círculocírculo trigonométricotrigonométrico emem 44 partes, chamadaspartes, chamadas quadrantesquadrantes.. 4º Q4º Q3º Q3º Q 2º Q2º Q 1º Q1º Q Os quadrantes apresentamOs quadrantes apresentam sempre a mesma posiçãosempre a mesma posição no círculo trigonométrico.no círculo trigonométrico.
  7. 7. CicloCiclo TrigonométricoTrigonométrico círculocírculo r = 1r = 1 PropriedadePropriedade ss 4 quadrantes4 quadrantes sentidosentido anti-horárioanti-horário circunferênciacircunferência orientadaorientada
  8. 8. Unidades de medidas de umUnidades de medidas de um ânguloângulo  GrauGrau Exemplos: 30º, 60º, 180ºExemplos: 30º, 60º, 180º rad 2 ,rad 5 4 ,rad 4 3 πππ  RadianoRadiano Exemplos:Exemplos:
  9. 9. Como passar de grau paraComo passar de grau para radiano?radiano? xx yy π≅º180 2 º90 π ≅ 2 3 º270 π ≅ π2º360 ≅ Basta fazer umaBasta fazer uma regra de trêsregra de três,, sabendo que:sabendo que: π≅º180
  10. 10. Exemplo:Exemplo: Passar 30º para radianos.Passar 30º para radianos. π º180 º30x 6º180 º30 30º180 ππ π == = x x 6 30ºLogo, π ≅
  11. 11. Como passar de radiano paraComo passar de radiano para grau?grau? Ou fazemos umaOu fazemos uma regra de trêsregra de três, ou procedemos, ou procedemos como no exemplo abaixo:como no exemplo abaixo: º270 2 180.3 2 180.3 grau.pararad 2 3 Passar == π 90º
  12. 12. unidadeunidade radianoradiano radrad graugrau ºº CicloCiclo TrigonométricoTrigonométrico círculocírculo r = 1r = 1 PropriedadePropriedade ss 4 quadrantes4 quadrantes sentidosentido anti-horárioanti-horário circunferênciacircunferência orientadaorientada arcosarcos
  13. 13. ExercícioExercício 1) Apresente o quadrante onde estão localizados1) Apresente o quadrante onde estão localizados os seguintes arcos:os seguintes arcos: 280º-c) 5 7 b)138ºa) π
  14. 14. SoluçãoSolução quadrante1º280º-c) quadrante3º252º 5 180.7 5 7 b) quadrante2º138ºa) ⇒ ⇒=⇒ ⇒ π xx yy º180 º90 º270 º0 º360 º138 5 7π º280−
  15. 15. Arcos ou Ângulos CôngruosArcos ou Ângulos Côngruos (Congruentes)(Congruentes) Ângulos côngruosÂngulos côngruos sãosão ângulosângulos que apresentam aque apresentam a mesma extremidademesma extremidade e número dee número de voltas diferentesvoltas diferentes.. Exemplo:Exemplo: ...º960º600º240 ≅≅≅ ...º780º420º60 ≅≅≅...º840º480º120 ≅≅≅ ...º1020º660º300 ≅≅≅
  16. 16. OsOs ângulos côngruosângulos côngruos que distam 60ºque distam 60º do ângulo de 0º, são:do ângulo de 0º, são: ouou ...º780º420º60 ≅≅≅ º60º360. +K
  17. 17. Fórmula GeralFórmula Geral Para medidas emPara medidas em grausgraus.. Para medidas emPara medidas em radianosradianos.. KK  número de voltasnúmero de voltas  menor determinação positivamenor determinação positiva α+Kº.360 απ +K.2 α
  18. 18. congruênciacongruência número denúmero de voltas diferentesvoltas diferentes mesmamesma extremidadeextremidade definiçãodefinição απ +K.2 α+Kº.360 fórmulafórmula geralgeral unidadeunidade radianoradiano radrad graugrau ºº CicloCiclo TrigonométricoTrigonométrico círculocírculo r = 1r = 1 PropriedadePropriedade ss 4 quadrantes4 quadrantes sentidosentido anti-horárioanti-horário circunferênciacircunferência orientadaorientada arcosarcos
  19. 19. Menor DeterminaçãoMenor Determinação PositivaPositiva Menor determinação positivaMenor determinação positiva é oé o ânguloângulo queque apresenta oapresenta o menor módulomenor módulo em um conjunto deem um conjunto de arcos côngruos.arcos côngruos. Exemplo:Exemplo: A menor determinação positiva é 60º.A menor determinação positiva é 60º. ...º780º420º60 ≅≅≅
  20. 20. ParaPara calcular a MDPcalcular a MDP de umde um ângulo, bastaângulo, basta dividirdividir esse ânguloesse ângulo por 360ºpor 360º. O. O restoresto dessadessa divisão é adivisão é a MDPMDP.. Exemplo:Exemplo: A MDP de 1117º é 37º.A MDP de 1117º é 37º. Logo, a fórmula geral desses arcos éLogo, a fórmula geral desses arcos é 11171117 360360 333737 º37º360 +K
  21. 21. Menor determinaçãoMenor determinação negativanegativa MDN = MDP – 360ºMDN = MDP – 360º Exemplo:Exemplo: Menor determinação negativa de 1117ºMenor determinação negativa de 1117º MDP = 37ºMDP = 37º MDN = 37º - 360º = -323ºMDN = 37º - 360º = -323º
  22. 22. ExercícioExercício 2) Apresente a fórmula geral, em graus,2) Apresente a fórmula geral, em graus, dos arcos côngruos a :dos arcos côngruos a : 5 35π
  23. 23. SoluçãoSolução º1260 5 180.35 5 35 == π 12601260 360360 33180180 º180º.360 +⇒ K
  24. 24. Lembrando:Lembrando:
  25. 25. Seno de um arcoSeno de um arco '' 1 ' OyMx Mx hipotenusa opostocateto sena ==== sensen
  26. 26. Dependendo do quadrante, oDependendo do quadrante, o sinalsinal dodo senoseno pode serpode ser positivo ou negativopositivo ou negativo..
  27. 27. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330ºExemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º 2 1 º30 =sen 2 1 º150 =sen 2 1 º210 −=sen 2 1 º330 −=sen 30º30º150º150º 210º210º 330º330º sensen
  28. 28. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315ºExemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º 2 2 º45 =sen 2 2 º135 =sen 2 2 º225 −=sen 2 2 º315 −=sen 45º45º135º135º 225º225º 315º315º sensen
  29. 29. sensen 60º60º120º120º 240º240º 300º300º Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º 2 3 º60 =sen 2 3 º120 =sen 2 3 º240 −=sen 2 3 º300 −=sen
  30. 30. ExercícioExercício 3) (EEAR-SP) O seno de é igual a:3) (EEAR-SP) O seno de é igual a: 9 122π 9 4 sen-d) 9 5 sen-c) 9 4 senb) 9 5 sena) π π π π
  31. 31. SoluçãoSolução 280º2440ºMDP º2440 9 180.122 9 122 = == π xx yy º180 º90 º270 º0 º360 º280 º80 9 180.4 9 4 º100 9 180.5 9 5 == == π π 24402440 360360 66280280 D.Letra 9 4 sen 9 122 senLogo, ππ −=
  32. 32. Cosseno de um arcoCosseno de um arco ' 1 ' cos Ox Ox hipotenusa adjacentecateto a === coscos
  33. 33. Dependendo do quadrante, oDependendo do quadrante, o sinalsinal dodo cossenocosseno também pode sertambém pode ser positivo oupositivo ou negativonegativo..
  34. 34. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330ºExemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º 2 3 º30cos =2 3 º150cos −= 2 3 º210cos −= 2 3 º330cos = 30º30º150º150º 210º210º 330º330º sensen coscos
  35. 35. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315ºExemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º 2 2 º45cos = 2 2 º135cos −= 2 2 º225cos −= 2 2 º315cos = 45º45º135º135º 225º225º 315º315º sensen coscos
  36. 36. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300ºExemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º 2 1 º60cos = 2 1 º120cos −= 2 1 º240cos −= 2 1 º300cos = sensen 60º60º120º120º 240º240º 300º300º coscos
  37. 37. Importante saber!Importante saber! xx yy π≅º180 2 º90 π ≅ 2 3 º270 π ≅ π2º360 ≅ 10ºcos 00ºsen = = 0270ºcos 1-270ºsen = = 1180ºcos 0180ºsen −= = 090ºcos 190ºsen = =
  38. 38. ExercícioExercício 2 3 e) 2 13 d) 0c) 3-b) 2-a) :aigualé 6 29 cos3720ºsensomaASE)-(Unit4) + − + π
  39. 39. SoluçãoSolução 2 3 60ºsen120ºsen ==⇒ º870 6 180.29 6 29 == π cletra0 2 3 2 3 6 29 cos3720ºsen ⇒=−=+ π 37203720 360360 1010120120 870870 360360 22150150 2 3 -30ºcos-150ºcos ==⇒
  40. 40. ExercícioExercício 324e) 24-3d) 423c) 23-4b) 423a) :éº3015cos 2-m 1m sentençaasatisfazquemrealnúmeroOCE)-(Unifor5) + − + = +
  41. 41. SoluçãoSolução 2 2 -45ºcos-135ºcos ==⇒ ( ) ( ) c.Letra 423 2 826 24 424224 22 22 22 222 −= − = = − −++− = = − − + +− = m m m 30153015 360360 88135135 ( ) 22 222 22222 22222 22222 2 2 2 1 + +− = +−=+ +−=+ +−=+ −= − + m m mm mm m m
  42. 42. Tangente de um arcoTangente de um arco adjacentecateto opostocateto a asen tga == cos xx yy sen +sen + cos +cos + tg +tg + sen -sen - cos +cos + tg -tg - sen -sen - cos -cos - tg +tg + sen +sen + cos -cos - tg -tg -
  43. 43. ExercícioExercício x?cosovalequanto,1,5xtg equadrante1ºdoénãoxSe6) =
  44. 44. SoluçãoSolução ⇒== 10 15 1,5xtg 13 132 13.5 1310 13 13 135 10 cos 135 10 cos === = x x 135 325 100225 1015 2 2 222 = = +=⇒ += y y y y xx 1515 1010 yy
  45. 45. Cotangente de um arcoCotangente de um arco asen acos atg 1 acotg == 3 4 −=xtg Exemplo:Exemplo: Sendo um arco x do 2º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 2º quadrante. Se , entãoentão Apresenta o mesmo sinal da tangente! 4 3 −=xtg
  46. 46. Exemplo:Exemplo: Sendo um arco x do 3º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 3º quadrante. Se , entãoentão Secante de um arcoSecante de um arco acos 1 asec = 5 3 cos −=x Apresenta o mesmo sinal do cosseno! 3 5 sec −=x
  47. 47. Exemplo:Exemplo: Sendo um arco x do 4º quadrante. Se ,Sendo um arco x do 4º quadrante. Se , entãoentão Cossecante de um arcoCossecante de um arco asen 1 acossec = 5 4 cos =x Apresenta o mesmo sinal do seno! 4 5 seccos =x
  48. 48. cosseccossec RazõesRazões TrigonométricasTrigonométricas sese cc sensen cotgcotg tgtg coco ss congruênciacongruência número denúmero de voltas diferentesvoltas diferentes mesmamesma extremidadeextremidade definiçãodefinição απ +K.2 α+Kº.360 fórmulafórmula geralgeral unidadeunidade radianoradiano radrad graugrau ºº CicloCiclo TrigonométricoTrigonométrico círculocírculo r = 1r = 1 PropriedadePropriedade ss 4 quadrantes4 quadrantes sentidosentido anti-horárioanti-horário circunferênciacircunferência orientadaorientada arcosarcos
  49. 49. ExercícioExercício ?tgE?cossecvalequanto , 11 60 cotge 2 3 Se7) αα α π απ =<<
  50. 50. SoluçãoSolução 11 61 cossec 61 11 sen =⇒= αα α α sen 1 cossec = ⇒= 60 11 xtg 61 3721 3600121 6011 2 2 222 = = +=⇒ += x x x x 1111 6060 xx α 60 11 tg 11 60 cotg =⇒= αα
  51. 51. BibliografiaBibliografia  Dante, Luiz Roberto – MatemáticaDante, Luiz Roberto – Matemática Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008.Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.  Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo, Roberto; Degenszajn, David – MatemáticaRoberto; Degenszajn, David – Matemática (volume único). 4ª edição – 2007. Editora(volume único). 4ª edição – 2007. Editora Atual – SP. Páginas: 236 a 241.Atual – SP. Páginas: 236 a 241.  Imagens: google imagensImagens: google imagens

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